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高中数学：高考数学中选择填空常见的抽象函数6种形式
所谓抽象函数是指没有给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数。常常还附有定义域、值域等，如： y=f(x), (x>0, y>0)。这类题目在高考选择填空中不断出现。
抽象函数一般来源于基本初等函数，其基本形式包括：
1、f(x+y) = f(x)+f(y) 或 f(x-y)=f(x)-f(y)
对应正比例函数：y = f(x) =kx (k≠0)
2、f(x+y)=f(x)f(y) 或 f(x-y)=f(x)/f(y)
对应指数函数：f(x) = ax(a>0且a≠1)
利用指数函数的运算性质：ax+y = ax ay
3、f(x)+f(y)=f(xy) 或 f(x/y) = f(x) - f(y)
对应对数函数：f(x) = logax(a>0且a≠1)
利用对数函数的运算性质： logaxy = logax + logay
4、f(xy)=f(x)f(y) f(x/y)=f(x)/f(y)
对应幂函数： f(x) = xn
利用幂函数的运算性质：xnyn =xn yn
5、f(x)=f(x+T)
对应周期为T的周期函数：比如f(x) = sinx 或 f(x) = cosx
6、f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
对应三角函数：f(x) = cosx
对应三角函数公式：cos(x+y)+cos(x-y) = 2cosxcosy
由以上可以看出抽象函数模型通常来源于我们所熟悉的基本初等函数，因此，我们看到这种类型的题目，没必要担心恐惧。正确的做法是，先认真观察题目中所给出的抽象函数结构特点，看其对应哪种基本初等函数，然后再根据题目给出的特殊条件，赋特殊值问题就迎刃而解。
掌握了这些形式的抽象函数，在将其具体化为基本初等函数后，可以快速的解答我们遇到的选择题和填空题。
二、各种抽象函数举例及解题方法对比
2.1、正比例函数
例1、已知函数f(x)对任意实数x、y，均有f(x+y) = f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0,f(-1)=-2，求f(x)在区间[-2,1]上的值域是（ ）
解：解法一：
由条件知函数f(x)对应正比例函数，可设f(x)=2x
则f(x)的值域为[-4,2]
解法二：
设x10，
∵当x>0时，f(x)>0
∴f(x2-x1)>0
∵f（x2）=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1）+f(x1)
∴f(x2）-f(x1)=f(x2-x1)>0
∴f(x)为增函数
在条件中，令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)
令x=y=0，则f(0)=2f(0)
∴f(0)=0故f(x)=-f(-x)
∴f(x)为奇函数
∴f(1)=-f(-1)=2
f(-2)=2f(-1)=-4
∴f(x)的值域为[-4,2]
由解法一和二对比，我们发现，如果把抽象函数具体化，在解选择题和填空题时具有巨大的优势。
2.2、指数函数
例2、已知f(x)的定义域为R，f(x)>0，且满足f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=，如果对任意的x，y，都有（x - y）[f(x)-f(y)] < 0，那么不等式的解集为（ ）
解：由已知条件可令代入得：
化简得：
∴
解得：x∈[1,2]
2.3、对数函数
例3、已知f(x)的定义域为（0，+∞），且满足f(2) = 1，f(x)+f(y)=f(xy)，又当x2 > x1时，f(x2)>f(x1)。
求f(1)、f(4)、f(8)的值；
若有f(x)+f(x-2)≤3成立，求x的取值范围。
解：由条件f(2) = 1，f(x)+f(y)=f(xy)，当x2 > x1时，f(x2)>f(x1)
可设：f(x) = log2x 所以
（1）f(1)=log21=0； f(4)=log24=2；f(8)=log28=3
（2）由f(x)+f(x-2)≤3
可得：log2x+log2(x-2)≤3=log28
∴log2[x(x-2)]≤log28
∴x(x-2)≤8 且x>2
解得： x∈(2,4]
2.4、幂函数
已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(-1)=1，f(27)=9,当0≤x≤1时，f(x)∈[0,1),判断f(x)的奇偶性。
解：方法一：
由f(xy)=f(x)f(y)，且f(-1)=1，f(27)=9,
可知抽象函数对应的为幂函数。令
则f(x)为偶函数
方法二：令y= -1 ，则f(-x)=f(x)*f(-1),
∵f(-1)=1
∴f(-x)=f(x)
知f(x)为偶函数
2.5、周期函数
例5、已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立.若f(1)=2,则f(2007)等于多少
令x=-3 则f(-3+6)=f(-3)+f(3)
已知f(x)是定义在R上的偶函数
∴f(3)=2f(3) ∴f(3)=0
f(x+6)=f(x)+f(3)=f(x)
∴T=6
∴f(2007)=f(3)=0
2.6、三角函数
例6、已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) ，对一切x、y都成立，且f(0)≠0。判断f(x)为（ ）（填奇函数或偶函数）
解法一：由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
可对应三角函数：f(x) = cosx
知f(x)为偶函数。
解法二：令x=0,则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
再令y=0，则2f(0)=2f(0)f(0)
∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
∴ f(y)+f(-y)=2f(y)
∴f(-y)=f(y)
知f(x)为偶函数
解法一和二对比，我们可以发现，如果把抽象函数具体化，在解选择题和填空题时具有巨大的优势。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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