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专题八 平面解析几何
03 圆的方程
考纲对本模块内容的具体要求如下：
圆的方程是高中数学中必学知识点，在高考中圆的知识也是每年都出现，但单独考察圆的方程的题目比较少，至少近几年几乎没有出现，在圆的方程的考察方面主要是与直线相结合来出题，以基础题目为主.预计2022年的高考圆的方程还是以基础为主，注重课本基础知识，注重几何与代数转化思想的应用.
数学运算：求圆的标准方程、一般方程.
数学建模：圆的标准方程及应用.
逻辑推理：求动点的轨迹方程.
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圆心， 半径
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[常用结论]
1．圆心为坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
考点一　圆的方程
（1）（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】
根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.
故选：B.
（2）（2021·全国·高二期中（文））已知，，，则外接圆的方程为________．
【答案】
【分析】
利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
设外接圆的方程为，
因为，，，
所以有：且且，解得：，
因此外接圆的方程为，
故答案为：
【规律方法】
求圆的方程的两种方法
（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
（2）待定系数法：①若已知条件与圆心 a，b 和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【跟踪练习】（1）（2021·江西·湾里第一中学高二期中（理））己知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）
A．（x－2）2+y2= 13 B．（x+2）2+y2= 17
C．（x+1）2 +y2= 40 D．（x－1）2 +y2 = 20
【答案】D
【分析】
设圆心坐标为，由圆心到距离相等求得，然后再求出半径后可得．
【详解】
由题意，设圆心坐标为，则，解得，
圆半径为．
所以圆方程为．
故选：D．
（2）（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）圆关于y轴对称的圆的标准方程为___________.
【答案】
【分析】
根据题意可得圆心坐标为，半径为1，利用平面直角坐标系点关于坐标轴对称的特征可得所求的圆心坐标为，半径为1，进而得出结果.
【详解】
由题意知，圆的圆心坐标为，半径为1，
设圆关于y轴对称的圆为，
所以，半径为1，
所以的标准方程为.
故答案为：
考点二 与圆有关的最值问题
　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
【解析】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
【规律方法】
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
（1）形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.
（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.
（3）形如m＝ x－a 2＋ y－b 2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【跟踪练习】（1）（2021·云南大理·模拟预测（理））设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】
由条件可得直线过点、直线过点，，然后可得点的轨迹方程为，设线段的中点为，连接，可得，点的轨迹方程为，然后，即可得到答案.
【详解】
由可得，所以直线过点
由可得，所以直线过点
因为，所以，
所以点的轨迹是以两点、连线为直径的圆，其轨迹方程为
设线段的中点为，连接，因为，圆
所以
所以点的轨迹方程为
因为，的最小值为
所以的最小值为
故答案为：
（2）（2020全国高二课时练习）方程所确定的圆中，最大面积是( )
A． B． C．3π D．不存在
【答案】B
【解析】所给圆的半径.
所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是.
故选B
（3）（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】
求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【详解】
设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
（4）（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．
【答案】B
【分析】
圆心坐标代入直线方程得，然后用“1”的代换得定值后由基本不等式得最小值．
【详解】
圆心为（1，1），所以
于是
当且仅当，即时取等号.
故选：B．
考点三 与圆有关的轨迹问题
（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）已知圆C过点，，.
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点P是直线与直线的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）设出圆的一般方程，代入点的坐标，列出方程，求出圆的一般方程，再化为标准方程；（2）设出弦的中点M的坐标为，根据垂径定理，得到斜率之间的关系，列出方程，求出中点M的轨迹方程.
（1）设圆的方程为
把点，，代入得：
解得：
所以圆的方程为：，化为标准方程为：
（2）联立，解得：，所以
设弦的中点M的坐标为
由垂径定理得：，即，则
由第一问知，圆心坐标为
所以，整理得：
故中点M的轨迹方程为
【规律方法】
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
（1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.
（2）定义法：根据圆的定义列方程求解.
（3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.
（4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.
【跟踪练习】（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）已知圆：，点和点在圆上，，为的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求的最小值；
（3）求的最大值.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）首先推出，注意到是直角三角形斜边上的中线；（2）圆上一动点到不在圆上的定点距离的最小值是两点间距离减去半径；（3）分析式子的几何意义可知只需求圆上这两个点到的距离之和，利用梯形中位线进行转化.
