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专题13 电磁感应综合（教师版）
1．E＝Blv的三个特性
(1)正交性：本公式要求磁场为匀强磁场，而且B、l、v三者互相垂直。
(2)有效性：公式中的l为导体切割磁感线的有效长度。如图中，导体棒的有效长度为a、b间的距离。
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(3)相对性：E＝Blv中的速度v是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系。
2.导体转动切割磁感线
当导体在垂直于磁场的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动时，产生的感应电动势为E＝Bl＝Bl2ω，如图所示。【出处：21教育名师】
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【例题解析】
例1. 如图，空间有一匀强磁场，一直金属 ( http: / / www.21cnjy.com )棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′。则等于(　　)
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A.　　　　　　　　　　B． C．1 D．
【答案】B
【解析】设折弯前导体切割磁感线的长度为L，E ( http: / / www.21cnjy.com )＝BLv；折弯后，导体切割磁感线的有效长度为L＝＝L，故产生的感应电动势为E′＝Blv＝B·Lv＝E，所以＝，B正确。2·1·c·n·j·y
例2. 如图，直角三角形金属 ( http: / / www.21cnjy.com )框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动时，a、b、c三点的电势分别为φa、φb、φc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是(　　)
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A．φa＞φc，金属框中无电流 B．φb＞φc，金属框中电流方向沿a－b－c－a
C．Ubc＝－Bl2ω，金属框中无电流 D．Ubc＝Bl2ω，金属框中电流方向沿a－c－b－a
【答案】C
【解析】金属框绕ab边转动时，闭合回路ab ( http: / / www.21cnjy.com )c中的磁通量始终为零(即不变)，所以金属框中无电流。金属框在逆时针转动时，bc边和ac边均切割磁感线，由右手定则可知φb＜φc，φa＜φc，所以根据E＝Blv可知，Ubc＝Uac＝－Bl＝－Bl＝－Bl2ω。由以上分析可知选项C正确。
【课堂练习】
1. 如图所示，光滑导轨固定，其中是半径为的四分之一圆弧，为圆心。、的电阻均为，是可绕转动的金属杆，端位于上，与轨道接触良好，空间存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度的大小为，、的电阻不计。则在杆由位置以恒定的角速度顺时针转到位置的过程中　　
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A．中电流方向为流向
B．流过的电荷量为2
C．要维持以角速度匀速转动，外力的功率应为
D．若转动的角速度变为原来的2倍，则流过的电荷量也变为原来的2倍
【答案】C
【解析】A由右手定则可得中电流方向为流向，故A错误；BD、杆由位置以恒定的角速度顺时针转到位置的过程，产生的感应电动势，恒定不变，则感应电流大小恒定，
根据闭合电路欧姆定律可得中感应电流，则流过的电荷量，若转动的角速度变为原来的2倍，则流过的电荷量不变，故BD错误；C整个电路的发热功率为，根据能量守恒可得外力的功率等于回整个路的发热功率，即，故C正确21教育网
2. 如图所示，MN、PQ ( http: / / www.21cnjy.com )是间距为L的平行金属导轨，置于磁感应强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻。一根与导轨接触良好、有效阻值为R的金属导线ab垂直导轨放置，并在水平外力F的作用下以速度v向右匀速运动，则(不计导轨电阻)(　　)
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A．通过电阻R的电流方向为P→R→M B．a、b两点间的电压为BLv
C．a端电势比b端高 D．a端电势比b端低　
【答案】C
【解析】由右手定则可知，通 ( http: / / www.21cnjy.com )过电阻R的电流方向为M→R→P，选项A错误；导体棒切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，则a、b两点间的电压U＝R＝BLv，选项B错误；由右手定则可知，通过导体棒的电流由b→a，此时导体棒是电源，则导体棒a端电势比b端高，选项C正确，D错误。
3. 如图所示，由某种粗细均匀的金属 ( http: / / www.21cnjy.com )条制成的矩形线框abcd固定在纸面内，匀强磁场垂直纸面向里。一导体棒PQ放在线框上，在水平拉力F作用下沿平行ab的方向匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中(　　)
A．通过PQ的电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大
C．拉力F的功率先减小后增大 D．通过ad的电流先增大后减小
【答案】C　
【解析】导体棒由靠近ad ( http: / / www.21cnjy.com )边向bc边匀速滑动的过程中，产生的感应电动势E＝BLv，保持不变，外电路总电阻先增大后减小(在ab中点时外电阻最大)，由欧姆定律分析得知PQ中的电流I＝先减小后增大，A错误；PQ中电流先减小后增大，PQ两端电压为路端电压，由U＝E－IR，可知PQ两端的电压先增大后减小，B错误；导体棒匀速运动，PQ上拉力的功率等于回路的电功率，而回路的总电阻R总先增大后减小，由P＝，分析得知，PQ上拉力的功率先减小后增大，C正确；导体棒向右运动到ab中点的过程中，电路的总电流在减小，分析bc可知bc中电流在增大，因此ad部分分得的电流一直在减小，由ab中点向右运动的过程中，ad部分的电压一直在减小，且ad部分的电阻在增加，因此电流继续减小，因此通过ad的电流一直减小，D错误。
4. 如图所示，一折角的导体框架水平固定放置，处于垂直纸面向里的匀强磁场中，一根足够长的截面均匀的导体棒放在导体框架上。时导体棒与点的距离为，此时在外力作用下以初速度开始运动。已知导体棒中的感应电流与时间的关系是与均为常量且已知），在时刻，导体棒的电功率为．除导体棒外，其余各部分电阻均不计。求：
（1）试推导出导体棒的速度随时间的变化关系；
（2）在时刻，导体棒与点的距离；
（3）匀强磁场的磁感应强度。
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【答案】（1）导体棒的速度随时间的变化关系为；
（2）在时刻，导体棒与点的距离为；
（3）匀强磁场的磁感应强度为
【解析】解：（1）设导体棒单位长度的电阻为，磁感应强度为，则：
在时刻，根据闭合电路的欧姆定律可得：
在某一时刻，根据闭合电路的欧姆定律可得：，联立解得：
（2）由于，所以导体棒做匀加速直线运动，其加速度，在时刻，导体棒的速度，此过程中导体棒的位移：，导体棒与点的距离；
（3）在时刻，导体棒的电功率为．此时导体棒的有效切割长度为；电流强度为，根据电功率的计算公式可得【来源：21cnj*y.co*m】
解得：
5. 如图，水平面内有一光滑金属导轨，边长度为、阻值为，且与垂直，与的夹角为，、边的电阻不计。将质量、电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与平行，棒与、交点、间的距离，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度．在外力作用下，棒由处以初速度向右做直线运动，运动过程中回路的电流强度始终不变。求：
（1）棒在处所受的安培力的功率；
（2）棒由处向右移动距离所需的时间△；
（3）棒由处向右移动的过程中，外力做功。
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【答案】（1）棒在处所受的安培力的功率；
（2）棒由处向右移动距离所需的时间；
（3）棒由处向右移动的过程中，外力做功
【解析】解：（1）棒在处的感应电动势为：，根据闭合电路的欧姆定律可得电流为：，安培力为：；安培力的功率为：；
（2）棒向右移动的过程中回路磁通量变化量为：△△
