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编号：019 课题: §4.2.1 对数的概念
目标要求
理解对数的概念；
重点难点
重点：指数式与对数式的互化；
难点：对数恒等式的应用．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
基础知识积累
1. 对数的概念
(1)定义:一般地,如果,那么就称b是以a为底N的对数,记作
___________,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)特殊对数:
常用对数:以10为底,记作___________;
自然对数:以e为底,记作__________.
(3)指数与对数的关系:
当, _______________.
【思考】
对数式是不是与的乘积
2.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2) ;
(3) .
【思考】
你能否推导出对数的性质(2)(3)
3.对数恒等式
.
【思考】
对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系
【课前小题演练】
题1. 把对数式x＝log232改写为指数式________．
题2．有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确的个数为________．
题3．若log3＝1，则x＝________；若log3(2x－1)＝0，则x＝________．
题4．若10m＝，则m＝________．
题5．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为________．
题6．若对数ln (x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为________.　
题7．若a＝log23，求2a＋2－a的值．
【课堂题组训练】
题8．若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是 (　 　)
A．[2，＋∞) B．(2，3)∪(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
题9．已知f(ex)＝x，则f(3)＝ (　 　)
A．log3e B．ln 3 C．e3 D．3e
题10．log3＝ (　 　)
A．4 B．－4 C． D．－
题11．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于 (　 　)
A． B． C． D．
题12．方程2＝的解是 (　 　)
A．x＝　　 B．x＝　　 C．x＝　　 D．x＝9
题13．若loga＝c(a>0且a≠1，b>0)，则有 (　 　)
A．b＝a7c B．b7＝ac C．b＝7ac D．b＝c7a
题14．(多选)若logx＋1(x＋1)＝1，则x的取值范围可以是 (　 　)
A．(－1，＋∞) B．(－1，0) C．(－∞，－1) D．(0，＋∞)
题15．(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　 　)
A．e0＝1与ln 1＝0 B．log39＝2与9＝3
C．8＝与log8＝－ D．log77＝1与71＝7
题16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数．直到十八世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N b＝logaN.现在已知a＝log23，则2a＝________.
题17．e0＋2log33＋4＝________．
题18．(1)将3－3＝化成对数式．
(2)log4x＝－，求x.
(3)已知log2(log3x)＝1，求x.
题19．求下列各式中的x值：
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；
(3)x＝log27；(4)x＝log16.
【综合突破拔高】
题20．已知2×9x－28＝，则x＝ (　 　)
A．log37－log32 B．log4 C．log34 D．log37
题21．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是 (　 　)
A．1 B．0 C．x D．y
题22．若10α＝2，β＝lg 3，则100＝ (　 　)
A． B． C．1 D．
题23．log81＝________．
题24．若log2[log4(log3x)]＝log3[log4(log2y)]＝1，则x＋y＝________.
题25．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．
题26．方程log3(9x－4)＝x＋1的解为x＝________．
题27．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
题28．已知logab＝logba(a＞0，a≠1；b＞0，b≠1)，求证：a＝b或a＝.
编号：019 课题: §4.2.1 对数的概念
目标要求
理解对数的概念；
重点难点
重点：指数式与对数式的互化；
难点：对数恒等式的应用．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
基础知识积累
1. 对数的概念
(1)定义:一般地,如果,那么就称b是以a为底N的对数,记作
___ ____,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)特殊对数:
常用对数:以10为底,记作__ ___;
自然对数:以e为底,记作__ ___.
(3)指数与对数的关系:
当, _______.
【思考】
对数式是不是与的乘积
提示:不是, 是一个整体,其运算结果是一个实数.
2.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2) ;
(3) .
【思考】
你能否推导出对数的性质(2)(3)
提示:因为,所以;
因为,所以.
3.对数恒等式
.
【思考】
对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系
提示:指数的底数与对数的底数相等.
【课前小题演练】
题1.把对数式x＝log232改写为指数式________．
【解析】对数式x＝log232改写为指数式为2x＝32.
答案：2x＝32
题2．有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确的个数为________．
【解析】①③④正确，②不正确，只有当a>0，且a≠1时，ax＝N才能化成对数式．
答案：3
题3．若log3＝1，则x＝________；若log3(2x－1)＝0，则x＝________．
【解析】
若log3＝1，则＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
答案：6　1
题4．若10m＝，则m＝________．
【解析】因为10m＝，则m＝lg .
答案：lg
题5．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为________．
【解析】因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，
所以x＝3，同理y＝4，z＝2，所以x＋y＋z＝9.
答案：9
题6．若对数ln (x2－5x＋6)存在，则x的取值范围为________.　
【解析】因为对数ln (x2－5x＋6)存在，所以x2－5x＋6＞0，所以解得x>3或x＜2，
即x的取值范围为：(－∞，2)∪(3，＋∞).
