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4.4 对数函数
1. 了解对数函数的概念. 2.会画出对数函数图象. 3.掌握并能应用对数函数的性质．
人教 A 版（ 2019）高一数学必修第一册
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人教 A 版（ 2019）高一数学必修第一册
函数 名称 对数函数
定义 函数 y loga x(a 0 且a 1) 叫做对数函数
图象 a 1 0 a 1
(
y
y
log
a
x
O
(1,
0)
x
x
1
) (
y
log
a
x
(1,
0)
x
x
1
O
y
)
定义域 (0, )
值域 R
过定点 图象过定点 (1, 0) ，即当 x 1时， y 0 ．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在(0, )上是增函数 在(0, )上是减函数
函数值的 变化情况 loga x 0 (x 1) loga x 0 (x 1) loga x 0 (0 x 1) loga x 0 (x 1) loga x 0 (x 1) loga x 0 (0 x 1)
a 变化对图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越靠低； 在第四象限内， a 越大图象越靠高．
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(
2
2
) (
5
) (
3
) (
2
2
2
.
) (
2
2
) (
1
) (
B
．
2
个
D
．
4
个
)人教 A 版（ 2019）高一数学必修第一册
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【题型 1 对数函数的判断】
【例 1】 （ 1）给出下列函数：
① y log2 x2 ；② y log3(x 1) ； 3
③ y log(x1) x ；④ y loge x .
其中是对数函数的有（ ）
A ．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
（2）．若函数y loga x a2 3a 2 为对
数函数，则a （ ）
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
【答案】（1）A（2）B
（2）函数 y loga x a2 3a 2 为对数函数
所以 a2 3a 2 0 a 1或 a 2 ，又 a 0 且 a 1所以 a 2故选： B
【题型2 指数函数的解析式与函数值】
【例 2】（1）对数函数的图像过点M(125，
3) ，则此对数函数的解析式为（ ）
A ．y＝log5x B ．y＝log 1 x
C ．y＝log 1 x D ．y＝log3x
（2）设f(x) loga x （ a 0 且a 1），
若f(2) 1 ，则f 1 （ ）.
A ．2 B ． 2
1 C ． D． 2 【答案】（1）A（2）C 【解析】（2） f(2) loga 2 (
，即
)1 2 1 1 2 a2 2 ，
解得 a 4 ，所以f(x) log4 x ，所以
f 1 log4 1 1 故选： C
【练习 1-1】 下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①y＝logx2；②y＝logax(a ∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y ＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【答案】 B
【练习 1-2】 下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
① y logx 2 ；② y loga x a R ；③ y log8 x ；④ y lnx ； ⑤ y logx x 2 ；⑥ y 2log4 x ；⑦ y log2 x 1 .
A ． 1 个
C ． 3 个
【答案】 B
【练习 1-3】若函数f(x) loga x a2 4a 5 是对数函数，
a
_________.
a2 4a 5 0
【解析】 由对数函数的定义可知， a 0 ，解得 a 5 ． a 1
【练习 2-1】 若某对数函数的图象过点4, 2 ，则该对数函数的
解析式为（ ）
A ．y log2 x B ．y 2log4 x
C ．y log2 x 或y 2log4 x D ．不确定
【答案】 A
【解析】设函数为y loga x a 0, a 1 ，依题可知， 2 loga 4 ，解得 a 2 ，所以该对数函数的解析式为 y log2 x ．故选： A．
【练习 2-2】 若函数f(x) loga x 1 (a 0, a 1) 的图像过点
(7, 3) ，则a 的值为（ ）
A ． B ．2 C ． D ．
【答案】 B
【解析】 由题, 3 loga 7 1 a3 8 a 2 .故选： B
(
3
) (
4
x
0
) (
2
，
) (
1
) (
4
x
) (
x
1
) (
1
) (
2
x
) (
log
2
(
x
1)
) (
lg(4
x
3)
) (
1
x
) (
x
2
1
0
) (
x
2
1
) (
1
) (
4
2
2
5
5
.
) (
3
1
1
4
4
)人教 A 版（ 2019）高一数学必修第一册
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【题型 3 对数函数的定义域】
【例 3】（1）（2021·奉新县第一中学高
一月考） 函数f x ln x 1 的定义域
为（ ）
A ． 1, 2 B ． 1, 4
C ． 1, 4 D ． 2, 4
（2）．（2021·江苏） 已知函数y f(2x )
的定义域是 1, 1 ，则函数f(log3 x) 的
定义域是（ ）
A ． 1, 1 B ． , 3
C ． 1, 3 D ．[, 9]
（3）若函数y lgax 1 的定义域为 , 1 ，则a （ ）
A ．1 B ．－1 C．2 D．无法确定
【答案】（1）C （2）D（3）B
【解析】（ 1）对于函数 f x ln x 1 ，有
(
，解得
1
x
4
.
