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4.2 指数函数
1. 了解指数函数的概念. 2.会画出指数函数图象. 3.掌握并能应用指数函数的性质．
人教 A 版（ 2019）高一数学必修第一册
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人教 A 版（ 2019）高一数学必修第一册
函数名称 指数函数
定义 函数 y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数
图象 a 1 0 a 1
(
y
y
a
x
y
1
(0,
1)
O
x
) (
x
) O
定义域 R
值域 (0, )
过定点 图象过定点(0, 1) ，即当x 0 时，y 1．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数
函数值的 变化情况 ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0) ax 1 (x 0)
a 变化对图象的影响 在第一象限内， a 越大，图象越高； 在第二象限内， a 越大，图象越低．
(
x
y
y
1
(0,
1)
y
a
)
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(
2
b
0,
b
2.
) (
1
) (
3
) (
1
) (
1
) (
3
) (
8
，
8
2
) (
1
1
1
) (
8
，
) (
1
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【题型 1 指数函数的判断】
【例 1】 （ 1） 2021 ·上海高一 专题练习） 下列是指数函数的是 （ ）
A．y 3x B．y 2x2 1
C．y ax D．y x
（2）若函数y k 2 ax 2 b (a 0 ， 且a 1)是指数函数，则k ______， b ______.
【答案】（1） D（2） -1 2
【解析】（1） 根据指数函数的特征:系数为 1，底数
满足 a 0 且 a 1 ， 自变量在指数位置可知，A，
B，C不满足,D 满足.故选： D.
(
（2）
,
解得
,
)k 2 1 k 1
【题型2 指数函数的解析式与函数值】
【例 2】（1） 若指数函数 f(x)的图象经 过点(2，9)，则 f(－1)＝________. （2）（2021 ·全国） 已知函数f(x) 2x ， 则f f(2) = ___.
1
【答案】（1） （ 2） 16
3
【解析】（1） 设 f(x)＝xa(a>0，且 a≠1)，将点(2，
9)代入，得a2＝9，解得 a＝3 或 a＝－3 (舍去).
所以 f(x)＝3x.所以 f(－1)＝3－1 ＝ .（2） 根据题
3
意，函数f(x) 2x ，则f 2 22 4 ，则
f f(2) f 4 24 16 ，故答案为： 16.
【练习 1-1】 (多选)下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝ (－3)x B．y＝3x C． D．y＝(1) x
【答案】 BD【解析】 指数函数的一般形式为： y ax (a 0，a 1)
选项 A 中， 3 0 ，所以选项 A 错误； 根据指数函数的定义，选型 BD 正确；
选项 C 中， y 3x 1 ·3x ，不符合指数函数的形式，选项 C 错误； 故选： BD. 3
【练习 1-2】若函数y a2 3a 3 ax 是指数函数，则a ____. a2 3a 3 1,
【解】 由题意可得 a 0, 解得 a 2 .故答案为： 2．
a 1,
【练习 1-3】 下列函数中是指数函数的是________ (填序号)．
① y 2 x ；② y 2x 1 ；③ y
【答案】③【解析】①中指数式 x 的系数不为 1 ，故不是指数函数；
②中 y 2x 1 2x ，指数式 2x 的系数不为 1 ，故不是指数函数； 2
③是指数函数．故答案为： ③
【练习 2-1】指数函数 y ax 的图象经过点 3, 则a=（ ）
1 1
A ． B ． C ． 2 D ． 4 4 2
【答案】B【解析】因为 y ax 的图象经过点 3, 所以 a3 ，解得 a ，
【练习 2-2】（2021 ·太原市第五十六中学校高一月考） 若指数
函数f x 的图象经过点(2, 9) ，则f(x) __________， f( 1) ___________．
1
【答案】 3x
3
【解析】设f x ax （ a 0 且 a 1），因为 f x 的图象经过点 (2, 9) ，
所以 a2 9 ，可得 a 3 ，所以 f x 3x ，所以 f 1 3 1 1 ，
(
2
4
2
4
) (
3
3
1
1
) (
3
3
) (
1
3
x
3
x
1
3
x
1
1
) (
3
x
) (
3
3
) (
1
3
x
1
3
x
1
3
x
) (
1
3
x
1
3
x
1
3
x
) (
10
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【题型 3 指数函数的值域与定义域】
【例 3】 求下列函数的定义域和值域：
（1） （3） (
1
2
x
) (
3
) (
2
.
