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专题05 万有引力和天体运动
1．万有引力与重力的关系
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地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R
(2)在两极上：G＝mg2
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝G，得g＝
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′
mg′＝，得g′＝；所以＝
【例题解析】
例1. 一未知星体的质量 ( http: / / www.21cnjy.com )是地球质量的，直径是地球直径的，则一个质量为m的人在未知星体表面的重力为(已知地球表面处的重力加速度为g)(　　)www.21-cn-jy.com
A．16mg B．4mg C．mg D．
【答案】B
【解析】在星体表面处有G＝mg，因此未知星体表面的重力加速度为4g，所以该人在未知星体表面的重力为4mg。
例2. 万有引力定律能够很好地将天体运 ( http: / / www.21cnjy.com )行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来．用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体．下列选项中说法正确的是(　　)
A．在北极地面称量时，弹簧秤读数为F0＜G
B．在赤道地面称量时，弹簧秤读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F3＝G
【答案】C
【解析】北极地面物体不随地球自转，万有引力 ( http: / / www.21cnjy.com )等于重力，则有F0＝G，故A错误；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜G，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝G，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，弹簧秤读数F3＜G，故D错误．
例3. 在2020年底，我国探月“绕落回”三部曲的第三乐章即将奏响，如图所示的嫦娥五号探测器将奔赴广寒宫，执行全球自1976年以来的首次月球取样返回任务。但在1998年1月发射的“月球勘探者”号空间探测器运用科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得了一些成果。探测器在一些环形山中发现了质量密集区，当它飞越这些区域时，通过地面的大口径射电望远镜观察，发现探测器的轨道参数发生微小变化。此变化是　　
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A．半径变大，速率变大 B．半径变小，速率变大
C．半径变大，速率变小 D．半径变小，速率变小
【答案】B
【解答】当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，月球的重心上移，轨道半径减小，
根据万有引力提供向心力，，解得：，减小，则增大，故正确
例4. 月球是质量为M半径为R的球体，其表面的重力加速度为g0，嫦娥五号探测器在离月球表面高度为h的圆形环月轨道运动时具有的速度为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在月球表面上，由万有引力等于重力得嫦娥五号探测器在离月球表面高度为h的圆形环月轨道运动时，由万有引力提供向心力，则
可得嫦娥五号探测器具有的速度为
【课堂练习】
1. （1）牛顿发现万有引力定律之后，在 ( http: / / www.21cnjy.com )卡文迪许生活的年代，地球的半径经过测量和计算已经知道约6400千米，因此卡文迪许测出引力常量G后，很快通过计算得出了地球的质量。1798年，他首次测出了地球的质量数值，卡文迪许因此被人们誉为“第一个称地球的人”。若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球的自转；
a．求地球的质量；
b．若一卫星在距地球表面高为h的轨道上绕地球作匀速圆周运动，求该卫星绕地球做圆周运动的周期；
（2）牛顿时代已知如下数据：月球绕地球运 ( http: / / www.21cnjy.com )行的周期T、地球半径R、月球与地球间的距离60R、地球表面的重力加速度g。牛顿在研究引力的过程中，为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，同样遵从与距离的平方成反比规律的猜想，他做了著名的“月地检验”：月球绕地球近似做匀速圆周运动．牛顿首先从运动学的角度计算出了月球做匀速圆周运动的向心加速度；接着他设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，假定物体在地面受到的重力和在月球轨道上运行时受到的引力，都是来自地球的引力，都遵循与距离的平方成反比的规律，他又从动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度．上述两个加速度的计算结果是一致的，从而证明了物体在地面上所受的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循同样规律的设想．根据上述材料：
