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5.3.2.3函数极值与最值的综合应用
题型一　利用导数证明不等式
【例1】设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
【解析】(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 2(1－ln 2＋a) ?
故f(x)单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)．
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0)．
又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
【方法归纳】
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．
【跟踪训练1】已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在(0,1)处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2【解析】(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.
因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，
所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
当x当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，
故g(x)在R上单调递增．
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，即x2题型二　导数与函数的零点问题
探究1　确定函数的零点个数
【例2】已知函数f(x)＝ln x－x＋2sin x，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)求证：f′(x)在(0，π)上存在唯一零点；
(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点．
【证明】(1)设g(x)＝f′(x)＝－1＋2cos x，
当x∈(0，π)时，g′(x)＝－2sin x－<0，所以g(x)在(0，π)上单调递减，
又因为g＝－1＋1>0，g＝－1<0，
所以g(x)在上有唯一的零点α，所以命题得证．
(2)①由(1)知：当x∈(0，α)时，f′(x)>0，f(x)在(0，α)上单调递增，
当x∈(α，π)时，f′(x)<0，f(x)在(α，π)上单调递减；
所以f(x)在(0，π)上存在唯一的极大值点α，
所以f(α)>f＝ln－＋2>2－>0，
又因为f＝－2－＋2sin<－2－＋2<0，
所以f(x)在(0，α)上恰有一个零点．
又因为f(π)＝ln π－π<2－π<0，
所以f(x)在(α，π)上也恰有一个零点．
②当x∈[π，2π)时，sin x≤0，f(x)≤ln x－x，
设h(x)＝ln x－x，h′(x)＝－1<0，
所以h(x)在[π，2π)上单调递减，所以h(x)≤h(π)<0，
所以当x∈[π，2π)时，f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立，
所以f(x)在[π，2π)上没有零点．
③当x∈[2π，＋∞)时，f(x)≤ln x－x＋2，
设φ(x)＝ln x－x＋2，φ′(x)＝－1<0，
所以φ(x)在[2π，＋∞)上单调递减，所以φ(x)≤φ(2π)<0，
所以当x∈[2π，＋∞)时，f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立，
所以f(x)在[2π，＋∞)上没有零点．
综上，f(x)有且仅有两个零点．
【方法归纳】
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点的个数．
探究2　根据函数的零点个数求参数范围
【例3】若函数f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解析】由f(x)＝0可得＝，
令k(x)＝(x∈(0，＋∞))，
则函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，即直线y＝与函数k(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，k′(x)＝＝，令k′(x)＝0得x＝2，
当x∈(0,2)时，k′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，k′(x)<0，所以k(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值为k(2)＝，
因为k(0)＝0，并且当x>2时，>0，
所以当0<<时，k(x)在(0，＋∞)上的图象与直线y＝有两个不同的交点，
即当a>时，函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点．
所以，若函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.
【方法归纳】
已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
【跟踪训练2】若函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，求实数m的取值范围．
【解析】g(x)＝ex(x－2)－m，函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，
相当于曲线u(x)＝ex·(x－2)与直线y＝m有两个交点．u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，
所以u(x)在(－∞，1)上单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0
所以u(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e，又x→＋∞时，u(x)→＋∞；x<2时，u(x)<0，所以－e题型三　导数在解决实际问题中的应用
【例4】某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(2＋)x万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成关于x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小？
【解析】(1)设需要新建n个增压站，且(n＋1)x＝720，即n＝－1，
则y关于x的函数关系式为
y＝f(x)＝108n＋(n＋1)(2＋)x
＝108×＋(2＋)x
＝＋720＋1332；
(2)由(1)知，f(x)＝＋720＋1332，
f′(x)＝－＋，
令f′(x)＝0，得x＝216，解得x＝36，
当0当360，f(x)在区间(36,720)内为增函数，
所以f(x)在x＝36处取得最小值，
此时n＝－1＝19，即需要新建19个增压站才能使y最小．
【方法归纳】
利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
【跟踪训练3】某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)
(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大．
【解析】(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以当t＝2时，f(t)max＝4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3.
对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．
当00，即g(x)在[0,2)上单调递增；
当2所以当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝.
故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为百万元．
一、单选题
1．设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】
由题设知对任意，在上有恒成立，转化为一次函数在上恒成立求x的范围，进而确定的最大值.
【解析】
由题设，，则，
∴对任意，在上有恒成立，
令在上恒成立，
∴，可得，
∴，故的最大值为4.
