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专题八 平面解析几何
01 直线的倾斜角与斜率、直线方程
考纲对本模块内容的具体要求如下：
直线的倾斜角与斜率以及直线的方程作为高考的一个知识点，主要是以基础题为主，在选择题中多有涉及，对于直线的方程更多的是与圆锥曲线相结合出题，难度以中高档题为主.预计2022年的高考直线的倾斜角与斜率以及直线的方程出题还是以基础题为主，多出选择或者填空，与圆锥曲线的结合出现在解答题，单独出题可能性小.
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
数学抽象：直线倾斜角与斜率的定义及它们之间关系的理解.
逻辑推理：直线方程的五种形式的推导及应用.
数学建模：直线方程的五种形式及应用.
数学运算：倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答问题.
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l______之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴______时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝______.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝______.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 ______ 不含直线x＝x0
斜截式 ______ 不含垂直于x轴的直线
两点式 ______ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ______ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 ______ 平面内所有直线都适用
[常用结论]
1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k 0 k＞0 不存在 k＜0
2.当时，α越大，l的斜率越大；当时，α越大，l的斜率越大．
考点一　直线的倾斜角与斜率的应用
（1）（2021·重庆十八中高二期中）直线的倾斜角等于（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·山西·怀仁市第一中学校高三期中（文））折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·浙江湖州·高二期中）在平面直角坐标系中，直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围.
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围,求倾斜角时要注意斜率是否存在.
2.斜率的求法
（1）定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.
（2）公式法：若已知直线上两点A x1，y1 ，B x2，y2 ，一般根据斜率公式
【跟踪练习】（1）（2021·浙江省青田县中学高二期中）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·江苏·盐城中学高二期中）直线的倾斜角大于，则正实数a的取值范围_________．
（3）（2021·全国·高二课前预习）直线的倾斜角为45°，则实数a=________.
考点二 直线方程的求法
（1）（2021·全国·高二课前预习）过两点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·浙江省青田县中学高二期中）直线的截距式方程为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·四川省南充高级中学高二月考（理））已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（4）（2021·全国·高三专题练习）过点且倾斜角的正弦值是的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．或
【规律方法】
求直线方程应注意以下三点
（1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
（3）截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高三专题练习）已知直线的斜率为，在轴上的截距为另一条直线的斜率的倒数，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
（2）(2020全国课时练习)以,为端点的线段的垂直平分线方程是
A． B．
C． D．
（3）（2021·广东·佛山市顺德区华侨中学高二期中）直线在轴上截距等于1，且与坐标轴围成的图形为等腰直角三角形，则直线的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）无论m为何值，直线所过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）过点和的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）对于直线，有以下说法，其中错误的有（ ）
A．倾斜角为 B．在x轴上的截距为4
C．原点到直线l的距离为2 D．直线l的一个方向向量为
5．（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（理））关于直线和圆．下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为2
B．直线恒过定点
C．若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是相交
D．圆上点，圆上点，则的最大值为
6．（2021·全国·高二课前预习）（多选）对于下列选项中正确的是（ ）
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
7．（2021·全国·高二课前预习）(多选)下列四个选项中正确的是（ ）
A．方程与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
8．（2021·河北·石家庄市第二十二中学高二期中）下列说法不正确的是（ ）
A．不能表示过点且斜率为k的直线方程
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C．直线与y轴的交点到原点的距离为b
D．设，若直线与线段有交点，则a的取值范围是
9．（2021·重庆市实验中学高二月考）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B．圆的圆心为，半径为
C．方程能表示平面内的任何直线
D．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是
10．（2020·广东揭东·高一期末）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C．曲线与曲线恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
11．（2021·全国·高二课前预习）(多选)下列说法正确的是（ ）
A．不经过原点的直线都可以表示为
B．若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为
C．过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D．直线3x－2y＝4的截距式方程为
12．（2021·江苏·常州田家炳高中高二月考）已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．直线l的横截距为
C．点到直线l上的点的最短距离是2
D．若直线，则
13．（2021·湖南·高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________
14．（2020·广东揭东·高一期末）设直线的倾斜角为，且，则________
15．（2021·广东广雅中学高二期中）直线恒过一定点，则该定点坐标为_______
16．（2021·江苏·高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.
