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专题04 圆周运动
1．质点做曲线运动的条件：
方法1——从运动学与动力学的角度判断
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方法2——从运动轨迹的角度判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2.曲线运动的特点：
做曲线运动的物体，其速度方向与运动轨迹相切，所受的合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力改变物体的运动状态，据此可以判断：2-1-c-n-j-y
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(1)已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间(凹侧)，如图所示。
(2)根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向。
(3)根据合力方向与速度方向间的夹角，判断物 ( http: / / www.21cnjy.com )体的速率变化情况：夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变，这是匀速圆周运动的受力条件。21*cnjy*com
【例题解析】
例1. “神舟十一号”飞船 ( http: / / www.21cnjy.com )于2016年10月17日发射升空，在靠近轨道沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小，在此过程中“神舟十一号”所受合力的方向可能是(　　)
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例2. 一架飞机在高空中由西向东沿水平 ( http: / / www.21cnjy.com )方向做匀速飞行，飞机每隔相同时间空投一个物体，共连续空投了6个物体（不计空气阻力）。下图是从地面某时刻观察到的6个空投物体的位置，其中正确的是（）【出处：21教育名师】
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / )
C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
【课堂练习】
1. 初速度不为零的小球只受到一个大小不变的力的作用，下列说法正确的是(　　)
A．小球一定做曲线运动 B．小球的位置可能保持不变
C．小球的速度大小可能保持不变 D．小球的加速度一定保持不变
2. 春节期间人们放飞孔明 ( http: / / www.21cnjy.com )灯表达对新年的祝福。如图所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图中的(　　)
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A．直线OA　　　　　 B．曲线OB C．曲线OC D．曲线OD
3. 在足球场上罚任意球时，运动员 ( http: / / www.21cnjy.com )踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是(　　)21教育名师原创作品
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A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
2．对a＝＝ω2r的理解
当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。
3．常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(2)摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。21*cnjy*com
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(3)同轴传动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
4.向心力的来源
(1)向心力的方向沿半径指向圆心；(2)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。
5.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
6.向心力与合力的关系
(1)匀速圆周运动
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(2)变速圆周运动
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【例题解析】
例1. 如图为某一皮带传动装置。主动轮的半 ( http: / / www.21cnjy.com )径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是(　　 )
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A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮边缘线速度大小为n1 D．从动轮的转速为n1
例2. 铁路在弯道处的内外轨道高 ( http: / / www.21cnjy.com )度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则(　　)
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A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于 D．这时铁轨对火车的支持力大于
例3. 洗衣机的脱水筒如图所示，设其半径为并绕竖直轴线以角速度匀速转动。质量不同的小物件、随脱水筒转动且相对筒壁静止。则　　21·cn·jy·com
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A．转速减小，质量大的物件先下落 B．转速增加，物件对筒壁的压力均增加
C．转速增加，物件受到的摩擦力均增加 D．转动过程中两物件的向心加速度总是相同
