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专题07 功能关系（学生版）
1．动能定理公式中“＝”的意义
等号表明合力做功与物体动能变化的三个关系
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2．应用动能定理解题的步骤
(1)选取研究对象，明确它的运动过程。
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
→→→→
(3)明确物体在过程始末状态的动能Ek1和Ek2。
(4)列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程进行求解。
3. 重力势能的相对性，选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的．
对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正 ( http: / / www.21cnjy.com )值，下方物体的重力势能是负值，负号表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小．
4.机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：
(1)物体只受重力或弹力作用。
(2)存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。
(3)其他力做功，但做功的代数和为零。
(4)存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化。
5．“两法”判断机械能是否守恒
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【例题解析】
例1. 关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
A．重力势能是物体本身所具有的
B．重力势能为负值，表示物体的重力势能比在参考平面上具有的重力势能少
C．卫星绕地球做椭圆运动，当由近地点向远地点运动时，其重力势能减小
D．只要物体在水平面以下，其重力势能为负值
例2. 如图，一半径为R的半圆形轨道竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )固定放置，轨道两端等高，质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)21世纪教育网版权所有
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A.mgR B.mgR C.mgR D.mgR
例3. 我国羽毛球运动员林丹是羽毛球 ( http: / / www.21cnjy.com )史上第一位集奥运会、世锦赛、世界杯、苏迪曼杯、汤姆斯杯、亚运会、亚锦赛、全英赛、全运会及多座世界羽联超级系列赛冠军于一身的双圈全满贯选手，被誉为中国羽毛球一哥如图所示是林丹在某次羽毛球比赛中跃起击球的动作，击球过程中由静止竖直向上跳起假设林丹与球拍重心上升的高度为h，在最高点将羽毛球以原来的速度大小v0斜向上击回已知林丹与球拍总质量为M，羽毛球质量为m，重器力加速度为g，不计空气阻力.则下列说法正确的是（　　）21教育网
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A．林丹在整个起跳过程中机械能守恒
B．林丹在起跳过程中地面对他的支持力做功为Mgh
C．林丹在起跳过程中林丹与球拍重力势能的增加量为Mgh
D．林丹击球过程中球拍对羽毛球做功为
例4. 如图所示，物体甲、乙质量均为，甲、乙之间的接触面是光滑的，物体乙的斜面与水平面成角，甲、乙两物体紧挨着并放置于粗糙的水平面上，它们与水平面间的动摩擦因数均为，开始时，物体甲、乙都静止，现对物体甲施加一水平推力，使物体甲、乙一起向左加速运动，两者不发生相对滑动。已知这段时间内水平推力做功为，物体甲、乙系统克服摩擦力做功为，当加速一段时间后，撤去水平推力。下列说法错误的是　　21·世纪*教育网
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A．乙物体获得最大的动能为 B．加速运动过程中，甲对乙的作用力的大小为
C．撤去水平推力后，物体甲对物体乙的作用力为零 D．撤去水平推力后，物体甲运动的位移为
例5.一物体放在倾角为且足够长的光滑斜面上，初始位置如图甲所示，在平行于斜面的力（图中未画出）的作用下由静止开始沿斜面运动，运动过程中物体的机械能随位置的变化关系如图乙所示。其中过程的图线是曲线，过程的图线是平行于轴的直线，过程的图线是倾斜的直线，则下列说法正确的是　　
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A．在的过程中，力方向沿斜面向下 B．在的过程中，物体的加速度逐渐增大
C．在的过程中，物体的动能不变 D．在的过程中，物体的重力势能逐渐增大
例6. 质量为、初速度为零的物体，在不同变化的合外力作用下都通过位移．下列各种情况中合外力做功最多的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
【课堂练习】
1. 下列说法正确的是(　　)
A．如果物体所受到的合外力为零，则其机械能一定守恒
B．如果物体所受到的合外力做的功为零，则其机械能一定守恒
C．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，其机械能一定守恒
D．做匀加速运动的物体，其机械能不守恒
