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5.1.2导数的概念及其几何意义
要点一　导数的概念
1．平均变化率：对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，则把＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．导数：如果Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|　，即f′(x0)＝ ＝ .
【重点小结】
(1)当Δx≠0时，比值的极限存在，则f(x)在x＝x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在x＝x0处不可导或无导数．
(2)在x＝x0处的导数的定义可变形为
f ′(x0)＝ 或f ′(x0)＝ .
要点二　导数的几何意义
对于曲线y＝f(x)上的点P0(x0，f(x0))和P(x，f(x))，当 点P0趋近于点P时，割线P0P趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为点P0处的切线．割线P0P的斜率是k＝．当点P无限趋近于点P0时，k无限趋近于切线P0T的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线P0T的斜率k，即k＝li
【重点总结】
(1)曲线的切线与割线
①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线．
②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想．
(2)曲线的切线与导数
①函数f(x)在x＝x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．
②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
要点三　导函数
对于 函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝
【重点总结】
函数在某点处的导数与导函数的区别
(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．
(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．(　　)
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　)
(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．(　　)
(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.(　　)
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√
2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝(　　)
A．0 B．－3x
C．3 D．－3
【答案】D
【解析】k＝ ＝－3.
3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为(　　)
A．(0，－2) B．(1,0)
C．(0,0) D．(1,1)
【答案】B
【解析】设点M(x0，y0)，
∴k＝ ＝2x0＋1，
令2x0＋1＝3，
∴x0＝1，则y0＝0.故选B.
4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
【答案】2
【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，
∴f(5)＝－5＋8＝3.
且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.
题型一　求函数在某点处的导数
【例1】(1)已知函数f(x)＝2x2＋4x，则f′(3)＝________.
【答案】(1)16
【解析】(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴f′(3)＝li (2Δx＋16)＝16.
(2)已知函数f(x)＝2x2＋4x，若f′(x0)＝12，则x0＝________.
【答案】(2)2
【解析】(2)根据导数的定义
f′(x0)＝li ＝li
＝li
＝li ＝li (4x0＋2Δx＋4)＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得x0＝2.
【方法归纳】
用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤
(1)作差Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)作比＝.
(3)取极限f′(x0)＝li .
简记为一差、二比、三极限．
【跟踪训练1】已知函数f(x)＝x＋，则f′(1)＝________.
【答案】0　
【解析】f′(1)＝
＝ ＝
＝ ＝0
题型二　求曲线的切线方程
【例2】已知曲线y＝x3，求曲线在点P(3,9)处的切线方程．
【解析】由y＝x3，
得y′＝li ＝li
＝li ＝li[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在P(3,9)处的切线的斜率等于9.
由直线的点斜式方程可得，
所求切线方程为y－9＝9(x－3)，
即9x－y－18＝0.
【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M(1,0)的切线方程．
【解析】设切点坐标为，由例2知切线方程为：y－x＝x(x－x0) ∵切线过点(1,0)，
∴－x＝x(1－x0)即x－x＝0，解得x0＝0或x0＝.
∴切点坐标为(0,0)或，∴切线方程为：y＝0或y－＝. 即y＝0或9x－4y－9＝0.
设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点．
【方法归纳】
1．求曲线上某点切线方程的三个步骤
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤
(1)设切点为Q(x0，y0)．
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)．
(3)利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)．
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
【跟踪训练2】已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)试问(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．
【解析】将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，所以切点为(1,1)．
＝＝＝3＋3Δx＋(Δx)2，
当Δx趋近于0时，趋近于3，所以y′|x＝1＝3.
故所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)由可得(x－1)2(x＋2)＝0，解得x1＝1，x2＝－2.
从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．
故(1)中的切线与曲线C的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)．
题型三　导数几何意义的应用
探究1　求切点坐标
【例3】已知曲线y＝x2＋6的切线分别符合下列条件，求切点．
(1)平行于直线y＝4x－3；
(2)垂直于直线2x－y＋5＝0.
【解析】设切点坐标为(x0，y0)．
f′(x)＝li
＝li
＝li (2x＋Δx)＝2x.
∴过(x0，y0)的切线的斜率为2x0.
(1)∵切线与直线y＝4x－3平行，∴2x0＝4，x0＝2，
y0＝x＋6＝10，
即过曲线y＝x2＋6上点(2,10)的切线与直线y＝4x－3平行．
(2)∵切线与直线2x－y＋5＝0垂直，
∴2x0×2＝－1，得x0＝－，y0＝，
即过曲线y＝x2＋6上点的切线与直线2x－y＋5＝0垂直．
【方法归纳】
求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．
探究2　与曲线的切点相关的问题
【例4】已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形面积．
【解析】(1)y′＝
＝ ＝ (2x＋Δx＋1)＝2x＋1.
所以y′|x＝1＝2×1＋1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，
则有2b＋1＝－，b＝－，B，
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为.
l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，.
所以所求三角形的面积S＝××＝.
(1)先由已知求出l1的斜率，再由l1⊥l2，求出l2的斜率，进而求出切点坐标，得出l2的方程．
(2)求出l1与l2的交点坐标，l1，l2与x轴的交点，求出直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积．
【方法归纳】
利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．
【跟踪训练3】(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)＝f′(xB)
C．f′(xA)D．f′(xA)与f′(xB)大小不能确定
【答案】A　
【解析】由y＝f(x)的图象可知，kA>kB，根据导数的几何意义有f′(xA)>f′(xB)．故选A.
