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4.3 对数及对数运算
【学习目标】
1.理解对数的含义.
2. 掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算
3. 了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数．
【知识结构】
人教 A 版（2019）高一数学必修第一册
第 1 页 共 12 页
一、对数的概念
(1)定义： 一般地，如果 ax＝N(a＞0 ，且 a≠1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
在对数 logaN 中规定 a＞0 ，且 a≠1，N＞0 的原因
(1) 若 a＜0 ，则 N 为某些数值时，x 不存在，如式子( －3)x＝4 没有 实数解，所以 log(－3)4 不存在；
(2)若 a＝0 ，且 N≠0 时，logaN 不存在； N＝0 时，loga0 有无数个值，不能确定，因此规定 a≠0 ，N≠0；
(3)若 a＝1 ，且 N≠1 时，x 不存在； 而 a＝1 ，N＝1 时，x 可以为任何实数，不能确定，因此规定 a≠1；
(4)由 ax＝N，a＞0 知 N 恒大于 0．
(2)特殊对数
名称 记法 说明
常用对数 lg N 以 10 为底的对数，并把 log10N记为 lg N
自然对数 (
l
)n N 以 e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，并把 logeN记为 ln N
(3)对数 logaN(a＞0 ，且 a≠1)的性质
性质 说明
零和负数没有对数，即 N＞0 当 a＞0 ，且 a≠1 时，ax＞0 ，即 N＝ax＞0 ，所以对数 logaN 只有在 N＞0 时才有意义
1 的对数等于 0 ，即 loga 1＝0 因为 a0 ＝1 ，由对数的定义得 0＝loga 1
底的对数等于 1 ，即 logaa＝1 因为 a1＝a ，由对数的定义得 1＝logaa
(4)对数与指数的互化关系
当 a＞0 ，且 a≠1 时．如图所示：
根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式 alogaN＝N ．
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(
N
) (
log
c
a
) (
log
c
a
log
c
a
) (
log
b
log
b
) (
1
) (
log
b
)二、对数的运算性质
(1)对数的运算性质
如果 a＞0 ，且 a≠1 ，M＞0，N＞0 ，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga M ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(nR)．
对对数的运算性质的理解
(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如 log2[( －3)·(－ 5)]＝log2( －3)＋log2( －5)是错误的．
(2)巧记对数的运算性质：
①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；
②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；
③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．
(2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系
式子 ab＝N logaN＝b
运算 性质 ＋n am ·an ＝am loga(MN)＝logaM＋logaN
m a ＝am－n n a (
N
)loga M ＝logaM－logaN
(am)n＝amn logaMn＝nlogaM
三、对数运算性质推导的基本方法
换底公式：
(1)公式 logab＝ c (a＞0 ，且 a≠1；c＞0 ，且 c≠1 ，b＞0)．
(2)公式推导： 设 c x ，则 logcb＝xlogca＝logcax ， ∴b＝ax ． ∴x＝logab ． ∴ c ＝logab．
(3)换底公式的三个推论：
①logam Nn n loga N (a，N＞0 ，且 a≠1 ，m≠0 ，m ，nR)； m
②logab＝ logb a (a ，b＞0 ，且 a ，b≠1)；
③logab·logbc·logcd＝logad(a ，b ，c＞0 ，且 a ，b ，c≠1 ，d＞0)．
四、对数定义中隐含条件的应用
根据对数的定义，对数符号 logaN 中实数 a 和 N满足的条件是底数 a 是不等于 1 的正实数，真数 N 是正实 N>0,
数，即 a>0,
a 1,
因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．
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(
16
) (
3
3
3
2
) (
3
a
1
0
) (
a
b
) (
27
) (
____________
3
1
) (
4
) (
3
3
3
2
) (
27
) (
16
16
) (
27
27
) (
1000
1000
) (
7
) (
8
8
7
7
) (
1
) (
1
) (
2
) (
－2
a
＋1>0，
) (
1
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【题型一 对数的定义】
【例 1】（2021 ·全国高一课前预习）
在b log 3a 1 3 2a 中，实数a 的
取值范围为 .
【答案】 1 , 2 2 , 3
【解析】 由题意，要使式子
b log 3a 1 3 2a 有意义，则满足
3a 1 1 ，解得 1 a 2 或 2 a 3 .