)y 2x 2 ； （ 2）y ； y
【解析】 (1)∵x应满足x－2≠0， ∴x≠2， ∴定义
域为{x|x≠2，x∈R}.
∵ 0 ， ∴ y 2 1 ， ∴ y 2 的
值域为{y|y＞0，且 y≠1}.
(2)定义域为 R. ∵|x|≥0， ∴
2 x 3x 30 1 ， ∴此函数的
值域为[1，＋∞).
(3)由题意知1 1 x 0 ， ∴ 1x 1 10
∴x≥0， ∴定义域为{x|x≥0，x∈R}.
∵x≥0， ∴ 0 1 x 1 ∴ 0 1 1 x 1，
∴0≤y＜1， ∴此函数的值域为[0，1).
【练习 3-1】 函数y 的定义域为（ ）
A．( , 3) B．(, 3] C．(3, ) D．[3, )
【答案】 D【解析】 由题意得2x 8 0 ，所以 2x 23 ，解得 x 3 ．故选： D.
【练习 3-2】（多选） 若指数函数y ax 在区间[ 1, 1] 上的最大值
和最小值的和为 ，则a 的值可能是（ ）
3
1 1
A ． B ． C ． 3 D ． 2 2 3
【答案】 BC【解析】 当 a 1时，函数 y ax 在区间[ 1, 1]上为单调递增函数，
当 x 1 时， ymax a ，当 x 1 时， ymin a 1 ，
所以 a a 1 10 ，即3a2 10a 3 0 ，解得 a 3 或 a 1 ，
因为 a 1 ，所以 a 3 ；
当 0 a 1时，函数 y ax 在区间[ 1, 1]上为单调递减函数，
当 x 1 时， ymin a ，当 x 1 时， ymax a 1 ，
所以 a a 1 10 ，即3a2 10a 3 0 ，解得 a 3 或 a 1 ，
因为 0 a 1 ，所以 a .综上可得，实数 a 的值为 3 或 .
【练习 3-3】 若函数 f(x)＝ 的定义域是[1，＋∞)，则 a
的取值范围是（ ）
A．[0，1) ∪ (1，＋∞) B． (1，＋∞)
C． (0，1) D． (2，＋∞)
【答案】 B【解析】 ∵xa－a≥0， ∴xa≥a， ∴当a＞1 时，x≥1．故函数定义域为[1，
＋∞)时，a＞1．
【练习 3-4】 函数 y＝ 的定义域____； 值域_________ .
【解】 函数的定义域为 R. ∵y＝ ＝ ＝1－ ，又∵3x>0， ∴1
1 1 1
＋3x>1，∴0< <1，∴－ 1<－ <0，∴0<1－ <1，∴值域为(0，1)．
【练习 3-5】 函数y 4x 4 x 2x 2 x 的最小值为（ ）
1 7
A ． B ． 1 C ． 2 D ． 2 4
【答案】 D【解】 令 2x 2 x t ，则 t2 4x 4 x 2 ，则
y t2 t 2 t 1 2 7 ，当t 1 时，可得最小值为 7 ．
(
y
x
) (
2
2
) (
2
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【题型 4 指数函数的定点】
【例 4】（ 1）（2021 ·上海高一专题练习） 函数y ax2020 2022(a 0,a 1) 的图 像恒过定点______. （2）（2021 ·高邮市临泽中学高一月考） 已知函数f (x) a x2 3（a 0 且a 1） 的图象恒过定点 A，若点 A在一次函数
y mx n 的图象上，其中实数m，n满
足mn 0，则 1 2 的最小值为______．
m n
【答案】（1） 2020, 2023 （2） 4
【解】（1） a0 1(a 0, a 1) ，令
x 2020 0 ，得x 2020，
y a0 2022 2023，
（2） 由题意可得 A 2， 2 ， ∵点 A 在一次函
数y mx n 的图象上， ∴2m n 2 ， ∵ m，n 0 ，所以
(
1
2
1
(
1
2
)
2
m
n
1
(4
n
4
m
)
1
(4
2
)
4
)m n 2 m n 2 m n 2 m n
1
，当且仅当 m , n 1时取得等号；
2
【题型 5 比较大小】
【例 5】（2021 ·江西高安中学高一月考）
已知a 31. 1 ，b 41. 1 ，c 30.9 ，则a ，b ，
c 的大小关系为（ ）
A．c a b B．c b a
C．b a c D．b c a
【答案】A【解】由题意，构造函数 y 3x , y x 1.1 ，
两个函数在(0, )单调递增； 由
0.9 1.1 30.9 31.1 c a ；由
3 4 31.1 41.1 a b ；综上： c a b
练习 4-1】 已知函数f(x) ax 1 xa 2 （ a 0 且a 1 ）的图象
恒过定点P ，则点P 的坐标为____________.