2. 小球P和Q用不可伸长的 ( http: / / www.21cnjy.com )轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点，(　　)21*cnjy*com
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
3. 如图所示，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的弹簧下端固定，在外力作用下将套在杆上的滑块向下压缩弹簧至离地高度处，滑块与弹簧不拴接。现由静止释放滑块，通过传感器测量到滑块的速度和离地高度，并作出滑块的动能与离地面高度的关系图象，其中高度从上升到范围内图象为直线，其余部分为曲线，以地面为零势能面，取，由图象可知　　
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A．小滑块的质量为0.4Kg B．刚释放时弹簧的弹性势能为
C．弹簧的劲度系数为 D．小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小为
4. 体做自由落体运动，其动能Ek随运动时间t的关系图线可能是（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
5. 爸爸带小明荡秋千，可以简化成如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的单摆模型。将小球拉到A点由静止释放，让小球自由摆动，第一次恰能回到B点，A、B两点间的高度差为H。要使小球每次都恰能回到A点，需在A点推一下小球。若小球质量为m，绳子质量不计，阻力大小恒定，则推力每次对小球做的功_______mgH，小球在另一侧能到达的最大高度________A点的高度。（选填“大于”、“等于”或“小于”）【来源：21·世纪·教育·网】
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6. 如图为特种兵过山谷的简化示意 ( http: / / www.21cnjy.com )图。将一根不可伸长的细绳两端固定在相距d=20m的A、B两等高点。绳上挂一小滑轮P，战士们相互配合，沿着绳子滑到对面。如图所示，战士甲（图中未画出）用水平力F拉住滑轮，质量为50kg的战士乙吊在滑轮上，脚离地，处于静止状态，此时AP竖直，∠APB=53°。然后战士甲将滑轮释放。不计滑轮摩擦及空气阻力。（取g=10m/s2，sin53o=0.8，cos53o=0.6）求：
(1)战士甲释放滑轮前水平拉力F的大小；
(2)战士乙运动过程中的最大速度；
(3)如果增加细绳的长度，战士甲的水平拉力F将如何变化？简述理由。
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7. 如图所示，水平地面上固定着一个高为的三角形斜面体，质量为的小物块甲和质量为的小物块乙均静止在斜面体的顶端。现同时释放甲、乙两小物块，使其分别从倾角为、的斜面下滑，且分别在图中处和处停下。甲、乙两小物块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为．设两小物块在转弯处均不弹起且不损耗机械能，重力加速度取。求：小物块21cnjy.com
（1）甲沿斜面下滑的加速度；
（2）乙从顶端滑到底端所用的时间；
（3）甲、乙在整个运动过程发生的位移大小之比。
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1.物体在运动的过程中机械能守恒，重力势能和动能、弹性势能相互转化，重力势能一直减小，弹性势能一直增大，动能先增后减小。21·cn·jy·com
2.绳模型速度大小相等；杆模型角速度相等
3. 像“液柱”“链条”“过山车”类物体，在其运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了21*cnjy*com
【例题解析】
例1. 如图所示，可视为质点 ( http: / / www.21cnjy.com )的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)【出处：21教育名师】
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A．2R B. C. D.【版权所有：21教育】
例2. 将质量分别为m和2m ( http: / / www.21cnjy.com )的两个小球A和B，用长为2L的轻杆相连，如图11所示，在杆的中点O处有一固定水平转动轴，把杆置于水平位置后由静止自由释放，在B球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)(　　)
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A.A、B两球的线速度大小始终不相等
B.重力对B球做功的瞬时功率先减小后增大
C.B球转动到最低位置时的速度大小为
D.杆对B球做正功，B球机械能不守恒
例3. 如图所示，长为L ( http: / / www.21cnjy.com )的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(　　)
A. B． C. D．4
【课堂练习】
1. 如图所示，质量不计的细直硬棒长为，其一端点用铰链与固定转轴连接，在细棒的中点固定质量为的小球甲，在细棒的另一端固定质量为小球乙。将棒置于水平位置由静止开始释放，棒与球组成的系统将在竖直平面内做无阻力的转动。则该系统在由水平位置转到竖直位置的过程中　　【来源：21cnj*y.co*m】
