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2021-2022年九年级数学《圆》综合测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（共8小题，共24分）
1.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（ 　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.如图，线段 AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, ∠CAB=20°，则 ∠AOD等于( )
A. 120° B.140° C. 150° D. 160°
3.如图， AD为⊙O的直径，AD=6cm ，∠DAC=∠ABC，，则 AC的长度为（ ）
A. B. C. D.
4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦 AB长为6米 ⊙O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 AB所在直线的距离是（ ）
A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米
5.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB ， 则∠BAC＝（ ）
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°
6.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ， 则下列说法不一定正确的是（ ）
A. ∠ABC+∠ADC=180° B. ∠DCE=∠BAD C. 2∠BAD=∠BOD D. ∠BCA=∠DCA
7.如图，⊙O与正五边形 ABCDE的两边AE,CD 相切于A,C 两点，则∠AOC 的度数是（ ）
A. 144° B.130° C. 129° D. 108°
8.如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共8小题，共24分）
9.如图，已知扇形的圆心角为 15O°，半径为1，那么该扇形的弧长为 ． （结果保留 ）
10.如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是 米.
11.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且 ，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 .
12.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED= ．
13.一条弦分圆为7：5两部分，这条弦所对的圆周角的度数 ．
14.如图，AC是⊙O的弦，AC＝4，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值为 .
15.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转 120°得到 .已知AC=3，BC=2 ，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 .
16.如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0,2） ．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为 时，圆心的横坐标是 .
三、解答题（共9小题，共72分）
17.（7分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C ，交⊙O于点D ， 连接OA ．若AB＝4，
CD＝1，求⊙O直径的长．
18.（7分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是 的中点．求∠ABD的度数．
19.（7分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm ， CB＝20cm ， 以CA为半径的⊙C交AB于D,求AD的长．
20.（7分）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，若 = ，∠E＝70°，求∠ABC的度数.
（8分）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=2 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
22.（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（1）若AB=4，求 的长；（2）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
23.（8分）如图， ⊙O是 △ABC的外接圆，AE切 ⊙O于点 A， AE与直径 BD的延长线相交于点 E．
（1）如图①，若∠C=71°，求 ∠E的大小；
（2）如图②，当 AE=AB，DE=2时，求∠E 的大小和 ⊙O的半径．
24.（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
25.（12分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D是 上一个动点，作射线BD，连结CD交AB于点F，
（1）求证：∠ADE=∠ADC；
（2）当∠BAC=30°，BC=2时，
①求⊙O的半径长；②当△BCF是以BC为腰的等腰三角形时，求 的长；
（3）当 时，设⊙O的半径为r，则AD= ． （用含r的代数式表示）
2021-2022年九年级数学第二十四章《圆》综合测试卷解析版
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（共8小题，共24分）
1.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（ 　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 C
【解析】【解答】解：①是圆周角定理的推论，故①符合题意；
②根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故②符合题意；
③根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，
故③符合题意；
④应是不共线的三个点，故④不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理及推论、圆的对称性及确定圆的条件逐一进行判断即可.
2.如图，线段 AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, ∠CAB=20°，则 ∠AOD等于( )
A. 120° B.140° C. 150° D. 160°
【答案】B
【解析】【解答】解： 线段 是 的直径，弦 ，
，，
，.
故答案为：B.
【分析】根据弧、弦的关系可得， 根据圆周角定理结合∠CAB的度数可得∠BOD的度数，然后根据邻补角的性质可得∠AOD的度数.
3.如图， AD为⊙O的直径，AD=6cm ，∠DAC=∠ABC，，则 AC的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】【解答】解：连接 ，
是 的直径，，
， ，
，，，
又 ，，，.
故答案为：C.
【分析】连接CD，由圆周角定理得∠ACD=90°，∠ABC=∠ADC，结合已知条件得∠DAC=∠ADC，推出 ， 得到AC=CD，由勾股定理可得AC2+CD2=AD2 ， 据此求解.
4.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦 AB长为6米 ⊙O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 AB所在直线的距离是（ ）
A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米
5.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB ， 则∠BAC＝（ ）
A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°
【答案】 C
【解析】【解答】解：连接 ，
，为等边三角形，，
，
，
故答案为：C．
【分析】先求出为等边三角形，再求出∠BOC=120°，最后计算求解即可。
6.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ， 则下列说法不一定正确的是（ ）
A. ∠ABC+∠ADC=180° B. ∠DCE=∠BAD C. 2∠BAD=∠BOD D. ∠BCA=∠DCA
【答案】 D
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ABC+∠ADC=180° ，故A不符合题意；
B、∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，故B不符合题意；
C、∵弧BD=弧BD，
∴∠BOD=2∠BAD，故C不符合题意；
D、当点A为弧BAD的中点时，∠BCA=∠DCA，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可对A，B作出判断；利用圆周角定理，可对C作出判断；当点A为弧BAD的中点时，∠BCA=∠DCA，可对D作出判断.