（1），，
，又为的中点，则，于是点的轨迹是以O为圆心，半径为的圆点M的轨迹方程为：.
（2）圆心到点的距离
则的最小值为.
的最小值为.
（3）表示点和点到直线距离之和，
过点作直线的垂线，垂足为，根据梯形的中位线得到，当，取最大值.
此时，直线方程为，的最大值为
故的最大值为.
1.（2020·全国·高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】
圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
2．（2021·四川省成都市新都一中高二期中（理））圆x2+y2＝1关于直线x+y﹣2＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1 B．（x+2）2+（y+2）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2+（y+2）2＝1
【答案】A
【分析】
先求得关于直线的对称点，由此求得正确答案.
【详解】
∵圆x2+y2＝1关于直线x+y﹣2＝0对称的圆半径为1，
∴圆心（0，0）关于直线x+y﹣2＝0对称的点为对称圆的圆心，设为（x，y），
则（0，0）与（x，y）的中点（）在直线上，即﹣2＝0，①，
且经过（0，0）和（x，y）的直线与直线x+y﹣2＝0垂直，即，②，
联立①②，解之得x＝2，y＝2，则对称圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，
故选：A
3．（2021·四川省南充高级中学高二期中（理））设a>0，b>0，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】
利用配方法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
由，
所以圆心为，因此有，因为a>0，b>0
所以有：
当且仅当，即时取等号．
故选：B
4．（2021·河北·高二期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先判断出是直角三角形，直接求出圆心和半径，即可求解.
【详解】
因为三个顶点的坐标分别为，，，
所以，所以，
所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆，
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
故选：C
5．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【答案】A
【分析】
求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
【详解】
由解得两圆交点为与
因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1）
所以垂直平分线为y＝﹣x+2
由
解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）
所以r
所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故选：A
6．（2021·安徽·合肥市第八中学高二期中）已知实数满足方程，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
将方程化为，由圆的几何性质可得答案.
【详解】
将方程变形为，则圆心坐标为，半径，
则圆上的点的横坐标的范围为：
则x的最大值是
故选：D.
7．（2021·山西·康杰中学高二期中）已知为圆的直径，点为坐标原点，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
因为，所以点在圆的外部，再根据点与圆的位置关系直接计算即可.
【详解】
依题意得，因为，所以点在圆的外部，
所以，所以．
故选：A．
8．（2021·安徽·高二月考）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【答案】A
【分析】
把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】
将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.
故选：A．
9．（2021·山东师范大学附中高二期中）直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由圆的方程写出圆心坐标，根据直线相互垂直可得，根据点斜式写出直线方程.
【详解】
由圆C：，则，又直线l与直线垂直，即，
∴直线l的方程为，即.
故选：D
10．（2021·浙江省青田县中学高二期中）圆的圆心C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据圆的标准方程，直接求得圆心坐标，得到答案.
【详解】
由题意，圆的标准方程，可得圆心坐标为.
故选：C
11．（2021·广东广雅中学高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.
【详解】
设，因为点，，，
所以即，
所以，可得圆心，半径，
由圆可得圆心，半径，
因为在圆上存在点满足，
所以圆与圆有公共点，
所以，整理可得：，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
12．（2021·浙江·瑞安中学高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名， 著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的圆心坐标为
B．
C．曲线的周长为
D．曲线上的点到直线的最小距离为
【答案】ABD
【分析】
设，利用两点间的距离公式求出点所构成的曲线方程，然后逐一判断即可.
【详解】
设，由可得，
整理可得，化为，
所以曲线的圆心坐标为 ，半径为，故A正确；
圆心到点的距离为，
所以，即，故B正确；
圆的周长为，故C错误；
圆心到直线的距离为，
所以曲线上的点到直线的最小距离为.
故选：ABD
13．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（　　）
A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1
B．直线AB的方程为x－2y－4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为
【答案】ABD
【分析】
化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D．
【详解】
由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；
联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；
圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2，故C错误；
令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，
可得，解得t＝4．
∴2a－b的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
14．（2021·全国·高二课时练习）已知圆C的方程为：x2+（y﹣1）2＝4，过平面上的点P作直线l被圆C所截得的弦长为，则点P的坐标可能为（ ）
A．（0，0） B． C．（1，2） D．
【答案】AC
【分析】
通过直线l被圆所截得的弦长为可得到圆心到直线的距离为1，于是可以将问题转化为l为以（0，1）为圆心的单位圆的切线，而P为该圆上或圆外的点.结合点与圆的位置关系作答.