因为电流强度始终不变，电动势也不变，由可得：△；
（3）棒由处向右移动的过程中，通过导体横截面的电量为：△△
棒扫过的面积为：△，的过程棒移动了，△，
此时电动势不变，为：，代入数据解得：
安培力做功等于回路产生的焦耳热为：，根据动能动能定理有：
代入数据解得：
1．导体的两种运动状态
(1)平衡状态：静止或匀速直线运动，F合＝0。
(2)非平衡状态：加速度不为零，F合＝ma。
2．电学对象与力学对象的转换及关系
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“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
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【例题解析】
例1. 如图，两固定的绝缘斜面倾角均 ( http: / / www.21cnjy.com )为θ，上沿相连。两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平。右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上。已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g。已知金属棒ab匀速下滑。求：21*cnjy*com
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(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小。
【答案】(1)mg(sin θ－3μcos θ)
(2)(sin θ－3μcos θ)
【解析】(1)设导线的张力的大小为 ( http: / / www.21cnjy.com )FT，右斜面对ab棒的支持力的大小为FN1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为FN2。对于ab棒，由力的平衡条件得
2mgsin θ＝μFN1＋FT＋F①；FN1＝2mgcos θ②
对于cd棒，同理有mgsin θ＋μFN2＝FT ③ ；FN2＝mgcos θ④
联立①②③④式得：F＝mg(sin θ－3μcos θ)⑤
(2)由安培力公式得：F＝BIL⑥，这里I是回路abdca中的感应电流。ab棒上的感应电动势为：E＝BLv⑦
式中，v是ab棒下滑速度的大小。由欧姆定律得：I＝⑧
联立⑤⑥⑦⑧式得：v＝(sin θ－3μcos θ)⑨
例2. 如图甲所示，、两条平行的光滑金属轨道与水平面成角固定，、之间接电阻箱，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上。质量为的金属杆水平放置在轨道上，其接入电路的阻值为。现从静止释放杆，测得最大速度为，改变电阻箱的阻值，得到与的关系如图乙所示。已知、两平行金属轨道间距离为，重力加速度取，轨道足够长且电阻不计。求：
（1）金属杆运动过程中所受安培力的最大值；
（2）磁感应强度的大小和的阻值；
（3）当变阻箱取，且金属杆在下滑前速度已达最大，杆下滑的过程中，电阻上产生的焦耳热。
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【答案】（1）金属杆运动过程中所受安培力的最大值是；
（2）磁感应强度的大小是，的阻值是；
（3）电阻上产生的焦耳热是
【解析】解：（1）杆下滑过程中，根据牛顿第二定律得：①
又，②；联立得：③
当加速度时，最大，最大，且安培力最大值为
（2）由①得当时，④由图象数据得，，解得，。
（3）由④得，当时，，由能量守恒得：，解得：
由能量分配关系得电阻上产生的焦耳热为：
例3. 如图所示，固定的直角金属轨道足 ( http: / / www.21cnjy.com )够长，左侧倾角θ1=37°，右侧倾角θ2=53°，轨道宽均为L=1.0m，整个装置处于B=1.0T匀强磁场中，磁场方向垂直于右侧轨道平面向上。质量分别为m1=1.0kg、m2=0.4kg的导体棒ab、cd，水平放在左、右两侧轨道上并与轨道垂直。已知ab、cd棒的电阻均为R=1.0Ω，其余电阻不计，两棒与轨道间的动摩擦因数均为μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，sin53°＝0.8。由静止同时释放两棒，在棒下滑过程中【版权所有：21教育】
（1）判断cd棒中感应电流的方向；
（2）通过分析说明cd棒下滑过程中的运动情况，并计算ab棒中电功率的最大值；
（3）通过分析、推理和计算，说明ab棒在下滑过程中的运动情况。
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【答案】（1）沿cd方向（2）做加速度逐渐减小的加速运动，4.0W（3）见解析
【解析】
（1）cd棒下滑切割磁感线，ab棒下滑不切割磁感线，根据右手定则，在cd棒中I沿cd方向。
（2）cd棒在右侧轨道上受力情况如图所示
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f2=μN2=μm2gcos53°=0.5×0.4×10×0.6N=1.2N
由牛顿第二定律得：m2gsin53°-f2-FA2=m2a2　　　
FA2=BIL=，v增大，a2减小，cd棒做加速度逐渐减小的加速运动
当FA2==m2gsin53°-f2=（0.4×10×0.8-1.2）N=2.0N时速度最大
此后cd棒以最大速度匀速运动，最大电流：Im==2.0A　
ab棒最大电功率：Pm=Im2R=4.0W
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（3）ab棒在左侧轨道上受力情况如图，ab棒刚释放时：m1gsin37°=6N
最大静摩擦力：fmax=μN1=μm1gcos37°=0.5×1×10×0.8N=4N
因为fmaxf1=μN1=μ（+m1gcos37°）
由牛顿第二定律得：m1gsin37°-f1=m1gsin37°-μ（+m1gcos37°）=m1a1　
当cd棒下滑速度v增大时，a1减小，棒ab做加速度逐渐减小的加速运动
当cd棒速度达到最大后，Im=2A不变，f1m=μ（m1gcos37°+BImL）=5Nab棒开始做加速度为a1=（m1gsin37°-f1m）/m1=1m/s2的匀加速直线运动
例4. 如图，水平面上两平行固定放置的金属导轨，间距m，电阻不计。左端连接阻值的电阻，右端连接阻值的小灯泡L（设小灯电阻保持不变）。在CDFE矩形区域内有竖直向上、磁感强度T的匀强磁场，CE的宽度m。在AB处有一质量kg、阻值Ω的金属棒PQ，PQ在水平恒力F的作用下从静止开始，先以m/s2的加速度向右运动到磁场边界CD处，接着以某一速度v进入磁场，当运动到EF处撤去力F，金属棒最终停止在导轨上。金属棒在磁场内运动的过程中，小灯泡的亮度没有发生变化。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数，重力加速度，求：
(1)在小灯泡发光时，在图上标出通过小灯的电流方向；
(2)水平恒力F的大小；
(3)金属棒进入磁场时速度v的大小；
(4)金属棒整个运动过程的时间t。
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【答案】(1) ( http: / / www.21cnjy.com / )；(2)2N；(3)1m/s；(4)3s
【解析】(1)根据右手定则可知，金属棒PQ产生的感应电流方向为，因此流经小灯泡的电流方向如图所示
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(2)在金属棒进入磁场前，对其进行受力分析可知金属棒仅受重力、摩擦力以及恒力F。根据牛顿第二定律可得：，代入数据解得：
(3)根据题目中“金属棒在磁场内运动的过程中，小灯泡的亮度没有发生变化”可知金属棒产生的感应电流在CD到EF恒定不变，根据：，可知，在CD到EF金属棒作匀速直线运动，即处于平衡状态，合外力为零，因此，代入数据解得：
由于金属棒切割磁感线产生电动势，形成电路为与并联，再与串联，此时电路的总电阻为
；代入数据解得：，根据欧姆定理可得：，代入数据解得：
(4)依题得，设进入磁场前时间为，该过程为匀加速运动，因此有：，代入数据可得：
设在磁场中运动时间，该过程为匀速直线运动，则有：，代入数据可得：
设出磁场后运动时间，此时金属棒仅受摩擦力作用，作匀减速直线运动，因此有：
根据牛顿第二定律可得：，代入数据解得：
综上所述，整个运动过程时间：
【课堂练习】
