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专题1.7 由展开图计算几何体的体积（基础检测）
一、单选题
1．如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为（　　）
A．8 B．12 C．18 D．20
【答案】A
【分析】根据观察、计算可得长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可得答案．
【详解】解：由图可知长方体的高是1，宽是3-1=2，长是6-2=4，
长方体的容积是4×2×1=8，
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的展开图.能判断出该几何体为长方体的展开图，并能根据展开图求得长方体的长、宽、高是解题关键.
2．如图是边长为的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将长方体的高设为x cm，则宽可表示为2x cm，由长方体展开图为正方形，可得出边的关系列方程求得x，进一步求出长方体的长宽，即可求得体积．
【详解】设长方体的高为xcm，则宽为2xcm，
根据题意得：x+2x+x+2x=60，
解得x=10，
所以，长方体盒子的宽为20cm，长为60-20=40cm．
40×10×20=8000（cm3）
故长方体的体积为8000cm3．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及长方体展开图，在解题时关键理清长方体长宽高与其展开图边的关系．
3．如图，将长方形ABCD绕虚线l旋转一周，则形成的几何体的体积为(　　)
A．πr2h B．2πr2h C．3πr2h D．4πr2h
【答案】C
【分析】根据柱体的体积V=S h，求出形成的几何体的底面积，即可得出体积．
【详解】解：∵柱体的体积V=S h，
其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高，
现将矩形ABCD绕轴旋转一周，
∴柱体的底面圆环面积为：，
∴形成的几何体的体积等于：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆柱的形成，圆柱体体积公式，根据已知得出柱体的底面面积是解决问题的关键．
4．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
【答案】D
【分析】根据结合已知条件可得答案．
【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为 圆锥的高为，则圆柱的高为，
故选D．
【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键．
5．如图，把边长为12cm的正方形厚纸的四个角各剪去一个大小一样的小正方形（边长图中标明），便可做成一个没有盖的纸盒，则以下四种剪法中所做纸盒容积最大的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据图形分别计算得出纸盒的底面边长，再根据长方体以及正方体的体积公式求解即可．
【详解】解：选项A：底面边长为：，纸盒容积为：；
选项B：底面边长为：，纸盒容积为：；
选项C：底面边长为：，纸盒容积为：；
选项D：底面边长为：，纸盒容积为：；
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点求长方体以及正方体的体积，根据所给图形求出纸盒的底面边长是解此题的关键．
6．在课题学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．
甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD是正方形；
乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD是正方形；
丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD是长方形，AB=2AD．
将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按从大到小的顺序排列，正确的是
A．甲＞乙＞丙 B．甲＞丙＞乙 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲
【答案】C
【分析】分别将甲乙丙三位同学折成的无盖长方体的容积计算出来，即可比较大小.
【详解】甲：长方体的长为5cm，宽为3 cm，高为3 cm，容积为
乙：长方体的长为10 cm，宽为2 cm，高为2 cm，容积为
丙：长方体的长为6 cm，宽为4 cm，高为2 cm，容积为
所以，丙＞甲＞乙
故选C
【点睛】本题主要考查了长方体的体积，掌握长方体的体积公式是解题的关键.
二、填空题
7．如图所示的长方形是圆柱的侧面展开图，已知这个长方形相邻的两边长分别为6，4π，则圆柱体的体积为_____．
【答案】24π或36
【分析】以不同的边为圆柱体的底面周长，计算出底面半径，再根据圆柱体体积计算方法进行计算即可．
【详解】解：①以4π为底面周长，6为高，
此时圆柱体的底面半径为 ＝2，
∴圆柱体的体积为π×22×6＝24π，
②以6为圆柱体的底面周长，4π为高，
此时圆柱体的底面半径为＝，
∴圆柱体的体积为π×（）2×4π＝36，
故答案为：24π或36．
【点睛】本题考查圆柱体的展开与折叠，理解圆柱体表面展开图与圆柱体之间的关系是解决问题的关键．
8．两个高相等，底面半径之比为的圆柱和圆锥，它们的体积之比是______.
【答案】
【分析】根据题意，因为要计算圆柱和圆锥的体积的比，所以设高为h，半径分别是k和3k，然后通过体积公式计算面积求比.
【详解】设圆柱和圆锥的高都为h，半径分别是k和3k.
圆柱的体积=底面积高
圆锥的体积=底面积高
则 ，即为
故答案为
【点睛】本题解题时需要用到的是圆柱的体积=底面积高，圆锥的体积=底面积高,题中有未知量时可以设未知数代替，因为最终结果也是比例关系，所以所设的未知数对结果无影响.
9．一个长方体的长宽高分别为a2，a，a3，则这个长方体的体积是_____．
【答案】
【详解】解：长方体的体积=长×宽×高，则V=.
