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(共29张PPT)
第三章 圆锥曲线与方程
3.3.1 抛物线的标准方程
教学目标
理解抛物线的定义及焦点、准线的意义（重点）
01
掌握抛物线的四种标准方程和p的几何意义（重点）
02
会用定义法、待定系数法求抛物线的标准方程（难点）
03
抛物线的标准方程
学科素养
抛物线的图像，焦点，准线的联系
直观想象
抛物线的标准方程及其推导过程
逻辑推理
用定义法、待定系数法求抛物线的标准方程
数学运算
抛物线的标准方程
数学建模
抛物线的标准方程
01
新 知 探 索
New Knowledge explore
在初中，我们将二次函数的图象称为抛物线．
在重力作用下的平抛或斜抛物体(比如运动场上投出的篮球、水池里喷出的水柱)其运动的轨迹都是抛物线的一部分．
怎样通过几何性质来刻画抛物线呢
实验：任给一个定点 F 和一条直线l．你能设计适当的方法或装置，画出到F和l距离相等的点的轨迹并观察轨迹的形状吗？
1．将一直尺固定在直线l上，取一个直角三角板，以它的一条直角边靠紧直尺的一边l；
3．再取一条长度正好等于AC的细线，将这条细线的一端固定在三角板上的点A处，另一端用大头针固定在点F处（F l）；
4．用铅笔将细线绷紧，使铅笔尖贴在三角板的边AC之上，让三角板沿着直尺滑动，则铅笔尖所在的点P就画出所要作的轨迹的一段．
2．在另一条直角边上取定点A，设三角板的直角顶点为C；
观察画出的轨迹的形状，发现它与二次函数的图象－抛物线很相似．为了验证这个猜想，我们先设法求出轨迹的方程．
已知定点F与一条定直线l，F l．动点P到F与l的距离相等，建立适当的平面直角坐标系，求动点P(x，y)的轨迹方程．
过点F作直线l的垂线，交l于点D．设|FD|=p>0．取FD的中点O为原点，以OF的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系．
如果以O为原点，OF的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则可得轨迹方程为x2=2py，即 ，这是以x为自变量、以y为因变量
的二次函数，它的图像是抛物线．
而 y2=2px 的图像是将开口向上的抛物线 绕顶点沿顺时针方向旋转90°得到．
我们把平面内与一定点F和一条定直线l（F l）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．
对于任意 p>0，焦点为 ，准线方程为 的抛物线方程为
y2=2px，这称为抛物线的标准方程．
按其他方式建立直角坐标系，可以得出抛物线其他形式的方程．如果建立的坐标系满足条件：原点是焦点到准线的垂线段的中点，一条坐标轴垂直于准线，所得的抛物线方程就称为标准方程． 这样的标准方程及其图象有如下四种情况．
图像
标准方程
焦点坐标
准线方程
（1）抛物线的顶点在原点，以x轴或y轴为对称轴，焦点在对称轴上；
（2）抛物线的标准方程中，x与y，哪个是一次的，焦点就在哪一轴上；
如果一次项的系数是正的，焦点就在正半轴上（开口朝对称轴的正方向）；如果一次项的系数是负的，焦点就在负半轴上（开口朝对称轴的负方向）．
例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 4x ； （2）x = －y2 ； （3）y = ax2 ，a>0．
例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 4x ； （2）x = －y2 ； （3）y = ax2 ，a>0．
例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 4x ； （2）x = －y2 ； （3）y = ax2 ，a>0．
变式 求下列抛物线 x2 = ay，a≠0的焦点坐标和准线方程．
例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标为F(0，－4) ；（2）准线方程为 ；（3）过点(2，4)．
例2 求适合下列条件的抛物线方程：
（1）焦点坐标为F(0，－4) ；（2）准线方程为 ；（3）过点(2，4)．
例2 求适合下列条件的抛物线方程：
（1）焦点坐标为F(0，－4) ；（2）准线方程为 ；（3）过点(2，4)．
练习 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 16x ； （2）y = 16x2 ；（3） ；（4） ．
练习 求适合下列条件的抛物线方程：
（1）焦点坐标为F(0，－4) ；
（2）准线方程为y =－4；
（3）焦点到准线的距离为6．
02
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
练习 已知抛物线：y2=2px，p>0的焦点为F，抛物线上的点A(2，y0) 到焦点的距离为4，则该抛物线的方程为： ．
03
归 纳 总 结
Sum Up
我们把平面内与一定点F和一条定直线l（F l）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．
对于任意 p>0，焦点为 ，准线方程为 的抛物线方程为
y2=2px，这称为抛物线的标准方程．
图像
标准方程
焦点坐标
准线方程
04
课 后 作 业
Homework After Class
P140 习题3.3
第1题，第2题，第3题

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