1. 铁路运输中设计的多种装置都运用了电磁感应原理。有一种电磁装置可以向控制中心传输信号以确定火车的位置和运动状态，装置的原理是：将能产生匀强磁场的磁铁安装在火车首节车厢下面，如图甲所示（俯视图），当它经过安放在两铁轨间的单匝矩形线圈（电阻不计）时，线圈便产生一个电信号传输给控制中心。线圈长为，宽为，若匀强磁场只分布在一个矩形区域内，磁场区域的宽度大于线圈的宽度，在平直轨道上，当火车首节车厢通过线圈时，控制中心接收到线圈两端电压与时间的关系如图乙所示、均为直线），则在时间内（　　）
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A．火车做匀速直线运动 B．点电势高于点电势
C．火车加速度大小为 D．火车平均速度大小为
【答案】C
【解析】A．由，可知，动生电动势与速度成正比，而在乙图中段的电压与时间成正比，因此可知在到这段时间内，火车的速度与时间成正比，所以火车在这段时间内做的是匀加速直线运动，故A错误；
B．磁场向右运动，根据楞次定律可得线圈中的电流方向为逆时针，点电势低于点电势，故B错误；
C．由图知时刻对应的速度为：，时刻对应的速度为：
这段时间内的加速度：，故C正确；
D．由C可知这段时间内的平均速度为：，故D错误
2. 在一水平面上，放置相互平行的直导轨、，其间距，、是连在导轨两端的电阻，，，虚线左侧内（含处）的导轨粗糙，其余部分光滑并足够长。是跨接在导轨上质量为、长度为的粗细均匀的导体棒，导体棒接入电路的电阻，开始时导体棒处于虚线位置，导轨所在空间存在磁感应强度大小、方向竖直向下的匀强磁场，如图甲所示。从零时刻开始，通过微型电动机对导体棒施加一个牵引力，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，其运动的速度时间图象如图乙所示。已知末牵引力的功率是．除、及导体棒的总电阻以外，其余部分的电阻均不计，重力加速度．求
（1）末导体棒受到的安培力的大小和导体棒与粗糙导轨间的动摩擦因数；
（2）试写出内牵引力随时间变化的表达式；
（3）如果末牵引力消失，则从末到导体棒停止运动过程中导体棒上产生的焦耳热是多少？
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【答案】（1）末导体棒受到的安培力的大小为，导体棒与粗糙导轨间的动摩擦因数为0.1；
（2）内牵引力随时间变化的表达式为；
（3）如果末牵引力消失，则从末到导体棒停止运动过程中导体棒上产生的焦耳热是
【解析】解：（1）棒运动时产生的感应电动势，根据闭合电路欧姆定律得
、并联电阻为，受到的安培力，代入数据得
因为末牵引力的功率是，根据，由题图乙可知，末导体棒的速度为，可得
由速度时间图象可以看出导体棒做匀加速直线运动，加速度，
水平方向上导体棒受牵引力、安培力和摩擦力，根据牛顿第二定律得
又，代入数据解得；
（2）由（1）可知在内，，即；
（3）根据图象可知末导体棒的速度为，这时导体棒恰好前进了，
从末到导体棒停止运动过程，根据能量守恒定律得，
代入数据解得从末到导体棒停止运动过程中导体棒上产生的焦耳热
3. 如图所示，一对平行光滑导轨水 ( http: / / www.21cnjy.com )平放置，导轨间距为L，左端接有一阻值为R的电阻，有一质量为m的金属棒平放在导轨上，金属棒电阻为r，与两导轨垂直，导轨的电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，现用一水平向右的拉力沿导轨方向拉动金属棒，使金属棒从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，经一段时间后撤去拉力。
(1)在图中标出撤去拉力时通过金属棒的感应电流方向。
(2)求拉力大小为F时，金属棒两端的电压。
(3)若撤去拉力后，棒的速度v随运 ( http: / / www.21cnjy.com )动距离d的变化规律满足v=v0-cd（c为已知的常数），撤去拉力后棒在磁场中运动距离d0时恰好停下，求拉力作用的时间，并请在图中画出导体棒从静止开始到停止全过程中的合外力F合与位移s图像。
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【答案】(1)；(2)；(3)， ( http: / / www.21cnjy.com / )
【解析】(1)根据右手定则，可以判断金属杆上电流方向如图所示
(2)对金属棒，水平方向受力如图所示，由牛顿第二定律得：F-F安=ma；由安培力公式：，金属棒两端电压，即电阻R两端电压：，联立以上可得：
(3)设拉力作用的时间为t，则当运动距离为d0时恰好停下，即d=d0时，速度：v=0
由棒的速度v随运动距离d的变化规律，v=v0-cd，可得：v0=cd0，由：v0=at，可得：
以沿轨道向右为正方向，拉力作用在金属棒上时，由牛顿第二定律得：F合1=ma
金属棒的位移：，拉力撤去后，由安培力、感应电动势及闭合电路欧姆定律公式：F合2=
当位移s=s1时，F合20；当F合2=0时，s2=s1＋d0；合外力F合与位移s图像如图
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4. 情境A：雨滴从高空自由下落， ( http: / / www.21cnjy.com )所受的空气阻力f与速度v成正比；情境B：如图所示，质量为m内阻不计的导体棒ab，沿竖直金属导轨由静止开始下滑，两轨间宽为L，导轨与电阻R连接，放在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B；情境C：汽车在水平路面上保持额定功率P0由静止启动，所受阻力不变；请问：
(1)若情景A中雨滴下落的距离足够长，试用v-t图像描述雨滴的运动情况；
(2)若情景B中金属导轨足够长，试用文字描述ab的运动情况，写出必要的分析过程；
(3)若情景A中，f=kv，k是比例系数。则在情景B中，试推导出与k类似的代数式；
(4)若情景C中的水平路面足够长，请从各物体运动情况和受力情况的角度比较情景C与情景A、B的相同点和不同点。
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【答案】(1) ( http: / / www.21cnjy.com / )；(2)ab棒将先做加速度减小的加速运动，再做匀速直线运动；(3)(4)见解析
【解析】(1)由题可知，设空气阻力f为：，对雨滴受力分析可知：
雨滴下落过程中随着速度逐渐增加，空气阻力逐渐变大，雨滴做加速度减小加速运动；当空气阻力与重力等大时，雨滴加速度为零，做匀速运动。则雨滴运动的v-t图像如下图
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(2)ab棒下落过程中，对其受力分析，如图所示：
下落过程中，合外力向下，与运动方向相同，故ab加速。 由牛顿运动定律及电学相关公式
；；；，解得：
当v增大时，a变小；当v增大到使F=mg时，加速度将趋于0，导体棒将做匀速直线运动。
所以ab棒将先做加速度减小的加速运动，再做匀速直线运动。
(3)对于情景A，由牛顿第二定律：，解得：
对于情景B，由牛顿第二定律：，，所以情景B中与k类似的代数式是。
(4)相同点：情景A、B、C都是 ( http: / / www.21cnjy.com )先做加速度减小的加速运动，再做匀速直线运动。
不同点：在情景A、B中动力不变，阻力随速度变化；
在情景C中阻力不变，动力随速度变化
1．磁感应现象中的能量转化
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2．求解焦耳热Q的三种方法
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【例题解析】
例1. 如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行 ( http: / / www.21cnjy.com )金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：
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(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ。
(2)导体棒匀速运动的速度大小v。
(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。
【答案】见解析
【解析】(1)在绝缘涂层上受力平衡：mgsin θ＝μmgcos θ，解得μ＝tan θ
(2)在光滑导轨上导体棒匀速运动，说明导体棒受力平衡，已知感应电动势E＝BLv，感应电流I＝
安培力F安＝BIL，则有F安＝mgsin θ，解得v＝
(3)由于摩擦生热，则Qf＝μmgdcos θ，由能量守恒定律可得3mgdsin θ＝Q＋Qf＋mv2
解得Q＝2mgdsin θ－