a．请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出上述两个加速度的表达式；
b．已知月球绕地球做圆周运动的周期约为T ( http: / / www.21cnjy.com )=2.4×106s，地球半径约为R=6.4×106m，取π2=g．结合题中的已知条件，求上述两个加速度的比值，并得出合理的结论．
【答案】（1）a．；b．；（2）a．；b．； 由以上结果可以看出，在误差范围内可认为a1=a2，这说明物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循与距离的平方成反比的规律。
【详解】（1）a设地球质量为M，地球表面上的某物体质量为m：
；解得：
b．万有引力提供卫星做圆周运动的向心力
；解得：
（2）a．月球绕地球做匀速圆周运动，由运动学公式：
； 解得：
质量为m的物体在地面上受到的重力
质量为m的物体在月球轨道上受到的引力；解得
b．由以上结果得；代入已知数值得=0.96
由以上结果可以看出，在误差范围内 ( http: / / www.21cnjy.com )可认为a1=a2，这说明物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循与距离的平方成反比的规律。2-1-c-n-j-y
2. 宇航员在某星球上为了 ( http: / / www.21cnjy.com )探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为(　　)
A．T B．T
C．T D．T
【答案】D
【解析】　设星球和探测器质量分别为m、m′；在两极点，有：G＝F，在赤道，有：G－F′＝MR，
探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，
则有：G＝m′ R；
联立以上三式解得T自＝T。故D正确。
3. 国庆70周年阅兵展出了我国高超音速乘波体导弹东风，东风突防能力强，难以拦截，是维护祖国和平发展的有力武器。如图所示，设弹道上处于大气层外的点和处于大气层内的点的曲率半径之比为，导弹在、两点的速度大小分别为3倍音速和12倍音速，方向均平行于其正下方的水平地面，导弹在点所受重力为，在点受到空气的升力为．则　　
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A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设音速为，导弹在、两点做曲线运动，曲率半径之比为，根据合力提供向心力可知，
处：
处：
根据万有引力定律可知，处的重力加速度小于处的重力加速度，则，
联立可得，，故正确
4. “嫦娥五号”的轨道器和返回器 ( http: / / www.21cnjy.com )的组合体（简称“甲”）与上升器（简称“乙”）要在环月轨道上实现对接，以便将月壤样品从上升器转移到返回器中。如图所示，对接前，甲、乙在各自的轨道上做匀速圆周运动，若仅已知甲、乙的线速度大小分别为v1、v2，月球半径为R，乙所在轨道离月球表面高度为h，引力常量G已知，则（　　）
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A. v1>v2，可以计算出月球表面重力加速度大小 B. v1>v2，不可以计算出月球表面重力加速度大小
C. v1＜v2，可以计算出月球表面重力加速度大小 D. v1＜v2，不可以计算出月球表面重力加速度大小
【答案】A
【解析】根据；可得
因甲的轨道半径较小，可知：v1>v2
根据；可求解月球的质量M，根据
可求解月球表面的重力加速度。
5. 航天飞机中的物体处于完全失重状态时，其（　　）
A. 受到的合力为零
B. 受到的向心力为零
C. 对支持物的压力为零
D. 受地球的万有引力为零
【答案】C
【解析】
A．处于完全失重状态物体，其向心加速度为g，而不为零，受到的合力不为零，故A错误；
BD．处于完全失重状态的物体依然受地球的引力，此力提供向心力，故BD错误；
C．处于完全矢重状态的物体对与之接触的物体无力的作用，故C正确；
1.物理量随轨道半径变化的规律
2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。21·cn·jy·com
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
地球的同步卫星
1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星。
2．同步卫星的七个“一定”
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3.处理同步卫星问题要两记
“一记”
①不快不慢：具有特定的运行线速度、特定的角速度和特定的周期．
②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，轨道中心与地心重合，只能“静止”在赤道上方的特定的点上．
“二记”
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g＝9.8 m/s2.