)x 1 0
因此，函数 f x ln x 1 的定义域为 1, 4 .
故选： C.
（2）由 x 1, 1 ，得 2 , 2 所以
log3 x , 2 ，所以 x , 9 ．故选： D.
（3）函数 y lg ax 1 的定义域为 , 1 ， 则 ax 1 0 的解集为 , 1 ，
即 a 0 ，且 ax 1 0 的根 1，故 a 1 .
a
【练习 3-1】 函数y log0.5 2x 1 0 的定义域为（ ）
(
2
2
)A ． 1 , 1 B ． 1 , C ． 1, 【答案】 D 【解析】 由 log0.5 2x 1 0 ，即 (
2
) (
2
)D ． 1 , 1 1, ，解得 1 x 1或x 1 ．
【练习 3-2】（2021· 四川自贡·）函数f(x) 2x log3 (2x 1)的
(
2
x
1>0
2
)定义域是（ ） (
2
2
) (
1
1
)A ． , 1 B ． , 1 【答案】 D (
【解析】
由已知得
，解得
)1 x 0 1 (
2
) C ．(1, ) D ．( 1 , 1) (
2
，
，
) x 1 ，所以函数定义域为 1 1
【练习 3-3】若函数f (x 1) 的定义域为[0 ，1] ，则f(lg x) 的定义 域为（ ）
A ．[10 ，100] B ．[1 ，2] C ．[0 ，1] D ．[0 ，lg2]
【答案】 A【解析】 因为函数f (x 1) 的定义域为[0 ，1] ，所以1 x 1 2 ， 所以1 lg x 2 ，解得： 10 x 100 ，所以f(lg x) 的定义域为[10 ，100] .
【练习 3-4】 求下列函数的定义域
（1 ）y ；
（2）函数f(x)
2
（3 ）f(x) x (5x 4)0
(
【解析】（
1
）由
，解得
x
1
或
x
1
且
x
2
，
)2 x 0
所以该函数的定义域为 ( , 2) (2, 1 1, 2 2, ；
x 2 1 0
（2）由 log2 (x 1) 0 ，解得 x 3 ，所以该函数的定义域为 3, ； x 1 0
lg(4x 3) 0
（3）若要使函数有意义，则 4x 3 0 ，解得 x 3 且 x 1 ，x 4 ， 5x 4 0 4 2 5
所以该函数定义域为 , , ,
(
5
，
) (
2
) (
A
．
a
b
c
C
．
c
b
a
) (
3
) (
3
) (
2
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【题型 4 对数函数的定点】
【例 4】函数y loga 2x 7 2（a 0 ，
且a 1）的图象一定经过的点是（ ）
A ． 7 , 2 B ． 3, 2
C ． 3, 1 D ． 4, 2
【答案】 B
【解析】 令 2x 7 1 ， x 3 ，则 y 2 ， 即函数图象过定点 3, 2 ．
【题型 5 比较大小】
【例 5】（1）已知a log0.2 2 ，b 20.3 ，
c 0 .20.3 ，则（ ）
A ．a c b B ．a b c
C ．c a b D ．b c a
（2）（2021·广西南宁三中） 已知奇函数 f x在R上是增函数，若
a f log2 ，b f log2 4. 1 ， c f20.8 ，则a, b, c 的大小关系为（ ）
B ．b a c
D ．c a b
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）因为 a log0.2 2 log0.2 1 0 ，
a 0 ，b 20.3 20 1 ， b 1 ，
0 0.20.3 1 ， 0 c 1，
所以 a c b 故选: A .
（2）由题意： a f log2 1 f log2 5
且： log2 5 log2 4. 1 2, 1 20.8 2 ，
据此： log2 5 log2 4. 1 20.8 ，结合函数的单调
性有： f log2 5 f log2 4. 1 f 20.8 ，
即 a b c, c b a .本题选择 C 选项.
【练习 4-1】函数y loga 3x 1 a 0, a 1 的图象过定点（ ）
(
3
) (
2
)A ． , 1 (
3
) (
2
)B ． 1, 0 C ． , 0 D ． 0, 1
【答案】 C
【练习 4-2】 函数y loga x 1 的图象必过的点是（ ）
A ． 1, 0 B ． 1, 0 C ． 0, 0 D ． 2, 0
【答案】 D
【练习 4-3】 函数y loga (x 3) 2（a 0 且a 1）的图象恒过
定点 P ，点 P 在y f (x) 的图象上，则lgf(4) lgf(25) （ )
A ． 2 B ．2 C ．1 D ． 1
【答案】 C【解析】，令 x 3 1 ，解得 x 4 ，此时 y loga 1 2 2 ；所以
定点P4, 2 ，又点 P 在 y f x xm 的图象上，所以 4m 2 ，解得 m 0.5；
所以f x x0.5 ，所以lg f 4 lg f 25 lg f 4 f 25 lg10 1．
【练习 5-1】 已知a log7 2 ，b log0.7 0.2 ，c 0 .70.2 ，则a ，b ，
c 的大小关系为（ ）
A ．a c b B ．a b c C ．b c a D ．c a b
【答案】 A【解析】 a log7 2 1 ，b log0.7 0.2 log0.7 0.7 1 ，
0.7 c 0.70.2 1 ， a c b ，故选 A .