例2. 如图所示，在光滑的水平面上有一 ( http: / / www.21cnjy.com )半径r＝10 cm、电阻R＝1 Ω、质量m＝1 kg的金属圆环，以速度v＝10 m/s 向一有界磁场运动。匀强磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B＝0.5 T，从圆环刚进入磁场算起，到刚好有一半进入磁场时，圆环一共释放了32 J的热量，求：21·cn·jy·com
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(1)此时圆环中电流的瞬时功率；
(2)此时圆环运动的加速度。
【答案】(1)0.36 W　(2)0.06 m/s2，方向向左
【解析】(1)圆环从开始进入磁场到有一半进入磁场过程中，由能量守恒定律得mv2＝Q＋mv′2，
代入数据解得v′＝6 m/s，此时的感应电动势：E＝BLv′＝B·2rv′＝0.5×2×0.1×6 V＝0.6 V，
圆环中电流的瞬时功率P＝＝ W＝0.36 W。
(2)感应电流I＝＝ A＝0.6 A，圆环受到的安培力：F＝BIL＝BI·2r＝0.5×0.6×2×0.1 N＝0.06 N，21教育名师原创作品
由牛顿第二定律得F＝ma，解得圆环此时运动的加速度a＝＝ m/s2＝0.06 m/s2，
由右手定则可知，圆环中感应电流沿逆时针方向，由左手定则可知，安培力水平向左，则加速度方向向左。
例3. 如图所示，水平面上有两条相互平行的光滑金属导轨和间距为，左侧与之间通过一电阻连接，两条倾角为的光滑导轨与水平导轨在、处平滑连接，水平导轨的区域有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为，磁场区域长度为。，两处有套在导轨上的两根完全相同的绝缘轻质弹簧，其原长为，现用某约束装量将两弹簧压缩到图中虚线处，只要有微小扰动，约束装置就解除压缩。长度为，质量为，电阻为的导体棒，从处由静止释放，出磁场区域后向左运动触发弹簧。由于弹簧的作用，导体棒向右运动，当导体棒进入磁场后，约束装置重新起作用，将弹簧压缩到原位置。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若导体棒从高水平导轨高的位置释放，经过一段时间后重新滑上斜面，恰好能返回原来的位置，求导体棒第一次出磁场时的速率
（2）在（1）条件下，求每根弹簧被约束装置压缩后所具有的弹性势能。
（3）要使导体棒最终能在水平导轨与倾斜导轨间来回运动，则导体神初始高度及每根弹簧储存的弹性势能需要满足什么条件？www-2-1-cnjy-com
【答案】1）导体棒第一次出磁场时的速率为；
（2）在（1）条件下，求每根弹簧被约束装置压缩后所具有的弹性势能为；
（3）要使导体棒最终能在水平导轨与倾斜导轨间来回运动，，且弹簧的弹性势能满足
≥
【解析】解：（1）导体棒在倾斜轨道上向下滑动的过程中，根据机械能守恒定律有：，解得：，导体棒越过磁场的过程中，根据动量定理可得：，
根据电荷量的计算公式，解得；
（2）设解除弹簧约束，弹簧恢复压缩后导体棒的速度为，根据导体棒与弹簧组成的系统机械能守恒可得：
；导体棒向右通过磁场的过程中，同理可得：；
由于导体棒恰好能回到原处，所以有，联立解得：；
（3）导体棒穿过磁场才能把弹簧压缩，故需要满足，即
要使导体棒不断地运动下去，导体棒必须要回到位置，则：
要使导体棒最终能在水平导轨与倾斜导轨间来回运动，，且弹簧的弹性势能满足≥
例4. 如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨、竖直放置，其宽度，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端与之间连接一阻值为的电阻，质量为、电阻为的金属棒紧贴在导轨上。现使金属棒由静止开始下滑，下滑过程中始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离与时间的关系如图乙所示，图象中的段为曲线，段为直线，导轨电阻不计，取（忽略棒运动过程中对原磁场的影响）。21*cnjy*com
（1）判断金属棒两端、的电势哪端高；
（2）求磁感应强度的大小；
（3）在金属棒从开始运动的内，电阻上产生的热量。
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【答案】（1）端电势较高；
（2）磁感应强度的大小为；
（3）在金属棒从开始运动的内，电阻上产生的热量为
【解析】（1）由右手定可判断感应电流由到，可知端为感应电动势的正极，故端电势较高。
（2）当金属棒匀速下落时，由共点力平衡条件得：
金属棒产生的感应电动势为：，则电路中的电流为：
由图象可得：，代入数据解得：；
（3）在，以金属棒为研究对象，根据动能定理得：
解得：，则电阻上产生的热量为：
【课堂练习】
1. 如图所示，一粗糙的平行 ( http: / / www.21cnjy.com )金属轨道平面与水平面成θ角，两轨道上端用一电阻R相连，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上．质量为m的金属杆ab以初速度v0从轨道底端向上滑行，滑行到某高度h后又返回到底端．若运动过程中金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，轨道与金属杆的电阻均忽略不计．则下列说法正确的是 (　　)
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A．金属杆ab上滑过程比下滑过程通过电阻R的电荷量多
B．金属杆ab上滑过程与下滑过程所用时间相等
C．金属杆ab上滑过程与下滑过程因摩擦而产生的内能一定相等
D．金属杆ab在整个过程中损失的机械能等于装置产生的焦耳热
【答案】C
【解析】金属杆在轨道上滑行时平均电动势E＝＝，通过的电荷量Q＝It＝t＝，故上滑和下滑时通过的电荷量相同；金属杆ab上滑过程与下滑过程通过同一位置，上滑的速度都要大于下滑速度，所以上滑过程中的平均速度大于下滑过程中的速度 ，所以上滑时间小于下滑时间。金属杆ab上滑过程与下滑过程中所受摩擦力大小相等，移动的位移大小相等，故因摩擦而产生的内能一定相等，根据能量守恒定律可知整个过程中损失的机械能等于装置产生的焦耳热和摩擦产生的能量之和．
2. 边长为L、电阻为R ( http: / / www.21cnjy.com )的正方形导线框位于光滑水平面内，线框的右侧区域I内存在宽度为L的有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于水平面。线框在功率恒为P的外力作用下，ab边恰好向右匀速穿过磁场。ab边进入区域II后，立即受到与速度成正比的阻力作用，即Ff=kv，k为恒量。求：
（1）ab边在区域I内运动的速度v0；
（2）分析说明线框cd边在磁场中的运动情况；
（3）若cd边在穿过磁场的过程中，线框克服阻力做功为W，求线框中产生的焦耳热。
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【答案】（1）v0=；（2）见解析；（3）Q= W
【解析】（1）电动势：E0=BLv0，电流强度：I0=，安培力：FA=BI0L=
ab边在磁场内匀速运动时，平衡：F=FA=，拉力功率：P=Fv0=，解出：v0=
（2）cd边在磁场中，线框受力如图增加阻力后，合力向左，选向左为正方向，根据牛顿第二定律
FA+Ff -F=ma；求出加速度大小：a=+-，因v与a反方向，应减速运动，加速度随之也减小，故cd边在磁场内的过程中，线框做加速度减小的减速运动（最后可能匀速） ( http: / / www.21cnjy.com / )21·世纪*教育网
（3）线框速度为v时，FA=BIL=，因B、L、R均为恒量，故安培力与速度v成正比，而Ff也与速度v成正比，故两者的变化规律相同，必有：==
线框克服安培力做功：WA=W，线框中焦耳热：Q=WA=W
3. 如图所示，CEG、DFH是两条足够长的、水平放置的平行金属导轨，导轨间距为L，在CDFE区域存在垂直于导轨平面向上的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨的右端接有一阻值为R的电阻，左端与光滑弯曲轨道MC、ND平滑连接。现将一阻值为R，质量为m的导体棒从弯曲轨道上h高处由静止释放，导体棒最终恰停在磁场的右边界EF处。金属导轨电阻不计，EF左侧导轨光滑，右侧导轨粗糙，与导体棒间动摩擦因数为μ。建立原点位于磁场左边界CD、方向沿导轨向右的坐标轴x，已知导体棒在有界磁场中运动的速度随位移均匀变化，即满足关系式：，v0为导体棒进入有界磁场的初速度。求：
(1)有界磁场区域宽度d；
(2)导体棒运动到加速度a；
(3)若导体棒从弯曲轨道上4h高处由静止释放，则导体棒最终的位置坐标x和这一过程中导体棒上产生的焦耳热Q。2-1-c-n-j-y
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【答案】(1)；(2)，方向沿x轴负方向；(3) ；
【解析】(1)导体棒在弯曲轨道上下滑，机械能守恒，有：，
