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直线方程
知识点梳理
1．直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角 ①定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴________与直线________方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
②倾斜角的范围为______________．
（2）直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即________，倾斜角是的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
注意：经过两点，的直线的斜率公式为______________________．当时，直线的斜率__________．
（3）直线的倾斜角与斜率的关系：，
当为锐角时，越大越____；当为钝角时，越大越____．
直线方程的五种基本形式
点斜式：，适于用经过定点的问题
斜截式：，适用于判定直线位置关系
两点式：
截距式：
一般式：，适用于点到直线的距离和判定直线的位置关系
3．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、，则有____________．特别地，当直线的斜率、都不存在时，与________．
（2）两条直线垂直
如果两条直线斜率、存在，设为、，则____________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________．
4．三种距离公式
（1）点、间的距离：
．
（2）点到直线：的距离：
．
（3）两平行直线：与： （）间的距离为______________．
例题1.（1）求图中各直线的倾斜角．
(1)　　　　　(2)　　　　　　　(3)
【解析】　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.
(2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.
(3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，
∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.
①　　　　　　②　　　　　　　　③
例题2.若直线经过两点，且倾斜角为，则m的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B【详解】由题意，可知直线的斜率存在，且，所以，解得.
例题3.　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
【解析】(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.
(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.
例题4：根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解析】（1）因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2.
(3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
例5..求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
【解析】　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
例6.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直．
【解析】　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，要使l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
例题7.不论为何值，直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.
例题8：已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
【解析】(1)如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．
法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，|BC|＝＝5.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
法二：∵kAB＝＝－2，kAC＝＝.
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
(2)由(1)中法一得|AB|＝2，|AC|＝.
又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5.
例题9．求点P(3，－2)到下列直线的距离：
①y＝x＋；②y＝6；③x＝4.
【解析】①把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
②把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.
③因为直线x＝4平行于y轴，
所以d＝|4－3|＝1.
例题10.已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．
【解析】当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
练习
1．直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】把直线方程整理为，令，故，所以定点为，
2．已知点，在直线上，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】根据截距式可得直线方程为：
即.
3．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
因为直线的方程为，所以直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为，
4．若直线l过点且斜率，则l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
由点斜式可得直线方程为，整理得.故选：A.
5．已知斜率为的直线过直线与交点，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】联立，，解得，
又直线斜率为，∴直线的方程为，即，
∴原点到直线的距离为.
6．已知两条直线，平行，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D【详解】因为两条直线，平行，则，解得或.
7．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】将直线化为点斜式方程得，
所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
8．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
由可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
9．过点且斜率为的直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】所求直线方程为，该直线交轴于点，
因此，该直线在轴上的截距是.
10．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】
直线即的倾斜角为，
11．斜率为，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】直线在轴上的截距为2，直线经过点(2,0)，
又直线的斜率为，由直线的点斜式方程得直线的方程为,即，
故选：C.
12．直线l经过点，且与直线平行，则l的一般式方程为__________．
【答案】
【详解】因为直线经过点，且与直线平行，
所以可设直线l的方程为从而有，解得
13．已知直线l1:和l2:，且l1l2，则两直线l1和l2间的距离是_________.
【答案】【详解】
由题意知，，得，
解得，所以，
所以两直线间的距离为，
14．两条平行线之间的距离等于________．
【答案】2【详解】
由题意可得两平行线间的距离为
，
15．已知点A（-2，-2），B（a，2）且，则a的值为___________.
【答案】1或-5【详解】
∵点A（-2，-2），B（a，2），且或.
故答案为：1或-5.
16．直线必经过定点___________.
【答案】【详解】
由，得，
所以，解得，
即直线过定点.
17．设直线l过点A（-1，3），且和直线平行．
（1）求直线l的方程；
（2）设l与x轴相交于点B，求直线l绕点B逆时针旋转90°所得的直线方程．
【答案】（1）（2）
解：由题意得：直线l和直线平行
直线l的方程为：，解得：．
（2）l与x轴相交于点B（3，0）
直线l绕点B逆时针旋转90°所得的直线方程的斜率为：．
直线方程：，化简得：．
18．求满足下列条件的直线方程：
（1）过点，倾斜角为45°；（2）过两点．
【答案】
（1）
（2）
（1）所求直线方程为，即.
（2）所求直线方程为，即.
19．已知两点，．
（1）求直线AB的斜率k和倾斜角；
（2）求直线AB在y轴上的截距b．
【答案】
（1）,
（2）
（1）根据题意，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，
又由两点，，则，
则，因为所以，
（2）根据题意，直线AB的斜率，则其方程，
变形可得：，直线AB在y轴上的截距；
即.
20．已知的顶点．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程；
（3）的中位线与边平行，求所在直线的方程．
【答案】
（1）（2）（3）
（1）三角形的三个顶点是．
所以BC斜率为：，所以BC边上的高AD的斜率为：，BC边上的高AD所在直线的方程为：，即；
（2）顶点是则其中点，所以中线AP所在直线直线斜率，
所以中线AP所在直线方程为：，即.
（3）求出的中点，求出BC的斜率为：，由点斜式即可写出方程,即
21．的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC的垂直平分线的方程．
【答案】（1）（2）
（1）解：BC的中点坐标为，
所以边BC上的中线的斜率为，
所以边BC上的中线所在直线的方程为.
（2）解：由（1）知BC的中点坐标，又，
所以边BC的垂直平分线的斜率为，
所以边BC的垂直平分线的方程为．
22．已知直线经过两点，问：当取何值时：
（1）与轴平行？（2）与轴平行？（3）的斜率为？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）当直线与轴平行时，直线的斜率为0，此时，得.
（2）当与轴平行时，直线不存在斜率，得.
（3）当的斜率为时，有，解得.
故当时，与轴平行；当时，与轴平行；当，的斜率为.
23．已知的三个顶点是
（1）求边的高所在直线方程；
（2）的面积
【答案】（1）；（2）8.
【详解】（1）设边的高所在直线为，
由题知 则，
又点在直线上所以直线的方程为
即
（2）所在直线方程为： 即
点到的距离
又
则
24．已知直线；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．
【答案】（1）；（2）或.
【详解】（1）设直线的斜率分别为，则．
若，则，，
（2）若，则， ∴可以化简为，
又直线与直线的距离，或，综上：.
25．已知直线，求
（1）求直线l的斜率：
（2）若直线m与l平行，且过点，求直线m的方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由直线方程知：，即直线l的斜率为；
（2）由（1），根据直线m与l平行，且过点，则直线m：，
∴直线m一般形式为.
26．求原点到下列直线的距离：
（1） （2）．
【答案】（1）（2）0
【详解】（1），（2）直线，则
27．求满足下列条件的直线方程.
（1）斜率为，经过点；（2）斜率为，在轴上的截距是；
（3）经过两点和；（4）经过两点和.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【详解】（1）由题意可知直线的方程为，即为；
（2）由题意可知直线的方程为，即为；
（3）由题意可知直线的方程为，即为；
（4）由题意可知直线的方程为，即为.
28．三角形的三个顶点是，，．
（1）求边所在的直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程；
（3）求经过两边和中点的直线的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】（1）由，．可得边所在的直线方程是：，即．
（2）因为边上的高垂直于，（1）由已知
高所在的直线方程斜率为
又边上的高过点，
故所求直线方程为
故边上的高所在的直线方程是.
（3）经过两边和中点的直线平行于，
可设所求直线方程为．
由已知线段的中点为
．
解得：
故经过两边和中点的直线方程为．
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