【详解】
解：由弦长为，可知点C到直线l的距离为1，
所以这样的直线l都是圆x2+（y﹣1）2＝1的切线，
P点要在这样的切线上，则P点在圆x2+（y﹣1）2＝1上或在圆外，
A：02+（0﹣1）2＝1，说明该点在圆上；B：，说明该点在圆内；
C：12+（2﹣1）2＝2＞1，说明该点在圆外；D：，说明该点在圆内.
故选：AC.
15．（2021·山东烟台·高二期中）平面直角坐标系中，点，圆与x轴的正半轴交于点Q，则（ ）
A．点P到圆O上的点的距离最大值为
B．过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为
C．过点P与圆O相切的直线方程为
D．过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线，的斜率之和为定值-1
【答案】ABD
【分析】
对于A，点P到圆心O的距离与半径之和即为点到圆上点的最大值，求出即可；对于B，利用圆的弦长公式求得即可；对于C，过点的直线与圆相切，分斜率存在与不存在两种情况，其中存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线斜率即可；对于D，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，代入化简，验证是否是定值-1即可.
【详解】
对于选项A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，即为 ，故选项A正确；
对于选项B ，过点P且斜率为1的直线为，则圆心O到该直线的距离为，由圆的弦长公式知，弦长为，故选项B正确；
对于选项C，圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为，
综上，过点P与圆O相切的直线方程为和.故选项C不正确；
对于选项D，由题意知点，联立得，
设 ，则，
所以
.故选项D正确.
故选：ABD
16．（2021·广东广雅中学高二期中）已知直线的方程为（为常数），点在直线上，过点作圆： 的一条切线，为切点，若的面积的最小值为，此时（ ）
A．
B．
C．直线上的动点与圆上动点的距离的最小值为
D．直线上的动点与圆上的动点的距离的最大值为
【答案】ACD
【分析】
求出圆心坐标和半径，由的面积的最小值为，可得可判断A；再由点到直线的距离公式求出的值可判断B；由的值可得直线的方程，求出圆心到直线的距离再减半径可得最小值，加半径可得最大值，即可判断CD，进而可得正确选项.
【详解】
由可得，
圆：的圆心，半径，
，
又因为，
所以当取得最小值时，取最小值，
此时，可得，，
所以，整理可得：，
解得：或，故选项A正确，选项B不正确；
当时，直线的方程为，
则直线上的动点与圆上动点的距离最小值为
直线上的动点与圆上动点的距离最大值为，
当时，直线的方程为，
则直线上的动点与圆上动点的距离最小值为，
直线上的动点与圆上动点的距离最大值为，
故选项C、D正确，
故选：ACD.
17．（2021·广东·广州市第一中学高二期中）已知圆及点，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】
求出点关于直线的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径．
【详解】
解：设点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，
所以，
又到圆上点的最短距离为，
故答案为：．
18．（2021·四川省南充高级中学高二月考（理））若方程表示圆，则的取值范围是___________.
【答案】或
【分析】
由圆的一般方程表示圆可得即可求解.
【详解】
因为方程表示圆，
所以，可得：或，
故答案为：或.
19．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知直线，，圆以直线的交点为圆心，且过点
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相切，求的值；
（3）求圆上的点到直线的距离的最大值．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）首先联立直线得到圆心坐标，利用两点之间距离公式得到半径，再写出圆的方程即可；
（2）根据题意得到.再解方程即可；
（3）首先利用圆心到直线的距离再加上半径求解即可.
（1）联立直线，即.
圆的半径，
所以圆的方程为：.
（2）因为直线与圆相切，
到直线的距离，
解得.
（3）到直线的距离，
所以圆上点到直线距离的最大值为.
20．（2021·重庆市江津中学校高二期中）已知表示圆的方程.
（1）求实数的取值范围；
（2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程.
（3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值.
【答案】
（1）
（2）和
（3）
【分析】
（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案；
（2）求出圆C的面积取得最大值，的值，即半径最大时，的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解；
（3）设，则，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出的最小值，即可得解.