导体棒由CD到EF，有：，
(2) 导体棒运动到处，速度为，
则：，
联立上式，得
又，，
导体棒的加速度：，方向沿x轴负方向。
(3)导体棒在弯曲轨道上下滑，有：，
导体棒运动到EF处，速度为，则：
后在粗糙轨道上减速滑行，加速度为：，
导体棒在有界磁场中运动，速度从减小到，
克服安培力做功为：
此过程中电阻R上产生的焦耳热为：
判断产生电磁感应现象的那一部分导体(电源)．
动生问题(棒切割磁感线)产生的电动势E＝Blv，方向由右手定则判断
楞次定律判断电流方向。当然，也可以用右手定则。
法拉第电磁感应定律计算电动势，也可以用特例E＝Blv，注意切割导体的有效长度和导体速度的变化。
闭合电路的欧姆定律计算电流，感应电流是由电动势和回路电阻共同决定的
【例题解析】
例1. 如图所示，由10根 ( http: / / www.21cnjy.com )长度都是L的金属杆连接成的一个“目”字型的矩形金属框abcdefgh，放在纸面所在的平面内。有一个宽度也为L的匀强磁场，磁场边界跟de杆平行，磁感应强度的大小是B，方向垂直于纸面向里，金属杆ah、bg、cf、de的电阻都为r，其他各杆的电阻不计，各杆端点间接触良好。现用水平向右的外力F，以速度v匀速地把金属框从磁场的左边界水平向右拉，从de杆刚进入磁场瞬间开始计时，求：21cnjy.com
（1）de刚进入磁场时ah中的电流强度大小和方向。
（2）de进入磁场时，作用在de上的外力F大小。
（3）从开始计时到ah离开磁场的过程中，电流在de杆上做的功。
（4）从开始计时到ah刚进入磁场的过程中，通过ah某一横截面总的电荷量q。
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【答案】（1），方向为a到h（2）（3）（4）
【解析】(1)根据右手定则可知，ah中的电流方向为a到h，de段做切割磁感线运动，产生的感应电动势为：E＝BLv，de段为内电路，其余为并联外电路，电阻中的总电阻为：R＝r+＝【来源：21·世纪·教育·网】
根据闭合电路欧姆定律可知，电路中的总电流为：I＝
则有：＝
(2)根据平衡条件可知：F＝F安＝BIL＝
(3)当de段在磁场中时有：I＝，
当de段离开磁场后，运动了：
de段中的电流恒为：
有：，电流在de杆上做的功为：W＝W1+W2＝
(4)在ah进入磁场前，ah上的电流方向相同，且恒定，所以通过的电量为：Q＝＝
例2. 如图所示，一根有一定电阻的直导体棒质量为、长为，其两端放在位于水平面内间距也为的光滑平行导轨上，并与之接触良好；棒左侧两导轨之间连接一可控电阻；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于导轨所在平面。时刻，给导体棒一个平行于导轨的初速度，此时可控电阻的阻值为．在棒运动过程中，通过可控电阻的变化使棒中的电流强度保持恒定。不计导轨电阻，导体棒一直在磁场中
（1）求可控电阻随时间变化的关系式；
（2）若已知棒中电流强度为，求时间内可控电阻上消耗的平均功率；
（3）若在棒的整个运动过程中将题中的可控电阻改为阻值为的定值电阻，则棒将减速运动位移后停下，而由题中条件，棒将运动位移后停下，求的值。
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【答案】（1）求可控电阻随时间变化的关系式为：；
（2）若已知棒中电流强度为，求时间内可控电阻上消耗的平均功率为；
（3）的值为
【解析】解：（1）因棒中的电流强度保持恒定，故棒做匀减速直线运动，设棒的电阻为，电流为，其初速度为，加速度大小为，经时间后，棒的速度变为，
则有：，而，时刻棒中电流为：
经时间后棒中电流为：，由以上各式得：
（2）因可控电阻随时间均匀减小，故所求功率为：
由以上各式得：
（3）将可控电阻改为定值电阻，棒将变减速运动。
有：，，而，
由以上各式得：，而；由以上各式得；所求
【课堂练习】
1. 据报道，一法国摄影 ( http: / / www.21cnjy.com )师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v =7.7km/s绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L =20m，地磁场的磁感应强度垂直于v，MN所在平面的分量B=1.0×10﹣5 T，将太阳帆板视为导体．
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（1）求M、N间感应电动势的大小E；
（2）在太阳帆板上将一只“1.5V、0.3 ( http: / / www.21cnjy.com )W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
（3）取地球半径R=6.4×10 ( http: / / www.21cnjy.com )3 km，地球表面的重力加速度g = 9.8 m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h（计算结果保留一位有效数字）．
【答案】（1）1.54V（2）不能（3）
【解析】（1）法拉第电磁感应定律：E=BLv，代入数据得：E=1.54V
（2）不能，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感应电流．
（3）在地球表面有：，匀速圆周运动：
解得：，代入数据得：h≈4×105m
2.如图，质量为m、阻值为R、边 ( http: / / www.21cnjy.com )长为L的正方形导线框，从位置A由静止下落，恰能竖直且匀速进入下方磁感应强度为B的有界匀强磁场（不计空气阻力）。求：
（1）在A位置时线框的下边到磁场上边界的距离h；
（2）线框进入磁场的过程中通过导线截面的电量q和线框上产生的热量Q；
（3）分析并说明从开始下落到线框下边到达磁场下边界的过程中，线框机械能的变化情况。
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【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】（1）线框进入磁场前，只有重力做功，机械能守恒：①
线框进入磁场时受到竖直向下的重力和向上的安培力作用，恰好匀速，有：mg=BIL②
根据切割产生感应电动势规律和闭合电路欧姆定律有： ③；联立①②③三式，可得：
（2）线框进入磁场时的感应电流大小，由，可得：
所需的时间：；线框进入磁场的过程中通过线框截面的电量：
产生的热量：Q=I2Rt=mgL
（3）线框下边进入磁场前只有重力做功， ( http: / / www.21cnjy.com )机械能守恒；线框下边进入磁场后，安培力做负功，因此线框机械能减少；线框全部进入磁场到下边出磁场前，无感应电流，不受安培力，只有重力做功，机械能守恒
3. 如图，置于同一水平面上两金属导轨相互平 ( http: / / www.21cnjy.com )行，相距l=0.6m，导轨左右两端分别与规格为“3V，3W”的灯L1和“6V，6W”的灯L2相连，电阻r=1Ω的导体棒ab置于导轨上且与导轨垂直，磁感应强度B=1T的匀强磁场垂直穿过导轨平面。当导体棒在外力作用下沿导轨向右匀速运动时，灯L1恰好正常发光。导轨电阻忽略不计。求：
（1）灯L2的实际功率P2；
（2）导体棒ab的速度大小v；
（3）导体棒ab所受安培力的功率P安。
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【答案】（1）1.5W；（2）7.5m/s；（3）6.75W
【解析】（1）L1的电阻：。L2的电阻：
L1与L2的实际功率之比为：
所以，灯L2的实际功率：
（2）外电路的电阻为：；因为内外电路电流相同，所以：
所以感应电动势：
由得，棒ab做匀速运动的速度：
（3）因为内外电路电流相同，所以：
所以导体棒消耗的功率是：
安培力功率等于内外电路消耗的所有电功率，所以
4. 如图所示，电动机通过其转轴 ( http: / / www.21cnjy.com )上的绝缘细绳牵引一根原来静止的长L=lm、质量m=0.1kg的导体棒ab，导体棒紧贴在竖直放置、电阻不计的金属框架上，导体棒的电阻R=1Ω，磁感应强度B=1T的匀强磁场垂直于导体框架所在平面。当导体棒在电动机牵引下上升h=3.8m时，获得稳定速度，此过程中导体棒产生的热量0.2J，电动机工作时，电压表、电流表的读数分别为7V和1A，电动机的内阻r=1Ω。不计一切摩擦，g取10m/s2，求：
（1）在导体棒上升过程中，通过导体棒的电流方向和受到的磁场力的方向；
（2）导体棒所能达到的稳定速度是多少；
（3）导体棒从静止到稳定速度的时间是多少
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【答案】（1）电流方向：b流向a；磁场力方向：垂直于金属棒竖直向下；（2）v=2m/s；（3）t=0.7swww.21-cn-jy.com