【答案】 1, 4【解】x 1 时，f(1) 1 1 2 4 ，所以函数图象恒过定点 (1, 4) ．
【练习 4-2】（2021 ·上海市建平中学高一期末）对于任意实数a ，
函数f(x) ax3 1 （ a 0 且a 1）的图像经过一个定点，则
该定点的坐标是________．
【答案】 3, 3 【解析】 因为函数f(x) ax3 1 图像可以通过 y ax 向
左平移 3 个单位得 y ax3 ，再将 y ax3 图像上的点向上平移 个单位得到， 且指数函数 y ax （ a 0 且 a 1）恒过定点(0, 1) ，
【练习 4-3】（2021 ·上海市民办西南高级中学高一月考） 函数
y ax 1 1 a 0, a 1 的图象恒过定点_______.
【答案】 1, 2
【解析】 当 x 1 时，y a0 1 2 ， y ax 1 1 a 0, a 1 的图象恒 过定点 1, 2 .
练习 5-1】 已知a ，b 20.8 ，c 40.2 ，则a, b, c 的大小关系 为（ ）
A．c b a B．c a b C．b a c D．b c a
【答案】 B
【解析】 a 20.5 ，c 40.2 20.4 ，∵ y 2x 递增，且 0.4 0.5 0.8， ∴ 20.4 20.5 20.8 ，即c a b .
(
4
2
1
)【练习 5-2】 已知a 23 ，b 45 ，c 253 ， A．a b c B．a c b C．b a c 【答案】 C 4 1 2 1 1 【解析】 a 23 163 ，b 45 165 ， c 253 ， 则（ ）. D．c a b
1
且幂函数 3 在R上单调递增，指数函数 y 16x 在 R上单调递增，则
b a c ，故选： C.
(
4
) (
4
，
) (
A．
,
) (
8
) (
C．
,
) (
A．
,
2
B．
,
2
) (
a
，即不等式的解集为
) (
8
.
) (
1
) (
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
) (
3
x
3
x
，
) (
3
x
3
x
) (
3
x
3
x
，
3
x
3
x
3
2
x
1
2
) (
3
x
3
x
) (
3
x
3
x
3
2
x
1
3
2
x
1
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【题型 6 解指数不等式】
【例 6】（1） 已知不等式2x2 1 1 x 2
则函数y 2x 的值域是（ ）
1 1
8 8
1 D． 2,
(
x
,
x
0
)（2） 已知函数f(x) e xx 0 ，若
f(a 1) f(a) ，则实数 a的取值范围
是（ ）
1 B． 1 ,
(
2
2
1
1
) (
2
2
)C． 0, D． , 1
【答案】（1） B（2） A
【解】（1） 由题可得 2x2 1 1 x 2 22 x 2 ，
因为 y 2x 在 R 上单调递增，所以
x2 1 2x 4 即 x2 2x 3 0 ，解得： 3 x 1 ，所以 23 y 2x 21 ，即函数
y 2x 的值域是 , 2
(
x
,
x
0
)（2） 因为 f(x) e xx 0 ，当 x 0 时
f(x) e x 单调递减，且f(x) 1，当 x 0 时， f(x) x3 单调递减，且f(x) 0 ，所以函数
(
x
,
x
0
)f(x) e xx 0 在定义域上单调递减，因为
f(a 1) f(a) ，所以 a 1 a ，解得
1 1
2 , 2
【练习 6-1】 若0.3x 0.3y 1 ，则（ ） A．x y 0 B．y x 0 C．x y 0 D．y x 0
【答案】 C
【解析】令f t 0.3t , ∵ 0 0.3 1, ∴f t 为 R 上的单调递减函数， 由已知得： f x f y 1 f 0 , ∴ x y 0 ,故选： C.