(1) 求实数的值；
(2) 求的值；
(3) 求函数的解析式.
17．（2021·全国·高二课前预习）已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
（1）边AB所在直线的方程；
（2）边AC和BC所在直线的点斜式方程．
18．（2021·全国·高二课前预习）根据条件写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(2，5)，斜率是4；
（2）经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
（3）经过点C(－1,－1)，与x轴平行．
19．（2021·重庆十八中高二期中）已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．
20．（2021·广东·广州市第七十五中学高二期中）已知△ABC的三个顶点A(m，n)、B(2，1)、C(－2，3).
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程为2x－3y+6=0，且，求点A的坐标.
21．（2021·广东高州·高二月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求边在直线的方程；
（2）求顶点坐标；
（3）求边所在的直线方程．
22．（2021·北京市回民学校高二期中）已知中，，，
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）若点P满足，求点P的轨迹方程.
（3）求的面积.
23．（2021·浙江湖州·高二期中）已知直线经过点.
（1）当在两坐标轴上的截距相等时，求的方程；
（2）若与轴 轴的正半轴分别相交于、两点，当三角形的面积最小时，求的方程.
24．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知的三个顶点，，.
（1）求边BC上的中线所在直线的斜截式方程；
（2）求边BC上的高所在直线的一般式方程.
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专题八 平面解析几何
01 直线的倾斜角与斜率、直线方程
考纲对本模块内容的具体要求如下：
直线的倾斜角与斜率以及直线的方程作为高考的一个知识点，主要是以基础题为主，在选择题中多有涉及，对于直线的方程更多的是与圆锥曲线相结合出题，难度以中高档题为主.预计2022年的高考直线的倾斜角与斜率以及直线的方程出题还是以基础题为主，多出选择或者填空，与圆锥曲线的结合出现在解答题，单独出题可能性小.
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
数学抽象：直线倾斜角与斜率的定义及它们之间关系的理解.
逻辑推理：直线方程的五种形式的推导及应用.
数学建模：直线方程的五种形式及应用.
数学运算：倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答问题.
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用
[常用结论]
1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k 0 k＞0 不存在 k＜0
2.当时，α越大，l的斜率越大；当时，α越大，l的斜率越大．
考点一　直线的倾斜角与斜率的应用
（1）（2021·重庆十八中高二期中）直线的倾斜角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果.
【详解】
由题意可知，所以直线的斜率为，
又，所以直线的倾斜角为.
故选：A.
（2）（2021·山西·怀仁市第一中学校高三期中（文））折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分析题意，画出图形，分析重合的两个点之间的关系，O点落在线段上，O点与上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，即可求解
【详解】
如图，
要想使折叠后O点落在线段上，可取上任意一点，
作线段的垂直平分线，以为折痕可使与重合，
因为，
所以，且.
又当折叠后与重合时，，
所以
的取值范围是，
故选：D
（3）（2021·浙江湖州·高二期中）在平面直角坐标系中，直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将直线转化成斜截式方程，即得得出斜率.
【详解】
解：由题得，原式可化为，斜率.
故选：A.
【规律方法】
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围.
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围,求倾斜角时要注意斜率是否存在.
2.斜率的求法
（1）定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.
（2）公式法：若已知直线上两点A x1，y1 ，B x2，y2 ，一般根据斜率公式
【跟踪练习】（1）（2021·浙江省青田县中学高二期中）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由直线方程得斜率，再得倾斜角．
【详解】
直线的斜率为1，倾斜角为．
故选：A．
（2）（2021·江苏·盐城中学高二期中）直线的倾斜角大于，则正实数a的取值范围_________．
【答案】
【分析】
求得直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，直线，可得直线的斜率为，（其中 ）
因为直线的倾斜角大于，可得，解得，
所以正实数a的取值范围.