②月球的公转周期为1月(约27.3天，在一般估算中常取27天)．
③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
【例题解析】
例1. 2017年4月，我国 ( http: / / www.21cnjy.com )成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)
A．周期变大　　　　　　 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
【答案】C
【解析】天舟一号货运飞船与 ( http: / / www.21cnjy.com )天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项C正确。
例2. 拉格朗日点是小天体在两个大天体的 ( http: / / www.21cnjy.com )引力作用下基本能保持相对静止的点。如图是日地系统的5个拉格朗日点（L1、L2、L3、L4、L5），设想未来人类在这五个点上都建立了太空站。若不考虑其他天体对太空站的引力，下列说法正确的是（　　）
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A．位于L1点的太空站受力平衡
B．位于L2点的太空站的线速度大小小于地球的线速度大小
C．位于L3点的太空站的向心加速度大小大于位于L1点的太空站的向心加速度大小
D．位于L4点的太空站受到的向心力大小等于位于L5点的太空站受到的向心力大小
【答案】C
【详解】A．位于L1点的太空站绕太阳与地球同步做圆周运动，受力不平衡，选项A错误；
B．根据，因为位于L2点的太空站的角速度大小等于地球的角速度大小，则位于L2点的太空站的线速度大小大于地球的线速度大小，选项B错误；【来源：21·世纪·教育·网】
C．位于L3点的太空站的角速度大小等于位于L1点的太空站的角速度大小，根据可知，位于L3点的太空站的向心加速度大小大于位于L1点的太空站的向心加速度大小，选项C正确；
D．两空间站的质量关系不确定，则不能比较两空间站的向心力大小，选项D错误。
例3. 研究表明，地球自转在逐渐变 ( http: / / www.21cnjy.com )慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大 C.线速度变大 D.角速度变大
【答案】A
【解析】地球自转的周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大.由＝m(R＋h)，得h＝－R，T变大，h变大，A正确.
由＝ma，得a＝，r增大，a减小，B错误.由＝，得v＝，r增大，v减小，C错误
例4. 如图所示是卫星绕行星不同轨道运动的图像，其中T为卫星的周期，r为卫星的轨道半径。卫星M绕行星P运动的图线是a，卫星N绕行星Q运动的图线是b，若卫星绕行星的运动可以看成匀速圆周运动，则（　　）
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A．卫星M在点1对应的角速度小于点2对应的角速度
B．卫星M在2处的线速度小于卫星N在3处的线速度
C．直线的斜率与行星质量有关
D．行星P的质量大于行星Q的质量
【答案】B
【详解】根据牛顿第二定律得；解得：
取对数为：
A．卫星M在点1对应的周期小于点2对应的周期，则根据可知，卫星M在点1对应的角速度大于点2对应的角速度。A错误；21教育网
BD．根据图像及函数关系式可知，因为图像a的横截距较小，所以行星P的质量小于行星Q的质量，所以根据牛顿第二定律得；解得：
由于卫星M的中心天体质量较小，轨道半径较大，所以卫星M在2处的线速度小于卫星N在3处的线速度。B正确，D错误；www-2-1-cnjy-com
C．根据函数关系式可知，两图线的斜率相等，与中心天体即行星无关。C错误。
例5. 1789年英国著名物理学家卡文迪许首 ( http: / / www.21cnjy.com )先估算出了地球的平均密度．根据你所学过的知识，估算出地球密度的大小最接近 （ ）（地球半径R=6400km，万有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2）
A. 5.5×103kg/m3 B. 5.5×104kg/m3 C. 7.5×103kg/m3 D. 7.5×104kg/m3
【答案】A
【解析】由黄金代换可得地球质量，地球体积公式可得密度，故A正确BCD错误。
例6. 2020年12月嫦娥五号探测器圆满完成中国首次月球采样返回任务。在探测器“奔向”月球的过程中经过多次变轨，最后成为一颗月球卫星。设该卫星的轨道为圆形，且贴近月球表面，则该近月卫星的运行速率约为（已知月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的，月球半径约为地球半径的，近地卫星的速率约为7.9 km/s）（　　）
A. 0.3 km/s B. 1.3 km/s C. 1.6 km/s D. 11.2 km/s
【答案】C