3 2a 0
【题型二 指数对数的互化】
【例 2-1】指数式和对数式互相转化：
（1 ）e a ．
（2 ）3 ． 27 ____________
（3）log2 1 4 ____________．
（4）log2 8 3 ____________．
【答案】 ln a 4 log3 1 3
24 1 23 8
16
【解】 ab N b loga N(a 0, a 1, N 0)
【例 2-2】设 3a ＝4b＝36 ，求2＋1；
解 法一 由 3a＝4b＝36，
得 a＝log336 ，b＝log436，
由换底公式得＝log363 ，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
法二 由 3a＝4b＝36，两边取以 6 为底数的对数，
得 alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63 ，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
【练习 1-1】 （多选） 下列选项中错误的是（ ）
A ．零和负数没有对数
B ．任何一个指数式都可以化成对数式
C ．以 10 为底的对数叫做自然对数
D ．以 e 为底的对数叫做常用对数
【答案】 BCD
【解析】 对于 A：由对数的定义可知： 零和负数没有对数.故 A 正确；
对于 B：只有符合 a 0 ，且 a 1，N 0 ，才有ax N x loga N ，故 B 错误；
对于 C：以 10 为底的对数叫做常用对数，故 C 错误；
对于 D：以 e 为底的对数叫做自然对数，故 D 错误.
【练习 1-2】 使对数 loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
(
1
)A．a> 且 a≠1 2 (
1
)B．0C．a>0 且 a≠1 D．a<
2
【答案】 B
【解析】 由题意知a>0， 解得 0a≠1，
【练习 2-1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1 ）53= ；（2 ）4-2= ；（3）log3 = .
【解析】 （ 1） ∵53=125 ， ∴log5125=3.
（2） ∵ 42 1 ， ∴ log4 1 2 .
（3） ∵ log3 1 3 ， ∴ 33 1
【练习 2-2】 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
（1）23 ： ；（2） 1 a ： ；（3）l g ： ．
【解析】 （ 1）由 23 1 可得 log2 1 3 ； （2）由 1 a b 得log 1 b a ；
（3）由 lg 1 3可得103 1 ．
【练习 2-3】 已知 2x ＝3y＝5z ，且1＋1＋1＝1 ，求 x，y，z.
x y z
解： 令 2x ＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴1＝logk2 ，1＝logk3 ，1＝logk5，
x y z
由1＋1＋1＝1 ，得
x y z
logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，
y＝log330＝1＋log310，
z＝log530＝1＋log56.
(
2
) (
9
9
1
) (
1
1
) (
9
) (
25
8
9
) (
lg
6
lg
5
lg
3
) (
2
n
2
) (
5
2
2
2
4
) (
5
) (
（
5
）
) (
2
) (
2
) (
1
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【题型三 对数的求值】
【例 3-1】 利用指数式、对数式的
互化求下列各式中 x 的值．
（1 ）log2 x 1 ；
（2 ）logx 25 2 ；
（3 ）log5 x2 2 ．
【解析】（1）由 log2 x ，得 2 x ，
∴ x ；
2
（2）由 logx 25 2 ，得 x2 25, x 0 ， 且 x 1, x 5 ；
（3）由 log5 x2 2 ，得 x2 52 ，
∴ x 5 ，. ∵52 25 0, 5 2 25 0 ，
∴ x 5或 x 5 ．
【例 3-2】求下列各式的值：
（1 ）log28；
（2 ）log9 ；
（3 ）lne；
（4 ）lg1.
【解析】 （ 1）设 log28＝x ，则 2x ＝8＝23 .
所以 x＝3.所以 log28＝3.
（2）设 log9 ＝x ，则 9x ＝ ＝9－1，
所以 x＝－ 1.所以 log9 ＝－ 1.
（3）ln e＝1.
（4）lg 1＝0.
【练习 3-1】 计算： log2 log3 log4 26 ____.
【解析】 log2 log3 log4 26 log2 log3 log4 43
log2 log3 3 log4 4 log2 log3 3 log2 1 0 .