【练习 5-2】 已知x 1. 10. 1 ，y 0.91. 1 ，z log 2 4 ，则 x ，y ，z
3
的大小关系是( )
A ．x y z B ．y x z C ．y z x D ．x z y 【答案】 A【解析】 x 1. 10. 1 1. 10 1 ， 0 y 0.91. 1 0.90 1 ，
z log 2 4 log 21 0 ， x ，y ，z 的大小关系为 x y z ．故选 A．
3 3
【练习 5-3】 设a 0.50.4 ，b log0.5 0.3 ，c log2 0.4 ，则a ，b ，
c 的大小关系是（ ）
A ．a b c B ．c b a C ．c a b D ．b c a
【答案】 C【解析】 因为 y 0.5x 为减函数，所以 0 a 0.50.4 0.50 1 ， 因为 y log0.5 x 在 0, 单调递减，所以b log0.5 0.3 log0.5 0.5 1， 因为 y log2 x 在 0, 单调递增， c log2 0.4 log2 1 0 ，
即 0 a 1 ，b 1 ， c 0 ，所以 c a b ，
(
x
2
ax
,
x
1
) (
（
3
）函数
f
x
的值域为
R
，
) (
4
) (
4
) (
,
.
) (
2
) (
2
) (
2
) (
2
) (
【解析】（
2
）由
f
(
x
)
log
1
x
2
2
)人教 A 版（ 2019）高一数学必修第一册
(
2
2
，解得
2
a
1
，综上，
a
的取值范围是
)
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【题型 6 对数函数的值域（最值）】
【例 6】（1）已知 1 x 8 ，则函数f(x) log2 x
的值域是 。
（2）函数y log0.5 4x x2 的值域为
．
_________
log2 x 3 , 3 x 1
则实数a 的取值范围是
（4 ）函数y lg a2 1 x2 2(a 1)x 3 的值域
为R ，则 a 的取值范围是
【解】（1）函数 f(x) log2 x 在 ，8 上单调递增，所
以log2 1 f(x) log2 8 ，即 2 f(x) 3 ,所以函数
的值域为[2, 3]
（2） 因为4x x2 x 2 2 4 4 ，所以，0 4x x2 4 ，
（3）当 3 x 1时，0 x 3 4 ，则f x log2 x 3 , 2 ，
所以，函数f x x2 ax 在区间 1, 上的值域包含 2, ，所以，
存在x 1, ，使得 x2 ax 2 ，即a x 2 ，
x
而函数g x x 在区间 1, 上为增函数， g x g 1 1，
x
a 1.
（4） ∵函数的值域为 R ，令u a2 1 x2 2(a 1)x 3 ，
当 a 1时， u 3 ，不合题意；
当 a 1 时，u 4x 3 ，y lg(4x 3) ，符合；
当 a 1时，要使函数 y lg a2 1 x2 2(a 1)x 3 的值域为 R ， 则函数u a2 1 x2 2(a 1)x 3 的值域包含 0, ，
a2 1 0
=4 a 1 12 a 1 0
2 1
则y log0.5 4x x2 log0.5 4 2 ，故函数的值域为 2, .
【题型 7 对数函数的单调性】
【例 7】（1）下列函数在其定义域内既是奇函数又 是增函数的是（ ）
1 A ． 3 y x B．y 3x C．y = x2 D．y lg x
（2）函数f x log 1 x 的单调递增区间是（ ）
(
A
．
0,
) 1 2 B ． 1, 2 C ． 1, D ． 0,
（3）函数f x log 1 x 2 4 的单调递增区间为（ ）
2
A． 0, B． , 0 C． 2, D． , 2
（4）函数f(x) loga ax2 (2a 3)x 6 在区间
(
2
3
3
) (
3
3
)7 , 4 上单调递增， A ． a 5 4 C ． a 或a 1 5 4 【答案】（1）A（2）C（3） 则实数 a 的取值范围为（ ） B ． 3 a 1 5 D ． 3 a 1 或a 1 5 D（4）C
log 1 x, 0 x 1 log 1 x, 0 x 1
2 log x, x 1 log2 x, x 1
而对数函数y log 1 x 在0, 1 上是减函数， y log2 x 在
2
1, 上是增函数，所以 f x 单调递增区间为 1, ．
（3）对于函数 f x log 1 x 2 4 ，有 x2 4 0 ，解得 2
x 2或 x 2 ，故 f x 的定义域为 , 2 2, ， u x2 4在 , 2 上单调递减，在 2, 上单调递增，
外层函数y log 1 u 为减函数，
2
综上，函数f x log 1 x2 4 的单调递增区间为 , 2 .