例4. 如图所示，长为L的轻质硬杆，一端 ( http: / / www.21cnjy.com )固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴上，现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，转动的角速度为ω，某时刻杆对球的作用力水平向左，则此时杆与水平面的夹角θ为(　　)www.21-cn-jy.com
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A．sin θ＝ B．sin θ＝ C．tan θ＝ D．tan θ＝【来源：21·世纪·教育·网】
例5. 如图所示，长为的细绳，一端拴一质量为的小球，另一端悬挂在距光滑水平面高处。现使小球在水平桌面上以角速度为做匀速圆周运动，则小球对桌面的压力为　　【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
例6. 如下图所示为一种叫作“魔盘”的娱乐设施，当转盘转动很慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当“魔盘”转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上，而不会滑下。若魔盘半径为r，人与魔盘竖直壁间的动摩擦因数为，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，在人“贴”在“魔盘”竖直壁上，随“魔盘”一起运动过程中，下列说法正确的是（　　）
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A．人随“魔盘”转动过程中受重力、弹力和向心力作用 B．如果转速变大，人与器壁之间的摩擦力变大
C．如果转速变大，人与器壁之间的弹力不变 D．“魔盘”的转速一定不小于
【课堂练习】
1. 如图所示为锥形齿轮的传动示意 ( http: / / www.21cnjy.com )图，大齿轮带动小齿轮转动，大、小齿轮的角速度大小分别为ω1、ω2，两齿轮边缘处的线速度大小分别为v1、v2，则(　　)
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A．ω1<ω2，v1＝v2 B．ω1>ω2，v1＝v2 C．ω1＝ω2，v1>v2 D．ω1＝ω2，v12. 如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)21·世纪*教育网
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A．A的速度比B的大 B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
3. 如图所示，在倾角为α＝30° ( http: / / www.21cnjy.com )的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做周运动，取g＝10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是(　　)21世纪教育网版权所有
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A．2 m/s B．2 m/s C．2 m/s D．2 m/s
4. 如图，在一半径为R的球面顶端放一质量为m的物块，现给物块一初速v0，则(　　)
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A．若v0＝，则物块落地点离A点R
B．若球面是粗糙的，当v0＜时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离球面
C．若v0＜，则物块落地点离A点为R
D．若v0≥，则物块落地点离A点至少为2R
5. 如图，一个光滑斜面上端连接一个正方形水平平台，正方形边长和斜面宽度均为。斜面的倾角为30°，斜面上放着一个质量为的小物块（可视为质点），物块到斜面两侧的距离相等，用一轻绳一端系着小物块，另一端穿过水平平台中心的光滑小孔，系着水平平台上一个质量为的小球，小球能绕小孔做稳定的匀速圆周运动，半径为，轻绳总长为，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　）。【版权所有：21教育】
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A．绳子中的拉力大小为 B．小物块对斜面的正压力为
C．小球做匀速圆周运动时的速度大小为 D．斜面倾角越大，小球沿相同轨迹稳定运动的速度越小
6. 拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具。四个拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上。现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动。下列各图中两球的位置关系可能正确的是（图中细绳与竖直方向的夹角　　
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运 ( http: / / www.21cnjy.com )动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2.竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
“轻绳”模型 “轻杆”模型
图示 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
受力特征 物体受到的弹力方向为向下或等于零 物体受到的弹力方向为向下、等于零或向上
受力示意图
力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝
临界特征 FN＝0 mg＝m即vmin＝ v＝0即F向＝0FN＝mg
过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0
【例题解析】
例1. 如图所示，轻绳的一端 ( http: / / www.21cnjy.com )固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视为质点)。当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力FT、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式FT＝a＋bcos θ，式中a、b为常数。若不计空气阻力，则当地的重力加速度为(　　)21教育网
