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圆锥曲线的方程与性质
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1．[2021·山东济南十一校联考]“2＜m＜6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．[2021·辽宁朝阳二模]过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝，则弦AB的长为(　　)
A． B. 4 C. D.
3．[2021·山东济南一模]已知双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为x±y＝0，则m＝(　　)
A. B. －1 C. D．2
4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(3，y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则y0等于(　　)
A．±6 B．±6 C．±12 D．±12
5．[2021·河北唐山模拟]已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为 (　　)
A．3 B．6 C．9 D．18
6．已知F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin ∠PF2F1＝3sin ∠PF1F2，则椭圆E的离心率为(　　)
A． B． C． D．
7. [2021·福建龙岩模拟]已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|＝4，则∠FQP＝(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．[2021·河北唐山二模]已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，B为渐近线上一点，O为坐标原点．若四边形OFAB为菱形，则双曲线C的离心率e＝(　　)
A．2 B. 3 C. D. ＋1
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)
9．[2021·山东潍坊一模]已知双曲线C：－＝1(a＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y＝x，P为C上一点，则以下说法正确的是(　　)
A．C的实轴长为8 B．C的离心率为
C．|PF1|－|PF2|＝8 D．C的焦距为10
10．[2021·山东滨州一模]已知椭圆M：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是(　　)
A．|PF1|＋|PF2|＝5
B．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－
C．存在点P满足∠F1PF2＝90°
D．若△F1PF2的面积为4，则点P的横坐标为±
11．[2021·山东烟台一模]已知双曲线C：－＝1(m∈R)的一条渐近线方程为4x－3y＝0，则(　　)
A．(，0)为C得一个焦点
B．双曲线C的离心率为
C．过点(5，0)作直线与C交于A，B两点，则满足|AB|＝15的直线有且只有两条
D．设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为
12．[2021·河北衡水五校联考]已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　)
A．点F的坐标为
B．若直线MN过点F，则x1x2＝－
C．若＝λ，则|MN|的最小值为
D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2021·河北衡水五校联考]已知双曲线C的离心率为，写出双曲线C的一个标准方程____________．
14．[2021·河北张家口一模]若P(4，1)为抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，抛物线C的焦点为F，则|PF|＝________．
15．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且SΔPF2Q＝a2，|PF2|＋|F2Q|＝4，则椭圆E的短轴长为________．
16．[2021·河北石家庄一模]已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程__________________，此时该弦中点到y轴的距离为________．
1．解析：若方程＋＝1为椭圆方程，
则，解得：2＜m＜6，且m≠4，
故“2＜m＜6”是“方程＋＝1为椭圆方程”的必要不充分条件，
故选B.
答案：B
2．解析：由抛物线方程可得：p＝2，则弦AB的长为x1＋x2＋p＝＋2＝.
故选C.
答案：C
3．解析：由渐近线y＝±x＝±x，所以＝，则＝，即＝，m＝.
故选A.
答案：A
4．解析：由题意，抛物线y2＝2px上的点A（3，y0）到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，
可得3＋＝9，解得p＝12，所以y2＝24x，
又由点A（3，y0）在抛物线y2＝24x上，代入得y＝72，解得y0＝±6.
故选A.
答案：A
5．解析：双曲线C：x2－＝1中，F1（－3，0），F2（3，0），渐近线方程：y＝±2x，
因|OP|＝|PF2|，则点P在线段OF2的中垂线：x＝上，则P点纵坐标y0有|y0|＝3，
所以△PF1F2面积S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝9.
故选C.
答案：C
6．解析：F1，F2分别为椭圆E：＋＝1（a>b>0）的两个焦点，
P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin ∠PF2F1＝3sin ∠PF1F2，由正弦定理可得|PF1|＝3|PF2|，
令|PF1|＝3|PF2|＝3n，则3n＋n＝2a，9n2＋n2＝4c2，可得a2＝4c2，
所以椭圆的离心率为：e＝＝＝.
故选B.
答案：B
7．解析：设P（x0，y0），则|PQ|＝y0＋1，
由抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|，即y0＋1＝4，则y0＝3，
又x＝4y0，则x＝12，不妨令P位于第一象限，则x0＝2，即P（2，3），因此Q（2，－1），
所以|QF|＝＝4，所以|PQ|＝|PF|＝|QF|，因此△FQP为等边三角形，所以∠FQP＝60°.