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A．系统的机械能不守恒 B．系统中细棒对乙球做正功
C．甲、乙两球所受的向心力不相等 D．乙球转到竖直位置时的速度比甲球小
2. 如图所示，在半径为的轴上悬挂一个质量为的水桶，轴上分布着6根手柄，柄端有6个质量为的小球。球离轴心的距离为，轮轴、绳（极细）及手柄的质量以及摩擦均不计。现将水桶从某一高度释放使整个装置转动，当转动周时，则　　
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A．水桶的速度是小球转动线速度的R/r倍
B．水桶的瞬时速度为
C．每个小球获得的动能为
D．水桶减小的机械能为
3. 如图，倾角为θ的光滑斜面固定在地面 ( http: / / www.21cnjy.com )上，长为l，质量为m、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面项端齐平。设斜面顶端为零势能面。用细线将质量也为m的小物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面）。软绳刚好离开斜面时，软绳的重力势能为　 　，此时物块的速度大小为　 　。
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1. 力学中几种常见的功能关系
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
其他力(除重力、弹力外)做正功 机械能增加
2.应用能量守恒定律的两条基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量与增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量与增加量一定相等。
【例题解析】
例1. 韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上 ( http: / / www.21cnjy.com )项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功100 J。韩晓鹏在此过程中(　　)www.21-cn-jy.com
A．动能增加了1 900 J
B．动能增加了2 000 J
C．重力势能减小了1 900 J
D．重力势能减小了2 000 J
例2. 如图所示，在抗洪救灾中，一架直升机 ( http: / / www.21cnjy.com )通过绳索用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法不正确的有(　　)2·1·c·n·j·y
A．力F所做的功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量
B．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量
C．力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于木箱动能的增量
D．力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量
【课堂练习】
1. 一质量为m的小球以初动能Ek0从地面 ( http: / / www.21cnjy.com )竖直向上抛出，已知运动过程中受到恒定阻力f＝kmg作用(k为常数且满足0A．小球的最大势能E1＝
B．小球上升的最大高度h0＝
C．小球落地时的动能Ek＝
D．在h1处，小球的动能和势能相等，且h1＝EK0/（k+3）mg
2. 在儿童乐园的蹦床项目中，小孩在两根弹性 ( http: / / www.21cnjy.com )绳和蹦床的协助下实现上下弹跳。如图所示，某次蹦床活动中小孩静止时处于O点，当其弹跳到最高点A后下落可将蹦床压到最低点B。小孩可看成质点，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)21教育名师原创作品
A．从A运动到O，小孩重力势能减少量大于动能增加量
B．从O运动到B，小孩动能减少量等于蹦床弹性势能增加量
C．从A运动到B，小孩机械能减少量小于蹦床弹性势能增加量
D．若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床弹性势能减少量
一、重力势能、弹性势能，动能定理和机械能守恒
二、系统机械能守恒及非质点类机械能守恒
三、能量守恒理解和应用
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专题07 功能关系（教师版）
1．动能定理公式中“＝”的意义
等号表明合力做功与物体动能变化的三个关系
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2．应用动能定理解题的步骤
(1)选取研究对象，明确它的运动过程。
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
→→→→
(3)明确物体在过程始末状态的动能Ek1和Ek2。
(4)列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程进行求解。
3. 重力势能的相对性，选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的．
对选定的参考平面，上方物体的重力势能 ( http: / / www.21cnjy.com )是正值，下方物体的重力势能是负值，负号表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小．