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A.　　　　　　　B． C. D．
例2. 如图所示，半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )R的光滑圆轨道固定在竖直平面内，水平光滑轨道AB在圆轨道最低点与其平滑连接。一小球以初速度v0沿AB向左运动，要使球能沿圆轨道运动到D点，则小球初速度v0和在最高点C点的速度vC的最小值分别为（　　）
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A. v0＝，vC＝0 B. v0＝2，vC＝0 C. v0＝2，vC＝ D. v0＝，vC＝21cnjy.com
【课堂练习】
1. 如图甲所示，轻杆的一端固定一小球( ( http: / / www.21cnjy.com )可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F v2(v为小球在最高点处的速度)图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则(　　)2·1·c·n·j·y
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A．O轴到小球的距离为0.5 m
B．小球的质量为3 kg
C．小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s
D．小球在最低点的初速度大小为 m/s时，通过最高点时杆不受球的作用力
2. 如图所示，AB是光滑的倾斜直轨 ( http: / / www.21cnjy.com )道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的小球在A点由静止释放，设重力加速度为g，若它恰能通过最高点D，则小球在D点的速度VD＝　 　；A点的高度h＝　 　。
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一、曲线运动的条件与特点
二、曲线运动的条件与特点
三、竖直平面圆周运动的临界问题
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专题04 圆周运动
1．质点做曲线运动的条件：
方法1——从运动学与动力学的角度判断
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方法2——从运动轨迹的角度判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2.曲线运动的特点：
做曲线运动的物体，其速度方向与运动轨迹相切，所受的合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力改变物体的运动状态，据此可以判断：21·世纪*教育网
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(1)已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间(凹侧)，如图所示。
(2)根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向。
(3)根据合力方向与速度方向 ( http: / / www.21cnjy.com )间的夹角，判断物体的速率变化情况：夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变，这是匀速圆周运动的受力条件。2-1-c-n-j-y
【例题解析】
例1. “神舟十一号”飞船于20 ( http: / / www.21cnjy.com )16年10月17日发射升空，在靠近轨道沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小，在此过程中“神舟十一号”所受合力的方向可能是(　　)
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【答案】C
【解析】考虑到合力方向指向轨迹凹侧，且由M到N速率减小，可知选项C正确。
例2. 一架飞机在高空中由西向东沿水平方向 ( http: / / www.21cnjy.com )做匀速飞行，飞机每隔相同时间空投一个物体，共连续空投了6个物体（不计空气阻力）。下图是从地面某时刻观察到的6个空投物体的位置，其中正确的是（）21*cnjy*com
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) D. ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【解析】因为物体做平抛运动运动， ( http: / / www.21cnjy.com )飞机做匀速直线运动，则平抛运动的水平速度都等于飞机的速度，则对于某物体来说某时刻水平位移等于飞机的位移，则物体总是在飞机的正下方，即六个物体在飞机正下方排成一列竖直直线，因在竖直方向上做自由落体运动，所以相等时间间隔内的位移越来越大。ABC图不符合题意，D图符合题意。【出处：21教育名师】
【课堂练习】
1. 初速度不为零的小球只受到一个大小不变的力的作用，下列说法正确的是(　　)
A．小球一定做曲线运动 B．小球的位置可能保持不变
C．小球的速度大小可能保持不变 D．小球的加速度一定保持不变
【参考答案】C　
【详细解析】只有当小球的速度 ( http: / / www.21cnjy.com )方向与力F不共线时，小球做曲线运动，选项A正确；小球所受合外力不为零，一定会运动，所以小球的位置不可能保持不变，选项B错误；若力F与速度垂直，力F的大小不变，方向不断变化，则小球能做匀速圆周运动，速度的大小保持不变，选项C正确；小球所受的合外力大小不变，方向不确定，所以加速度不一定保持不变，选项D错误。【版权所有：21教育】
2. 春节期间人们放飞孔明灯表达 ( http: / / www.21cnjy.com )对新年的祝福。如图所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图中的(　　)