【练习 3-2】 求下列各式中的 x 的值．
（1 ）log2 log3 x 0 ；
（2 ）log2 log3 log2 x 1．
【解析】 （ 1）因为 log2 log3 x 0 ，所以 log3 x 1 ，所以 x 3 ；
（2）由log2 log3 log2 x 1得 log3 log2 x 2 ，
所以log2 x 32 ，所以 x 29 512 ．
【练习 3-3】 计算：
（1 ）log6 25 log5 3 log9 6 _________．
（2 ） log2 5 log4 0.2 log5 2 log25 0.5 _________．
（3 ）log2 1 log3 1 log5 1 _________．
（4 ） log2 3 log4 9 log8 27 L log2n 3n log9 __________．
（5）log6( ) __________．
【解】 （ 1）原式 log6 52 log5 3 log32 6 2 log6 5 log5 3 1 log3 6
log6 5 log5 3 log3 6 lg 5 lg 3 lg 6 1
（2）原式 log2 5 log2 log5 2 log5 log2 log5 1 log2 5 1 log5 2 1
（3）原式 log2 52 log3 23 log5 32 2 log2 5 (3) log3 2 (2) log5 3
12 log2 5 log3 2 log5 3 12
（4）原式 log2 3 log22 32 log23 33 L log2n 3n log32
log2 3 log2 3 log2 3 L log2 3 log32 2n n log2 3 5 log32 2 5
Q 2log6 ( )
log6 ( )2 log6 6 1
所以原式
(
2
) (
2
) (
2
2
2
) (
（
2
）
9
2
9
2
3
3
4
．
) (
1
) (
9
) (
4
4
4
) (
2
2
2
2
) (
lg
3
) (
16
2
) (
2
2
2
2
2
2
2
) (
5
1
1
1
1
1
1
)人教 A 版（2019）高一数学必修第一册
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【题型四 对数的运算】
【例 4-1】 求下列式子值．
（1）
2log2 3 2 log3 1 3log7 7 3ln 1 ___；
（2 ）92log34 ________．
【解析】（1）＝ 3 2 0 3 1 3 0 0 ；
1 log3 4 1 log3 4 log 4
【例 4-2】计算下列各式的值：
（1 ） 1 lg 25 lg 2 lg lg(0.01) 1 ；
（2 ）（2 ）(lg5)2 lg 2 lg5 lg 2；
（3 ）lg 5 lg 20 lg 2 lg 50 lg 25 ；
（4 ）(lg 2)3 (lg5)3 3lg 2lg5．
【解析】
（1） 1 lg 25 lg 2 lg lg(0.01) 1
lg5 lg 2 1 lg100 1 1 2 7
（2） (lg5)2 lg 2 lg5 lg 2
lg5(lg5 lg 2) lg 2 lg5 lg 2 1
（3） lg5 lg 20 lg 2 lg50 lg 25
lg5 lg(22 5) lg 2 lg(2 5 2) lg5 2
lg5(2lg 2 lg5) lg 2(lg 2 2lg5) 2lg5
2lg 2lg5 (lg5) 2 (lg 2) 2 2lg 2lg5 2lg5
(lg5)2 (lg 2)2 2lg5
(lg5 lg 2)(lg5 lg 2) 2lg5
lg5 lg 2 2lg5 (lg 2 lg5) 1
（4） (lg 2)3 (lg5)3 3lg 2lg5
(lg 2 lg5)[(lg 2) 2 lg 2lg5 (lg5) 2 ] 3lg 2lg5
(lg 2)2 lg 2lg5 (lg5)2 3lg 2lg5．
(lg 2)2 2lg 2lg5 (lg5)2
(lg 2 lg5)2 1
【练习 4-1】 （2021·长沙市明德中学高一开学考试） 计算：
lg 2log2 3 log2 1 lg 2 ln 1 ______
1
【答案】
2
【解析】 原式 1 lg 5 3 4 lg 2 0 1 lg 5 lg 2 1 1 .
【练习 4-2】 计算: 2log2 4 3log2 1 lg 3 log3 2 lg 5 ________．
【答案】 4
【解析】 原式 4 30 lg 3 lg 2 lg 5 4 1 lg 2 lg 5 4 ．
【练习 4-3】 计算： 2 lg 2 lg lg 5 ____. 【解析】 原式 lg 2 lg lg 5
lg lg 2 lg 5
lg lg 1
lg 1 lg
1 .
【练习 4-4】 计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.
（2 ）log3 + lg 25-5log5 + lg 4；
（3 ）2 log3 2- log3 32 +log3 8-25log5 3.
