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3.2 离散型随机变量的方差
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，但有时两个随机变量的均值相同，其取值却存在较大的差异.如何来研究这种差异呢
1.离散型随机变量的数学期望
2.数学期望的性质
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
E(aX+b)=aE(X)+b
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
,i=1,2,3,…n.
设在一组数据x1,x2,…,xn中,是它们是它们的平均数,那么
3.样本方差
叫做这组数据的方差.
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.
1.通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养．
2.助方差解决实际问题，提升数学运算的素养.
课标要求
素养要求
问题1 有两批灯泡，其平均寿命都是1000 h，仅由这一指标还不能判断这两批灯泡质量的好坏.事实上，虽然两批灯泡的平均寿命相当，但有可能其中一批灯泡大部分的寿命集中在950 h 1 050 h；而另一批灯泡有可能一部分寿命很长，能达到1500 h，另一部分寿命很短，只能达到500 h左右.因此，为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考察灯泡寿命X与其均值EX的偏离程度.若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差.
探究点1 离散型随机变量的方差
设有A,B两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得它们的“寿命”分别为X,Y（单位:h）.
已知X,Y的分布列如表1、表2：
X 950 1000 1050
P
X 700 1000 1300
P
表1
表2
根据X,Y的分布列计算可得EX=EY=1000 h,也就是这两种灯泡的平均寿命都是1000 h.
进一步观察，我们可以发现，A类型的灯泡寿命介于950 h 1050 h，B类型的灯泡寿命介于700 h 1300 h，直观上看，A类型的灯泡寿命X与其均值的偏离程度要小一些.
两个均值相等
思考 怎样定量刻画随机变量的离散程度？
(1).样本的离散程度是用哪个量刻画的？
样本方差
(2).能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？
随机变量 X 的方差
设离散型随机变量X 的概率分布为：
则 描述了而（i = 1,2,...,n）相对于均值EX的偏离程度，而
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
【抽象概括】
上式为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X 的标准差，记作 .
随机变量的方差DX和标准差 都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差) 越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散.
在问题1中,A类型灯泡寿命X的方差为
标准差为
b类型灯泡寿命Y的方差为
标准差为
显然，A类型灯泡的方差要小，质量要好.
例1 随机抛掷一枚均匀的骰子,求掷出的点数X的方差和标准差（结果精确到0. 01）.
解 掷出点数X的分布列如表：
X 1 2 3 4 5 6
P
例2 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示 甲、乙两人所加工出的次品件数，且E和卩的分布列分别如表1、表2：
ξ 0 1 2
P
η 0 1 2
P
表2
表1
试比较这两名工人谁的技术水平更高.
即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当.
解因为
又因为
所以Dξ>Dη ，说明工人乙的技术比较稳定.
离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即
D(X+b)= D(X)
而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即
D(aX)=a2D(X)
因此，D(aX+b)=a2D(X)
探究点2 离散型随机变量方差的性质
1. 若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为(　　)
A．无法求　　B．0　　　　C．EX　　　　D．2EX
解析 ∵EX是一个常数，
∴E(X－EX)＝EX－EX＝0．
B
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
2. 已知随机变量X的分布列是
则DX等于(　　)
A．0　 　B．0.8　　 C．2　 　D．1
解析 ∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，
∴DX＝0.4×(1－2)2＋0.2×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝0.8．
B
3. 随机变量ξ的分布列如下：
其中a＋c＝2b，若Eξ＝，则Dξ＝________．
ξ －1 0 1
P a b c
解析 由题意得2b＝a＋c ①，a＋b＋c＝1 ②，c-a＝ ③，以上三式联立解得a= ，b= ，c= ，
故Dξ= ．
1.离散型随机变量取值的方差、标准差
2.D(aX+b)=a2D(X)
3.求离散型随机变量X 的方差、标准差的一般步骤：
①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值;
②求X取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出 E(X )；
④根据方差、标准差的定义求出D(X)、δ(x)
读书百遍，其义自见。

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