（4） y f (x) 是由 y loga t 与 t | (x 2)(ax 3) | 复合而成，
①当 0 a 1时，因为 y loga t 为减函数，且函数
f(x) loga ax2 (2a 3)x 6 在区间 7 , 4 上单调递增，
所以 t | (x 2)(ax 3) | 在 7 , 4 上单调递减，结合
(
2
) (
2
) (
5
4
) (
3
) (
3
) (
3
3
) (
5
4
) (
2
) (
a
) (
2
) (
4
4
) (
1
x
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t | (x 2)(ax 3) | 的图像可得 2 ，解得 3 a 3
3 4
②当 a 1时，因为 y loga t 为增函数，且函数
f(x) loga ax2 (2a 3)x 6 在区间 7 , 4 上单调递增，
所以 t | (x 2)(ax 3) | 在 7 , 4 上单调递增，又因为此时
3 3 ，结合 t | (x 2)(ax 3) | 的图像可知此时符合题意
a
综上所述： 实数 a 的取值范围为 a 或 a 1 .故选： C
【练习 7-1】下列在其定义域内为减函数的是（ ）
A ．f x x3 B ．f x 1 x 1
C ．f x log3 x D ．f x 1x
【答案】 D
【练习 7-2】 函数f x log 1 x2 4x 的单调递减
2
区间为___________.
【解析】 由 x2 4x 0 得 , 0 4, ，
令t x2 4x ，对称轴为 x 2 ，开口向上，
∴t x2 4x 在 , 0 上递减，在（4 ，＋∞ ）递增，
又由y log 1 t在定义域内递减减， ∴原函数递减区间为（4 ，＋
2
∞）．
【练习 7-3】 若函数f(x) log 1 (x2 4x 5) 在区间
2
(3m 2, m 2) 内单调递增，则实数m 的取值范围为
．
__________
【答案】 4 m 2 【解析】 由 x2 4x 5 0可得
1 x 5 ，
函数f(x) log 1 (x2 4x 5) 是由y log 1 t 和
2 2
t x2 4x 5复合而成，
又t x2 4x 5 (x 2)2 9 对称轴为 x 2 ，开口向下，
所以 t x2 4x 5在 1, 2 上单调递增，在2, 5 上单调
递减，
因为y log 1 t 为减函数，
2
所以f(x) log 1 (x2 4x 5) 的单调增区间为 2, 5 ，
因为f x 在区间(3m 2, m 2) 内单调递增，
3m 2 2
所以 m 2 5 ，解得 4 m 2 ，故答案为： 4 m 2 ．
3m 2 m 2 3 3
【题型 8 解对数不等式】
【例 8】（1）不等式 log 1 (5＋x)．
________
（2）设函数f x ln 1 x ，则使得
f x f 2x 1 成立的x 的取值范围是（ ）
(
3
) (
1
) (
C
．
,
)A ． , 1 1 1 3 3 (
3
1
1
) (
3
3
)B ． , 1 1, D ． , U ,
【答案】（1）{x | －25 x 0,
【解析】（1）不等式满足 1 x 0, 解得－2（2）定义在 R上的函数 f x 满足f x f x ，所以 f x
为偶函数，
当 x 0 时，f x ln 1 x 为增函数，
由f x f 2x 1 结合偶函数图象的对称性可知x 2x 1 ，
两边平方并化简得x 13x 1 0 ，解得 x 1 .
(
3
.
)所以不等式f x f 2x 1 的解集为 1 , 1 故选： A
【练习 8-1】 “ M N ”是“lnM ln N ”的（ ）条件．
(
0
，
，
＋
∞
A.
3
∪
(1
，＋
∞)
B. 3
) (
B
．必要不充分
D
．既不充分又不必要
) (
，
1
0
，
C.
3
D.
3
) (
2
) (
3
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A ．充分不必要
C ．充要
【答案】 B
【解析】 ln M ln N ，一定有M N ，但M N 时，不一定有 lnM ln N ，如M 1, N 2 ，ln M , ln N 都不存在．
【练习 8-2】不等式 log 1 2x 3 < log 1 5x 6 的
2 2
解集为( )
－ ，3
A． (－ ∞ ，3) B. 2
(
－
，
C.