【练习 6-2】（2021 ·辽宁高一月考）设p : 22x 1 128 ，q : 3 x 4 ，
则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
【答案】 B
【解析】 22x 1 128 27 ， 2x 1 7 ，即 x 4 ．
x 4 不能够推出 3 x 4 ，而 3 x 4能够推出 x 4 ， 命题p 是命题q
的必要不充分条件．故选： B
【练习 6-3】 函数 f（x）＝ 2 若有 f（a）＋f（a－2）
＞4，则 a的取值范围是________.
【答案】（1，＋∞）
【解析】 设 F（x）＝f（x）－2，则 F（x）＝ 易知 F（x）是奇函数，F
（x）＝ ＝ ＝1－ 在 R上是增函数，
由 f（a）＋f（a－2） ＞4 得 F（a）＋F（a－2） ＞0，
于是可得 F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得 a＞1.答案：（ 1，＋∞）
(
2
) (
C．
a
0,
D．
a
,
2
) (
3
．
) (
1
) (
1
2
) (
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
) (
1
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【题型 7 指数型函数的单调性】
【例 7】（1） 函数 y＝ 1x2－2 的单调递 2
减区间为（ ）
A．（－ ∞ ，0] B．[0，＋∞）
C．（－ ∞ ， ] D． [ ，＋∞）
（2）（2021 ·江苏高一课时练习） 函数
(
a
2
x
3
a
,
x
0
)f(x) ax , x 0 ，满足对任
意x1 x2 ， f x1 f x2
(
都有
0
成立，
x
x
)1 2
则a 的取值范围是（ ）
(
A．
a
0,
1
1
) (
3
)B．a , 1
1 1
3 3
【答案】（1） B（2） C
【解析】（1） 数 y＝ ( 1) u在 R上为减函数，
欲求函数y＝ 1x2 2 的单调递减区间，只需求函 2
数u＝x2－2 的单调递增区间，
而函数u＝x2－2 的单调递增区间为[0，＋∞），故所
求单调递减区间为[0，＋∞） .故选:B
（2） f (x)满足对任意 x1 x2 ，都有
f(x1) f(x2) 0 成立，
x x
f(x)在 R上是减函数，
0 a 1
a 2 0 ，解得 0 a 1 ， a (a 2) 0 3a a0 3
的取值范围是 0, 故选： C ．
【练习 7-1】“ a 3 ”是“函数f(x) (a 1)x 在R上为增函数”
的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
【答案】 A
【解析】若f x 在R上为增函数，则 a 1 1 ，即 a 2 ，
因为 a 3是 a 2 的充分不必要条件，
所以“ a 3 ”是“函数f(x) (a 1)x 在 R上为增函数”的充分不必要条件.
(
4
ax
a
,
x
0
)【练习 7-2】 已知函数f x ax 2a, x 0 ，其中a 0 ，且
a 1 ，若f x 在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）
(
3
3
2
2
) (
1
1
1
1
)A． 0, B． , 1 C． 0, D． , 1
【答案】 B
(
4
ax
a
,
x
0
)【解析】 函数 f x ax 2a, x 0 ，其中 a 0 ，且 a 1，
因为函数f x 在 R上单调，又因为函数 y 4ax a 在 , 0 上为减函数， 所以函数f x 在 R上为减函数，则函数 y ax 2a 在0, 上为减函数，
可得 0 a 1 ，且有 a0 2a a ，解得 a .
(
3
1
) (
3
.
)综上可知，实数 a 的取值范围是 , 1
【练习 7-3】（2021 ·汕头市达濠华侨中学高一期末） 已知函数
f x 2x2 2x ，则f x 的单调递增区间是______．
【答案】 1,
【解析】 函数f x 2x2 2x 是由 y 2t和t x2 2x 复合而成，
因为y 2t为单调递增函数，
t x2 2x 对称轴为x 1 ，开口向上，
所以t x2 2x 在 , 1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
所以f 所以f x 2x2 2x 在 , 1 上单调递减，在 1, 上单调递增， x 2x2 2x 的单调递增区间为 1, ，
(
1
x
1
x
) (
2
) (
已知
y
1
y
2
3
x
，
) (
3
，
) (
2
) (
2
) (
1
) (
1
1
1
) (
1
1
) (
B．
a
>1，
b
>0
D．0<
a
<1，
b
<0
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【题型 8 图像问题】
【例 8】（1） 1x
y3 10 x ，y4 10x ，则在同一平面直角
坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021 ·河北安平中学） 函数
f x 2x a R 的图象不可能为
（ ）
(
C
) A． ． (
D
) B． ．
【答案】（1） A（2） C
【解析】（1） y2 3x 与 y4 10x 是增函数，
y1 3 与 y3 10 x 10 是减函数，在
第一象限内作直线x 1 ，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知： 选 A．故选： A
（2） 当 a 0 时， f x 2x ，图象 A 满足；
当 a 1时，f x 2x ，f 0 2 ，且f x f x ，此时函数是
偶函数，关于 y 轴对称，图象 B 满足；
当 a 1 时， f x 2x ， f 0 0 ，且 f x f x ，此时函
数是奇函数，关于原点对称，图象 D 满足； 图象 C 过点0, 1 ，此时 a 0 ，故 C
不成立.故选： C.