【解析】某天体表面卫星由万有引力提供向心力：；解得：
近月卫星和近地卫星的速度之比为：
解得：
例7. 地球赤道上有一物 ( http: / / www.21cnjy.com )体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。假设三者质量相等，地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，则(　　)21教育名师原创作品
A．F1＝F2>F3　　　　　　　 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
【答案】D
【解析】根据题意，研究对象三 ( http: / / www.21cnjy.com )者质量相等，轨道半径r1＝r2T2，再根据ω＝，有ω1＝ω3<ω2，故D正确。2·1·c·n·j·y
【课堂练习】
1. 2018年12月8日，肩负着亿 ( http: / / www.21cnjy.com )万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　)
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A.周期为 B.动能为 C.角速度为 D.向心加速度为
【答案】A
【解析】探测器绕月运动由万有引力提 ( http: / / www.21cnjy.com )供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝mr，解得周期T＝，A正确；由G＝m知，动能Ek＝mv2＝，B错误；由G＝mrω2得，角速度ω＝，C错误；由G＝ma得，向心加速度a＝，D错误。
2. 设想在赤道上建造如图甲垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )于水平面的“太空电梯”，宇航员通过电梯直通太空站。图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系，关于相对地面静止在不同高度的宇航员，下列说法正确的有（　　）
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A．随着r增大，宇航员的线速度先增大再减小
B．宇航员在r=R处的线速度等于第一宇宙速度
C．图中r0为地球同步卫星的轨道半径
D．随着r增大，宇航员感受到“重力”也增大
【答案】C
【详解】A．“太空电梯”任意处于地球自转的角速度ω相同，因此线速度，因此随着r增大，宇航员的线速度也增大，故A错误；【来源：21cnj*y.co*m】
B．宇航员在r=R处的线速度为：
小于同步卫星的线速度，而第一宇宙速度是在地球表面绕地球做匀速圆周运动的速度
；
大于同步卫星线速度，所以宇航员在r=R处的线速度小于第一宇宙速度，故B错误；
C．在B线上，在r0处：有所以：
所以图中r0为地球同步卫星的轨道半径，故C正确；
D．随着r增大，万有引力减小，在电梯上随着r增大：
所以宇航员感受到“重力”减小，故D错误；
3. 2019年4月10日，事件视界望远镜捕获到人类历史上的首张黑洞“照片”，这是人类第一次凝视曾经只存在于理论中的天体．如果把太阳压缩到半径只有3km且质量不变，太阳就变成了一个黑洞，连光也无法从太阳表面逃逸．已知逃逸速度是第一宇宙速度的倍，光速为，，则根据以上信息可知太阳的质量约为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由且，解得，故选B.
4. 2017年11月5日，又有两颗北 ( http: / / www.21cnjy.com )斗导航系统组网卫星通过“一箭双星”发射升空，并成功进入预定轨道，两颗卫星绕地球运动均看作匀速圆周运动。如果两颗卫星的质量均为M，其中的1号卫星轨道距离地面高度为h，2号卫星轨道距离地面高度为h'，且h'>h，把地球看做质量分布均匀的球体，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G下列说法正确的是（　　）
A. l号卫星绕地球运动的线速度
B. 1号卫星绕地球运动的周期
C. 1号卫星和2号卫星做匀速圆周运动的向心力大小之比为
D. 稳定在轨运行时1号卫星的机械能大于2号卫星的机械能
【答案】A
【解析】
A．设地球质量m，根据公式和
解得；故A正确；
B．根据公式：和
解得：故B错误；
C．根据和所以：；故C错误；
D．由于，卫星从低轨道向高轨道要点火加速，化学能转化为机械能，所以稳定在轨运行时1号卫星的机械能小于2号卫星的机械能，故D错误。21cnjy.com
5. 某人造地球卫星质量为m，其绕地球运 ( http: / / www.21cnjy.com )动的轨道为椭圆。已知它在近地点时距离地面高度为h1，速率为v1，加速度为a1，在远地点时距离地面高度为h2，速率为v2，设地球半径为R，则该卫星由近地点到远地点过程中地球对它的万有引力所做的功为______。在远地点时运动的加速度a2为______。【版权所有：21教育】
【答案】 (1). (2).