【解析】（1）金属棒上电流方向：b流向a；磁场力方向：垂直于金属棒竖直向下
（2）受力分析
根据感应电动势公式：
根据欧姆定律：
根据安培力公式：
根据平衡条件：
根据能量守恒：
代入数据解得v=2m/s
（3）根据能量守恒：
代入数据解得t=0.7s
一、导体切割磁感线产生感应电动势的计算
二、电磁感应动力学问题
三、电磁感应中的能量问题
四、电磁感应结合电路问题
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专题13 电磁感应综合（学生版）
1．E＝Blv的三个特性
(1)正交性：本公式要求磁场为匀强磁场，而且B、l、v三者互相垂直。
(2)有效性：公式中的l为导体切割磁感线的有效长度。如图中，导体棒的有效长度为a、b间的距离。
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(3)相对性：E＝Blv中的速度v是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系。
2.导体转动切割磁感线
当导体在垂直于磁场的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动时，产生的感应电动势为E＝Bl＝Bl2ω，如图所示。21·世纪*教育网
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【例题解析】
例1. 如图，空间有一匀强磁场，一直 ( http: / / www.21cnjy.com )金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′。则等于(　　)
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A.　　　　　　　　　　B． C．1 D．
例2. 如图，直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动时，a、b、c三点的电势分别为φa、φb、φc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是(　　)21cnjy.com
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A．φa＞φc，金属框中无电流
B．φb＞φc，金属框中电流方向沿a－b－c－a
C．Ubc＝－Bl2ω，金属框中无电流
D．Ubc＝Bl2ω，金属框中电流方向沿a－c－b－a
【课堂练习】
1. 如图所示，光滑导轨固定，其中是半径为的四分之一圆弧，为圆心。、的电阻均为，是可绕转动的金属杆，端位于上，与轨道接触良好，空间存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度的大小为，、的电阻不计。则在杆由位置以恒定的角速度顺时针转到位置的过程中　　
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A．中电流方向为流向
B．流过的电荷量为2
C．要维持以角速度匀速转动，外力的功率应为
D．若转动的角速度变为原来的2倍，则流过的电荷量也变为原来的2倍
2. 如图所示，MN、PQ是间 ( http: / / www.21cnjy.com )距为L的平行金属导轨，置于磁感应强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻。一根与导轨接触良好、有效阻值为R的金属导线ab垂直导轨放置，并在水平外力F的作用下以速度v向右匀速运动，则(不计导轨电阻)(　　)21世纪教育网版权所有
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A．通过电阻R的电流方向为P→R→M B．a、b两点间的电压为BLv
C．a端电势比b端高 D．a端电势比b端低　
3. 如图所示，由某种粗细均匀的金 ( http: / / www.21cnjy.com )属条制成的矩形线框abcd固定在纸面内，匀强磁场垂直纸面向里。一导体棒PQ放在线框上，在水平拉力F作用下沿平行ab的方向匀速滑动，滑动过程PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中(　　)www-2-1-cnjy-com
A．通过PQ的电流先增大后减小 B．PQ两端电压先减小后增大
C．拉力F的功率先减小后增大 D．通过ad的电流先增大后减小
4. 如图所示，一折角的导体框架水平固定放置，处于垂直纸面向里的匀强磁场中，一根足够长的截面均匀的导体棒放在导体框架上。时导体棒与点的距离为，此时在外力作用下以初速度开始运动。已知导体棒中的感应电流与时间的关系是与均为常量且已知），在时刻，导体棒的电功率为．除导体棒外，其余各部分电阻均不计。求：21*cnjy*com
（1）试推导出导体棒的速度随时间的变化关系；
（2）在时刻，导体棒与点的距离；
（3）匀强磁场的磁感应强度。
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5. 如图，水平面内有一光滑金属导轨，边长度为、阻值为，且与垂直，与的夹角为，、边的电阻不计。将质量、电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与平行，棒与、交点、间的距离，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度．在外力作用下，棒由处以初速度向右做直线运动，运动过程中回路的电流强度始终不变。求：
（1）棒在处所受的安培力的功率；
（2）棒由处向右移动距离所需的时间△；
（3）棒由处向右移动的过程中，外力做功。
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1．导体的两种运动状态
(1)平衡状态：静止或匀速直线运动，F合＝0。
(2)非平衡状态：加速度不为零，F合＝ma。
2．电学对象与力学对象的转换及关系
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“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
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【例题解析】
例1. 如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上 ( http: / / www.21cnjy.com )沿相连。两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平。右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上。已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g。已知金属棒ab匀速下滑。求：21教育网
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(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小。
例2. 如图甲所示，、两条平行的光滑金属轨道与水平面成角固定，、之间接电阻箱，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上。质量为的金属杆水平放置在轨道上，其接入电路的阻值为。现从静止释放杆，测得最大速度为，改变电阻箱的阻值，得到与的关系如图乙所示。已知、两平行金属轨道间距离为，重力加速度取，轨道足够长且电阻不计。求：
（1）金属杆运动过程中所受安培力的最大值；
（2）磁感应强度的大小和的阻值；
（3）当变阻箱取，且金属杆在下滑前速度已达最大，杆下滑的过程中，电阻上产生的焦耳热。
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例3. 如图所示，固定的直角金属轨道足够长 ( http: / / www.21cnjy.com )，左侧倾角θ1=37°，右侧倾角θ2=53°，轨道宽均为L=1.0m，整个装置处于B=1.0T匀强磁场中，磁场方向垂直于右侧轨道平面向上。质量分别为m1=1.0kg、m2=0.4kg的导体棒ab、cd，水平放在左、右两侧轨道上并与轨道垂直。已知ab、cd棒的电阻均为R=1.0Ω，其余电阻不计，两棒与轨道间的动摩擦因数均为μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，sin53°＝0.8。由静止同时释放两棒，在棒下滑过程中21·cn·jy·com
（1）判断cd棒中感应电流的方向；