答案：(－∞，2)∪(3，＋∞)
题7．若a＝log23，求2a＋2－a的值．
【解析】因为a＝log23，所以2a＋2－a＝2log23＋2－(log23)
＝3＋＝3＋＝.
【课堂题组训练】
题8．若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是 (　 　)
A．[2，＋∞) B．(2，3)∪(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
【解析】选B.要使对数式log(t－2)3有意义，需，解得t＞2且t≠3，
所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞).
题9．已知f(ex)＝x，则f(3)＝ (　 　)
A．log3e B．ln 3 C．e3 D．3e
【解析】选B.令ex＝3，所以x＝ln 3，所以f(3)＝ln 3.
题10．log3＝ (　 　)
A．4 B．－4 C． D．－
【解析】选B.令log3＝t，则3t＝＝3－4，所以t＝－4.
题11．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】选C.由条件知，log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝8，所以x＝.
题12．方程2＝的解是 (　 　)
A．x＝　　 B．x＝　　 C．x＝　　 D．x＝9
【解析】选A.因为2log3x＝＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.
题13．若loga＝c(a>0且a≠1，b>0)，则有 (　 　)
A．b＝a7c B．b7＝ac C．b＝7ac D．b＝c7a
【解析】选A.因为loga＝c，所以ac＝，所以(ac)7＝()7，所以a7c＝b.
题14．(多选)若logx＋1(x＋1)＝1，则x的取值范围可以是 (　 　)
A．(－1，＋∞) B．(－1，0) C．(－∞，－1) D．(0，＋∞)
【解析】选BD.因为logx＋1(x＋1)＝1，所以 所以x>－1且x≠0.
题15．(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　 　)
A．e0＝1与ln 1＝0 B．log39＝2与9＝3
C．8＝与log8＝－ D．log77＝1与71＝7
【解析】选ACD.log39＝2化为指数式为32＝9.
题16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数．直到十八世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N b＝logaN.现在已知a＝log23，则2a＝________.
【解析】由a＝log23，化对数式为指数式可得2a＝3.
答案：3
题17．e0＋2log33＋4＝________．
【解析】原式＝1＋2＋8＝11.
答案：11
题18．(1)将3－3＝化成对数式．
(2)log4x＝－，求x.
(3)已知log2(log3x)＝1，求x.
【解析】(1)因为3－3＝，所以log3＝－3.
(2)因为log4x＝－，所以x＝4＝22×＝2－3＝.
(3)因为log2(log3x)＝1，所以log3x＝2，即x＝32＝9.
题19．求下列各式中的x值：
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；
(3)x＝log27；(4)x＝log16.
【解析】(1)由logx27＝，可得x＝27，所以x＝27＝(33) ＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝2.所以x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，所以33x＝3－2，所以x＝－.
(4)由x＝log16，可得＝16.所以2－x＝24，所以x＝－4.
【综合突破拔高】
题20．已知2×9x－28＝，则x＝ (　 　)
A．log37－log32 B．log4 C．log34 D．log37
【解析】选C.2×9x－28＝，所以2×(3x)2－28－3x＝0，即(3x－4)(2·3x＋7)＝0，
解得3x＝4，则x＝log34.
题21．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是 (　 　)
A．1 B．0 C．x D．y
【解题指南】先对方程配方，求出x，y后再利用对数性质求值．
【解析】选B.由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，
所以logx(yx)＝log2(12)＝0.
题22．若10α＝2，β＝lg 3，则100＝ (　 　)
A． B． C．1 D．
【解析】选D.因为β＝lg 3，所以10β＝3.所以100＝＝＝＝.
题23．log81＝________．
【解析】设log81＝t，则＝81，3＝34，＝4，t＝8.
答案：8
题24．若log2[log4(log3x)]＝log3[log4(log2y)]＝1，则x＋y＝________.
【解析】由题意，log4(log3x)＝2，得log3x＝16，得x＝316；log4(log2y)＝3，得log2y＝64，
得y＝264.所以x＋y＝316＋264.
答案：316＋264
题25．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．
【解析】因为loga2＝m，所以am＝2，所以a2m＝4，又因为loga3＝n，所以an＝3，
所以a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12.
答案：12
题26．方程log3(9x－4)＝x＋1的解为x＝________．
【解析】因为log3(9x－4)＝x＋1，所以9x－4＝3x＋1，所以(3x)2－3·3x－4＝0，
所以3x＝4，x＝log34，或3x＝－1(舍).
答案：log34
题27．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
【解析】因为logx＝m，所以＝x，x2＝.
因为logy＝m＋2，所以＝y，y＝，
所以＝＝＝＝16.
题28．已知logab＝logba(a＞0，a≠1；b＞0，b≠1)，求证：a＝b或a＝.
【证明】令logab＝logba＝t，则at＝b，bt＝a，所以(at)t＝a则at2＝a，所以t2＝1，t＝±1，
当t＝1时，a＝b；当t＝－1时，a＝.所以a＝b或a＝.
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