【解析】
[1]由动能定理，卫星由近地点到远地点过程中地球对它的万有引力所做的功为
[2]由牛顿第二定律
；
解得
6. 已知月球质量约为地球质量的，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的，地球半径约为6.4×106m，则月球半径约为___________m。嫦娥五号是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，其发射初期贴着地球表面飞行的环绕速度约为7.9×103m/s，后经过约112小时奔月飞行、实施二次近月制动后进入离月球表面200km高度的环月圆轨道飞行，其速度约为___________m/s。21*cnjy*com
【答案】 (1). 1.7×106（1.742×106） (2). 1.6×103（1.611×103）
【解析】
[1]根据黄金代换，有；联立，可得
代入数据，得
[2]嫦娥五号在地球表面做匀速圆周运动，有
嫦娥五号在月球表面200km高度的环月圆轨道飞行做匀速圆周运动，有
代入数据，联立解得：
7. 太阳系各行星几乎在同一平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某 地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知火星和地球的轨道半径之比为1.5：1，则火星相邻两次冲日的时间间隔为___________年。在太阳系其他行星中，___________星相邻两次冲日的时间间隔最短。【出处：21教育名师】
【答案】 (1). 2.2 (2). 海王
【解析】[1]根据开普勒第三定律可得 ，
解得
火星相邻两次冲日的时间间隔为t，则有；
解得
[2]根据：；则行星的公转周期越大，相邻两次冲日的时间间隔越小，各行星中海王星的公转周期最大，所以海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。
1．模型特征
(1)多星系统的条件
①各星彼此相距较近。
②各星绕同一圆心做匀速圆周运动。
(2)多星系统的结构
类型 双星模型 三星模型
结构图 ( http: / / www.21cnjy.com / )
向心力 由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等 运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量 各行星转动方向相同，周期、角速度相等
2.双星问题的“两等”“两不等”
(1)双星问题的“两等”
①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。
(2)“两不等”
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。21世纪教育网版权所有
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
【例题解析】
例1. 宇宙中两颗相距较近的 ( http: / / www.21cnjy.com )天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的(　　)
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A.质量之比mA∶mB＝2∶1
B.角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C.线速度大小之比vA∶vB＝2∶1
D.向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
【答案】A
【解析】双星绕连线上的一点做匀速圆周运动 ( http: / / www.21cnjy.com )，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，F＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，选项A正确，B、D错误；由v＝ωr可知，线速度大小之比vA∶vB＝1∶2，选项C错误。21·世纪*教育网
【课堂练习】
1. 2019年12月20日“天琴一号”技术试验卫星被送入太空，意味着我国天琴空间引力波探测计划正式进入“太空试验”阶段。该计划将部署3颗环绕地球运行的卫星、、构成边长约为17万公里的等边三角形编队，在太空中建成一个引力波天文台。已知地球同步卫星距离地面约3.6万公里，只考虑卫星与地球之间的相互作用，下列说法正确的是　　21*cnjy*com
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A．卫星的周期小于24小时
B．卫星的速度小于
C．卫星的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度
D．、、卫星的轨道相同且只能在赤道面内
【答案】B
【解析】A、设等边三角形为，三颗卫星的轨道半径为，根据几何关系可得，解得万公里，可知，三颗卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径，根据开普勒第三定律，知卫星的周期大于地球同步卫星的周期24小时，故A错误；B、根据万有引力提供向心力，有，得，知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以卫星的速度小于近地卫星的速度，故正确；C、根据万有引力提供向心力，有，得，知卫星的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度，故C错误；D、、、卫星运行时，由地球的万有引力提供向心力，卫星的轨道相同，但可以不在赤道面内运行，故D错误。
2. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相 ( http: / / www.21cnjy.com )互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A.T　　　　B．T C.T D．T
【答案】B
【解析】：双星间的万有引力提供向心力。设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。
对质量为m的恒星：G＝m2·r
对质量为M的恒星：G＝M2(L－r)
得G＝·L
即T2＝，则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝T，选项B正确。
考点一、万有引力定律的理解和应用
考点二、天体的各参数变化比较
考点三、双星和多星问题
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专题05 万有引力和天体运动
1．万有引力与重力的关系
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地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R
(2)在两极上：G＝mg2