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A．直线OA　　　　　 　 　B．曲线OB
C．曲线OC D．曲线OD
【答案】D
【解析】孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹凹侧可知轨迹可能为题图中的曲线OD，故D正确。
3. 在足球场上罚任意球时，运动员踢出的 ( http: / / www.21cnjy.com )足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是(　　)
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A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
【答案】C
【解析】足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故C正确。21教育网
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
2．对a＝＝ω2r的理解
当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比。
3．常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(2)摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
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(3)同轴传动：如图丁所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
4.向心力的来源
(1)向心力的方向沿半径指向圆心；(2)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。
5.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
6.向心力与合力的关系
(1)匀速圆周运动
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(2)变速圆周运动
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【例题解析】
例1. 如图为某一皮带传动装置 ( http: / / www.21cnjy.com )。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是(　　 )
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A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮边缘线速度大小为n1 D．从动轮的转速为n1
【答案】B　
【解析】主动轮沿顺时针方向转动 ( http: / / www.21cnjy.com )时，传送带沿M→N方向运动，故从动轮沿逆时针方向转动，且两轮边缘线速度大小相等，故AC错误，B正确；由ω＝2πn、v＝ωr可知，2πn1r1＝2πn2r2，解得n2＝n1，D错误。
例2. 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的， ( http: / / www.21cnjy.com )已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则(　　)
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A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于 D．这时铁轨对火车的支持力大于
【答案】C
【解析】由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcos θ＝mg，则FN＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确；A、B、D错误。21教育名师原创作品
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例3. 洗衣机的脱水筒如图所示，设其半径为并绕竖直轴线以角速度匀速转动。质量不同的小物件、随脱水筒转动且相对筒壁静止。则　　www-2-1-cnjy-com
A．转速减小，质量大的物件先下落 B．转速增加，物件对筒壁的压力均增加
C．转速增加，物件受到的摩擦力均增加 D．转动过程中两物件的向心加速度总是相同
【答案】B
【解析】A、物块受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力作用，靠弹力提供向心力，向心力为
竖直方向摩擦力等于重力；当摩擦力恰好等于重力时有：，可知与物体的质量无关。故A错误；B、筒壁的弹力提供衣物的向心力，得：，可见。转速增大时，弹力也增大，故B正确。C、衣物附在筒壁上随筒一起做匀速圆周运动，衣物的重力与静摩擦力平衡，筒的转速增大时，摩擦力不变。故C错误。D、向心加速度是矢量，二者向心加速度的方向都是指向圆心，但不一定相同。故D错误。
例4. 如图所示，长为L ( http: / / www.21cnjy.com )的轻质硬杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴上，现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，转动的角速度为ω，某时刻杆对球的作用力水平向左，则此时杆与水平面的夹角θ为(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
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A．sin θ＝ B．sin θ＝ C．tan θ＝ D．tan θ＝
【答案】B
【解析】小球所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，受力如图所示
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根据牛顿第二定律有：＝mLω2，解得：sin θ＝，故选B
例5. 如图所示，长为的细绳，一端拴一质量为的小球，另一端悬挂在距光滑水平面高处。现使小球在水平桌面上以角速度为做匀速圆周运动，则小球对桌面的压力为　　