故选C.
答案：C
8．解析：由题意，双曲线C：－＝1（a>0，b>0）的焦点F（c，0），且渐近线方程y＝x，
因为四边形OFAB为菱形，如图所示，
设B（x，x），因为|OB|＝＝c，解得x＝－a，可得B（－a，b），
设A（x1，b），代入双曲线的方程－＝1，可得x1＝a，即A（a，b），
又由kOB＝kFA，可得＝－，可得a－c＝－a，
所以双曲线的离心率为e＝＝＋1.
故选D.
答案：D
9．解析：首先可判断出a＝4，b＝3，所以实轴长为8，A正确；根据a＝4，b＝3，得c＝5，故e＝，B错误；由于不知道点P在双曲线的左支还是右支，故|PF1|－|PF2|＝8或－8，故C错误；根据c＝5，得焦距为10，故D正确．
故选AD.
答案：AD
10．解析：由椭圆方程可得：a＝5，c＝，
则F1（－，0），F2（，0），A1（－5，0），A2（5，0），
由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，故A错误；
设点P的坐标为（m，n），则＋＝1，即n2＝20＝，
则kPA1＝，kPA2＝，
所以kPA1·kPA2＝＝＝－，故B正确；
PF1＝（－－m，－n），PF2＝（－m，-n），
若∠F1PF2＝90°，则PF1·PF2＝m2－5＋n2＝0，
又n2＝（25－m2），联立可得：m2＋15＝0，方程无解，故C错误；
三角形PF1F2的面积为S＝|F1F2||yP|＝×2×|yP|＝4，
解得yP＝±4，代入椭圆方程可得xP＝±，故D正确，
故选BD.
答案：BD
11．解析：因为其中一条渐近线为4x－3y＝0，∴＝，∴＝＝，∴m＝9，故a＝3，b＝4，c＝5，焦点为（±5，0），A错误；e＝＝，B正确；过焦点（5，0）的直线与双曲线C有两个交点时，
①若交点位于双曲线的两支，弦长最短为实轴长2a＝6，∵15＞6，能做2条；
②若交点位于同支，弦长最短为通径＝＜15，又能作2条，所以共可以有4条，C错误．
设A（x1，y1），B（－x1，－y1），C（x0，y0），kMA×kMB＝×＝，又－＝1，∴y＝x－16，
同理，y＝x－16，∴kMA×kMB＝＝，D正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：
抛物线x2＝y的焦点为F，所以A不正确；
根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2＝－，所以B正确；
若＝λ，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为2p＝，所以C正确；
抛物线x2＝y的焦点为F，准线方程为y＝－，
过点M、N、P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′
则|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，
所以|PP′|＝＝，
所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，所以D正确．
故选BCD.
答案：BCD
13．解析：双曲线C的离心率为，不妨设a＝1，则c＝，此时b＝2，所以所求的双曲线方程为：x2－＝1.
答案：x2－＝1（答案不唯一）
14．解析：
由P（4，1）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，
得42＝2p×1，可得p＝8，
由抛物线的性质：到焦点的距离等于到直线的距离，
准线方程为：y＝－，则|PF|＝1＋＝5.
答案：5
15．解析：
连接PF1，QF1，根据椭圆的对称性可知F1PF2Q为矩形，
由|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，得a＝2，
由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，结合|PF1|＋|PF2|＝2a，
求得2|PF1||PF2|＝4（a2－c2）＝4b2＝4S△PF2Q＝4×a2＝8，
∴b＝，
∴椭圆的短轴长为2b＝2，
故答案为2.
答案：2
16．解析：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，
设直线方程为y＝k，代入y2＝2px（p＞0），
得k2x2－（k2p＋2p）x＋＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1＋x2＝p＋，
∵弦长为2，∴由抛物线定义知，x1＋x2＋p＝2，
则p＋＋p＝2，即2p＋＝2，
令k2＝1，得p＝，∴抛物线y2＝x满足条件；
设弦的中点为M，
∵x1＋x2＝p＋＝，∴＝xM＝，
即此时该弦中点到y轴的距离为.
答案：y2＝x（满足0

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