2
) 3 【答案】 (
5
)6 D【解析】 (
由题意可得
) 2x＋3>0， 5x－6>0， 2x＋3>5x－6， (
D
) . 6 ， 53
(
6
)解得 【练习 8-3】 若 loga <1，则实数 a取值范围是( )
3
2 2
2 2
【答案】 当 02
)A【解析】 02
0，
)当a>1 时，满足条件； 2 0【练习 8-4】已知函数f(x) lg x 是奇函数，
则f(2x a) f(x) 的解集为_______．
【答案】 , 1
【解】 由题意，函数f(x) lg( x) ，则
f (x) lg( x) ，
若f(x) 为奇函数，则有
f(x) f(x) lg[( x)( x)] lg a 0 ，解得：
a 1 ，所以 f(x) lg x ，
又当 x 0 时 f(x) lg x 单调递增，且 f 0 0 ，
根据奇函数的性质可得f(x) lg x 在 R上单调递增， 因为f(2x 1) f(x) ，所以 2x 1 x ，解得x 1 ，即原不 等式的解集为 , 1 ；
【题型 9 图像问题】
图中曲线分别表示
y loga x, y logb x, y logc x, y logd x 的图像，
a,b,c,d ，的关系是（ ）
A ．0 a b 1 d c B ．0 b a 1 c d
C ．0 c d 1 a b D ．0 c d 1 b a
【答案】 C
【解析】 如图所示：
当 y 1时， x1 c, x2 d , x3 a, x4 b ，
因为0 x1 x2 1 x3 x4 ，所以 0 c d 1 a b
(
y
x
) (
b
) (
A
．
a
b
c
C
．
a
c
b
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【练习 9-1】 已知函数y loga (x b) 的大致图象如
图，则幂函数 a 在第一象限的图象可能是
（ ）
A． B． C． D． 【答案】 B
a 1 a 1
【解析】 由图象可知， loga (1 b) 0 ，所以 0 1 b 1，
loga (2 b) 0 2 b 1
得 a 1 ，0 b 1 ，所以0 b 1 ，所以幂函数图象可能为 B .
a
【练习 9-2】 已知函数y xa ，y bx ，y logc x 的
图象如图所示，则 a ，b ，c 的大小关系为（ ）
B ．b a c
D ．b c a
【答案】 A
【解析】 由图, 当 x 1时, y b 1, 2 , 当y 1时
1 logc x x c 2, 3 ,又幂函数 y xa 为增函数且上凸, 故 a 0, 1 .故 a b c .
【题型 10 反函数】
【例 10】（1）已知函数f(x) 图像与函数g(x) 2x 的 图像关于y x 对称，则f(3) ____.
（2）若函数f x 2x 1 的图像与g(x) 的图像关于 直线y x 对称，则g(9) ___________.
【答案】（1） log23 （ 2）3
【解析】（1）∵函数f x 的图象与函数 g x 2x 的图象关于直
线y x 对称，
∴函数f x 与函数 g x 2x 互为反函数，∴ f(x) log2 x ， ∴ f(3) log2 3 .故答案为： log2 3 ．
（2）令 f x 2x 1 9 ，即 2x 23 ，解得 x 3 ，
因为函数f x 2x 1 的图像与 g(x) 的图像关于直线y x 对 称，所以 g(9) 3 故答案为： 3
(
2
) (
2
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【练习 10-1】已知f(x) 2 loga x（a 0 且a 1）， 若函数y f (x) 的反函数为y f 1(x) ．若
f 1(3) 2 ，则a __________．
【答案】 2
【解析】
f 1(3) 2, f (2) 3 3 2 loga 2， a 2 ．
【练习 10-2】 若函数y x2 (a 4)x 3 a ，
x [0, 1] 没有反函数，则a 的取值范围是__________． 【答案】 (2, 4)
【解析】 因为函数没有反函数，
4 a
则函数在定义域内不单调，又函数的对称轴为 x ，所以 2
0 4 a 1 ，解得 2 a 4 ，故答案为： (2, 4) ．
【练习 10-3】 已知函数f(x) 3x a 的反函数为 y f 1(x) ，若函数y f 1(x) 的图像过点(3, 2) ，则
实数 a 的值为__________．
【答案】 -6
【解析】 y f 1(x) 的图象过点 (3, 2) ，
函数 y f (x) 的图象过点(2, 3) ，
又 f(x) 3x a ， 32 a 3 ，即 a 6 ．
【基础训练】
1 ．下列函数是对数函数的是（ ）
A ．y log3(x 1) B ．y loga 2x (a 0, a 1)
C ．y ln x D ． y loga x2 (a 0, a 1)
【答案】 C
2 ．下列函数是对数函数的是（ ）
A ．y loga (2x) B ．y log2 2x C ．y log2 x 1 D ．y lg x
【答案】 D
3 ．已知下列函数：
①y＝log 1 (－x)(x＜0)；
③y＝ln x(x＞0)；
②y＝2log4(x－1)(x＞1)；
④y log a2 a x ，(x＞0 ，a 是常数)．
(
a
2
) (
2
) (
4
a
) (
2
2
2
2
2
) (
2
4
2
) (
2
2
2
2
.