故答案为：
10．某长方体包装盒的展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm，高2cm，求这个包装盒的体积是___________．
【答案】90cm3
【分析】要求长方体的体积，需知长方体的长，宽，高，结合图形可知2个宽+2个高=14，依此可求长方体盒子的宽；再根据长方体盒子的长=宽+4，可求长方体盒子的长；再根据长方体的体积公式即可求解．
【详解】解：（14-2×2）÷2
=（14-4）÷2
=10÷2
=5（cm），即长方体的宽为5cm，
5+4=9（cm），即长方体的长为9cm，
则9×5×2=90（cm3）．
故答案为：90cm3．
【点睛】本题考查了几何体的表面积的运用，几何体的体积公式的运用，关键是得到长方体的长，宽，高．
11．如图，圆柱的侧面是由一张长16πcm、宽3cm的长方形纸条围成（接缝处重叠部分忽略不计），那么该圆柱的体积是_____cm3．
【答案】192π
【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，根据长方形的长可以求出底面半径，进一步求出底面积，圆柱体积=圆柱底面积×高可以求出圆柱的体积.
【详解】解：16π÷（2×π）＝8（cm）
π×82×3＝192π（cm3）
故该圆柱的体积是192πcm3．
故答案为：192π．
【点睛】本题考查的是立体图形的体积，要解决此题首先我们要知道圆柱侧面积展开图的特点以及圆柱的体积公式.
12．如下图是一个物体的表面展开图(单位：cm)，则这个物体的体积为________cm3.
　　
【答案】250π.
【分析】根据：体积=底面积×高可得.
【详解】底面面积是: =25cm2,
所以物体体积是： 25×10=250πcm3.
故答案为250π.：
【点睛】本题考核知识点：求几何体的体积.解题关键点：记住体积公式.
13．一个圆锥的底面积是40cm2，高12cm，体积是__________cm3．
【答案】160
【分析】根据圆锥的体积公式： ，把数据代入公式解答即可.
【详解】解：=×40×12=160 cm3，.
故答案为：160.
【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式.
14．如图是一个无盖的长方体盒子的展开图(重叠部分不计) ，根据图中数据．则该无盖长方体盒子的容积为__________
【答案】
【分析】先分别求出这个长方体的长宽高，再根据体积公式进行计算即可得出答案.
【详解】由图可得，高=10cm，长=30-10=20cm，宽=50-20=30cm
∴容积=10×20×30=6000cm3
故答案为6000.
【点睛】本题考查的是长方体展开图的特征，难度适中，解题关键是根据图示求出这个长方体的长宽高.
三、解答题
15．一个圆锥形沙堆，底面积是，高．用这堆沙在宽的公路上铺厚的路面，能铺多少米？（注意单位）
【答案】能铺米
【分析】先根据圆锥体积公式求出圆锥的体积，把这堆沙铺在长方体路面上就相当于长方体的体积，然后根据长方体的体积公式即可求出结论．
【详解】解：圆锥形沙堆的体积为
=
=
答：能铺米．
【点睛】此题考查的是求圆锥的体积和根据长方体的体积，求长方体的长，掌握圆锥的体积公式和长方体的体积公式是解决此题的关键．
16．如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为3cm，长方形的长为5cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
【答案】（1）有多余块；多余部分图见解析；（2）
【分析】（1）由于长方体有6个面，且相对的两个面全等，所以展开图是6个长方形（包括正方形），而图中所拼图形共有7个面，所以有多余块，应该去掉一个；又所拼图形中有3个全等的正方形，结合平面图形的折叠可知，可将第二行最左边的一个正方形去掉；
（2）由题意可知，此长方体的长、宽、高可分别看作5厘米、3厘米和3厘米，将数据代入长方体的体积公式即可求解．
【详解】解：（1）根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块．多余部分如图所示：
答：长方体的体积为．
【点睛】本题考查了平面图形的折叠与长方体的展开图及其体积的计算，熟练掌握平面图形的折叠与长方体的展开图及其体积的计算是解题的关键．
17．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
【答案】（1）存在问题，图见解析；（2）长方体的表面积为264cm2；长方体的体积为288cm3．
【分析】（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；
（2）把4长方形的面积和2个正方形的面积相加可得长方体的表面积；由长 ×宽 ×高可得长方体的体积．
【详解】解：（1）存在问题，长方体只有6个面，而小明拼了7个面在一起，因此有多余的面，把最下方的小正方形去掉即可，如下图所示：
（2）长方体的表面积=6×8×4+62×2=192+72=264cm2；
长方体的体积=6×8×6=288cm3．
【点睛】此题考查的是长方体的展开图、求长方体的表面积和体积，掌握长方体的展开图的特征是解题关键．
18．如图，一个圆柱体的侧面展开图为长方形，若，则该圆柱体的体积是多少？（取，结果精确到十分位）
【答案】或315.5cm3
【分析】先根据长方形的长和宽，确定出圆柱的底面半径和高，然后根据圆柱的体积=底面积×高计算即可．
【详解】解：要求体积就要先求底面积半径，
若6.28为圆柱的高，
根据底面周长公式可得，
再根据圆柱的体积公式可得；
若25.12为圆柱的高，
根据底面周长公式可得，
再根据圆柱的体积公式可得；
【点睛】本题主要是考查了圆柱的体积的计算方法，根据题意长方形的长和宽确定出圆柱的底面半径和高的长度是解题的关键．
19．如图所示是一张铁皮．
（1）计算该铁皮的面积；
（2）它能否做成一个长方体盒子？若能，计算其体积；若不能，说明理由．
【答案】（1） 平方米；（2）能，立方米
【分析】（1）该铁皮的面积等于6个长方形的面积之和即可解答；
（2）根据几何体的折叠可知，可以折成一个长、宽、高分别为3米、2米、1米的长方体，根据长方体的体积公式即可解答．
【详解】解：（1）由图可知，该铁皮的面积为(1×3＋2×3＋1×2)×2＝22（平方米）
（2）由图可知，可以折成一个长、宽、高分别为3米、2米、1米的长方体，
如下图：
故其体积为1×2×3＝6（立方米）．
