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2022届新高考二轮复习 专题一 力与运动
第3讲 力与曲线运动 学案
一、核心思路
二、重点知识
1.运动的合成与分解的一般思路
（1）明确合运动或分运动的运动性质。
（2）明确是在哪一个或两个方向上的合成或分解。
（3）找出各个方向上已知的物理量（速度、位移、加速度）。
（4）运用力与速度的关系或矢量运算法则进行分析求解。
2.运动的合成与分解的运算法则：平行四边形法则。
3.平抛运动规律：
（1）平抛运动的时间由平抛高度决定。
（2）平抛轨迹中，任意时刻速度的反向延长线过此时水平位移的中点。
（3）在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为 θ，位移与水平方向夹角为 α，则有tan θ =2tan α。
4.做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力。向心力不做功，只改变速度方向，不改变速度大小。
5.水平方向的圆周运动
（1）水平方向的圆周问题，可由接触面的支持力、接触面的摩擦力、绳或杆的拉力等提供向心力。解题关键在于各种力的临界状态。
（2）常见临界状态：
①绳：松弛与伸直的临界→F拉=0、恰好不断裂→F为最大值。
②摩擦力：恰好不发生相对滑动→摩擦力为最大静摩擦力等于滑动摩擦力、求速度范围时→根据摩擦力的方向以及题干，求出不产生相对滑动的最大和最小临界值。
6.竖直方向的圆周运动
（1）绳球模型：半径为R的圆形轨道，物体能通过最高点的条件是。
（2）杆球模型：物体能通过最高点的条件是v>0。
（3）拱模型：①凸拱桥关系式：
②凹拱桥关系式：
7.重力和万有引力的关系
（1）不考虑地球自转，地球表面附近物体的重力等于物体与地球间的万有引力，即有：，化简得（黄金代换式）
（2）考虑地球自转时，在两极上才有，赤道上则有。
8.传动装置
（1）关系记忆：同带等线速，同轴等角速。
（2）对于不相邻的装置，要根据半径的不同，通过相邻的装置来转到计算角速度与线速度关系。
（3）相关公式：，
同轴：
同带：
9.人造卫星做匀速圆周运动
（1）常用等式：。
（2）导出表达式：。
（3）结论：卫星运行半径越大，向心加速度、线速度、角速度越小，周期越大。万有引力、动能越小，引力势能越大。
10.三类天体问题
（1）近地卫星：
（2）同步卫星：
（3）双星：
三、考点分析
考点1 运动的合成与分解
例1.河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为，各点到较近河岸的距离为x，与x的关系为。让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为。下列说法中正确的是( )
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5 m/s
C.小船在距离南岸200 m处的速度小于在距离北岸200 m处的速度
D.小船渡河的时间是160 s
答案：B
解析：水流速度大小与离河岸的距离大小有关，故小船的静水速度与河水速度的合速度的大小和方向是变化的，小船渡河的轨迹为曲线，A错误；河水速度最大为，故小船在河水中的最大速度为，B正确；小船距离南、北岸200 m处，水流速度均为1.5 m/s，故小船的速度大小相等，C错误；小船渡河时间与水流速度大小无关，，D错误。
归纳总结：
1.判断运动轨迹的方法：分别求得某时刻物体合速度方向与物体所受合力方向，若二者方向共线，则物体做直线运动；若二者方向不共线，则物体做曲线运动。物体做曲线运动时，轨迹的凹侧为物体所受合力方向。
2.端速问题
（1）解题思路：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）方向的两个分量，根据沿绳方向速度相等列等式求解未知量。
（2）注意：①在进行速度分解时，要注意角度关系。
②等式具有瞬时性，当存在角度时，物体的运动会引起下一时刻的角度变化。必要时，可能需要对两个时刻分别进行速度分解。
3.过河问题
（1）过河时间最短：船头方向垂直于河岸，
（2）过河路径最短：
①当水流速度小于船速时：水流与船的合速度垂直于河岸时，路径为河宽d。
②当水流速度大于船速时：合速度无法垂直于河岸。因为河的宽度d确定，所以只需要让船的行驶方向v与垂直河岸方向的夹角越小，船的路径即为最短。如下图：
因为船的静水速度v船和水流速度v水不变，所以当船的静水速度v船垂直船的行驶速度v时，θ最小，路径最短。，。
[变式训练]
1.如图所示，卡车通过定滑轮以恒定的功率控绳，牵引河中的小船沿水面运动，已知小船的质量为沿水面运动时所受的阻力为，当绳段与水平面夹角为时，小船的速度为，不计绳子与滑轮的摩擦，则此时小船的加速度等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示，船从A处开出后沿直线到达对岸，若与河岸成角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为（ ）