【练习 8-1】（多选）函数y ax (a>0，a≠1)图象可能是（ ）
a
A． B． 【答案】 CD (
C．
D．
)
【解析】 当a>1 时， ∈(0，1)，因此x＝0 时，0a a a
上单调递增，故 C 符合； 当 01，因此x＝0 时，y<0，且y＝xa－ 在
a a
R上单调递减，故 D 符合.
【练习 8-2】（2021 年广东） 已知 0②y＝的图象为( )
【答案】 C
【解析】 由于 0＝1 与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝xm的图象．
3.（2021 年河北） 函数 f(x)＝－b的图象如图所示，其中a，b
为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
C．00
【答案】 D
【解析】 从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0位置看，是由函数y＝xa(00，
即b<0.
(
1
1
2
) (
2
x
1
) (
1
1
1
2
1
1
1
) (
4
1
x
) (
2
1
2
1
) (
2
x
1
)
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一、选择题
1 ．已知a 33 ，b 95 ，c 59 ，
A ．a b c B ． a c b
【基础训练】
则 a ，b ，c 的大小关系是（ ）
C ．c a b D ．c b a
【答案】 C
【详解】 ∵ a 33 96 95 b ， c 59 259 279 33 a ， ∴ c a b ．
2 ．设 a 30.4 , b 50.4 ,
A ．b a c B．
【答案】 A
c 0.45 ，则（ b c a
）
C ．c a b D ． a c b
【详解】 因为函数f x x0.4 在0， 上的增函数，且 3 < 5 ，
所以 30.4 50.4 ，即 a b 又 a 30.4 1,c 0.45 1 ，所以 a c ，所以 b a c .
3 ．函数y 1 的定义域为（ ）
A ．[2, 1) B ． ( , 1) C ．(2, 1)
【答案】 A
(
【详解】
由题意，
1
x
4
0
，得
x
1
，所以
-
2

x
<
1
.
)2x 1 0 x 2
4 ．若 0.3x 0.3y 1 ，则（ ） A ．x y 0 B ． y x 0 C ．x y 0
D ． (1, 2)
D ．y x 0
【答案】 C【详解】令f t 0.3t , ∵ 0 0.3 1, ∴ f t 为 R 上的单调递减函数，
由已知得： f x f y 1 f 0 , ∴ x y 0 ,
5 ．已知函数f(x) 2 ax 1a R ，则f 2021 f 2021 （ ）
A ． 2a 2021
C ．4
B ．2a
D ．4042
【答案】 C【详解】 因为 f(x) 2 ax 1a R ，
所以 f 2021 f 2021 2021a 1 2021a 1
(
1
) (
A
．
) (
B
．
) (
．
) (
．
) (
2
) (
A
．
,
) (
2
) (
2
) (
1
) (
2
,
) (
2
) (
C
) (
D
)
6 ．函数f x ax 2 的图像恒过定点P ，则P 的坐标是（ ）
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A ． 0, 1
【答案】 D【详解】
1 1
7 ．22 、33 、
B ． 1, 0 C ． 1, 2 D ． 0, 3
由指数函数 y ax 恒过定点0, 1 ，所以函数 f x ax 2 的图像恒过定点 P 0, 3 .
66 这三个数的大小关系为（ ）
A． 1 1 1 66 33 22 B． 1 1 1 66 22 33 (
．
) (
C
)
【答案】 B
1 3 1 2
【解】 22 26 ， 33 36 ，
8 ．函数y ax 1 (a 0, a 1) 的图象可能是（ a
1 1 1
22 33 66
1
66 ，因为
）
(
6
6
)
(
D
)． 1 1 1 33 22 66
，所以 6 2 3 .