【解析】 （ 1）原式=lg 53+lg 2(lg 5+lg 100)+(lg 2)2=3lg 5+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2
=3lg 5+2lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)=3lg 5+3lg 2=3lg 10=3.
（2）原式= 1 log3 27+ lg 25+ lg 4 5log5 = 3 +2- 7 =1.
(
9
32
)（3）原= log3 4 log3 32 +log3 8 25log25 9 = log3 4 9 8 9=2 9 7
【练习 4-5】 计算下列各式的值：
（1） lg lg ＋lg ；（2）lg25＋ lg8＋lg5×lg20＋(lg 2)2.
【解析】 （ 1）原式＝ (5lg 2－2lg 7) － lg 2＋ (2lg 7＋lg 5)
＝ lg 2－lg 7 －2lg 2＋lg 7＋ lg 5＝ lg 2＋ lg 5＝ (lg 2＋lg 5)＝ lg 10＝ .
（2）＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝3.
(
2
) (
6lg
2
2lg
3
4
) (
1
1
) (
a
b
) (
a
b
) (
C
．
D
．
) (
A
．
B
．
) (
a
b
c
) (
lg
5
1
lg
2
1
a
) (
a
b
log
3
k
log
4
k
k
k
) (
2
2
) (
a
b
c
) (
a
b
) (
【答案】
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【题型五 换底公式】
【例 5】 （ 1）已知a lg 2，10b 3 ，
则log5 6 （ ）
a b a b
1 a 1 a
a b a b
1 a 1 a
（2）设2a 5b m ，且 1 1 2 ，
则m （ ）
A ． B ．10
C ．20 D ．100
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)＝
________.
【答案】 （ 1）B （2）A 【解析】 （ 1） a lg 2, b lg 3， (3)5 4 10b 3 ，
log5 6
（2）由 2a 5b m ，可得 a log2 m ，
b log5 m ，
由换底公式得 a logm 2 ， b logm 5 ，
所以
1 1 logm 2 logm 5 logm 10 2 ，
又因为 m 0 ，可得 m ．
(3)原式＝(＋)(＋)＝
(＋)·(＋)＝5lg 3 ×3lg 2＝5.
【练习 5-1】已知log3 2 m ，用含m 的式子表示log32 18 _________.
m 2
5m
(
log
3
32
log
3
2
5log
3
2
5
m
)【解析】 log32 18 log3 18 log3 2 lg3 9 log3 2 2 m 2 .
【练习 5-2】（2020·上海市川沙中学高一期中） 已知： lg2=a，lg3=b， 则 a ，b 表示log5 6 =_____________；
【答案】 ；
1 a
【解析】 因为 lg2=a ，lg3=b ，所以 log5 6 lg 6 lg 2 lg 3 a b ；
【练习 5-3】已知 a，b，c 均为正数，且3a 4b 6c ，求证： 2 1 2 ；
【解析】 设 3a 4b 6c k ，则k 1 .
∴ a log3 k, b log4 k, c log6 k ，
∴ ，
2 1 2 1 2log 3 log 4
logk9 logk4 logk36 2logk 6
而 c log6 k 2logk 6 ，
∴ 2 1 2 ，得证
(
625
) (
8
) (
100
100
100
.
) (
100
) (
8
2
2
2
2
)
【基础训练】
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1 ．log3 9 2 log3 10 （ ）
A ． 0 B ． 1 C ． 2
【答案】 C
【详解】 log3 9 2log3 10 log3 9 log3 100 log3 9 100 2
2 ．设 5log5 (2x 1) 25 ，则x 的值等于（ ）
A ．10 B ．13 C ．100
【答案】 B
【详解】 由对数的性质，得 5log5(2x 1) 2x 1 25 ，所以x 13
3 ．若 a b2 (b 0, b 1) ，则有（ ）
A ．log2 a b B ．log2 b a C ．loga b 2
【答案】 D
【详解】若 a b2 (b 0, b 1) ，则 logb a 2 .
3
4 ．计算2log25 log3 243 1 4 (1 )0 的结果为（ ）
A ． 115 B ． 114 C ． 15
【答案】 B
【详解】原式 5 log3 35 54 1 5 5 125 1 114 .