(2)曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.
【答案】(2)±1
【解析】(2)因为f′(a)＝li ＝3a2，
所以曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．
令y＝0，得切线与x轴的交点为，
由题意知三角形面积为·|a3|＝×·|a3|＝a4＝.∴a4＝1，即a＝±1.
【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错
【例5】已知抛物线y＝x2＋x＋1，则过抛物线原点的切线方程为________．
【答案】3x－y＝0或x＋y＝0
【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则
f′(x0)＝
＝ (2x0＋1＋Δx)＝2x0＋1，所以斜率k＝2x0＋1，
故所求的切线方程为y－y0＝(2x0＋1)(x－x0)，
将(0,0)及y0＝x＋x0＋1代入上式得：－(x＋x0＋1)＝－x0(2x0＋1)， 解得x0＝1或x0＝－1，
所以k＝3或k＝－1，
所以切线方程为y＝3x或y＝－x，
即3x－y＝0或x＋y＝0.
【易错警示】
1.出错原因
把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程.
2.纠错心得
(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线．
(2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x0，y0).
一、单选题
1．设在处可导，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据导数的定义即可求解.
【解析】
解：∵在处可导，
∴，
故选：C.
2．函数在处的导数可表示为，即（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
结合导数定义直接选择即可.
【解析】
是的另一种记法，根据导数的定义可知C正确．
故选：C
3．若函数在处可导，则的结果（ ）．
A．与，h均无关 B．仅与有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与无关 D．与，h均有关
【答案】B
【分析】
根据导数的定义即可求解.
【解析】
解：因为，
所以结果仅与有关，而与h无关，
故选：B.
4．设为可导函数，且满足，则为（ ）
A．1 B．
C．2 D．
【答案】B
【分析】
利用导数的定义进行求解.
【解析】
因为，
所以，
即
所以.
故选：B.
5．已知函数f(x)可导，且满足，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【答案】B
【分析】
根据导数的定义即可得到答案.
【解析】
由题意，，所以.
故选：B.
6．已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
结合图象，判断出的大小关系.
【解析】
由题图可知函数的图像在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数，所以.
的斜率为，其比在处的切线的斜率小，但比在处的切线的斜率大，所以.
故选:B
7．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【分析】
根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解.
【解析】
因为，所以，
所以.
故选：D
8．下列说法正确的是（ ）
A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，但不一定存在
【答案】D
【分析】
根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可.
【解析】
对于A，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A错误；
对于B，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B错误；
对于C，不存在，曲线在点处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C错误；
对于D，曲线在点处有切线，但切线斜率可能不存在，所以不一定存在，故D正确.
故选：D
二、多选题
9．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.
【解析】
由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，
即.
故选：AB
10．(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（ ）
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
【答案】AD
【分析】
由导数的定义进行判定.
【解析】
由导数的定义，得：，
即函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关.
故选:AD.
11．甲 乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量（单位：），（单位：）与时间（单位：）的关系如图所示，则一定有（ ）
A．甲校比乙校节能效果好
B．甲校的用电量在上的平均变化率比乙校的用电量在上的平均变化率小
C．两学校节能效果一样好
D．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大
【答案】AB
【分析】
根据切线斜率的实际意义判断AC选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D选项的正确性.
【解析】
由图可知，对任意的，曲线在处的切线斜率的绝对值比曲线在处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A正确，C错误；
由图可知，，则甲校的用电量在上的平均变化率比乙校的用电量在上的平均变化率小，B正确；
由于曲线和曲线不重合，故D错误.
故选：AB.
12．（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答.
【解析】
对于A，，A满足；
对于B，，B不满足；
对于C，，C满足；
对于D，，D不满足.
故选：AC
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．某生物种群的数量Q与时间t的关系近似地符合.
给出下列四个结论：
①该生物种群的数量不会超过10；
②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；
③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；
④该生物种群数量的增长速度最大的时间.
根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②④
【分析】
对解析式上下同时除以，结合反比例函数模型可判断①正确；
对求导，即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确
【解析】
，因为，故，，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；
由，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为为对勾函数模型，故，当且仅当时取到等号，故整体先增加后减小，当时，最大，故②④正确，
综上所述，①②④正确，
故答案为：①②④
14．若，则________.
【答案】
【分析】
利用导数的定义进行求解.
【解析】
.
故答案为.
15．已知函数f(x)＝，则＝________.
【答案】
【分析】
根据导数的定义即可得到答案.
【解析】
.
故答案为：.
16．函数在上可导，且，，若函数成立，则________．
【答案】1
【分析】
令，则有，再根据条件即可求出答案．
【解析】
解：令，则有，
，
不恒为0，
，
故答案为：1．
四、解答题
17．已知，利用，求的近似值.
【答案】1.06
【分析】
将代入中计算即可得到答案.
【解析】
由，
可知.
18．已知某产品的总成本函数为，总成本函数在处导数称为在处的边际成本，用表示.求边际成本并说明它的实际意义.
【答案】，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.
【分析】
利用导数的定义计算即可.
【解析】
设时，产量的改变量为，
，
则，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.
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