) (
2
0
a
4
)其中为对数函数的是________(只填序号)．
【答案】 ③
【解析】 由对数函数的定义知，①②不是对数函数； 对于③ ，ln x 的系数为 1 ， 自变量是 x ，故③是对数函数； 对于④ ，底数
a2 a a 12 1 ，当 a 1 时，底数小于 0 ，故④不是对数函数．
4 ．若函数f(x) loga x a2 4a 5 是对数函数，则a . a2 4a 5 0
【答案】 5【解析】 根据对数函数的定义有 a 0 ，解得 a 5 ， a 1
5 ．若对数函数f(x)的图象过点(4 ，－2) ，则f(8)＝________.
【答案】 -3
【解析】设 f x loga x （ a 0 且 a 1），将 4, 2 代入得 loga 4 2, a 2 4, 1 2 22 , a 1 .
所以f x log 1 x ， f 8 log 1 8 log 1 1 3 3
6 ．已知对数函数f(x) 的图象过点(8, 3) ，则f(2) _________．
【答案】 3 【解析】 设 f(x) loga x(a 0, a 1) ，因为函数f(x) 的图象过点 (8, 3) ，则 3 loga 8 ，
a 1 ， f(x) log 1 x ， f(2 ) log 1 (2 ) log2 (2 ) 3 ．故答案为： 3
7 ．已知对数式log a1 2 （ a Z）有意义，则a 的取值范围为（ ）
A ． 1, 4 B ． 1, 0 0, 4 C ． 1, 2, 3 D ． 0, 1, 2, 3
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a 1 0
a 1
【答案】 C 【解析】 由题意可知: a 1 1 a 0 ，解之得: 1 a 4且 a 0 . ∵ a Z， ∴ a 的取值范围为 1, 2, 3 .
4 a
8 ．求下列函数的定义域.
(
1
|
x
|
)（1 ）y ； （2 ）y log(x1) 16 4x ；
（3 ）y x 10 .
(
9
) (
m
n
m
n
n
m
n
m
) (
9
)【解析】（1） 解得 x 且 x 1 ，所以定义域为： , 1 1, 1 1, ；
（2） x 1 1, 解得 1 x 2 且x 0 ，故函数的定义域为 1, 0 0, 2 ；
5 x 0
（3） x 2 0 解得： -2 x < 1或 1 x 5所以函数 y x 10 的定义域为 [2, 1) (1, 5] ； x 1 0
9 ．对于任意不等于 1 的正数a ，函数f x loga 2x 3 4 的图像都经过一个定点，这个定点的坐标
是
_______.
【答案】 1, 4 【解析】 依题意，当 2x 3 1 ，即x 1 时， f 1 loga 1 4 4 ，所以定点为 1, 4 .
10 ．函数y loga x 3 1a 0, a 1 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ny 1 0 上，其中m 、
n 0 ，则 1 2 的最小值为____________.
m n
【答案】 8 【解析】对于函数 y loga x 3 1a 0, a 1 ，令 x 3 1 ，可得 x 2 ，则 y loga 1 1 1，
故函数 y loga x 3 1a 0, a 1 的图象恒过定点 A 2, 1 ，
因为点 A 在直线 mx ny 1 0 上，则 2m n 1 0 ，可得 2m n 1，
因为 m 、 n 0 ，所以， 1 2 2m n 1 2 4 4 m n 4 2 8 ，
当且仅当 n 2m 时，等号成立，故 1 2 的最小值为 8 .故答案为： 8 .
m n
11 ．函数 y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A ．(2 ，＋∞) B ．(－∞ ，2)
C ．[2 ，＋∞) D ．[3 ，＋∞)
【答案】 C
【解析】 当 x≥1 时，log2x≥0 ，所以 y＝2＋log2x≥2. 选 C
12 ．已知函数f(x) log3 x在 1 , m 上的值域为[0, 2] ，则f(3m) 的取值范围是（ ）
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A ．[ 1, 1] B ．[0, 1]
【答案】 C
【解析】 函数f(x) log3 x 的图象，如图所示：
因为函数f(x) log3 x 在 1 , m 上的值域为[0, 2] ，
由图象可得 m [1, 9] ，
而f(x)在 [3, 27]上单调递增，故f (3m) 的取值范围是
C ．[1, 3] D ．[0, 3]
[1, 3] .
13 ．（2021· 曲周县第一中学高一月考） 下列函数中与函数y 值域相同的是（ ）
(
x
) (
4
) (
2
4
) (
4
1
)
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A ．y log4 x B ．y 2x C ．y 1 x
【答案】 D【解析】 函数 y | x | 定义域为 R ，值域是[0, ) .
A . 值域为 R；B. 值域为 (0, ) ；C. y 1 值域为 (, 0) (0, ) ；
D ．y x2 2x1
D. y x2 2x 1 x 12 值域是 [0, ) ，
14 ．已知函数f(x) lgax2 2 a x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ． 1, 4 B ． 1, 4 0
C ． 0, 1 4, D ． 0, 1 4,
【答案】 D【解析】令u ax2 2 a x ，由于函数f(x) lg ax2 2 a x 的值域为 R ，
所以，函数u ax2 2 a x 1 的值域包含 0, .