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝G，得g＝
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′
mg′＝，得g′＝；所以＝
【例题解析】
例1. 一未知星体的质量是地球质量的，直径是地球直径的，则一个质量为m的人在未知星体表面的重力为(已知地球表面处的重力加速度为g)(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．16mg B．4mg C．mg D．
例2. 万有引力定律能够很好地 ( http: / / www.21cnjy.com )将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来．用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体．下列选项中说法正确的是(　　)
A．在北极地面称量时，弹簧秤读数为F0＜G
B．在赤道地面称量时，弹簧秤读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F3＝G
例3. 在2020年底，我国探月“绕落回”三部曲的第三乐章即将奏响，如图所示的嫦娥五号探测器将奔赴广寒宫，执行全球自1976年以来的首次月球取样返回任务。但在1998年1月发射的“月球勘探者”号空间探测器运用科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得了一些成果。探测器在一些环形山中发现了质量密集区，当它飞越这些区域时，通过地面的大口径射电望远镜观察，发现探测器的轨道参数发生微小变化。此变化是　　21教育网
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A．半径变大，速率变大 B．半径变小，速率变大
C．半径变大，速率变小 D．半径变小，速率变小
例4. 月球是质量为M半径为R的球体，其表面的重力加速度为g0，嫦娥五号探测器在离月球表面高度为h的圆形环月轨道运动时具有的速度为（　　）
A. B.
C. D.
【课堂练习】
1. （1）牛顿发现万有 ( http: / / www.21cnjy.com )引力定律之后，在卡文迪许生活的年代，地球的半径经过测量和计算已经知道约6400千米，因此卡文迪许测出引力常量G后，很快通过计算得出了地球的质量。1798年，他首次测出了地球的质量数值，卡文迪许因此被人们誉为“第一个称地球的人”。若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球的自转；
a．求地球的质量；
b．若一卫星在距地球表面高为h的轨道上绕地球作匀速圆周运动，求该卫星绕地球做圆周运动的周期；
（2）牛顿时代已知如下数 ( http: / / www.21cnjy.com )据：月球绕地球运行的周期T、地球半径R、月球与地球间的距离60R、地球表面的重力加速度g。牛顿在研究引力的过程中，为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，同样遵从与距离的平方成反比规律的猜想，他做了著名的“月地检验”：月球绕地球近似做匀速圆周运动．牛顿首先从运动学的角度计算出了月球做匀速圆周运动的向心加速度；接着他设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，假定物体在地面受到的重力和在月球轨道上运行时受到的引力，都是来自地球的引力，都遵循与距离的平方成反比的规律，他又从动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度．上述两个加速度的计算结果是一致的，从而证明了物体在地面上所受的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循同样规律的设想．根据上述材料：21教育名师原创作品
a．请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出上述两个加速度的表达式；
b．已知月球绕地球做圆周运动的周期约为T=2 ( http: / / www.21cnjy.com ).4×106s，地球半径约为R=6.4×106m，取π2=g．结合题中的已知条件，求上述两个加速度的比值，并得出合理的结论．
2. 宇航员在某星球上为了探 ( http: / / www.21cnjy.com )测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为(　　)
A．T B．T
C．T D．T
3. 国庆70周年阅兵展出了我国高超音速乘波体导弹东风，东风突防能力强，难以拦截，是维护祖国和平发展的有力武器。如图所示，设弹道上处于大气层外的点和处于大气层内的点的曲率半径之比为，导弹在、两点的速度大小分别为3倍音速和12倍音速，方向均平行于其正下方的水平地面，导弹在点所受重力为，在点受到空气的升力为．则　　
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A． B． C． D．
4. “嫦娥五号”的轨道 ( http: / / www.21cnjy.com )器和返回器的组合体（简称“甲”）与上升器（简称“乙”）要在环月轨道上实现对接，以便将月壤样品从上升器转移到返回器中。如图所示，对接前，甲、乙在各自的轨道上做匀速圆周运动，若仅已知甲、乙的线速度大小分别为v1、v2，月球半径为R，乙所在轨道离月球表面高度为h，引力常量G已知，则（　　）
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A. v1>v2，可以计算出月球表面重力加速度大小 B. v1>v2，不可以计算出月球表面重力加速度大小
C. v1＜v2，可以计算出月球表面重力加速度大小 D. v1＜v2，不可以计算出月球表面重力加速度大小
5. 航天飞机中的物体处于完全失重状态时，其（　　）
A. 受到的合力为零
B. 受到的向心力为零
C. 对支持物的压力为零
D. 受地球的万有引力为零
1.物理量随轨道半径变化的规律
2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。2-1-c-n-j-y
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
地球的同步卫星
1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星。
2．同步卫星的七个“一定”
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3.处理同步卫星问题要两记
“一记”
①不快不慢：具有特定的运行线速度、特定的角速度和特定的周期．
②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，轨道中心与地心重合，只能“静止”在赤道上方的特定的点上．www.21-cn-jy.com
“二记”
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g＝9.8 m/s2.