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A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：对小球受力分析，如图：根据牛顿第二定律，水平方向：
竖直方向：联立得：根据牛顿第三定律：．故B正确
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例6. 如下图所示为一种叫作“魔盘”的娱乐设施，当转盘转动很慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当“魔盘”转动到一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上，而不会滑下。若魔盘半径为r，人与魔盘竖直壁间的动摩擦因数为，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，在人“贴”在“魔盘”竖直壁上，随“魔盘”一起运动过程中，下列说法正确的是（　　）
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A．人随“魔盘”转动过程中受重力、弹力、摩擦力和向心力作用
B．如果转速变大，人与器壁之间的摩擦力变大
C．如果转速变大，人与器壁之间的弹力不变
D．“魔盘”的转速一定不小于
【答案】D
【解析】A．人随“魔盘”转动过程中受重力、弹力、摩擦力，向心力是效果力，故A错误；
B．人在竖直方向受到重力和摩擦力，二力平衡，则知转速变大时，人与器壁之间的摩擦力不变，故 B错误；
C．如果转速变大，由，知人与器壁之间的弹力变大，故 C错误；
D．人恰好贴在魔盘上时，有；又
联立解得转速为；故“魔盘”的转速一定不小于，故D正确。
【课堂练习】
1. 如图所示为锥形齿轮的传动示意图，大 ( http: / / www.21cnjy.com )齿轮带动小齿轮转动，大、小齿轮的角速度大小分别为ω1、ω2，两齿轮边缘处的线速度大小分别为v1、v2，则(　　)
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A．ω1<ω2，v1＝v2 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．ω1>ω2，v1＝v2 C．ω1＝ω2，v1>v2 D．ω1＝ω2，v1【答案】A
【解析】两轮边缘接触线速度相等，结合线速度与角速度的关系可得A选项正确。
2. 如图所示，“旋转秋千”中的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)21·cn·jy·com
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A．A的速度比B的大 B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
【答案】D
【解析】A、B两个座椅都 ( http: / / www.21cnjy.com )绕中心轴做匀速圆周运动，角速度相等，由于B的半径大，由v＝rω可知，B的线速度大，A项错误；由a＝rω2可知，B的向心加速度大，B项错误；由F＝mrω2可知，B受到的向心力大，而向心力是由缆绳拉力的水平分力提供的，即Tsin θ＝mrω2，而竖直方向Tcos θ＝mg，因此，tan θ＝，因此悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角不等，C项错误；半径大的θ大，由Tcos θ＝mg可知，对应的拉力就大，D项正确。
3. 如图所示，在倾角为α＝30°的 ( http: / / www.21cnjy.com )光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做周运动，取g＝10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是(　　)
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A．2 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．2 m/s
【答案】C
【解析】恰好过最高点时由mgsin α＝，得vA＝＝2 m/s，由B到A由机械能守恒有mv＝mv＋mg·2Lsin α，代入数据解得vB＝2 m/s，C项正确
4. 如图，在一半径为R的球面顶端放一质量为m的物块，现给物块一初速v0，则(　　)
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A．若v0＝，则物块落地点离A点R
B．若球面是粗糙的，当v0＜时，物块一定会沿球面下滑一段，再斜抛离球面
C．若v0＜，则物块落地点离A点为R
D．若v0≥，则物块落地点离A点至少为2R
【答案】D
【解析】　若v0≥，物体与球面间没 ( http: / / www.21cnjy.com )有弹力作用，物体离开斜面顶端做平抛运动，根据x＝v0t,2R＝gt2可得x≥2R，A错误，D正确；若v0＜，在最高点，根据牛顿第二定律得：mg－FN＝m，解得FN＞0，知物体将沿球面下滑一段，下滑后有可能停止在某一点，也有可能再斜抛离开球面，故B、C错误．
5. 如图，一个光滑斜面上端连接一个正方形水平平台，正方形边长和斜面宽度均为。斜面的倾角为30°，斜面上放着一个质量为的小物块（可视为质点），物块到斜面两侧的距离相等，用一轻绳一端系着小物块，另一端穿过水平平台中心的光滑小孔，系着水平平台上一个质量为的小球，小球能绕小孔做稳定的匀速圆周运动，半径为，轻绳总长为，重力加速度为。则下列说法正确的是（　　）。
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A．绳子中的拉力大小为 B．小物块对斜面的正压力为
C．小球做匀速圆周运动时的速度大小为 D．斜面倾角越大，小球沿相同轨迹稳定运动的速度越小
【答案】C
【详解】ABC．画出侧视图如图所示
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因为小球做圆周运动的半径为，轻绳总长为，则圆孔与物块间的绳长为，圆孔到平台边缘距离也为，所以平台下方的绳子与斜面夹角，对小物块受力分析有【来源：21·世纪·教育·网】
；
解得 ，;对小球受力分析，绳上拉力提供小球做圆周运动的向心力，即
，联立可得故AB错误，C正确；
D．若斜面倾角增大为，'依然等于，由
可知增大时，；增大，要使小球沿相同轨迹做圆周运动，小球速度需要增大，D错误。