4.机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：
(1)物体只受重力或弹力作用。
(2)存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。
(3)其他力做功，但做功的代数和为零。
(4)存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化。
5．“两法”判断机械能是否守恒
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【例题解析】
例1. 关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
A．重力势能是物体本身所具有的
B．重力势能为负值，表示物体的重力势能比在参考平面上具有的重力势能少
C．卫星绕地球做椭圆运动，当由近地点向远地点运动时，其重力势能减小
D．只要物体在水平面以下，其重力势能为负值
【参考答案】B
【详细解析】重力势能是物体与地球的相 ( http: / / www.21cnjy.com )互作用所具有的能量，其为负值表示物体在所选的参考面以下，不一定在水平面以下，A错误B正确，D错误；卫星由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，重力势能增加，C错误。21世纪教育网版权所有
例2. 如图，一半径为R的半 ( http: / / www.21cnjy.com )圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
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A.mgR B.mgR C.mgR D.mgR
【答案】C
【解析】在Q点质点受到竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝m，FN＝2mg，联立解得v＝，下滑过程中，根据动能定理可得mgR－Wf＝mv2，解得Wf＝mgR，所以克服摩擦力做功mgR，C正确。
例3. 我国羽毛球运动员林丹是 ( http: / / www.21cnjy.com )羽毛球史上第一位集奥运会、世锦赛、世界杯、苏迪曼杯、汤姆斯杯、亚运会、亚锦赛、全英赛、全运会及多座世界羽联超级系列赛冠军于一身的双圈全满贯选手，被誉为中国羽毛球一哥如图所示是林丹在某次羽毛球比赛中跃起击球的动作，击球过程中由静止竖直向上跳起假设林丹与球拍重心上升的高度为h，在最高点将羽毛球以原来的速度大小v0斜向上击回已知林丹与球拍总质量为M，羽毛球质量为m，重器力加速度为g，不计空气阻力.则下列说法正确的是（　　）www.21-cn-jy.com
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A．林丹在整个起跳过程中机械能守恒
B．林丹在起跳过程中地面对他的支持力做功为Mgh
C．林丹在起跳过程中林丹与球拍重力势能的增加量为Mgh
D．林丹击球过程中球拍对羽毛球做功为
【答案】C
【解析】A．林丹起跳过程，由其他形式的能量转化为机械能，故机械能不守恒，故A错误；
B．地面对林丹的支持力不做功，故B错误；
C．由于林丹中心上升的高度为h，故其重力势能增量为Mgh，故C正确；
D．羽毛球被击中的过程中，其速度大小不变，故林丹对羽毛球做功为0，故D错误
例4. 如图所示，物体甲、乙质量均为，甲、乙之间的接触面是光滑的，物体乙的斜面与水平面成角，甲、乙两物体紧挨着并放置于粗糙的水平面上，它们与水平面间的动摩擦因数均为，开始时，物体甲、乙都静止，现对物体甲施加一水平推力，使物体甲、乙一起向左加速运动，两者不发生相对滑动。已知这段时间内水平推力做功为，物体甲、乙系统克服摩擦力做功为，当加速一段时间后，撤去水平推力。下列说法错误的是　　21·世纪*教育网
A．乙物体获得最大的动能为 B．加速运动过程中，甲对乙的作用力的大小为
C．撤去水平推力后，物体甲对物体乙的作用力为零 D．撤去水平推力后，物体甲运动的位移为
【答案】B
【解析】当水平推力撤去时乙物体获得的动能最大，加速过程，对甲、乙整体，根据动能定理得：，则得乙物体获得最大的动能为，故A正确；B、加速运动过程中，分析乙物体受力情况如图所示，根据牛顿第二定律得：水平方向有；竖直方向有，又21*cnjy*com
联立以上三式并整理得：①
对甲、乙整体，由牛顿第二定律得：②
由①②解得：甲对乙的作用力的大小，故B错误；C撤去水平推力后，设物体甲对物体乙的作用力为．同理，对乙有：；对整体有，可得，故C正确；D撤去水平推力后，设物体甲运动的位移为，对甲，根据动能定理得：，解得，故D正确。
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例5.一物体放在倾角为且足够长的光滑斜面上，初始位置如图甲所示，在平行于斜面的力（图中未画出）的作用下由静止开始沿斜面运动，运动过程中物体的机械能随位置的变化关系如图乙所示。其中过程的图线是曲线，过程的图线是平行于轴的直线，过程的图线是倾斜的直线，则下列说法正确的是　　
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A．在的过程中，力方向沿斜面向下 B．在的过程中，物体的加速度逐渐增大
C．在的过程中，物体的动能不变 D．在的过程中，物体的重力势能逐渐增大
【答案】B
【解析】AB由图可知在的过程中物体机械能在减小，知拉力在做负功，如果拉力方向向下，则知物体在沿斜面向上运动，这种情况不可能，所以拉力方向向上，则知物体在沿斜面向下运动，【来源：21cnj*y.co*m】