②月球的公转周期为1月(约27.3天，在一般估算中常取27天)．
③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.21cnjy.com
【例题解析】
例1. 2017年4月，我国 ( http: / / www.21cnjy.com )成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)
A．周期变大　　　　　　 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
例2. 拉格朗日点是小天体在两个大天 ( http: / / www.21cnjy.com )体的引力作用下基本能保持相对静止的点。如图是日地系统的5个拉格朗日点（L1、L2、L3、L4、L5），设想未来人类在这五个点上都建立了太空站。若不考虑其他天体对太空站的引力，下列说法正确的是（　　）
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A．位于L1点的太空站受力平衡
B．位于L2点的太空站的线速度大小小于地球的线速度大小
C．位于L3点的太空站的向心加速度大小大于位于L1点的太空站的向心加速度大小
D．位于L4点的太空站受到的向心力大小等于位于L5点的太空站受到的向心力大小
例3. 研究表明，地球自转在逐渐变慢， ( http: / / www.21cnjy.com )3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大 C.线速度变大 D.角速度变大21·世纪*教育网
例4. 如图所示是卫星绕行星不同轨道运动的图像，其中T为卫星的周期，r为卫星的轨道半径。卫星M绕行星P运动的图线是a，卫星N绕行星Q运动的图线是b，若卫星绕行星的运动可以看成匀速圆周运动，则（　　）www-2-1-cnjy-com
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A．卫星M在点1对应的角速度小于点2对应的角速度
B．卫星M在2处的线速度小于卫星N在3处的线速度
C．直线的斜率与行星质量有关
D．行星P的质量大于行星Q的质量
例5. 1789年英国著名物理学家卡文迪 ( http: / / www.21cnjy.com )许首先估算出了地球的平均密度．根据你所学过的知识，估算出地球密度的大小最接近 （ ）（地球半径R=6400km，万有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2）21·cn·jy·com
A. 5.5×103kg/m3 B. 5.5×104kg/m3
C. 7.5×103kg/m3 D. 7.5×104kg/m3
例6. 2020年12月嫦娥五号探测器圆满完成中国首次月球采样返回任务。在探测器“奔向”月球的过程中经过多次变轨，最后成为一颗月球卫星。设该卫星的轨道为圆形，且贴近月球表面，则该近月卫星的运行速率约为（已知月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的，月球半径约为地球半径的，近地卫星的速率约为7.9 km/s）（　　）
A. 0.3 km/s B. 1.3 km/s
C. 1.6 km/s D. 11.2 km/s
例7. 地球赤道上有一物 ( http: / / www.21cnjy.com )体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。假设三者质量相等，地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，则(　　)2·1·c·n·j·y
A．F1＝F2>F3　　　　　　　 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
【课堂练习】
1. 2018年12月8日，肩负着 ( http: / / www.21cnjy.com )亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　)21*cnjy*com
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A.周期为 B.动能为
C.角速度为 D.向心加速度为
2. 设想在赤道上建造如图 ( http: / / www.21cnjy.com )甲垂直于水平面的“太空电梯”，宇航员通过电梯直通太空站。图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系，关于相对地面静止在不同高度的宇航员，下列说法正确的有（　　）【版权所有：21教育】
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A．随着r增大，宇航员的线速度先增大再减小 B．宇航员在r=R处的线速度等于第一宇宙速度
C．图中r0为地球同步卫星的轨道半径 D．随着r增大，宇航员感受到“重力”也增大
3. 2019年4月10日，事件视界望远镜捕获到人类历史上的首张黑洞“照片”，这是人类第一次凝视曾经只存在于理论中的天体．如果把太阳压缩到半径只有3km且质量不变，太阳就变成了一个黑洞，连光也无法从太阳表面逃逸．已知逃逸速度是第一宇宙速度的倍，光速为，，则根据以上信息可知太阳的质量约为