6. 拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具。四个拨浪鼓上分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上。现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动。下列各图中两球的位置关系可能正确的是（图中细绳与竖直方向的夹角　　
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【解答】解：小球做匀速圆周运动，角速度相同，受力分析如下图所示：
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令绳长为绳子为，反向延长与拨浪鼓转轴交点为，小球到点的距离为，鼓面半径为。根据牛顿第二定律得：；整理得： 21*cnjy*com
即绳子反向延长与拨浪鼓转轴交点为到小球转动平面的高度固定，绳子长度越大，偏转角越大，则绳子与拨浪鼓连接点离小球圆周运动平面的距离为：
，绳子长度越大，偏转角越大，越大，故C正确
1.竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的 ( http: / / www.21cnjy.com )过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2.竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
“轻绳”模型 “轻杆”模型
图示 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
受力特征 物体受到的弹力方向为向下或等于零 物体受到的弹力方向为向下、等于零或向上
受力示意图
力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝
临界特征 FN＝0 mg＝m即vmin＝ v＝0即F向＝0FN＝mg
过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0
【例题解析】
例1. 如图所示，轻绳的一端固定在O点，另 ( http: / / www.21cnjy.com )一端系一质量为m的小球(可视为质点)。当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力FT、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式FT＝a＋bcos θ，式中a、b为常数。若不计空气阻力，则当地的重力加速度为(　　)21cnjy.com
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A.　　　　　　　B． C. D．
【答案】D
【解析】当小球运动到最低 ( http: / / www.21cnjy.com )点时，θ＝0，拉力最大，FT1＝a＋b，FT1＝mg＋；当小球运动到最高点时，θ＝180°，拉力最小，FT2＝a－b，FT2＝－mg＋；由动能定理有mg·2L＝mv－mv，联立解得g＝，选项D正确。www.21-cn-jy.com
例2. 如图所示，半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )R的光滑圆轨道固定在竖直平面内，水平光滑轨道AB在圆轨道最低点与其平滑连接。一小球以初速度v0沿AB向左运动，要使球能沿圆轨道运动到D点，则小球初速度v0和在最高点C点的速度vC的最小值分别为（　　）
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A. v0＝，vC＝0 B. v0＝2，vC＝0
C. v0＝2，vC＝ D. v0＝，vC＝
【答案】D
【解析】
小球在最高点C所受轨道正压力为零，有：
mg＝m
解得：
vC＝，
小球从B点运动到C点，根据机械能守恒有：
解得：
v0＝vB＝
故ABC错误，D正确。
【课堂练习】
1. 如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(可 ( http: / / www.21cnjy.com )视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v；O轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F v2(v为小球在最高点处的速度)图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，则(　　)2·1·c·n·j·y
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A．O轴到小球的距离为0.5 m
B．小球的质量为3 kg
C．小球恰好通过最高点时的速度大小为5 m/s
D．小球在最低点的初速度大小为 m/s时，通过最高点时杆不受球的作用力
【答案】A
【解析】小球在最高点时重力和杆 ( http: / / www.21cnjy.com )的作用力的合力提供向心力，若v＝0，则F＝mg＝3 N，解得小球质量m＝0.3 kg，若F＝0，则mg＝m，代入数据解得R＝0.5 m，选项A正确，B错误；杆模型中，在最高点只要小球速度大于等于零，小球即可在竖直面内做圆周运动，选项C错误；设小球在最低点的初速度为v0，小球能上升的最大高度为h，根据机械能守恒定律得mv02＝mgh，当v0＝ m/s时，h＝0.75 m<2R，小球不能到达最高点，选项D错误。
2. 如图所示，AB是光滑的倾斜直轨道 ( http: / / www.21cnjy.com )，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的小球在A点由静止释放，设重力加速度为g，若它恰能通过最高点D，则小球在D点的速度VD＝　 　；A点的高度h＝　 　。
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【答案】，2.5R。
【解析】解：小球恰能通过最高点D时，由重力提供向心力，有：mg＝m得：vD＝
从A到D，取C为零势能点，由机械能守恒定律得：mgh＝mg 2R+解得：h＝2.5R
一、曲线运动的条件与特点
二、曲线运动的条件与特点
三、竖直平面圆周运动的临界问题
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