根据功能关系△△；得，在的过程过程中图线的斜率逐渐减小到零，知物体的拉力逐渐减小，根据牛顿第二定律有拉力逐渐减小，则加速度逐渐增大，故A错误，B正确；【版权所有：21教育】
C在的过程中，拉力，机械能守恒，向下运动，重力势能减小，动能增大，故C正确；D在的过程中，加速度的方向与速度方向相同，都沿斜面向下，所以物体做加速运动，在的过程中，，物体做匀加速运动；在的过程中，机械能增大，拉力做正功，且拉力沿斜面向下，故物体继续向下做加速运动，即物体一直沿斜面向下运动，其重力势能一直减小，故错误。
例6. 质量为、初速度为零的物体，在不同变化的合外力作用下都通过位移．下列各种情况中合外力做功最多的是（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】根据公式可知图像与坐标轴围成的面积表示做功多少，故C做功最多，C正确；
【课堂练习】
1. 下列说法正确的是(　　)
A．如果物体所受到的合外力为零，则其机械能一定守恒
B．如果物体所受到的合外力做的功为零，则其机械能一定守恒
C．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，其机械能一定守恒
D．做匀加速运动的物体，其机械能不守恒
【答案】C
【解析】物体受到的合外力为零，机械 ( http: / / www.21cnjy.com )能不一定守恒，如在竖直方向上物体做匀速直线运动，其机械能不守恒．所以选项A、B错误．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，只有重力做功，所以机械能守恒．选项C正确．做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒，如自由落体运动，选项D错误21·cn·jy·com
2. 小球P和Q用不可伸 ( http: / / www.21cnjy.com )长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点，(　　)【出处：21教育名师】
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
【答案】C　
【解析】两球由静止释放到运动到轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL＝mv2，v＝，因LP＜LQ，则vP＜vQ，又mP＞mQ，则两球的动能无法比较，选项A、B错误；在最低点绳的拉力为F，则F－mg＝m，解得F＝3mg，因mP＞mQ，则FP＞FQ，选项C正确；向心加速度a＝＝2g，选项D错误。
3. 如图所示，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的弹簧下端固定，在外力作用下将套在杆上的滑块向下压缩弹簧至离地高度处，滑块与弹簧不拴接。现由静止释放滑块，通过传感器测量到滑块的速度和离地高度，并作出滑块的动能与离地面高度的关系图象，其中高度从上升到范围内图象为直线，其余部分为曲线，以地面为零势能面，取，由图象可知　　
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A．小滑块的质量为0.4Kg B．刚释放时弹簧的弹性势能为
C．弹簧的劲度系数为 D．小滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小为
【答案】D
【解析】A在从上升到范围内，△△△，图线的斜率绝对值为：，则，故A错误；B根据能量守恒定律可知，当滑块上升至最大高度时，增加的重力势能等于刚释放滑块的时刻弹簧的弹性势能，则△，故B错误；C在图象中，图线的斜率表示滑块所受的合外力，由于高度从上升到范围内图象为直线，其余部分为曲线，说明滑块从上升到范围内所受作用力为恒力，因此从，滑块与弹簧分离，弹簧的原长的，根据图象可知，当时滑块的动能最大，此时滑块的加速度为零，则，弹簧的劲度系数为：，故C错误；D由图可知，当时的动能最大，在滑块整个运动过程中，系统的动能、重力势能和弹性势能之间相互转化，因此动能最大时，滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小，根据能的转化和守恒可知，，故正确。
4. 体做自由落体运动，其动能Ek随运动时间t的关系图线可能是（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / )
C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解析】物体做自由落体运动，根据速度时间公式有：
则动能：
所以Ek-t图线为开口向上的抛物线，C正确。
5. 爸爸带小明荡秋千，可以简化成 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示的单摆模型。将小球拉到A点由静止释放，让小球自由摆动，第一次恰能回到B点，A、B两点间的高度差为H。要使小球每次都恰能回到A点，需在A点推一下小球。若小球质量为m，绳子质量不计，阻力大小恒定，则推力每次对小球做的功_______mgH，小球在另一侧能到达的最大高度________A点的高度。（选填“大于”、“等于”或“小于”）21*cnjy*com
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【答案】 (1). 大于 (2). 大于
【解析】
[1]．小球不能回到原来的位置是 ( http: / / www.21cnjy.com )由于摆动过程中有阻力做功；若从A到B无机械能损失，则需要对小球做功mgH，但是由于在A到B过程中有阻力功，则推力每次对小球做的功大于mgH；
[2]．因为从右侧最高点到回到A点的过程中有阻力做功，则要想回到A点，在小球在另一侧能到达的最大高度要大于A点的高度.