A.2 m/s B.2.4 m/s C.3 m/s D.3.5 m/s
考点2 抛体运动
例2.2022年北京将迎来中国历史上的第一次冬季奥运会。跳台滑雪是冬奥会的传统项目，其运动过程可以简化成如图所示模型。运动员从雪坡斜面顶端A点以不同的初速度水平飞出，分别落在斜面上点，，落到点对应的起跳初速度分别为、，下落的时间分别为、，不计空气阻力。下列判断正确的是( )
A.两次下落的时间之比
B.两次落在斜面上时速度与斜面的夹角之比为1:2
C.两次初速度大小之比为
D.两次落在斜面上时速度大小之比为
答案：D
解析：落到点时对应下落的高度之比为1:2，由于运动员在竖直方向上做自由落体运动，则由公式得，则两次下落的时间之比为，A错误；两次落到斜面上时位移与水平方向的夹角相同，由平抛运动的推论知两次落在斜面上时速度与水平方向的夹角相同，知两次落在斜面上时速度与斜面的夹角相同，B错误；运动员在水平方向上做匀速直线运动，则由得，由于两次的水平位移之比为1:2，又时间之比为，则两次初速度大小之比为，C错误；又由于两次落在斜面上时的速度与水平方向的夹角相同，设与水平方向的夹角均为α，则落在斜面上的瞬时速度为，所以两次落在斜面上时速度大小之比等于初速度大小之比，为，D正确。
归纳总结：
1.处理平抛运动时，一般将运动沿平抛初速度方向和垂直初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动。
2.斜面上的平抛运动如果落点也在斜面上，则竖直位移与水平位移之比等于斜面坡角的正切值；竖直速度与水平速度的比值等于斜面坡角正切值的二倍。
[变式训练]
3.某学校体育选修课开设飞镖投掷项目，在竖直墙壁上悬挂一镖靶，一学生站在离墙壁一定距离的某处，先后将两只飞镖由同一位置水平掷出，落在靶上的位置如图所示（侧视图）.若不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.飞镖B的运动时间与飞镖A的运动时间相同
B.飞镖B掷出时的初速度比飞镖A掷出时的初速度大
C.飞镖的速度变化方向一定相同
D.飞镖B的质量一定比飞镖A的质量大
4.随着北京冬奥会的临近，滑雪项目成为了人们非常喜爱的运动项目。如图，质量为的运动员从高为的点由静止滑下，到达点时以速度水平飞出，经一段时间后落到倾角为的长直滑道上点，重力加速度大小为，不计空气阻力，则运动员( )
A.落到斜面上点时的速度
B.在空中平抛运动的时间
C.从点经时，与斜面垂直距离最大
D.从4到的过程中克服阻力所做的功
考点3 圆周运动
例3.如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N
答案：B
解析：该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有，代入数据解得，选项B正确。
归纳总结：
1.圆周类问题解题思路：
（1）确定圆周运动的类型以及受力，画出受力分析图。
（2）根据运动状态确定向心力大小。
（3）计算合力大小，根据牛顿定律及向心力公式列等式。
2.注意：高考中物体圆周运动的受力都比较复杂，我们在分析受力时，要根据重力的特性去逐步展开，尤其是对摩擦力进行分析时，要先确定摩擦力的类型，在确定摩擦力的方向，最后根据受力平衡和牛顿第二定律列等式。
[变式训练]
5.如图所示,长的轻质细杆,一端固定有一个质量为的小球,另一端由电动机带动,使杆绕在竖直平面内作匀速圆周运动,小球的速率为。取,下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时,对杆的拉力大小是
B.小球通过最高点时,对杆的压力大小是
C.小球通过最低点时,对杆的拉力大小是
D.小球通过最低点时,对杆的拉力大小是
6.两个质量分别为2m和m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴的距离为与转轴的距离为之间用长为L的强度足够大的轻绳相连,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,开始时轻绳刚好伸直但无张力,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是()
A.a比b先达到最大静摩擦力
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.是b开始滑动的临界角速度
D.当时,a所受摩擦力的大小为
考点4 计算天体质量及密度
例4.使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度，与的关系是。已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则( )
A.该星球的平均密度为 B.该星球的质量为
C.该星球上的第二宇宙速度为 D.该星球的自转周期是地球的
答案：A