A. B. C. D.
4. 2017年11月5日， ( http: / / www.21cnjy.com )又有两颗北斗导航系统组网卫星通过“一箭双星”发射升空，并成功进入预定轨道，两颗卫星绕地球运动均看作匀速圆周运动。如果两颗卫星的质量均为M，其中的1号卫星轨道距离地面高度为h，2号卫星轨道距离地面高度为h'，且h'>h，把地球看做质量分布均匀的球体，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G下列说法正确的是（　　）
A. l号卫星绕地球运动的线速度
B. 1号卫星绕地球运动的周期
C. 1号卫星和2号卫星做匀速圆周运动的向心力大小之比为
D. 稳定在轨运行时1号卫星的机械能大于2号卫星的机械能
5. 某人造地球卫星质量为m ( http: / / www.21cnjy.com )，其绕地球运动的轨道为椭圆。已知它在近地点时距离地面高度为h1，速率为v1，加速度为a1，在远地点时距离地面高度为h2，速率为v2，设地球半径为R，则该卫星由近地点到远地点过程中地球对它的万有引力所做的功为______。在远地点时运动的加速度a2为______。
6. 已知月球质量约为地球质量的，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的，地球半径约为6.4×106m，则月球半径约为___________m。嫦娥五号是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，其发射初期贴着地球表面飞行的环绕速度约为7.9×103m/s，后经过约112小时奔月飞行、实施二次近月制动后进入离月球表面200km高度的环月圆轨道飞行，其速度约为___________m/s。21世纪教育网版权所有
7. 太阳系各行星几乎在同一平 ( http: / / www.21cnjy.com )面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某 地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知火星和地球的轨道半径之比为1.5：1，则火星相邻两次冲日的时间间隔为___________年。在太阳系其他行星中，___________星相邻两次冲日的时间间隔最短。【来源：21cnj*y.co*m】
1．模型特征
(1)多星系统的条件
①各星彼此相距较近。
②各星绕同一圆心做匀速圆周运动。
(2)多星系统的结构
类型 双星模型 三星模型
结构图 ( http: / / www.21cnjy.com / )
向心力 由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等 运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量 各行星转动方向相同，周期、角速度相等
2.双星问题的“两等”“两不等”
(1)双星问题的“两等”
①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。
(2)“两不等”
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。【出处：21教育名师】
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
【例题解析】
例1. 宇宙中两颗相距较近的天体称 ( http: / / www.21cnjy.com )为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.质量之比mA∶mB＝2∶1
B.角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C.线速度大小之比vA∶vB＝2∶1
D.向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
【课堂练习】
1. 2019年12月20日“天琴一号”技术试验卫星被送入太空，意味着我国天琴空间引力波探测计划正式进入“太空试验”阶段。该计划将部署3颗环绕地球运行的卫星、、构成边长约为17万公里的等边三角形编队，在太空中建成一个引力波天文台。已知地球同步卫星距离地面约3.6万公里，只考虑卫星与地球之间的相互作用，下列说法正确的是　　21*cnjy*com
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A．卫星的周期小于24小时
B．卫星的速度小于
C．卫星的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度
D．、、卫星的轨道相同且只能在赤道面内
2. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相 ( http: / / www.21cnjy.com )互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A.T　　　　B．T C.T D．T
考点一、万有引力定律的理解和应用
考点二、天体的各参数变化比较
考点三、双星和多星问题
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