（2）通过分析说明cd棒下滑过程中的运动情况，并计算ab棒中电功率的最大值；
（3）通过分析、推理和计算，说明ab棒在下滑过程中的运动情况。
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例4. 如图，水平面上两平行固定放置的金属导轨，间距m，电阻不计。左端连接阻值的电阻，右端连接阻值的小灯泡L（设小灯电阻保持不变）。在CDFE矩形区域内有竖直向上、磁感强度T的匀强磁场，CE的宽度m。在AB处有一质量kg、阻值Ω的金属棒PQ，PQ在水平恒力F的作用下从静止开始，先以m/s2的加速度向右运动到磁场边界CD处，接着以某一速度v进入磁场，当运动到EF处撤去力F，金属棒最终停止在导轨上。金属棒在磁场内运动的过程中，小灯泡的亮度没有发生变化。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数，重力加速度，求：
(1)在小灯泡发光时，在图上标出通过小灯的电流方向；
(2)水平恒力F的大小；
(3)金属棒进入磁场时速度v的大小；
(4)金属棒整个运动过程的时间t。
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【课堂练习】
1. 铁路运输中设计的多种装置都运用了电磁感应原理。有一种电磁装置可以向控制中心传输信号以确定火车的位置和运动状态，装置的原理是：将能产生匀强磁场的磁铁安装在火车首节车厢下面，如图甲所示（俯视图），当它经过安放在两铁轨间的单匝矩形线圈（电阻不计）时，线圈便产生一个电信号传输给控制中心。线圈长为，宽为，若匀强磁场只分布在一个矩形区域内，磁场区域的宽度大于线圈的宽度，在平直轨道上，当火车首节车厢通过线圈时，控制中心接收到线圈两端电压与时间的关系如图乙所示、均为直线），则在时间内（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．火车做匀速直线运动 B．点电势高于点电势
C．火车加速度大小为 D．火车平均速度大小为
2. 在一水平面上，放置相互平行的直导轨、，其间距，、是连在导轨两端的电阻，，，虚线左侧内（含处）的导轨粗糙，其余部分光滑并足够长。是跨接在导轨上质量为、长度为的粗细均匀的导体棒，导体棒接入电路的电阻，开始时导体棒处于虚线位置，导轨所在空间存在磁感应强度大小、方向竖直向下的匀强磁场，如图甲所示。从零时刻开始，通过微型电动机对导体棒施加一个牵引力，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好，其运动的速度时间图象如图乙所示。已知末牵引力的功率是．除、及导体棒的总电阻以外，其余部分的电阻均不计，重力加速度．求【出处：21教育名师】
（1）末导体棒受到的安培力的大小和导体棒与粗糙导轨间的动摩擦因数；
（2）试写出内牵引力随时间变化的表达式；
（3）如果末牵引力消失，则从末到导体棒停止运动过程中导体棒上产生的焦耳热是多少？
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3. 如图所示，一对平行光滑导轨水平放置，导 ( http: / / www.21cnjy.com )轨间距为L，左端接有一阻值为R的电阻，有一质量为m的金属棒平放在导轨上，金属棒电阻为r，与两导轨垂直，导轨的电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，现用一水平向右的拉力沿导轨方向拉动金属棒，使金属棒从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，经一段时间后撤去拉力。www.21-cn-jy.com
(1)在图中标出撤去拉力时通过金属棒的感应电流方向。
(2)求拉力大小为F时，金属棒两端的电压。
(3)若撤去拉力后，棒的速度v随 ( http: / / www.21cnjy.com )运动距离d的变化规律满足v=v0-cd（c为已知的常数），撤去拉力后棒在磁场中运动距离d0时恰好停下，求拉力作用的时间，并请在图中画出导体棒从静止开始到停止全过程中的合外力F合与位移s图像。【版权所有：21教育】
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4. 情境A：雨滴从高空自由 ( http: / / www.21cnjy.com )下落，所受的空气阻力f与速度v成正比；情境B：如图所示，质量为m内阻不计的导体棒ab，沿竖直金属导轨由静止开始下滑，两轨间宽为L，导轨与电阻R连接，放在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B；情境C：汽车在水平路面上保持额定功率P0由静止启动，所受阻力不变；请问：21教育名师原创作品
(1)若情景A中雨滴下落的距离足够长，试用v-t图像描述雨滴的运动情况；
(2)若情景B中金属导轨足够长，试用文字描述ab的运动情况，写出必要的分析过程；
(3)若情景A中，f=kv，k是比例系数。则在情景B中，试推导出与k类似的代数式；
(4)若情景C中的水平路面足够长，请从各物体运动情况和受力情况的角度比较情景C与情景A、B的相同点和不同点。【来源：21cnj*y.co*m】
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1．磁感应现象中的能量转化
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2．求解焦耳热Q的三种方法
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【例题解析】
例1. 如图所示，在匀强磁场中 ( http: / / www.21cnjy.com )有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：
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(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ。
(2)导体棒匀速运动的速度大小v。
(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。
例2. 如图所示，在光滑的水平 ( http: / / www.21cnjy.com )面上有一半径r＝10 cm、电阻R＝1 Ω、质量m＝1 kg的金属圆环，以速度v＝10 m/s 向一有界磁场运动。匀强磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B＝0.5 T，从圆环刚进入磁场算起，到刚好有一半进入磁场时，圆环一共释放了32 J的热量，求：2-1-c-n-j-y
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(1)此时圆环中电流的瞬时功率；
(2)此时圆环运动的加速度。
例3. 如图所示，水平面上有两条相互平行的光滑金属导轨和间距为，左侧与之间通过一电阻连接，两条倾角为的光滑导轨与水平导轨在、处平滑连接，水平导轨的区域有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为，磁场区域长度为。，两处有套在导轨上的两根完全相同的绝缘轻质弹簧，其原长为，现用某约束装量将两弹簧压缩到图中虚线处，只要有微小扰动，约束装置就解除压缩。长度为，质量为，电阻为的导体棒，从处由静止释放，出磁场区域后向左运动触发弹簧。由于弹簧的作用，导体棒向右运动，当导体棒进入磁场后，约束装置重新起作用，将弹簧压缩到原位置。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若导体棒从高水平导轨高的位置释放，经过一段时间后重新滑上斜面，恰好能返回原来的位置，求导体棒第一次出磁场时的速率21*cnjy*com
（2）在（1）条件下，求每根弹簧被约束装置压缩后所具有的弹性势能。
（3）要使导体棒最终能在水平导轨与倾斜导轨间来回运动，则导体神初始高度及每根弹簧储存的弹性势能需要满足什么条件？
例4. 如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨、竖直放置，其宽度，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端与之间连接一阻值为的电阻，质量为、电阻为的金属棒紧贴在导轨上。现使金属棒由静止开始下滑，下滑过程中始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离与时间的关系如图乙所示，图象中的段为曲线，段为直线，导轨电阻不计，取（忽略棒运动过程中对原磁场的影响）。
（1）判断金属棒两端、的电势哪端高；
（2）求磁感应强度的大小；
（3）在金属棒从开始运动的内，电阻上产生的热量。
