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4.1 指数运算
【学习目标】
1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.
2.会进行根式与分数指数幂的互化.
3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质．
【知识结构】
一、根式及相关概念
1 ．a 的 n 次方根的定义
(1)定义： 一般地，如果 xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 ，且 n ∈N*.
(2)a 的 n 次方根的表示
n 是奇数 a>0 x>0 (
n
)x 仅有一个值，记为
a<0 x<0
n 是偶数 a>0 x 有两个值，且互为相反数，记为±n
a<0 x 不存在
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人教 A 版（ 2019）高一数学必修第一册
(
|
a
|
，
n
为偶数
) (
－
a
a
＜
0
.
)2 ．根式
(1)定义： 式子n叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(2)性质： (n)n＝a ，n＝ a ，n 为奇数 (其中 n>1 且 n ∈N*)．
3 ．根式的性质(n＞1 ，且 n ∈N*)
(1)n 为奇数时，n＝a.
(2)n 为偶数时，n＝|a|＝ aa ≥0 ，
(3)n＝0.
(4)负数没有偶次方根．
二、指数幂及其运算性质
1 ．分数指数幂的意义
正数的正分数指数幂 m a n (a＞0 ，m ，nN* ，且 n＞1)
正数的负分数指数幂 (
a
n
(
a
＞
0
，
m
，
n
N
*
，
) (
m
1
) (
a
)m 且 n＞1) n
0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义
2 ．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0 ，r ，s ∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0 ，r ，s ∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0 ，b>0 ，r ∈Q)．
3 ．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 aα(a>0 ，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于 无理数指数幂．
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(
3
4
8
) 【题型一 根式的运算】 【例 1】 求下列各式的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4) － ，x ∈( －3,3)． 规律方法： (1)思路： 首先要分清根式为奇次根式还是偶次 根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点： ①正确区分(n a)n 与n an 两式； ②运 算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方 差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时 要进行讨论．
【题型二 根式与分数指数幂的互化】 【例 2】用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1)a2；(2) ；(3)3· ； (4)(3)2 · . 规律方法： 化为 (1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的 化为 指数 分数指数的分子． (2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方 数，一般由里向外用分数指数幂依次写出．
第
3
【练习 1-1】 求下列各式的值： (1)；
(2) － ＋ .
2 3
【练习 1-2】 计算： (27)3 9 2
【练习 2-1】 把下列根式化成分数指数幂的形式(a>0， b>0)：
(1) (
b
－
3
)4 ； (
(2)
) (
a
；
) (
a
a
) 1 (3)4 .
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(
(3)
) (
6
－
4
) (
a
·
) (
4
) (
b
)【题型三 分数指数幂的运算】 【例 3】 计算下列各式： (
(2)
9
0.5
＋
0.
1
－
2
＋
27
－
3
) (
2
2
)(1)2 ×3 ×6； 7 10 2 －3π0＋37； 48
2 1 3a3 b4 ×1 1 －8a2 b2
. 3 【题型四 由条件求值】 1 1 【例 4】 已知 a2 ＋a－2 ＝4 ，求下列各 式的值： (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2. 第
4
2 1 7
【练习 3-1】 化简： (1)a3 ·a5 ·a15 (a>0)；
(2) (
1
4
) (
－
)1 2 3 · 1 (a>0 ，b>0)． 0. 1－2a3b－32
1 1 1 1
【练习 4-1】 已知 a2 －a－2 ＝ ，则 a2 ＋a－2 ＝
________.
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(
a
4
b
2
3
) (
3
) (
1
) (
(
1
)
2
) (
2
．化简
1
1
4
b
(
a
>0
，
b
>0)
的结果是
（
）
)
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【基础训练】
一、单选题
1 ．已知3a 1 3a 2 3a 3 117 ，则 (a 1)(a 2)(a 3) （ ）
A ．120 B ．210 C ．336 D．
a
(
b
) (
A
) ． a (
b
) (
B
)a ． (
C
)2 a (
b
)． (
．
) (
D
)
3 ．设 a 0 ，将 表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
1 6 5
A． (
6
)a B． (
5
)a (
C
)． (
6
)a (
．
) (
D
)
4 ． (a 0)可以化简成（ ）
1 3 2
A． (
4
)a B． (
4
)a (
C
)． (
3
)a (
．
) (
D
)
5 ．若 x ，则 等于（ ）
A ．3x 1 B ．1 3x C ．(1 3x)2 D．
3
6 ． 4 （ ）
A ．2 B ． C ． D．
7 ．化简 ( )2 ，结果是（ ）
A ．6x―6 B ．―6x+6 C ．―4 D．
1
8 ． b =（ ）
A ．2 B ．1 C ．3 D．
9 ．设 m，n 都是正整数，且 n 1 ，若 a 0 ，则不正确的是（ ）
A． (
n
m
)m a n a
(
1
)B ． a2 (
1
2
m
) a 2 a a 1 C ． a n
(
5
) (
2
) (
b
)504 2 a 3 a 2 a 非以上答案 2 4 0 1
(
n
m
a
)
D ．a0 1
(
1
a
) (
8
27
) (
a
a
________
．
) (
4
5
27
_____
) (
) (
x
x
．
) (
.
（
2
）
1
1
1
) (
8
) (
1
1
x
2
x
2
2
1
1
x
x
1
1
) (
27
a
3
27
a
3
b
)
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10 ．化简 · 的结果为（ ）
A ． B ． C ． D．
11 ．把(a 1) 根号外的(a 1) 移到根号内等于（ ）
A ． B ． C ．
12 ．若ax a x 3 ，则
1
1 ３ ． (0.64) 3 64 3 _________．
(
a
)
D ．
1 1
1４ ．计算2 1 2 30 8 3 ；若 x 0 ，
2x 3 2x 3
1
4x 2
______
2 2 1
1 ５ ．已知 a 8 ，b ，求 的值．
2
１ ６ ．（1 ）已知 a a 1 4 ，求a a 的值； （2）计算： 1.80 1.5 2 3 3 3 .
１ 7 ．（ １ ）已知 x2 x 2 =3 ，求 x x 1 2 的值． （2）若x 2 x 2 ，求 x2 x 2 2 的值．
１ ８ ．计算：（ １ ）
【提升训练】
2 3 1
x 1 x 1 x x 3 a2 1 a a2 a 1
2 1 1 1
x 3 x3 1 x3 1 x3 1 a a 2 1 a 2 1 a 2 1

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