故答案为：.
（3）（2021·全国·高二课前预习）直线的倾斜角为45°，则实数a=________.
【答案】
【分析】
由题可得斜率为1，列出方程即可求出.
【详解】
依题意可知，所以，且，
解得或（舍去）.
故答案为：.
考点二 直线方程的求法
（1）（2021·全国·高二课前预习）过两点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据两点式方程直接求解即可.
【详解】
解：∵直线过两点和，
∴直线的两点式方程为＝，整理得.
故选：C.
（2）（2021·浙江省青田县中学高二期中）直线的截距式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据截距式方程的形式变形．
【详解】
方程化为，即为截距式方程．
故选：A．
（3）（2021·四川省南充高级中学高二月考（理））已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
【详解】
直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.
故选：D.
（4）（2021·全国·高三专题练习）过点且倾斜角的正弦值是的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【分析】
由倾斜角正弦值可求得正切值，即直线斜率，由直线斜截式可整理得到结果.
【详解】
设所求直线的倾斜角为，则，又，，，
即直线斜率，
所求直线方程为，即或.
故选：D.
【规律方法】
求直线方程应注意以下三点
（1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
（3）截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高三专题练习）已知直线的斜率为，在轴上的截距为另一条直线的斜率的倒数，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知直线的斜率可得直线在轴上的截距，根据直线斜截式方程可得结果.
【详解】
直线的斜率为，直线在轴上的截距为，
直线的方程为.
故选：A.
（2）(2020全国课时练习)以,为端点的线段的垂直平分线方程是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，所以点中点坐标为，
又由斜率公式可得，所以垂直平分线的斜率为，
所以垂直平分线的方程为，即.
故选D．
（3）（2021·广东·佛山市顺德区华侨中学高二期中）直线在轴上截距等于1，且与坐标轴围成的图形为等腰直角三角形，则直线的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
由题意得出直线的纵截距，进而用截距式求得直线方程，最后化为一般式即可.
【详解】
根据题意可知，直线的横截距为1，纵截距为1或-1，由截距式方程可知，直线方程为：
或，即或.
故选：CD.
1．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
2．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）无论m为何值，直线所过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题得，即得.
【详解】
由题意，
当时，，与m为何值无关
故直线所过定点的坐标为
故选：D
3．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）过点和的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
设直线的方程为求出即得解.
【详解】
设直线的方程为
又直线经过点，
所以，
所以直线的方程为
所以直线方程为.
故选：C
4．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）对于直线，有以下说法，其中错误的有（ ）
A．倾斜角为 B．在x轴上的截距为4
C．原点到直线l的距离为2 D．直线l的一个方向向量为
【答案】ABD
【分析】
A.根据直线求得斜率即可；B.根据直线，令求解判断；C.根据直线，利用点到直线的距离求解判断；D.根据直线，求得斜率判断；
【详解】
A.因为直线，所以，因为倾斜角的范围是 ，所以倾斜角为，故错误；
B. 因为直线，令，得，所以在x轴上的截距为-4，故错误；
C. 因为直线，所以原点到直线l的距离为，故正确；
D. 因为直线，所以，则直线l的一个方向向量为，故错误.
故选：ABD
5．（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（理））关于直线和圆．下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为2
B．直线恒过定点
C．若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是相交
D．圆上点，圆上点，则的最大值为
【答案】D
【分析】
对A，求出截距可判断；对B，求出定点可判断；对C，根据相切求出即可判断；对D，求出两圆半径和圆心距即可得出.
【详解】
对于A，在轴上的截距为，A错误；
对于B，，当时，，故恒过定点，B错误；
对于C，与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线与圆的位置关系是相离，C错误；
对于D：圆，圆心，圆，即，圆心，，
所以圆上点到圆上点的最大距离为，，D正确．
故选：D．
6．（2021·全国·高二课前预习）（多选）对于下列选项中正确的是（ ）
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
【答案】ABC
【分析】
根据倾斜角和斜率的定义分析即可得解.