（1）解：由题可知：，该方程表示圆，则，
即，解得.则实数的取值范围为；
（2）解：令， ，开口向下，对称轴为，
当时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为，
设切线方程为即.圆心到切线的距离等于半径长，
即，解得，则另一条切线斜率不存在。
即切线方程为，即；另一条切线方程为；
（3）解：设，
则，
设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，
由（2）知，
又，则点M在圆C外面，
所以，
则.
则可知的最小值为.
21．（2021·全国·高二课时练习）实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求：
（1）的最大值和最小值；
（2）2x+y的最大值和最小值.
【答案】
（1）最大值为0，最小值为
（2）最大值为，最小值为
【分析】
表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，当过点A的直线与圆相切时，斜率取到最值.
（2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，截距取到最值.
（1）由题意知，圆的圆心坐标为(-1，2)，半径为2，
表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，
设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为y﹣0＝k（x﹣4），
即kx﹣y﹣4k＝0，由2，k＝0或，
结合图形知，的最大值为0，最小值为.
（2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，
当直线2x+y＝t和圆相切时，有2，∴t＝±，
故2x+y的最大值为，最小值为.
22．（2021盐城中学高二期中）函数与坐标轴交于不同的三个点A，B，C．
（1）求实数b的取值范围：
（2）求经过A，B，C三点且面积最小的圆的方程
【答案】
（1）
（2）或.
【分析】
（1）分析出函数与轴有一个交点，进而根据函数与与轴有两个交点即可，且交点横坐标不为0，即可求出结果;
（2）结合圆的对称性可知圆心在直线上，设圆心坐标为，半径为，进而可得化简整理求出半径的最小值，从而可以求出结果.
（1）令，则，则与轴的交点坐标为，
因此只需要满足函数与轴有两个交点即可，且交点横坐标不为0，
令，即有两个不同的非0实数根，即，即且，
所以实数b的取值范围为；
（2）设函数与轴的两个交点坐标分别为，且，
所以经过A，B，C三点的圆的圆心在直线上，设圆心坐标为，半径为，
则，则，
由（1）知，则，
而，
当，当且仅当，即时，等号成立，此时的最小值为4，即半径的最小值为2，半径最小即圆的面积最小；
当时，，即圆心为，所以圆的方程为；
当时，，即圆心为，所以圆的方程为；
综上：经过A，B，C三点且面积最小的圆的方程为或.
23．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）已知的顶点坐标分别是，，，的外接圆为圆C.
（1）求圆C的方程：
（2）若点P满足，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）依题意的外接圆是以线段为直径的圆，求出圆心坐标与半径，即可得解；
（2）设点，由，根据两点的距离公式即可得到点的轨迹方程，即可求出圆心的坐标，则、即可得解；
（1）
解：根据题意，，，，所以，，所以的外接圆是以线段为直径的圆，
故圆心，，外接圆的方程为.
（2）
解：设点，由得，
两边平方，化简整理得：，即，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，点在圆的外部，，，
因此的取值范围是.
24．（2021·浙江·高二期中）已知圆M过三点，，，直线的方程为，过直线上一动点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）求圆M的方程；
（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出定点的坐标．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）设圆M的方程为，代入点坐标，求解可得答案；
（2）设，由圆的切线的性质可得圆N必过点M且以MP为直径，得出圆N的方程，根据恒等式思想可得定点.
（1）解：设圆M的方程为，代入点，，，得，
解得，所以圆M的方程为.
（2）解：由（1）得，则，设，则，，
所以圆N必过点M且以MP为直径，其方程为：，即，
由，解得或，
所以圆N过定点.
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专题八 平面解析几何
03 圆的方程
考纲对本模块内容的具体要求如下：
圆的方程是高中数学中必学知识点，在高考中圆的知识也是每年都出现，但单独考察圆的方程的题目比较少，至少近几年几乎没有出现，在圆的方程的考察方面主要是与直线相结合来出题，以基础题目为主.预计2022年的高考圆的方程还是以基础为主，注重课本基础知识，注重几何与代数转化思想的应用.
数学运算：求圆的标准方程、一般方程.
数学建模：圆的标准方程及应用.
逻辑推理：求动点的轨迹方程.
1．圆的定义及方程
定义 平面内与_____的距离等于_____的点的集合(轨迹)
标准方程 __________ 圆心_____，半径r
一般方程 __________， (D2＋E2－4F＞0) 圆心_____， 半径_____
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则__________.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则__________.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则__________.