故选：A
2．已知函数，若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数和绝对值的性质，结合一次函数的单调性画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【解析】
当时，单调递减，
当时，单调递增，且，
当时，函数单调递减，
所以函数的图象如下图所示：
因为设，
所以方程有三个互不相等的实数根，
由图象可知：，
因此有，
即，因此，
因为，
所以，满足，即，
因此
故选：B
【点睛】
关键点睛：利用导数判断函数的单调性，运用数形结合思想进行求解是解题的关键.
3．已知为R上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】A
【分析】
构造函数，讨论、或，利用导数判断函数的单调性，从而求出的最值，进而得出的零点个数.
【解析】
构造函数，其中，则，
当时，.
当时，，
此时，函数单调递减，则；
当时，，
此时，函数单调递增，则.
所以，当时，；
当时，.
综上所述，函数的零点个数为0.
故选：A.
4．设函数，定义在上的连续函数使得是奇函数，当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题设，应用导数可证在上递减，利用单调性解，即知：存在使，将问题转化为在上有解，再构造中间函数，利用导数研究单调性，并结合零点存在性定理求的取值范围.
【解析】
由题设，等价于，
∵当时，，即，
∴在上递减，又是奇函数，
∴在上递减，又连续，
∴在上递减，则，可得.
又的定义域为，且，即在定义域上递增，
∴题设条件为：存在使，即使，
∴在上有解，则在上有零点，
由，即递增，又，且时，
∴只需，即即可.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：首先由已知条件判断的单调性，进而确定的范围，并将问题转化为上有解求参数范围.
5．方程的实数根叫做函数的“新驻点”.如果函数的“新驻点”为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据定义，将问题转化为求且零点所在区间，利用导数研究单调性，结合零点存在性定理判断“新驻点”的取值范围.
【解析】
由题设，，则的根为的“新驻点”，
若且，即的零点为的“新驻点”，
∴，即单调递增，
，，根据零点存在性定理知：的零点在内，
∴的“新驻点”范围是，即的取值范围为.
故选：B
6．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】
由，构造函数，根据，求得，进而得到，利用导数法求解.
【解析】
因为，
所以，
则，
所以，即，
因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以，
当或时，，当时，，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
又当时，，
所以函数的零点个数为1，
故选：B
7．已知函数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
运用导数分析函数的单调性，明确了单调性，再根据条件即可得出答案.
【解析】
，当时，，
①当且时，，在上单调递增，所以，成立；
②当且时，，，令，解得；令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，故，故不合题意.
综上，又，所以的最大值为.
故选:.
8．已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令对函数求导可得到函数单调递减，再结合，和的奇偶性，通过分析得到当，，，，故不等式等价于或，求解即可.
【解析】
令，则，
故函数单调递减，定义域为，
（1），
时，；时，．
时，；时，．
当，时，，又（1）．
当，，又为奇函数，
当，．
不等式等价于或
解得或者
故答案为：D.
二、多选题
9．定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（ ）
A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B．函数的对称中心也是函数的一个对称中心
C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心
D．若函数，则
【答案】BCD
【分析】
根据题干中三次函数的对称中心的定义与性质判断A,C选项；求出的对称中心，可以验证此点是的一个对称中心，即可判断B；求出函数的对称中心，可得，进而求得进而判断出D.
【解析】
解：对于A.设三次函数，
易知是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A不正确；
对于B.由，得，由，得，函数的对称中心为，
又由，得，∴的对称中心是函数的一个对称中心，故B正确；
对于C.设三次函数，
所以
联立得，
即当时，存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心，故C正确.
对于D.∵，∴，
令，得，∵，
∴函数的对称中心是，∴，
设，所以所以，故D正确.
故选:BCD.
10．已知不相等的两个正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
将转化为，令，由都在上递增，将比较x，y的大小，转化为比较与的大小，由，令，利用导数法求解.