①当 a 0 时，函数u 2x 的值域为 R ，合乎题意； 4
②当 a 0时，若函数u ax2 2 a x 1 的值域包含 0, ，
(
则
2
a
2
a
0
，解得
0
a
1
或
a
4
.
综上所述，实数
a
的取值范围是
0,
1
4,
.
故选：
D.
)a 0
15 ．（2021·上海市杨浦高级中学） 函数y log3 x log3 3x ，x [3, 9] 的最小值是______________. 【答案】 2 【解析】 y log3 x log3 3x log3 x 1 log3 x ，令t log3 x ， x [3, 9] ， t 1, 2 ，
则 y t 1 t t 1 2 1 ，当 t 1时， ymin 2 .故答案为： 2.
16 ．函数f(x) lg(2x 2 x a 1) 的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】 (, 1 【解析】设 g x 2x 2 x a 1 ，由 f(x) lg(2x 2 x a 1) 的值域为 R ， 知 g x 2x 2 x a 1可以取所有的正值，
又 g x 2x 2 x a 1 2 a 1 a 1 ，当且仅当x 0 时等号成立，
故 g(x) 的值域为[a 1, ) ，所以只需满足 a 1, 0, 即可，即 a 1 故答案为： (, 1
17 ．下列函数中，既是偶函数又在区间0, 上单调递减的是（ ）
A ．y 3x2 4 B ．y 4 C ．y = x-2 D ．y lg x x
【答案】 C【解析】 y 3x2 4 在区间0, 上单调递增，A 不符合题意； y 4 是奇函数，B 不符合题意；
x
y lgx 在区间0, 上单调递增，D 不符合题意； y = x-2 既是偶函数又在区间0, 上单调递减，C 符合题意.
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18 ．已知函数f x 1 在 R 上是单调函数，
A ．2x 1 B ．ln 3 x C ．2x 1
【答案】 C【解析】 当 x 2 时， f x 为增函数，则 g x 在 ，2
则gx 的解析式可能为（ ）
D ． 1 x
2
上为增函数，且 g 2 22 1 3，
A. g x 2x 1 在 ，2 上为增函数， g 2 5 3 ，故不符合条件； B. g x ln 3 x 为减函数，故不符合条件；
C. g x 在 ，2 上为增函数， g 2 3 ，故符合条件； D. g(x) = x 为减函数，故不符合条件．
19 ．函数f x ln(x 2) ln(4 x) 的单调递减区间是________．
【答案】 1, 4 【解析】 由 得 2 x 4 ，因此函数 f x 的定义域为 (2, 4) ．
f x ln(x 2) ln(4 x) ln(x2 2x 8) ln[(x 1)2 9] ，
设u (x 1)2 9 ，又y ln u 是增函数，u (x 1)2 9 在1, 4 上是减函数，因此 f x 的单调递减区间为1, 4 ．
20. 若函数f(x) loga (6 ax) 在[0, 2] 上为减函数，则 a 取值范围是___________. 【答案】 1, 3 【解析】 令 y loga u ， a 0 且 a 1 ， u 6 ax ，
因为函数f(x) loga (6 ax) 在 0, 2 上是减函数且u 6 ax 在 0, 2 上是减函数，
(
6
2
a
0
)所以 y loga u 是增函数且u 0 恒成立，即a 1 ，解之得 a 的取值范围是1, 3 .
21. 设a log2 0.3,b 30.2 ，c 0.30.2 ，则a, b, c 的大小关系是（ ）
A ．a c b B ．a b c C ．c a b D ．b c a 【答案】 D【解析】 由 y log2 x 在 (0, ) 上是增函数有： a log2 0.3由 y 3x 在 R上是增函数有：b 30.2 30 1 ，由 y 0.3x 在 R上是减函数有： c 0.30.2 0.30 1且 0.30.2 >0.
22. “ x 0 ”是“ ln x 1 0 ”的（ ）
A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】 C【解析】 当 x 0 时， x 1 1, ln(x 1) 0 .所以“ x 0 ”是“ ln x 1 0 ”的充分条件； 当 ln x 1 0 是， ln x 1 ln 1, x 1 1, x 0 .所以“ x 0 ”是“ ln x 1 0 ”的必要条件.