1
5 ．式子 1 3 log3 2 log4 27 (2021)0 等于（ ）
3
A ．0 B ． C ． 1 2
【答案】 A
D ．3
D ． 1001
D ．logb a 2
D ． 14
1
D ． 2
1
【详解】 1 3 log3 2 log4 27 (2021)0 1 log3 2 3 log2 3 1 1 3 1 0 ．
6 ．下列式子中正确的个数是（ ）
①loga(b2－c2)＝2logab －2logac
③loga(bc)＝(logab)·(logac)
A ． 0 B ． 1
②(loga3)2＝loga32 ④logax2＝2logax
C ． 2 D ． 3
【答案】 A
【详解】 对于① ，当b, c 为负数时 logab 与 logac 没有有意义，loga(b2－c2)＝2logab －2logac 不成立，错误； 对于② ， a 3时，(loga3)2 ＝loga32 左边等于 1 ，右边等于 2 ，等式不成立，错误；
对于③ ，当b, c 为负数时 logab 与 logac 没有有意义，loga(bc)＝(logab)·(logac)不成立，错误；
对于④ ， x 0 时，logax 没意义，logax2＝2logax 不成立，错误，
(
9
) (
lg
b
lg
b
lg
b
lg
a
lg
b
) (
m
n
2
2
) (
2
2
2
2
) (
m
2
n
) (
lg4
2
) (
y
y
y
y
) (
9
) (
9
9
9
)
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7 ．下列说法中错误的是（ ）
A ．零和负数没有对数
C ．以 10 为底的对数叫做常用对数
B ．任何一个指数式都可化为对数式
D ．以 e 为底的对数叫做自然对数
【答案】 B
【详解】 由对数的概念知，指数式 ax 中，只有 a 0 ，且 a 1的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对
数，把以 10 为底的对数叫做常用对数，以 e 为底的对数叫做自然对数，
8 ．设 a ，b ，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A ．logab·logcb＝logca B ．logab·logca＝logcb
C ．loga(bc) ＝logab·logac D ．loga(b＋c) ＝logab＋logac
【答案】 B
【详解】 由 logab ·logcb＝ lg a · lg c ≠logca ，故 A 错； 由 logab·logca＝ lg a · lg c ＝ lg c ＝logcb ，故 B 正确；
9 ．已知2lgx 2y lg x lg y ，则 log4 x 的值为（ ）
y
A ．0 B ．1 C ．0 或 1 D ． 1或 1
【答案】 B
【详解】 2 lg x 2y lg x lg y ， lg x 2y2 lg xy .
∴ x 2y2 xy, x2 5xy 4y2 0 .
∵ y 0 ， ∴ x 2 5 x 4 0 ，解之得: x 1或 x 4 .
∵ x 2y 0, y 0 ， ∴ x 2y, x 2 ， ∴ x 4 . ∴ log4 x log4 4 1 .
y y y
10 ．已知 4a 8 ， 2m 9n 6 ，且 1 1 b ，则 a b （ ）
5
A ．
2
1
B ．
8
1
C ．
16
D ．2
【答案】 A
【详解】 4a 8 ， 2m 9n 6 ， a log4 8 lg8 3 ，
m log2 6 ， n log9 6 ， 1 log6 2 ， 1 log6 9 b log6 2 1 log6 9 1 a b 5
11 ．方程 log3 x2 2 log9 3x 的解集是（ ）
(
B
．
3,
)A ． 3, C ． 3
(
D
．
,
)
【答案】 B
【详解】 log3 x2 2 log9 3x log3 x2 2 log3 3x 2 1 log3 x ∴ log3 x 2 log3 x 0 ．
设 log3 x m ，则 m2 1 m 3 0 ，解得： m1 1, m2 3 ． ∴ log3 x 1 或log3 x 3 ，解得： x 3或
(
3
经检验，
x
3
和
x
均符合题意，
∴该方程的解集是
3,
．
)
x ．
(
a
b
) (
所以
log
m
2
log
m
5
log
m
10
2
，又因为
m
0
，可得
m
10
．
) (
a
b
) (
1
) (
log
2
6
log
3
6
8
) (
b
__________
) (
b
2
.
) (
ab
ab
) (
A
．
B
．
C
．
) (
3
3
3
) (
2
2
) (
4
) (
a
b
) (
b
.