6. 如图为特种兵过山谷的 ( http: / / www.21cnjy.com )简化示意图。将一根不可伸长的细绳两端固定在相距d=20m的A、B两等高点。绳上挂一小滑轮P，战士们相互配合，沿着绳子滑到对面。如图所示，战士甲（图中未画出）用水平力F拉住滑轮，质量为50kg的战士乙吊在滑轮上，脚离地，处于静止状态，此时AP竖直，∠APB=53°。然后战士甲将滑轮释放。不计滑轮摩擦及空气阻力。（取g=10m/s2，sin53o=0.8，cos53o=0.6）求：
(1)战士甲释放滑轮前水平拉力F的大小；
(2)战士乙运动过程中的最大速度；
(3)如果增加细绳的长度，战士甲的水平拉力F将如何变化？简述理由。
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【答案】(1)250N；(2)6.81m/s；(3)F变小，理由见解析
【解析】
(1)受力分析如图
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根据共点力平衡条件得到；；，联立以上等式代入数据解得：
(2)根据机械能守恒定律，运动到最低处时重力势能最小，动能最大，即速度最大。
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依题得：，，又因为：
所以是正三角形，在AB水平线下方处。
以为零势能面，根据机械能守恒定律得：
有几何关系可得：；因此有：，代入数据得最大速度为：
(3)如果增加细绳的长度，变小，因为
所以，变小。
7. 如图所示，水平地面上固定着一个高为的三角形斜面体，质量为的小物块甲和质量为的小物块乙均静止在斜面体的顶端。现同时释放甲、乙两小物块，使其分别从倾角为、的斜面下滑，且分别在图中处和处停下。甲、乙两小物块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为．设两小物块在转弯处均不弹起且不损耗机械能，重力加速度取。求：小物块
（1）甲沿斜面下滑的加速度；
（2）乙从顶端滑到底端所用的时间；
（3）甲、乙在整个运动过程发生的位移大小之比。
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【解析】解：（1）甲下滑的过程，由牛顿第二定律可得：
即为：；解得：
（2）设小物块乙沿斜面下滑到底端时的速度为，根据动能定理得：△
即为：；解得
同理可得：，则乙下滑的时间为：
（3）如图，由动能定理，对甲有：
对乙有：，可得：
根据几何关系得甲、乙在整个运动过程发生的位移大小之比为：
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1.物体在运动的过程中机械能守恒，重力势能和动能、弹性势能相互转化，重力势能一直减小，弹性势能一直增大，动能先增后减小。2-1-c-n-j-y
2.绳模型速度大小相等；杆模型角速度相等
3. 像“液柱”“链条”“过山车”类物体，在其运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了21教育名师原创作品
【例题解析】
例1. 如图所示，可视为质点的小球A、B用不 ( http: / / www.21cnjy.com )可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)www-2-1-cnjy-com
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A．2R B. C. D.