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【课堂练习】
1. 如图所示，一粗糙的平行金属轨 ( http: / / www.21cnjy.com )道平面与水平面成θ角，两轨道上端用一电阻R相连，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上．质量为m的金属杆ab以初速度v0从轨道底端向上滑行，滑行到某高度h后又返回到底端．若运动过程中金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，轨道与金属杆的电阻均忽略不计．则下列说法正确的是 (　　)
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A．金属杆ab上滑过程比下滑过程通过电阻R的电荷量多
B．金属杆ab上滑过程与下滑过程所用时间相等
C．金属杆ab上滑过程与下滑过程因摩擦而产生的内能一定相等
D．金属杆ab在整个过程中损失的机械能等于装置产生的焦耳热
2. 边长为L、电阻为R的正方形导线框位于光 ( http: / / www.21cnjy.com )滑水平面内，线框的右侧区域I内存在宽度为L的有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于水平面。线框在功率恒为P的外力作用下，ab边恰好向右匀速穿过磁场。ab边进入区域II后，立即受到与速度成正比的阻力作用，即Ff=kv，k为恒量。求：2·1·c·n·j·y
（1）ab边在区域I内运动的速度v0；
（2）分析说明线框cd边在磁场中的运动情况；
（3）若cd边在穿过磁场的过程中，线框克服阻力做功为W，求线框中产生的焦耳热。
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3. 如图所示，CEG、DFH是两条足够长的、水平放置的平行金属导轨，导轨间距为L，在CDFE区域存在垂直于导轨平面向上的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨的右端接有一阻值为R的电阻，左端与光滑弯曲轨道MC、ND平滑连接。现将一阻值为R，质量为m的导体棒从弯曲轨道上h高处由静止释放，导体棒最终恰停在磁场的右边界EF处。金属导轨电阻不计，EF左侧导轨光滑，右侧导轨粗糙，与导体棒间动摩擦因数为μ。建立原点位于磁场左边界CD、方向沿导轨向右的坐标轴x，已知导体棒在有界磁场中运动的速度随位移均匀变化，即满足关系式：，v0为导体棒进入有界磁场的初速度。求：
(1)有界磁场区域宽度d；
(2)导体棒运动到加速度a；
(3)若导体棒从弯曲轨道上4h高处由静止释放，则导体棒最终的位置坐标x和这一过程中导体棒上产生的焦耳热Q。
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判断产生电磁感应现象的那一部分导体(电源)．
动生问题(棒切割磁感线)产生的电动势E＝Blv，方向由右手定则判断
楞次定律判断电流方向。当然，也可以用右手定则。
法拉第电磁感应定律计算电动势，也可以用特例E＝Blv，注意切割导体的有效长度和导体速度的变化。
闭合电路的欧姆定律计算电流，感应电流是由电动势和回路电阻共同决定的
【例题解析】
例1. 如图所示，由10根长度都是 ( http: / / www.21cnjy.com )L的金属杆连接成的一个“目”字型的矩形金属框abcdefgh，放在纸面所在的平面内。有一个宽度也为L的匀强磁场，磁场边界跟de杆平行，磁感应强度的大小是B，方向垂直于纸面向里，金属杆ah、bg、cf、de的电阻都为r，其他各杆的电阻不计，各杆端点间接触良好。现用水平向右的外力F，以速度v匀速地把金属框从磁场的左边界水平向右拉，从de杆刚进入磁场瞬间开始计时，求：
（1）de刚进入磁场时ah中的电流强度大小和方向。
（2）de进入磁场时，作用在de上的外力F大小。
（3）从开始计时到ah离开磁场的过程中，电流在de杆上做的功。
（4）从开始计时到ah刚进入磁场的过程中，通过ah某一横截面总的电荷量q。
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例2. 如图所示，一根有一定电阻的直导体棒质量为、长为，其两端放在位于水平面内间距也为的光滑平行导轨上，并与之接触良好；棒左侧两导轨之间连接一可控电阻；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于导轨所在平面。时刻，给导体棒一个平行于导轨的初速度，此时可控电阻的阻值为．在棒运动过程中，通过可控电阻的变化使棒中的电流强度保持恒定。不计导轨电阻，导体棒一直在磁场中
（1）求可控电阻随时间变化的关系式；
（2）若已知棒中电流强度为，求时间内可控电阻上消耗的平均功率；
（3）若在棒的整个运动过程中将题中的可控电阻改为阻值为的定值电阻，则棒将减速运动位移后停下，而由题中条件，棒将运动位移后停下，求的值。
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【课堂练习】
1. 据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号 ( http: / / www.21cnjy.com )”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v =7.7km/s绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L =20m，地磁场的磁感应强度垂直于v，MN所在平面的分量B=1.0×10﹣5 T，将太阳帆板视为导体．
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（1）求M、N间感应电动势的大小E；
（2）在太阳帆板上将一只“1.5V、0. ( http: / / www.21cnjy.com )3W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
（3）取地球半径R=6.4×103 ( http: / / www.21cnjy.com ) km，地球表面的重力加速度g = 9.8 m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h（计算结果保留一位有效数字）．
2.如图，质量为m、阻值为R、边长为L的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形导线框，从位置A由静止下落，恰能竖直且匀速进入下方磁感应强度为B的有界匀强磁场（不计空气阻力）。求：
（1）在A位置时线框的下边到磁场上边界的距离h；
（2）线框进入磁场的过程中通过导线截面的电量q和线框上产生的热量Q；
（3）分析并说明从开始下落到线框下边到达磁场下边界的过程中，线框机械能的变化情况。
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3. 如图，置于同一水平面上两金属 ( http: / / www.21cnjy.com )导轨相互平行，相距l=0.6m，导轨左右两端分别与规格为“3V，3W”的灯L1和“6V，6W”的灯L2相连，电阻r=1Ω的导体棒ab置于导轨上且与导轨垂直，磁感应强度B=1T的匀强磁场垂直穿过导轨平面。当导体棒在外力作用下沿导轨向右匀速运动时，灯L1恰好正常发光。导轨电阻忽略不计。求：
（1）灯L2的实际功率P2；
（2）导体棒ab的速度大小v；
（3）导体棒ab所受安培力的功率P安。
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4. 如图所示，电动机通过其转轴上的绝缘细绳 ( http: / / www.21cnjy.com )牵引一根原来静止的长L=lm、质量m=0.1kg的导体棒ab，导体棒紧贴在竖直放置、电阻不计的金属框架上，导体棒的电阻R=1Ω，磁感应强度B=1T的匀强磁场垂直于导体框架所在平面。当导体棒在电动机牵引下上升h=3.8m时，获得稳定速度，此过程中导体棒产生的热量0.2J，电动机工作时，电压表、电流表的读数分别为7V和1A，电动机的内阻r=1Ω。不计一切摩擦，g取10m/s2，求：
（1）在导体棒上升过程中，通过导体棒的电流方向和受到的磁场力的方向；
（2）导体棒所能达到的稳定速度是多少；
（3）导体棒从静止到稳定速度的时间是多少
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一、导体切割磁感线产生感应电动势的计算
二、电磁感应动力学问题
三、电磁感应中的能量问题
四、电磁感应结合电路问题
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