7.如图，⊙O与正五边形 ABCDE的两边AE,CD 相切于A,C 两点，则∠AOC 的度数是（ ）
A. 144° B.130° C. 129° D. 108°
【答案】 A
【解析】【解答】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°利用正五边形的性质求出∠E=∠C=108°，由五边形内角和等于540°即可求出∠AOC的度数.
8.如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】【解答】解：当动点P在在OC上运动时，∠APB逐渐减小，当点P在上运动时，∠APB不变，当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大.
故答案为：C.
【分析】分三段分别分析∠APB的变化趋势，得出当动点P在在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当点P在上运动时，根据圆周角的定义得出∠APB不变，当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大；分别对照函数图象，即可作答.
二、填空题（共8小题，共24分）
9.如图，已知扇形的圆心角为 15O°，半径为1，那么该扇形的弧长为 ． （结果保留 ）
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得，该扇形的弧长为： ． 故答案为： ．
【分析】利用弧长公式代入计算即可。
如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2米，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O于点E，EF＝3米，则⊙O直径的长是 米.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，
∴EF⊥CD，
∴CF＝FD，
∵CD＝2，
∴CF＝1，
设OC＝x，则OF＝3﹣x，
在Rt△COF中，根据勾股定理，得12+（3﹣x）2＝x2.
解得 x＝ ，∴⊙O的直径为 米，
故答案为： .
【分析】连接OC，由垂径定理可得EF⊥CD，CF=FD，设OC＝x，在Rt△COF中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且 ，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 .
【答案】 30
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
∵ ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∴∠CAD= ∠COD=30°，
故答案为：30°.
【分析】连接OC，OD，根据 可求出∠COD，然后根据圆周角定理得出答案.
12.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED= ．
【答案】 45
【解析】【解答】∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
【分析】根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出∠AED的度数，同理可求出∠BEA的度数，再根据∠BED=∠BEA+∠AED求出即可。
13.一条弦分圆为7：5两部分，这条弦所对的圆周角的度数 ．
【答案】 75°或105°
【解析】【解答】解：如图所示，
弦 把 分成 的两部分，，
∴ ，∴ ，
∴弦 所对的圆周角为75°或105°.
故答案为：75°或105°.
【分析】画出示意图，易得∠AOB=150°，根据圆周角定理求出∠AMB的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ANB的度数，据此解答.
14.如图，AC是⊙O的弦，AC＝4，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值为 .
【答案】 2
【解析】【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN＝ AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，
∴∠ACB′＝90°.∵∠ABC＝45°，AC＝4，∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝ ＝ ＝4 ，∴MN最大＝2 .
故答案为：2 .
【分析】根据点M，N分别是BC，AC的中点，确定MN是△ABC的中位线，所以MN＝ AB，所以，当AB最大时，MN就最大.而弦AB最大就是直径.当AB是直径时，可得∠ACB=90°.因为∠ABC＝45°，AC＝4，所以可得直径AB=4 ，所以MN最大＝2 .
如图，将△ABC绕点C顺时针旋转 120°得到 .已知AC=3，BC=2 ，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图：由旋转可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S扇形ACA′= = ，S扇形BCB′= = ，
则线段AB扫过的图形的面积为 = ，
故答案为：
【分析】由旋转的性质和扇形的面积S扇形ACA =并结合阴影部分的面积的构成线段AB扫过的图形的面积=S扇形ACA -S扇形BCB 可求解.
如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0,2） ．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为 时，圆心的横坐标是 .
【答案】
【解析】【解答】如图，圆心在 ，可得r=2
∴OA= ，AB=2r=4，BC= ， = =
∴一个周期圆心经过的路径长为OA+ +BC=4 ，
∴C（4+2 ，0），
故当圆心经过的路径长为 时，
÷4 =505…1
∴圆心的横坐标是505×（4+2 ）+ =
故答案为：
【分析】根据题意，计算得到一个周期圆心经过的路径长，求出横坐标即可。
三、解答题（共9小题，共72分）
17.（7分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C ，交⊙O于点D ， 连接OA ．若AB＝4，
CD＝1，求⊙O直径的长．
【答案】 解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，
∵OD⊥AB，AB＝4，
∴AC＝ AB＝2，
在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2 ，
∴r2＝22+（r﹣1）2 ，
r＝ ，∴⊙O直径为5
答：⊙O直径的长为 ．
【解析】【分析】 设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1， 根据垂径定理可得AC＝ AB＝2， 在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2， 可得r2＝22+（r﹣1）2， 求出r即可求出直径的长.