【答案】C
【解析】设B球质量为m，则A球质 ( http: / / www.21cnjy.com )量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，得v2＝gR，B球继续上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，
例2. 将质量分别为m和2m的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个小球A和B，用长为2L的轻杆相连，如图11所示，在杆的中点O处有一固定水平转动轴，把杆置于水平位置后由静止自由释放，在B球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)(　　)
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A.A、B两球的线速度大小始终不相等 B.重力对B球做功的瞬时功率先减小后增大
C.B球转动到最低位置时的速度大小为 D.杆对B球做正功，B球机械能不守恒
【答案】C
【解析】A、B两球用轻杆 ( http: / / www.21cnjy.com )相连共轴转动，角速度大小始终相等，转动半径相等，所以两球的线速度大小也相等，选项A错误；杆在水平位置时，重力对B球做功的瞬时功率为零，杆在竖直位置时，B球的重力方向和速度方向垂直，重力对B球做功的瞬时功率也为零，但在其他位置重力对B球做功的瞬时功率不为零，因此，重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小，选项B正确；设B球转动到最低位置时速度为v，两球线速度大小相等，对A、B两球和杆组成的系统，由机械能守恒定律得2mgL－mgL＝(2m)v2＋mv2，解得v＝，选项C正确；B球的重力势能减少了2mgL，动能增加了mgL，机械能减少了，所以杆对B球做负功，选项D错误。
例3. 如图所示，长为L的均匀链条放在光 ( http: / / www.21cnjy.com )滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(　　)
A. B． C. D．4
【答案】C
【解析】由机械能守恒定律ΔEp减＝ΔEk增，即mg·－mg·＝mv2，所以v＝
【课堂练习】
1. 如图所示，质量不计的细直硬棒长为，其一端点用铰链与固定转轴连接，在细棒的中点固定质量为的小球甲，在细棒的另一端固定质量为小球乙。将棒置于水平位置由静止开始释放，棒与球组成的系统将在竖直平面内做无阻力的转动。则该系统在由水平位置转到竖直位置的过程中　　
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A．系统的机械能不守恒 B．系统中细棒对乙球做正功
C．甲、乙两球所受的向心力不相等 D．乙球转到竖直位置时的速度比甲球小
【答案】B
【解析】A以系统为研究对象，由于只有重力做功，只发生重力势能和动能相互转化，故系统的机械能守恒，故A错误。B在转动过程中，甲、乙两球的角速度相同，设转到竖直位置时，甲球的速度为，乙球的速度为，则：由，相等，可得①由系统的机械能守恒知系统减少的重力势能等于增加的动能，可得：②由①②式解得：，，设细棒对乙球做的功为，根据动能定理得③解得，可见，系统中细棒对乙球做正功，故B正确。C甲、乙两球所受的向心力分别为，，则，故C错误。D由上分析知，乙球转到竖直位置时的速度比甲球大，故D错误。
2. 如图所示，在半径为的轴上悬挂一个质量为的水桶，轴上分布着6根手柄，柄端有6个质量为的小球。球离轴心的距离为，轮轴、绳（极细）及手柄的质量以及摩擦均不计。现将水桶从某一高度释放使整个装置转动，当转动周时，则　　
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A．水桶的速度是小球转动线速度的R/r倍 B．水桶的瞬时速度为
C．每个小球获得的动能为 D．水桶减小的机械能为
【答案】B
【解析】A水桶速度为绳向下运动的速度，轮轴和手柄具有相同角速度，故水桶下落速度为，小球速度大小为；故A错误；BC装置转动过程只有重力做功，机械能守恒；故有：；所以，角速度，那么，水桶的瞬时速度为，小球的速度为，故每个小球获得的动能为；故B正确，C错误；D水桶减小的重力势能为；由能量守恒可得：水桶减小的机械能为，故D错误；
3. 如图，倾角为θ的光滑斜面 ( http: / / www.21cnjy.com )固定在地面上，长为l，质量为m、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面项端齐平。设斜面顶端为零势能面。用细线将质量也为m的小物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物块未到达地面）。软绳刚好离开斜面时，软绳的重力势能为　 　，此时物块的速度大小为　 　。
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【答案】﹣mgl（1﹣sinθ），