【点睛】本题考查了长方体的展开与折叠、求长方体的表面积和体积，理解和掌握长方体的展开图，要注意多观察、辨认给定图形能否折成长方体．
20．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的正方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形.其中，阿中同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪成了图①、图②两部分.根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）阿中总共剪开了几条棱？
（2）现在阿中想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，他有几种粘贴方法？请在图①上画出粘贴后的图形（画出一种即可）；
（3）已知图③是阿中剪开的图①的某些数据，求这个长方体纸盒的体积.
【答案】（1）8条；（2）有4种粘贴方法，图形见解析；（3）这个长方形纸盒的体积为
【分析】(1)长方体共有12条棱，图①中未剪的棱有4条，由此可得出剪开的棱数；
(2)根据长方体的展开图直接复原即可，注意两个相对面中间要隔一个面；
(3)直接设长方体的高为x，则根据图中数据可得出长、宽的代数式，从而解得x的值，再求体积即可.
【详解】解：(1)12-4=8(条)
因此，阿中总共剪开了8条棱.
(2)有4种粘贴方法.
如图，四种情况：
(3)设高为，则宽为，长为
∴
解得：
∴体积为：
答：这个长方形纸盒的体积为.
【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的展开图，主要考查学生的空间想象能力，掌握几何体展开图的特征是解题的关键.
12 / 12专题1.7 由展开图计算几何体的体积（基础检测）
一、单选题
1．如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为（　　）
A．8 B．12 C．18 D．20
2．如图是边长为的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将长方形ABCD绕虚线l旋转一周，则形成的几何体的体积为(　　)
A．πr2h B．2πr2h C．3πr2h D．4πr2h
4．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
5．如图，把边长为12cm的正方形厚纸的四个角各剪去一个大小一样的小正方形（边长图中标明），便可做成一个没有盖的纸盒，则以下四种剪法中所做纸盒容积最大的是（　　）
A． B． C． D．
6．在课题学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．
甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD是正方形；
乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD是正方形；
丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD是长方形，AB=2AD．
将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按从大到小的顺序排列，正确的是
A．甲＞乙＞丙 B．甲＞丙＞乙 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲
二、填空题
7．如图所示的长方形是圆柱的侧面展开图，已知这个长方形相邻的两边长分别为6，4π，则圆柱体的体积为_____．
8．两个高相等，底面半径之比为的圆柱和圆锥，它们的体积之比是______.
9．一个长方体的长宽高分别为a2，a，a3，则这个长方体的体积是_____．
10．某长方体包装盒的展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm，高2cm，求这个包装盒的体积是___________．
11．如图，圆柱的侧面是由一张长16πcm、宽3cm的长方形纸条围成（接缝处重叠部分忽略不计），那么该圆柱的体积是_____cm3．
12．如下图是一个物体的表面展开图(单位：cm)，则这个物体的体积为________cm3.
　　
13．一个圆锥的底面积是40cm2，高12cm，体积是__________cm3．
14．如图是一个无盖的长方体盒子的展开图(重叠部分不计) ，根据图中数据．则该无盖长方体盒子的容积为__________
三、解答题
15．一个圆锥形沙堆，底面积是，高．用这堆沙在宽的公路上铺厚的路面，能铺多少米？（注意单位）
16．如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为3cm，长方形的长为5cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
17．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积．
18．如图，一个圆柱体的侧面展开图为长方形，若，则该圆柱体的体积是多少？（取，结果精确到十分位）
19．如图所示是一张铁皮．
（1）计算该铁皮的面积；
（2）它能否做成一个长方体盒子？若能，计算其体积；若不能，说明理由．
20．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的正方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形.其中，阿中同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪成了图①、图②两部分.根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）阿中总共剪开了几条棱？
（2）现在阿中想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，他有几种粘贴方法？请在图①上画出粘贴后的图形（画出一种即可）；
（3）已知图③是阿中剪开的图①的某些数据，求这个长方体纸盒的体积.

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