[常用结论]
1．圆心为坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
考点一　圆的方程
（1）（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·全国·高二期中（文））已知，，，则外接圆的方程为________．
【规律方法】
求圆的方程的两种方法
（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
（2）待定系数法：①若已知条件与圆心 a，b 和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【跟踪练习】（1）（2021·江西·湾里第一中学高二期中（理））己知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ）
A．（x－2）2+y2= 13 B．（x+2）2+y2= 17
C．（x+1）2 +y2= 40 D．（x－1）2 +y2 = 20
（2）（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）圆关于y轴对称的圆的标准方程为___________.
考点二 与圆有关的最值问题
　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．
【规律方法】
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
（1）形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.
（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.
（3）形如m＝ x－a 2＋ y－b 2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【跟踪练习】（1）（2021·云南大理·模拟预测（理））设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为_________．
（2）（2020全国高二课时练习）方程所确定的圆中，最大面积是( )
A． B． C．3π D．不存在
（3）（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
（4）（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．
考点三 与圆有关的轨迹问题
（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）已知圆C过点，，.
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知点P是直线与直线的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程.
【规律方法】
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
（1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.
（2）定义法：根据圆的定义列方程求解.
（3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.
（4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.
【跟踪练习】（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）已知圆：，点和点在圆上，，为的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求的最小值；
（3）求的最大值.
1.（2020·全国·高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·四川省成都市新都一中高二期中（理））圆x2+y2＝1关于直线x+y﹣2＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1 B．（x+2）2+（y+2）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2+（y+2）2＝1
3．（2021·四川省南充高级中学高二期中（理））设a>0，b>0，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．（2021·河北·高二期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
6．（2021·安徽·合肥市第八中学高二期中）已知实数满足方程，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．（2021·山西·康杰中学高二期中）已知为圆的直径，点为坐标原点，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·安徽·高二月考）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
9．（2021·山东师范大学附中高二期中）直线l过圆C：的圆心，并且与直线垂直，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·浙江省青田县中学高二期中）圆的圆心C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·广东广雅中学高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·浙江·瑞安中学高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名， 著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的圆心坐标为
B．
C．曲线的周长为
D．曲线上的点到直线的最小距离为
13．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（　　）
A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1
B．直线AB的方程为x－2y－4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为
14．（2021·全国·高二课时练习）已知圆C的方程为：x2+（y﹣1）2＝4，过平面上的点P作直线l被圆C所截得的弦长为，则点P的坐标可能为（ ）
A．（0，0） B． C．（1，2） D．
15．（2021·山东烟台·高二期中）平面直角坐标系中，点，圆与x轴的正半轴交于点Q，则（ ）
A．点P到圆O上的点的距离最大值为
B．过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为
C．过点P与圆O相切的直线方程为
D．过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线，的斜率之和为定值-1
16．（2021·广东广雅中学高二期中）已知直线的方程为（为常数），点在直线上，过点作圆： 的一条切线，为切点，若的面积的最小值为，此时（ ）
A．
B．
C．直线上的动点与圆上动点的距离的最小值为
D．直线上的动点与圆上的动点的距离的最大值为
17．（2021·广东·广州市第一中学高二期中）已知圆及点，设P，Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为__________．
18．（2021·四川省南充高级中学高二月考（理））若方程表示圆，则的取值范围是___________.
19．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知直线，，圆以直线的交点为圆心，且过点
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相切，求的值；
（3）求圆上的点到直线的距离的最大值．
20．（2021·重庆市江津中学校高二期中）已知表示圆的方程.
（1）求实数的取值范围；
（2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程.
（3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值.
21．（2021·全国·高二课时练习）实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求：
（1）的最大值和最小值；
（2）2x+y的最大值和最小值.
22．（2021盐城中学高二期中）函数与坐标轴交于不同的三个点A，B，C．
（1）求实数b的取值范围：
（2）求经过A，B，C三点且面积最小的圆的方程
23．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）已知的顶点坐标分别是，，，的外接圆为圆C.
（1）求圆C的方程：
（2）若点P满足，求的取值范围.
24．（2021·浙江·高二期中）已知圆M过三点，，，直线的方程为，过直线上一动点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）求圆M的方程；
（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出定点的坐标．
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