23 ．已知log 1 b log 1 a log 1 c ，则（ ）
2 2 2
(
A
．
) (
．
) (
2
2
2
2
) (
a
) (
D
) (
a
b
b
a
)A ．2b 2a 2c B ．2a 2b 2c C ．2c 2b 2a D ．2c 2a 2b
【答案】 A【解析】 y log 1 x 为单调递减函数， 若log 1 b log 1 a log 1 c ，则b a c 0 ，
又 y 2x 为单调递增函数，所以 2b 2a 2c .故选： A
24 ．已知函数f x x2 log2 x ，若f x 1 5 ，则x 的取值范围是（ ）
A ．( 1, 1] B ．(0, 1] C ． , 1 D ．(, 1]
【答案】 A【解析】 因为f 2 22 log2 2 5 ，所以 f x 1 5 可化为 f x 1 f(2) ，
因为 y = x2 和 y log2 x 在(0, ) 上单调递增，所以f x x2 log2 x 在 (0, ) 上单调递增，
所以 0 x 1 2 ，得 1 x 1 ，所以 x 的取值范围是 ( 1, 1] ，故选： A
25 ．已知定义在R 上的函数f x log2 ax b 1a 0, a 1 的图象如图所示
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则a, b 满足的关系是( )
A ．0 1 1 1 B ．0 1 a 1 C ．0 b 1 1
D ．0 1 b 1
a
【答案】 D【解析】 由图可知函数递增，所以 a 1, f 0 log2 1 b 1 ，故 0 log2 1 b 1 1 ，即 0 b 1 ，
log2 a 1 b 1 0 ，即 a 1 b, 0 1 b 1 ，故选 D.
26 ．已知函数f x ln x 2x ，则f x 的大致图象为（ ）
(
B
．
C
．
)
【答案】 D【解析】 解： 根据题意， f x ln x 2x ，
所以f 1 0 2 2 ， f(x) 在区间(0, ) 上，在 x 轴下方有图象，排除 AB ，
又 f( 1) ln 1 2 2 ，而f(e) ln e 2e 1 2e ，有f( 1) f(e) ， f(x) 不会是增函数，排除 C ，故选： D ．
27. 已知函数f(x) loga (x k) 的图像过点(4, 0) ，而且其反函数y f 1(x) 的图像过点(1, 7) ，则f(x) 是
（ ）
A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数 D ．偶函数
【答案】 A【解析】 由反函数的意义，可知当反函数f 1 (x) 的图象过点(1, 7) 时，原函数的图象过点(7, 1) ，
结合函数 f(x) loga (x k) 的图象过点 (4, 0) ，可得 {
即函数f(x) loga (x k)为f(x) log4 (x 3) ，由对数型复合函数可知函数为增函数，且为非奇非偶函数.
(
x
2
a
) (
A
．
,
B
．
,
C
．
,
) (
4
) (
D
．
,
) (
B
．
,
) (
2
) (
1
) (
2
2
2
2
2
1
) (
4
2
) (
1
0
) (
2
) (
1
a
)【提升训练】
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28 ．已知函数f x 1 的定义域为 A ，函数gx log2
的取值范围为（ ）
1 1 1
2 2 2
x2 x 9 的值域为 B ，又A B ，则 a
1
2
【答案】 B【解析】 根据题意得： x 2a 0 x 2a ，g x log2 x 2 x 9 log 2 x 1 2 2 log2 2 1 ，
则 A x x 2a ， B y y 1 ，由 A B ，可得 2a 1 a ，故选： B.
29 ．已知函数f x loga x r, a 2)的值域为(1, + ) ，则（ ）
A ．r 2,a 2
C ．r 1,a 1
B ．r 2,a 2
D ．r 1,a 1
【答案】D【解析】令 h x 1 ，因为函数 h x 在 r, a 2 上单调性递增，所以 h x 1 , 1 ，
当 a 1时，函数f x 在 r, a 2 上单调性递增，此时值域不可能为(1, + ) ，当 0 a 1时，函数f x 在 r, a 2 上单
2
调性递减，要使得值域为(1, + ) ，则 解得 r 1,a 1 .故选： D
a 3
30 ．已知函数f x 2log2 x a log2 x .若对于任意的x 0, ，都有f x 1 ，则实数a 的取值范
围是（ ）
A ． , 1
1
2
C ． , 1 D ． , 0
【答案】 B【解析】 本题考查对数型函数及其应用，以及利用分离变量法求参数的取值范围，考查数学转化思想.
由 f x 1 整理得 log2 x a log2 ，所以 x a ，即 a x x 0 ，令 t t 0 ，则
a t2 t .令 g t t2 t ，其图像的对称轴为 t ，所以 g t min g 2 1 ，则
a .故选： B．
31．（2021·上海黄浦·格致中学） 若log3 m log3 n 且logm 3 logn 3 ，则实数 m、n 满足的关系式为（ ）
A ．0(
lg
m
lg
n
lg
m
lg
n
)【答案】 C【解析】 由log3 m log3 n 得 0 m n ，由logm 3 logn 3 得 lg 3 lg 3 ，即， lg n lg m 0 ，
0 ，因为 0 m n ，所以 1 ， lg 0 ，所以 lg mlg n 0 ，得 00 或 ，
即 0 n 1 m或 0 m 1 n ，而 0 m n ，所以 0 m 1 n .故选： C.
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