解析：对于处在星球表面的物体，其万有引力近似等于重力，则由得，又，，整理得，则该星球的密度与地球密度的比值为，则，A正确；该星球的体积为，质量为，由以上可得，B错误；由得，又，则该星球上的第一宇宙速度为，该星球上的第二宇宙速度为，C错误；由题中的条件不能分析出该星球与地球自转周期的关系，D错误。
归纳总结：
1.计算天体质量和密度的思路：
（1）利用中心天体半径和表面重力加速度g计算：由，求出。
（2）利用环绕天体的轨道半径和周期计算：由，，若贴地表飞行，则，
2.注意事项：
（1）无论用哪种方式求质量，都只能求中心天体质量，不能计算环绕天体质量。
（2）注意天体半径和轨道半径的区别。
（3）有些天体运动的选项可以不算出准确值，可以用排除法排除选项。
[变式训练]
7.假设宇宙中有两颗相距无限远的行星和，自身球体半径分别为和。两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方与运行公转周期的平方的关系如图所示；为卫星环绕各自行星表面运行的周期。则( )
A．行星的质量小于行星的质量
B．行星的密度小于行星的密度
C．行星的第一宇宙速度等于行星的第一宇宙速度
D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星的卫星的向心加速度大于行星的卫星的向心加速度
8.如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的密度；
(3)该星球的第一宇宙速度v；
(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T.
考点5 卫星变轨问题
例5.2019年10月11日，中国火星探测器首次公开亮相，暂命名为“火星一号”，并计划于2020年发射.接近火星后，探测器需经历如图所示的变轨过程，轨道Ⅰ为圆轨道，已知引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A.探测器在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
B.探测器在轨道上运动时，运行的周期
C.探测器若从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度反向喷气
D.若轨道Ⅰ贴近火星表面，并已知探测器在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
答案：BD
解析：根据开普勒第三定律可知，探测器在轨道上运动时半径越大其运行的周期越大，故B正确；探测器在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气，从而使探测器减速到达轨道Ⅰ，则探测器在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能，故AC错误；根据万有引力定律可得，根据可得，联立解得，所以当轨道Ⅰ贴近火星表面，并且已知探测器在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，故D正确.
归纳总结：
1.圆轨道运行的天体中，轨道越低，速度越大，周期越小，可用“高轨低速大周期，低轨高速小周期”记忆
2.椭圆轨道运行的天体机械能守恒，远离中心天体时，万有引力做负功，速度减小，势能增大，可用“高轨低速等周期，等机大势小引力”记忆。
3.同一卫星在不同轨道上运行时，半径越大机械能越大，可用“高轨大机，低轨小机”记忆。
4.卫星经过不同轨道的焦点时，加速度相等。
[变式训练]
9.如图所示，在“嫦娥”探月工程中，设月球半径为，月球表面的重力加速度为。飞船在半径为的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月做圆周运动，则( )
A．飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为81
B．飞船在轨道Ⅲ的运行速率大于
C．飞船在轨道Ⅰ上经过处的加速度小于在轨道Ⅱ上经过处的加速度
D．飞船在轨道Ⅰ上经过处的运行速率小于飞船在轨道Ⅱ上经过处的运行速率
10.在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ。则下列说法正确的是( )
A．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度
C．在轨道Ⅰ上，卫星在点的速度大于在点的速度
D．卫星在点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
变式训练答案
变式1答案：D
解析：小船的实际运动为合运动，沿着绳子方向和垂直绳子方向的是分运动，如图
根据平行四边形定则，有
故拉力为：①
对船受力分析，受重力、拉力、浮力和阻力，根据牛顿第二定律，有
②
由①②解的
变式2答案：B
解析：如图所示，
当时，最小，
.