【解析】物块未释放时，软绳的重心离斜面顶端 ( http: / / www.21cnjy.com )的高度为h1＝lsinθ，软绳刚好全部离开斜面时，软绳的重心离斜面顶端的高度h2＝l，则软绳重力势能共减少mgl（1﹣sinθ），设斜面顶端为零势能面，软绳重力势能为﹣mgl（1﹣sinθ）；
根据能量转化和守恒定律：mgl+mgl（1﹣sinθ）＝ 2mv2
得：v＝
1. 力学中几种常见的功能关系
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
其他力(除重力、弹力外)做正功 机械能增加
2.应用能量守恒定律的两条基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量与增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量与增加量一定相等。
【例题解析】
例1. 韩晓鹏是我国首位在冬奥会 ( http: / / www.21cnjy.com )雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功100 J。韩晓鹏在此过程中(　　)21教育网
A．动能增加了1 900 J B．动能增加了2 000 J
C．重力势能减小了1 900 J D．重力势能减小了2 000 J
【答案】C
【解析】由动能定理可知，ΔEk＝ ( http: / / www.21cnjy.com )1 900 J－100 J＝1 800 J，故A、B均错。重力势能的减少量等于重力做的功，故C正确，D错误。21cnjy.com
例2. 如图所示，在抗洪救灾中， ( http: / / www.21cnjy.com )一架直升机通过绳索用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法不正确的有(　　)2·1·c·n·j·y
A．力F所做的功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量
B．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量
C．力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于木箱动能的增量
D．力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量
【答案】B
【解析】木箱运动过程中，有 ( http: / / www.21cnjy.com )力F、重力、阻力三个力对木箱做功，合力做功决定着木箱动能的改变量，C正确；重力做功决定着重力势能的改变量，B正确，A错误；除重力做功以外，其他力做功的代数和等于物体机械能的改变量，D正确
【课堂练习】
1. 一质量为m的小球以初动能 ( http: / / www.21cnjy.com )Ek0从地面竖直向上抛出，已知运动过程中受到恒定阻力f＝kmg作用(k为常数且满足0A．小球的最大势能E1＝
B．小球上升的最大高度h0＝
C．小球落地时的动能Ek＝
D．在h1处，小球的动能和势能相等，且h1＝EK0/（k+3）mg
【答案】B
【解析】因小球上升的最大高度为h0， ( http: / / www.21cnjy.com )由题图可知其最大势能为E1＝，又E1＝mgh0，得h0＝，A项错误，B项正确；由题图可知，小球上升过程中克服阻力做功为W＝Ek0－，因小球所受阻力恒定，且上升和下落高度相等，则小球下落过程中克服阻力做功为W＝Ek0－，则小球落地时的动能为Ek＝E1－W＝－＝Ek0，C项错误；在h1处，小球的动能和势能相等，则有Ek0－(mg＋f)h1＝mgh1，解得h1＝，D项错误。
2. 在儿童乐园的蹦床项目中，小孩在两根弹性 ( http: / / www.21cnjy.com )绳和蹦床的协助下实现上下弹跳。如图所示，某次蹦床活动中小孩静止时处于O点，当其弹跳到最高点A后下落可将蹦床压到最低点B。小孩可看成质点，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．从A运动到O，小孩重力势能减少量大于动能增加量
B．从O运动到B，小孩动能减少量等于蹦床弹性势能增加量
C．从A运动到B，小孩机械能减少量小于蹦床弹性势能增加量
D．若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床弹性势能减少量
【答案】A
【解析】从A运动到O，小孩重 ( http: / / www.21cnjy.com )力势能减少量等于动能增加量与弹性绳的弹性势能的增加量之和，选项A正确；从O运动到B，小孩动能和重力势能的减少量等于弹性绳和蹦床的弹性势能的增加量，选项B错误；从A运动到B，小孩机械能减少量大于蹦床弹性势能增加量，选项C错误；若从B返回到A，小孩机械能增加量等于蹦床和弹性绳弹性势能减少量之和，选项D错误。
一、重力势能、弹性势能，动能定理和机械能守恒
二、系统机械能守恒及非质点类机械能守恒
三、能量守恒理解和应用
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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