【解析】
可转化为，
令，
则都在上递增，且，
当时，，，，
当时，，，，
要比较x，y的大小，只需比较与的大小，
，
令，则，
则，
所以在上递减，又，
所以存在，有，
当时，当时，，
又，，，
所以当时，，当时，正负不定，
故当时，，所以，即；
当时，正负不定，所以与的正负不定，
均有可能；
所以均有可能，
故选：ACD
11．关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．对，恒成立
B．对，恒成立
C．函数的最小值为
D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为
【答案】ABD
【分析】
利用导数证明恒成立，判断A，A中不等式绝对值变形的转换可判断B，利用导数求出函数的最小值判断C，把不等式进行变形转化为不等式恒成立，然后求得的范围判断D．
【解析】
设，，
时，，递减，时，，递增，
所以，所以，即恒成立，A正确；
在中令，则，，，
再令得，B正确；
设，定义域为，
，
定义域内恒成立，令是增函数，，，
所以在即在上存在唯一零点，，，
时，，即，递减，时，，即，递增，
所以，C错；
不等式为，，
，所以，即，
令，则，时，，递减，时，，递增，，
因为，所以，
因此不等式恒成立，则恒成立，，即，
设，，
时，，递增，时，，递减，
所以，所以，即的最小值是，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的性质，研究不等式恒成立问题，解题关键是掌握导数与函数单调性的关系，深深需要不断求导才能确定函数的单调性与极值．这是问题的难点所在，解题过程中需要不断引进新函数，研究新函数的单调性、极值点、零点等性质，本题属于困难题．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．已知函数在处取得极值，且函数有三个零点，则实数的取值范围为___________
【答案】
【分析】
求导根据极值点得到，求导得到函数的单调区间，计算最值，画出函数图像，根据图像得到范围.
【解析】
容易知当时，递增，
当，
为极值点，，得，
此时，，
而当时，，当时，，
在上递增，在上递减，在上递增，，，
画图可知，使函数有三个零点，即函数与的图像有三个交点，
则实数满足，即.
故答案为：.
13．已知函数满足，且，分别是上的奇函数和偶函数，对不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】
对中，用代替，结合函数的奇偶性可以算出，，在带入不等式来解决.
【解析】
由题知，，用代替得到，又
，分别是上的奇函数和偶函数，于是，那么根据
，解得，由得
，即，显然又指数函数性质可知，约去后可得，记，于是在上递增，由，恒成立，只需要.
故答案为：
14．函数是定义在上的可导函数，为其导函数，，且，若恰有两个零点，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】
根据题意，构造方程，得到，根据，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
【解析】
由，可得，
构造方程，可得，
因为，所以，可得，
当时，；当时，，
所以在单减，单增，
且，，当时，，
因为有两个零点，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据题意，直接求导判断单调性，即可求解；
（2）根据题意，求导判断单调性，结合函数图象的走势，即可求解.
（1）
当时，，令，解得．
因此当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
故的最小值为．
（2）
根据题意，，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因此的最小值为．
∵当时，；当时，．
∴要使有两个零点，只需即可．
又∵，∴，解得．
故若有两个零点，则a的取值范围是．
16．设函数，
（1）求的单调区间；
（2）设，求证：，恒有.
（3）若，函数有两个零点，求证.
【答案】
（1）答案见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】
（1）求出函数的定义域，讨论、时，解不等式和即可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用导数证明出，即可证得结论成立；
（3）分析得出要证明，由已知条件得出，要证明，分析得出等价于证明，令，构造函数，利用导数证明出，即可得出，进而可证得结论成立.
（1）
函数的定义域为，
且，
当时，由可得，由可得，
因此函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，恒成立，此时的单调递增区间为，
综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为.
（2）
，，
所以，
因为，
所以当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，，
所以，其中，
构造函数，其中，，
则，所以函数在上单调递增，
则，
所以函数在上单调递增，，
所以对于、，恒有；
（3）
因为，则，
所以函数单调递增，且，
要证，即证，
即证，即证，
因为函数有两个零点，
由题意可得，
上述两个等式作差得，
下面先证明，只需证：，
整理得，即证，
设，不妨设，则，
所以函数在上单调递增，所以，
因为，所以，故原不等式成立.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
17．已知函数.
（1）求f（x）的最小值；
（2）当a=2时，证明：存在实数，使得对k=1，2，3均成立，且.注：e=2.71828…是自然对数的底数.
【答案】
（1）1
（2）证明见解析；
【分析】
（1）利用切线放缩即可求解.
（2）先对求导，得到单调区间，再令，对求导，得到单调区间，得到其中一个零点和另一个零点所在区间，问题转化为证明：，即可求证.
（1）
由，知，
于是,等号在取到.
.
下证，令，，
故在上单调递增，在单调递减，
，即,得证.
（2）
故在上单调递减，在单调递增，，
记记.
,
则在单调递减，在单调递增，
且,,
于是有零点
于是或，.
下面只需证：，即.
由，只需证
即，
由，只需证：，
只需证，，只需证.
由在单调递增，，
于是只需证，
由得证.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对不等式的合理变形和转化.
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