变式3答案：C
解析：两只飞镖由同一位置水平抛出，由飞镖落在靶上的位置可知，飞镖B竖直下落的高度大于飞镖A竖直下落的高度，由可得，即飞镖B的运动时间大于飞镖A的运动时间，选项A错误；由，结合两飞镖水平位移相同，可知飞镖B掷出时的初速度小于飞镖A掷出时的初速度，选项B错误；物体做平抛运动时只受重力作用，其加速度g的方向竖直向下，由可知速度变化的方向与加速度方向一致，所以飞镖的速度变化方向一定相同，选项C正确；根据题中信息，不能判断出飞镖的质量大小关系，选项D错误.
变式4答案：CD
解析：A.设落到C点时，与水平方向的夹角为，则，所以，故A错误；
B.，所以，故B错误；
C.速度方向与斜面平行时运动员与斜面距离最远，此时，所以，故C正确；
D.从A到B，根据动能定理，所以，故D正确。
变式5答案：BD
解析：设小球在最高点时受杆的弹力向上,则,得,故小球对杆的压力大小是6N,A错误,B正确;小球通过最低点时,,得,小球对杆的拉力大小是54N,C错误,D正确
变式6答案：D
解析：木块随圆盘一起转动,静摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律得,当木块所受摩擦力达到最大静摩擦力时,,即,所以当圆盘的角速度增大时b受到的静摩擦力先达到最大,故A错误;在b受到的摩擦力没有达到最大前,静摩擦力提供向心力,由牛顿第二定律得,木块所受的静摩擦力,a和b的质量分别是2m和m,而a与转轴的距离为与转轴的距离为,所以开始时a和b受到的摩擦力是相等的,当b受到的静摩擦力达到最大后,b受到的摩擦力与绳子的拉力的合力提供向心力,即,而对a有,联立得,可知二者受到的摩擦力不一定相等,故B错误;当b刚要滑动时,有,解得,故C错误;当时,a所受摩擦力的大小为,故D正确。
变式7答案：D
解析：A.根据万有引力提供向心力,有：
解得：，
对于环绕行星表面运行的卫星，有：…①
对于环绕行星B表面运行的卫星，有：…②
联立①②得：…③
由图知,,所以，故A错误。
B.行星质量为：
B行星的质量为：，
代入③得：
解得：，故B错误。
C.行星的近地卫星的线速度即第一宇宙速度,根据万有引力提供向心力,有：
解得：,因为,所以，故C错误。
D.根据知,,由于，行星运动的轨道半径相等，则行星的卫星的向心加速度大于行星的卫星的向心加速度，故D正确。
变式8答案：(1)
(2)
(3)
(4)
解析：(1)设该星球表面的重力加速度为g，根据平抛运动规律：
水平方向：
竖直方向：
平抛位移与水平方向的夹角的正切值
由以上三式得
(2)在星球表面有：，
所以，
该星球的密度：.
(3)由，
可得.
(4)绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，，
.
变式9答案：A
解析：A.飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ上的轨道半径分别为4R和R,根据开普勒第三定律可知,，解得飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ上运行的周期之比为8:1，故A正确；
B.飞船在轨道Ⅲ上绕月球表面飞行,重力提供向心力, ,运行速率：，故B错误；
C.在同一位置A点,飞船只受万有引力作用,加速度：，故飞船在轨道Ⅰ上经过A处的加速度等于在轨道Ⅱ上经过A处的加速度，故C错误；
D.飞船在A点，由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，做近心运动，需要减速，故飞船在轨道Ⅰ上经过A处的运行速率大于飞船在轨道Ⅱ上经过A处的运行速率，故D错误。
故选：A。
变式10答案：CD
解析：A、是卫星脱离地球束缚的发射速度，而同步卫星仍然绕地球运动，故A错误。
B、即第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度。而同步卫星的轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，根据v的表达式可以发现，同步卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度。故B错误。
C、在轨道Ⅰ上，由P点向Q点运动，万有引力做负功，动能减小，所以P点的速度大于Q点的速度。故C正确。
D、从椭圆轨道Ⅰ到同步轨道Ⅱ，卫星在Q点是做逐渐远离圆心的运动，要实现这个运动必须卫星所需向心力大于万有引力，所以应给卫星加速，增加所需的向心力。所以卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ。故D正确
故选：CD

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