1
) (
a
)
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第 10 页 共 12
12 ．设 2a 5b m ，且 1 1 2 ，则 m （ ）
A ． B ．10 C ．20 D．
【答案】 A
【详解】 由 2a 5b m ，可得 a log2 m ，b log5 m ，由换底公式得 1 logm 2 ，
a
1 1
100
b logm 5 ，
13 ． 已知 2a 3b 5 ，则 log5 12 （ ）
a 2b 2a b a 2b D ． 2a b
【答案】 A
【详解】 因为 2a 3b 5 ，所以 a log2 5 ， b log3 5 ， 1 log5 2, 1 log5 3 ，
(
a
b
ab
14
．若
log
a
b
lo
g
b
a
（
a
0,
a
1,
b
0,
b
1
，且
a

b
），
则
ab
（
）
)所以 log5 12 log5 (22 3) 2 log5 2 log5 3 2 1 a 2b ．
1
A ． 1 B ． 2 C ． D ． 4 4
【答案】 A
【详解】因为 loga b logb a ，所以 ，即 lg2 a lg2 b ，所以 (lg a lg b)(lg a lg b) lg ab lg 0 ，
故 ab 1或 b 1 （舍去） ，
15 ．已知lg a ，lgb 是方程2x2 4x 1 0的两个实根，则lg(ab) lg a 2 ．
【答案】 4
【解】 因为 lg a ， lg b 是方程2x2 4x 1 0的两个实根，所以 lg a lgb 4 2 lg a lgb 1 .
有 lg ab lg a lg b 2 ， lg a 2 lg a lg b 2 lg a lg b 2 4lg a lg b 22 4 1 2
所以lg(ab) lg a 2 2 2 4
16 ． 1 1 3log32 (27) 3 ___________.
1
【详解】原式 log6 2 log6 3 2 log6 6 2 .
1
17 ．计算lg 8 3log94 lg125 2 1 2 _________．
【详解】 原式 lg 23 3log32 22 lg 53 3(lg 2 lg 5) 3log3 2 2 3 2 2 17 .
4
(
_________________
2
n
_________________
) (
1
) (
x
2
x
2
) (
2
2
)
18．已知m log2 3, n log3 4 ，则mn ， m ．
【详解】因为 m log2 3, n log3 4 ，所以 mn log2 3 log3 4 2 ， 2m 2log2 3 2log2 3log4 3 2log2 3 2log4 3 3 2 log2 3 3 2log2 3 3
19 ．（1）已知lg 2 m ，lg 3 n ，试用m, n 表示log5 12 ；
x x
（2） 已知 x x 1 3 （ 0 x 1 ），求 1 1 ．
x2 x 2
(
lg5
1
lg
2
1
m
)【详解】 （ 1）由换底公式得log5 12 lg12 2lg 2 lg3 2m n ．
（2）由于 (x x )2 x x 1 2 5 ，且 0 x 1 ，所以 x x ；
又 x2 x 2 (x x 1 )2 2 32 2 7 ；所以 ．
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第 11 页 共 12 页
(
2
2
) (
2
) (
【详解】
已知
x
1
，
x
2
是方程
x
2
mx
4
0
的两个不等实根，
m
2
16
0
)
【提升训练】
20．已知x1 , x2 是方程x2 mx 4 0的两个不等实根，且 2 ，求实数m 的值．
则 x1 x2 m ，且 m 0 ．所以 2 ，则 lg m 2lg 4 lg16 ，即 m 16 ．
x1x2 4
21 ．设函数 y f (x) ，且lg(lg y) lg3x lg(3 x) ．
（1）求函数 y f (x) 的解析式及其定义域；
（2）讨论函数 y f (x) 的单调性，并求函数 y f (x) 的值域．
【详解】 （ 1） lg(lg y) lg 3x lg(3 x) lg[3x(3 x)](0 x 3) ， lg y 3x(3 x) ，
即 f(x) 103x (3 x) ； x (0, 3)
（2）由（1）知， f(x) 103x (3 x) ； x (0, 3)
令 u 3x(3 x) 3(3x x2 ) 在 (0 ， ] 上单调递增，在[ , 3) 上单调递减，而 10u 是增函数，
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f(x)在(0 ， 3] 上单调递增，在[3 , 3) 上单调递减，
当 x 3 时， f(x) 取最大值10 ． f(x) 的值域为 (1 ，
f x f 0 f 3 1，
27
10 4 ] ．

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