【答案】 D
【解】 若 0 a 1 ，则 1 1 ， y ax 1 (a 0, a 1) 在 y ax 的基础上向下平移 1 个单位长度，故 C 错，D 对；
a a a
若 a 1 ，则 0 1 1 ， y ax 1 (a 0, a 1) 在 y ax 的基础上向下平移 1 个单位长度，故 A ，B 错；
a a a
ax , x 1
8 ．若函数f(x) ＝ 4 a x 2 x 1是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为（ ）
A ．(1 ，＋∞)
【答案】 D【详解】
B ．(1,8)
(
,
)a 1
由题意得 4 a 0,
C ．(4,8) D ．[4,8)
解得 4≤a＜8.
a (4 a ) 1 2,
9 ．若函数f x 3 2a1 x3 在R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
1
2
B ． 1 ,
C ． 1 , 2 1,
(
2
)D ． , 1
【答案】 A
【详解】令 u 2a 1 x 3 ，由于函数f x 3 2a1 x3 在 R 上是减函数，外层函数 y 3u 3为 R 上的增函数，则
(
2
) (
2
) (
2
) (
2
) (
值域
0,
) (
D
．
0
恒成立
) (
1
2
) (
2
)内层函数 u 2a 1 x 3 为 R 上的减函数，所以， 2a 1 0 ，解得 a 1 .
10 ．函数 y f (x) 是 R 上的奇函数，当x 0 时，f(x) 2x ，则当x 0 时， f(x) （ ）
A ． ﹣ 2x B ．2 ﹣ x C ． ﹣ 2 ﹣ x D ．2x
【答案】 C
【详解】 解： 当 x 0 时， f(x) 2x ，当 x 0 时， x 0 ，则 f(x) 2 x ．
又 f(x) 是 R 上的奇函数，所以当 x 0时 f(x) f(x) 2 x ．
11 ．如图所示： 曲线C1 ， C2 ， C3 和C4 分别是指数函数y ax ，y bx , y cx 和y dx 的图象,
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则 a ，b ，c ，d 与 1 的大小关系是（ ）
A ．a b 1 c d B ．a b 1 d c
C ．b a 1 c d D ．b a 1 d c
【答案】 D
【详解】 因为当底数大于 1 时，指数函数是定义域上的增函数，
当底数小于 1 时，指数函数是定义域上的减函数，
所以 c ，d 大于 1 ，a ，b 小于 1，
由图知： c1 d1 ，即 c d ， b1 a1 ，即 b a ，所以 b a 1 d c ，
12 ．（多选） 对函数f(x) 1x2 1 判断正确的是（ ）
A ．增区间 (0, ) B ．增区间 ( , 0) C ．值域 1 , D．
【答案】 BD
【详解】 根据指数函数性质， f x = 1x 在 , 单调递减，
而 f x x2 1 在 ，0 单调递减，在 0， 单调递增，
故 f(x) 1 x2 1 增区间为 ，0 ； f x x2 1 值域为 1, ，
而 f(x) x2 1 在 , 单调递减，故 f(x) x2 1 值域为 0, .
1
2
13 ．（多选） 已知函数f x ，则下面几个结论正确的有（ ）
A ．f x 的图象关于原点对称
C ． f x 的值域为 1, 1
B ．f x 的图象关于y 轴对称
x1 , x2 R ，且x1 x2 ， f x1 f x2
x x
(
2
) (
x
x
) (
1
2
1
2
1
t
) (
3
3
) (
1
2
1
2
1
2
，
) (
1
2
1
2
) (
2
) (
2
x
1
2
·
x
) (
1
2
2
2
1
2
) (
2
x
1
2
)【答案】 AD
【详解】 对于 A ， f(x) 则 f(x) f(x)
则f(x) 为奇函数，故图象关于原点对称，故 A 正确.
对于 B ，计算f(1) 1 ， f( 1) 1 f(1) ，故f(x) 的图象不关于y 轴对称，故 B 错误.
对于 C ， f(x) 1 ， 1 2x t, t (1, ) ，
故 y f(x) 1 ，易知： 1 ( 1, 1) ，故 f(x) 的值域为 ( 1, 1) ,故 C 错误.