18.（7分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是 的中点．求∠ABD的度数．
【答案】 解：∠AOB＝96°，
∴∠ACB＝48°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°， ，
又∵点D是 的中点，
∴ ，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°．
【解析】【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝∠ACB=48°，由∠CAB=60°，可得， 利用三角形内角和定理求出∠ABC=72°， ， 由点D是 的中点，可得 ，利用圆周角定理得出∠CBD＝30°， 利用∠ABD＝∠ABC+∠CBD 即可求出结论.
19.（7分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm ， CB＝20cm ， 以CA为半径的⊙C交AB于D ， 求AD的长．
【答案】 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB＝ ＝ ＝25．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，
∵S△ABC＝ AC BC＝ AB CM，且AC＝15，BC＝20，AB＝25，
∴CM＝ ＝12，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2＋CM2 ， 即225＝AM2＋144，
解得：AM＝9，
∴AD＝2AM＝18．
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．
20.（7分）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，若 = ，∠E＝70°，求∠ABC的度数.
【答案】 解：连接DB.
∵∠E＝70°，∴∠A＝70°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵ = ，∴∠DBC＝∠DBA＝20°，
∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°.
【分析】连接DB由同弧所对的圆周角相等，得∠A＝∠E＝70°，由AB是⊙O的直径，
得∠ADB＝90°，所以∠ABD＝90°﹣∠A＝20°，再由等弧所对的圆周角相等，
得∠DBC＝∠DBA＝20°，进而求出∠ABC的度数.
21.（8分）如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=2 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
【答案】 解：（1）如图，连接OA；∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°﹣30°=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（2）如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM= ，
∵tan30°= ， sin30°= ，
∴OM=1，OA=2；
∴ ，
，
∴图中阴影部分的面积=．
【分析】（1）如图，连接OA,证明∠OAP=90°，即可解决问题。
（2）如图，作辅助线，求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题。
22.（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．
（1）若AB=4，求 的长；（2）若 = ，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．
【答案】 解：（1）连接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，
∵AB=4，∴OC= AB=2，
∴ 的长= ×π×2=π；
（2）∵ = ，
∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
【分析】（1）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（2）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．
23.（8分）如图， ⊙O是 △ABC的外接圆，AE切 ⊙O于点 A， AE与直径 BD的延长线相交于点 E．
（1）如图①，若∠C=71°，求 ∠E的大小；
（2）如图②，当 AE=AB，DE=2时，求∠E 的大小和 ⊙O的半径．
【答案】 解：（1）连接 ．
∵ 切 于点 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）连接 ，设 ．
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，∴ ．
在 中， ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 的半径为2．
【分析】（1）先求出 ，再求出∠AOB=142°，最后求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
24.（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
【解答】解：（1）如图，∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，
∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD＝120°，连接OA，∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；
（2）连接OA，∵∠AEC＝30°，
∴∠AOC＝60°，∵BC⊥AE于M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°，
在Rt△AOM中，AM＝4×＝2，∴AE＝2AM＝4．
【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，再求出AM,最后用垂径定理即可得出结论。
25.（12分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D是 上一个动点，作射线BD，连结CD交AB于点F，
（1）求证：∠ADE=∠ADC；
（2）当∠BAC=30°，BC=2时，
①求⊙O的半径长；②当△BCF是以BC为腰的等腰三角形时，求 的长；
（3）当 时，设⊙O的半径为r，则AD= ． （用含r的代数式表示）
【答案】 （1）证明：∵四边形ACBD内接于⊙O， ∴∠ADE=∠ACB．
∵∠ADC与∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠ADC=∠ABC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ADE=∠ADC．
（2）解：①如图，连结OB，OC， ∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°．
又∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，即⊙O的半径长为2．
②若△BCF是以BC为腰的等腰三角形，则CF=BC，或BF=BC．
当CF=BC时， ，
易得∠BCF=30°，
∴∠ACD=45°，
∴ =90°，
∴ ；
当BF=BC时，∠ABC=75°，
∴∠BCF=∠BFC= =52.5°，
∴∠ACD=∠ACB－∠BCF=75°－52.5°=22.5°，
∴ =45°，
．
综上， 的长为π或 ．
（3）

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