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5.2.1基本初等函数的导数
要点一　几个常用函数的导数
函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝x3 f′(x)＝
f(x)＝ f′(x)＝
f(x)＝ f′(x)＝
要点二　基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝
f(x)＝sin x f′(x)＝cosx
f(x)＝cos x f′(x)＝-sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ex f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
【重点小结】
(1)几个基本初等函数导数公式的特点
①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．
②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数．
③对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．
(2)函数与其导函数奇偶性的关系
①常数的导数是0.
②奇函数的导函数为偶函数．
③偶函数的导函数为奇函数．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)′＝.(　　)
(2)(log3x)′＝.(　　)
(3)′＝cos.(　　)
(4)若y＝e3，则y′＝e3.(　　)
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×
2．(多选题)下列导数运算正确的是(　　)
A．(ln x)′＝x B．(ax)′＝xax－1
C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－5x－6
【答案】CD
【解析】由导数公式得C、D正确．
3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x－y－2＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－2＝0
【答案】C
【解析】y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A(0,1)，故切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________.
【答案】1
【解析】f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1.
题型一　利用导数公式求函数的导数
【例1】求下列函数的导数：
(1)y＝x－3；
(2)y＝3x；
(3)y＝ ；
(4)y＝log5x；
(5)y＝cos；
(6)y＝sin ；
(7)y＝ln x；
(8)y＝ex.
【解析】(1)y′＝－3x－4；(2)y′＝3xln 3；
(3)y＝＝＝＝x，∴y′＝x；
(4)y′＝；(5)y＝sin x，y′＝cos x；
(6)y′＝0；(7)y′＝；(8)y′＝ex.
不能用基本初等函数公式直接求导的，应先化为基本初等函数再求导．
【方法归纳】
求简单函数的导数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
【跟踪训练1】求下列函数的导数：
(1)y＝lg x；
(2)y＝x；
(3)y＝x；
(4)y＝2－1.
【解析】(1)y′＝(lg x)′＝.
(2)y′＝′＝xln＝－xln 2.
(3)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝；
(4)∵y＝2－1
＝sin2＋2sincos＋cos2－1
＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
题型二　利用导数公式求曲线的切线方程
【例2】已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
【解析】∵y＝ln x，∴y′＝，∴y′|x＝e＝，即切线斜率为.
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
【变式探究】本例中的曲线不变，求过点(0,0)的切线方程．
【解析】因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点Q(a，b)．
则切线斜率k＝y′|x＝a＝，
又k＝＝，且b＝ln a
∴a＝e，b＝1，∴切线方程为x－ey＝0.
【方法归纳】
(1)求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的；
(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
【跟踪训练2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ垂直的曲线y＝x2的切线方程．
【解析】∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|＝2x0，
又∵直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线垂直于直线PQ，
∴2x0＝－1，即x0＝－，所以切点为M.
∴所求的切线方程为y－＝－，
即4x＋4y＋1＝0.
易错辨析　混淆幂函数与指数函数求导公式致错
【例3】曲线f(x)＝2x在点(0,1)处的切线方程为________．
【答案】y＝xln 2＋1
【解析】∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln 2，∴f′(0)＝ln 2
故所求切线方程为y－1＝(x－0)ln 2
即y＝xln 2＋1.
【易错警示】
1.出错原因
记错导数公式(ax)′＝axln a，与幂函数y＝xα的求导公式混淆.
2.纠错心得
利用导数公式求导时，应先弄清是指数函数，还是幂函数.
一、单选题
1．若函数（其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值.
【解析】
根据题意，
在R上单调递增 在R上恒成立
令，，则 可写为
根据题意在上的最小值非负
解得 ，所以选项B正确
故选：B.
2．已知函数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先对函数求导，然后求出即可
【解析】
由，得，
所以，
故选：D
3．已知函数（是自然对数的底数），则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数的运算可得出关于的方程，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.
【解析】
因为，则，
所以，，所以，，故，
因此，.
故选：C.
4．函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数求导即可.
【解析】
因为，
所以.
故选：D.
5．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；
【解析】
解：.
故选：C.
6．函数在和处的导数的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】A
【分析】
求出函数导数即可比较.
【解析】
，，所以，即.
故选：A.
7．给出下列命题：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用求导公式和法则逐个分析判断即可
【解析】
①中为常数函数，故，故①错误；
对于②，∵，∴，故②正确；
显然③④正确.
故选：C.
8．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用求导公式和法则逐个分析判断即可
【解析】
因为，，，，
所以选项A，B，C均不正确，选项D正确，
故选：D.
二、多选题
9．（多选）以下运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
利用基本初等函数的导数公式，依次计算判断即可
【解析】
对于A，因为，所以A不正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C正确；
对于D，因为，所以D不正确.
故选：BC.
10．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解.
【解析】
，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选：ACD
11．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】
直接根据导数的运算公式计算即可.
【解析】
对于A，，故错误；
对于B，，故错误；
对于C，，故正确；
对于D，，故正确．
故选：CD.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算__________．
【答案】
【分析】
对已知函数两次求导数，由题意可得函数关于点，对称，即，从而即可得答案．
【解析】
解：由题意，，，
由，得，解得，而，
所以函数关于点，对称，
所以，
.
故答案为：.
13．已知函数，则的值为______．
【答案】
【分析】
先对函数求导，然后令代入导函数中求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求出的值
【解析】
由，得，
令，则，解得，
所以，
所以，
故答案为：
14．已知，，若，则________.
【答案】##
【分析】
对与求导后代入题干中的条件，列出方程，求出x的值.
【解析】
函数的导数公式可知，，
由得，即，解得.
故答案为：
四、解答题
15．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
（3）；
（4）；
（5）y＝.
（6）；
（7）；
（8）；
（9）y＝.
（10）
（11）
（12）.
【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
【分析】
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）直接利用导数的运算法则及基本初等函数的求导公式分别对函数求导即可得出答案.
（1）
解：因为，所以；
（2）
解：因为，
所以；
（3）
解：因为，
所以；
（4）
解：因为，
所以；
（5）
解：因为，
所以；
（6）
解：因为，
所以；
（7）
解：因为，
所以；
（8）
解：因为，
所以；
（9）
解：因为，
所以
＝＝；
（10）
解：因为，
所以；
（11）
解：因为，
所以；
（12）
解：因为，
所以.
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