【详解】
由倾斜角的范围，可得正确；
由正切函数的值域可得斜率为一切实数，故正确；
任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，
故正确；错误．
故选：．
7．（2021·全国·高二课前预习）(多选)下列四个选项中正确的是（ ）
A．方程与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
【答案】BC
【分析】
利用方程的意义可判断A选项的正误；利用条件求得对应直线的方程，可判断B、C选项的正误；取直线的倾斜角为直角，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，方程表示直线上去掉点所形成的两条射线，与方程表示的图形不相同，A故错误；
对于B，直线过点，倾斜角为，该直线的斜率不存在，垂直于轴，其方程为，故B正确；
对于C，直线过点，斜率为，则其方程为，即，故C正确；
对于D，若直线垂直于轴，则直线的斜率不存在，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误.
故选：BC.
8．（2021·河北·石家庄市第二十二中学高二期中）下列说法不正确的是（ ）
A．不能表示过点且斜率为k的直线方程
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C．直线与y轴的交点到原点的距离为b
D．设，若直线与线段有交点，则a的取值范围是
【答案】BCD
【分析】
利用给定式子有意义可判断A；利用直线方程的截距式能表示直线的前提判断B；
利用直线截距的意义判断C；直线l过定点，借助数形结合可得a的范围判断D作答.
【详解】
因过点且斜率为k的直线方程为，由知，，即不过点，A正确；
当x轴、y轴上的截距a，b都为0时的直线方程不能用表示，B不正确；
直线中的b是该直线在y轴上的截距，它可以取负数，而直线与y轴的交点到原点的距离为非负数，C不正确；
直线过定点P(0，-1)，如图，直线PB斜率，直线PA斜率，
点P与线段AB上的点所成直线斜率范围是，
即或，则a的取值范围是，D不正确.
故选：BCD
9．（2021·重庆市实验中学高二月考）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B．圆的圆心为，半径为
C．方程能表示平面内的任何直线
D．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是
【答案】CD
【分析】
选项A. 两条直线互相平行,可能斜率不存在，从而可判断；选项B.将圆方程化为标准方程可判断；选项C. 分直线不平行于坐标轴和与坐标轴平行进行分析可判断；选项D. 化直线方程为斜截式，由条件可得，从而可判断.
【详解】
选项A. 两条直线互相平行,可能斜率不存在，故选项A不正确.
选项B. 由圆，得
圆心为，半径为，故选项B不正确.
选项C. 当直线不平行于坐标轴时，方程可化为，为直线的两点式方程.
当直线平行于轴时，方程为：
当直线平行于轴时，方程为： ，
所以方程能表示平面内的任何直线，故正确.
选项D. 直线化为
直线不经过第二象限，则 ，解得，故正确.
故选：CD
10．（2020·广东揭东·高一期末）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C．曲线与曲线恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】
根据直线过定点的求法可知A正确；根据圆心到直线距离知B正确；将两曲线方程整理为圆的标准方程，由两圆外离可构造不等式组知C错误；当切线长最小时，与直线垂直，由可知D正确.
【详解】
对于A，将直线方程整理为，
由得：，直线恒过定点，A正确；
对于B，圆的圆心到直线距离，
圆上有且仅有个点到直线的距离等于，B正确；
对于C，将两曲线方程整理为：，；
若与恰有条公切线，则表示圆且与外离，
，解得：，
即实数的取值范围为，C错误；
对于D，当最小时，与直线垂直，
圆心到直线的距离，
，D正确.
故选：ABD.
11．（2021·全国·高二课前预习）(多选)下列说法正确的是（ ）
A．不经过原点的直线都可以表示为
B．若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为
C．过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D．直线3x－2y＝4的截距式方程为
【答案】BCD
【分析】
A中，截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，即可判断；
B中，直接利用截距式方程判断；
C中，直接求出过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程，即可判断；
D中，直接化为截距式方程判断．
【详解】
A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；
B中，AB的中点为(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为.