对 D ， f(x) 1 2 x ，因为 y 1 2x 在 R 上为增函数， y 1 2 为 (1, ) 上的减函数，
由复合函数的单调性可得f x 在 R 上单调递减，故x1 , x2 R ，且 x1 x2 ， f(x1) f(x2 ) 0 恒成立，故 D 正确.
1 2
二、解答题
14 ．已知函数f(x)＝ 1 1 3.
（1）求f(x)的定义域； （2）判断f(x)的奇偶性； （3）求证： f(x)>0.
【详解】（1）由 2x －1≠0 ，得 x≠0.所以函数的定义域为(－∞ ，0)∪(0 ，＋∞).
（2）因为函数f(x)的定义域关于原点对称，
f(－x)＝ ( 1) (x)3
＝ ( 1 ) x3 ( 1 ) x3 f (x)，
所以f(x)为偶函数.
（3）证明： 当 x>0 时， 1 0 ，x3>0 ，所以f(x)>0. 2x 1
因为f(x)为偶函数，所以当 x<0 时，f(x)>0.
综上所述，对于定义域内的任意 x 都有f(x)>0.
15 ．已知函数 f(x) ax 2 (a 0, a 1, x 0) 的图像经过点 (3, 0.5) ，
（1）求 a 值； （2）求函数 f(x) ax 2 (x 0) 的值域；
1
【详解】（1）由题意可得 a3 2 0.5 ，解得 a .
2
（2）由（1）可知 f(x) ( 1)x 2 (x 0) ，
因为 0 1 1 ，所以 f x 在[0, ) 上单调递减，
则 f x 在 x 0 时有最大值，所以 f xmax f(0) ()2 4 ，
因为 f x 0 ，所以函数 f x 的值域为 (0, 4] .
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(
a
2
9
a
9,
a
) (
3
2
4
) (
4
) (
3
a
4
) (
2
3
) (
5
) (
4
4
11
) (
3
a
4
) (
2
4
) (
3
) (
5
) (
a
3
a
1,
a
)【提升训练】
16 ．设函数 f(x) (a 1)a x b(a 0, a 1) ，则函数 f(x) 的单调性（ ）
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A ．与 a 有关，且与 b 有关
C ．与 a 有关，且与 b 无关
B ．与 a 无关，且与 b 有关
D ．与 a 无关，且与 b 无关
【答案】 D
【详解】 当 0 a 1时， f(x) (a 1)a x b 单调递增.
当 a 1时， f(x) (a 1)a x b 单调递增.
则 a 0且 a 1 ， b R ， f(x) (a 1)a x b 的单调性都为单调递增.
所以函数f(x) (a 1)a x b 的单调性与 a，b 无关.
17 ．已知函数f（x ）=9x ﹣ a 3x+1+a2（x ∈[0 ，1] ，a ∈R），记f（x ）的最大值为 g（a）． （Ⅰ）求 g（a ）解析式；
（Ⅱ）若对于任意 t∈[ ﹣ 2 ，2] ，任意 a ∈R ，不等式 g（a ）≥ ﹣ m2+tm 恒成立，求实数 m 的范围．
【解】（Ⅰ）令 u=3x ∈[1 ，3] ，则f（x ）=h（u）=u2 ﹣ 3au+a2．
当 ≤2 ，即 a≤ 时，g（a）=h（u）max =h （3）=a2 ﹣ 9a+9；
2 3
当 2 ，即 a＞ 时，g（a）=h （u）max=h（ 1）=a2 ﹣ 3a+1；
4
故 g（a ）= ；
3
（Ⅱ）当 a≤ 时，g（a）=a2 ﹣ 9a+9，g（a ）min=g（ ）= ﹣ ；
3 3 9
当 a 时，g（a）=a2 ﹣ 3a+1 ，g（a）min=g（ 3 ）= ﹣ 5 ；
3 5
因此 g（a）min=g（ ）= ﹣ ；
2 4
对于任意任意 a ∈R ，不等式 g（a ）≥ ﹣m2+tm 恒成立等价于 ﹣ m2+tm≤ ﹣ ．
4
令 h （t）=mt ﹣ m2 ，由于 h （t）是关于 t 的一次函数，
故对于任意 t∈[ ﹣ 2 ，2]都有 h（t）≤ ﹣
4
(
h
(2)
5
4
m
8
m
5
0
2
2
)则 h(2) ，即 4m 8m 5 0 ，解得 m≤ ﹣ 5 或 m≥ 5 ．
4

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