故B对；
C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；
D中，方程3x－2y＝4可化为，故D对．
故选：BCD
12．（2021·江苏·常州田家炳高中高二月考）已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．直线l的横截距为
C．点到直线l上的点的最短距离是2
D．若直线，则
【答案】CD
【分析】
根据直线方程求出直线的斜率和点到直线的距离以及直线的位置关系分别判断即可.
【详解】
∵直线，
∴直线l的斜率，倾斜角，故A错误；
令，解得：，故直线的横截距是，故B错误；
点到直线l的距离，故C正确；
直线m的斜率，而，故，故D正确；
故选：CD.
13．（2021·湖南·高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________
【答案】
【分析】
根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.
【详解】
由可得，
所以圆心为，
由可得，所以直线的斜率为，
所以与直线垂直的直线的斜率为，
所以所求直线的方程为：，即，
故答案为：.
14．（2020·广东揭东·高一期末）设直线的倾斜角为，且，则________
【答案】0
【分析】
由已知三角等式求出，即直线的斜率，再由得到，则可求．
【详解】
解：由，得，
直线的斜率，
即，
．
故答案为：0.
15．（2021·广东广雅中学高二期中）直线恒过一定点，则该定点坐标为_______
【答案】
【分析】
直线方程可化为，令，即可得出答案.
【详解】
解：直线方程可化为，
令，解得，
所以直线过定点.
故答案为：
16．（2021·江苏·高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.
(1) 求实数的值；
(2) 求的值；
(3) 求函数的解析式.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【分析】
(1) 求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出的值；
(2) 利用偶函数的性质，求，进而可求出的值；
(3) 利用偶函数的性质求出时，的表达式.
【详解】
(1) 由直线过定点可得：，
由，解得，
所以直线过定点.
又因为时，，
所以，
有，.
(2) ，
因为为偶函数，所以，
所以.
(3) 由(1)知，当时，.
当时，，，
又为偶函数，所以，
综上可知，.
17．（2021·全国·高二课前预习）已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
（1）边AB所在直线的方程；
（2）边AC和BC所在直线的点斜式方程．
【答案】
（1）y＝1
（2）直线AC的方程为y－1＝(x－1)，直线BC的方程为y－1＝－(x－5).
【分析】
（1）由题意A，B两点的纵坐标均为1，易得直线的方程；
（2）由题意可得直线AC的斜率为，直线BC的斜率为，分别可得直线的点斜式方程.
（1）
∵A，B两点的纵坐标均为1，
∴AB边所在直线的方程为y＝1.
（2）
∵AB平行于x轴，且△ABC在第一象限，
∴kAC＝tan 60°＝，kBC＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，
∴直线AC的方程为y－1＝(x－1)；直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
18．（2021·全国·高二课前预习）根据条件写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(2，5)，斜率是4；
（2）经过点B(2，3)，倾斜角是45°；
（3）经过点C(－1,－1)，与x轴平行．
【答案】
（1）y－5＝4(x－2)
（2）y－3＝x－2
（3）y+1＝0
【分析】
（1）由点斜式方程即得；
（2）由题可得斜率为1，利用点斜式方程即得；
（3）由题可得斜率为0，利用点斜式方程即得.
（1）
∵经过点A(2，5)，斜率是4，
∴所求直线方程为y－5＝4(x－2).
（2）
∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线方程为y－3＝x－2.
（3）
∵经过点C(－1,－1)，与x轴平行，
∴斜率为0，
∴方程为y+1＝0.
19．（2021·重庆十八中高二期中）已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标；（2）先设出点的坐标为，利用中点坐标公式表达出点坐标，再把B点坐标代入BH所在直线，求出，从而求出点B坐标，结合第一问求解的点C的坐标，求出直线BC的方程
（1）
因为边AC上的高BH所在直线方程为
∴ ，且
∴
∵的顶点
∴直线AC方程：，即
与联立， ，解得：
所以顶点C的坐标为
（2）
因为CM所在直线方程为
故设点的坐标为
因为是中点，
所以
因为在BH所在直线上
所以，解得：
所以点坐标为
由第一问知：C的坐标为
故直线BC的方程为，整理得：
20．（2021·广东·广州市第七十五中学高二期中）已知△ABC的三个顶点A(m，n)、B(2，1)、C(－2，3).
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程为2x－3y+6=0，且，求点A的坐标.
【答案】
（1）；
（2）或.
【分析】
（1）运用直线两点式方程直接求解即可；
（2）根据两点间距离公式、点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可.
（1）
因为B(2，1)、C(－2，3)，所以BC边所在直线的方程为：
；
（2）
BC边上中线AD的方程为2x－3y+6=0，所以有，
点A到直线BC的距离为：，
，因为 ，
所以有，
因此有或 ，解得：或，
所以点A的坐标为：或.
21．（2021·广东高州·高二月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求边在直线的方程；
（2）求顶点坐标；
（3）求边所在的直线方程．
【答案】
（1）；
（2）；
（3）.
【分析】
（1）由垂直关系可得，由直线点斜式方程可得边所在直线方程；
（2）联立直线与方程即可求得点坐标；
（3）设，满足直线方程；将中点坐标代入方程；两方程联立可求得点坐标，利用直线两点式方程可整理求得结果.
（1）
，，又，的斜率，
边所在直线的方程为：，即；
（2）
由（1）知：边所在直线的方程为：，
由得：，顶点的坐标是；
（3）
设，代入方程得：…①，
的中点坐标为，代入方程为：，
即…②，
①②联立得，解得：，，
由两点得方程为：，即为.
22．（2021·北京市回民学校高二期中）已知中，，，
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）若点P满足，求点P的轨迹方程.
（3）求的面积.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据两点的坐标，利用直线的两点式方程即可得解；
（2）设点P，求出，再根据，化简整理即可得解；
（3）求出及点到BC边所在的直线的距离，即可得解.
（1）
解：因为，，
所以BC边所在的直线方程为，
即为；
（2）
设点P，
则，
因为，
则，
所以，
即点P的轨迹方程为；
（3）
解：，
点到BC边所在的直线的距离，
所以的面积为.
23．（2021·浙江湖州·高二期中）已知直线经过点.
（1）当在两坐标轴上的截距相等时，求的方程；
（2）若与轴 轴的正半轴分别相交于、两点，当三角形的面积最小时，求的方程.
【答案】
（1）或；
（2）.
【分析】
（1）因为在两坐标轴上的截距相等，当直线不经过原点时，设它的方程为，代入点求出，从而得出的方程；当直线过原点时，设它的方程为，代入点求出，从而得出的方程；
（2）根据题意，设直线的方程为，则，利用根据基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，进而得出面积的最小值，从而得出的方程.
（1）
解：在两坐标轴上的截距相等，
当直线不经过原点时，设它的方程为，
把点代入可得，
故的方程为，即；
当直线过原点时，设它的方程为，把点代入可得，
故的方程为，即；
综上可得，直线的方程为或.
（2）
解：因为与轴 轴的正半轴分别相交于、两点，
设直线的方程为，则，
得，当且仅当时，等号成立，
则的最小值为96，此时面积最小，最小值为48，
直线的方程为，即.
24．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知的三个顶点，，.
（1）求边BC上的中线所在直线的斜截式方程；
（2）求边BC上的高所在直线的一般式方程.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求出线段BC的中点，进而算出所求直线的斜率，写出点斜式方程，再转化为斜截式即可；
（2）求出直线BC的斜率，进而得出高所在直线的斜率，写出点斜式方程，再转化为一般式方程.
（1）
设线段BC的中点为D，根据题意可知，则，
则，于是边BC上的中线所在直线的斜截式方程为：.
（2）
因为，所以边BC上的高所在直线为：，
即.
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