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专题八 平面解析几何
02 两条直线的位置关系、直线的交点坐标与距离公式
考纲对本模块内容的具体要求如下：
两直线位置关系及交点坐标、距离公式是高考中常考知识点，在近几年的高考中主要是以选择或者填空题的形式出现，题目难度以中低档题为主，主要是考查学生的计算能力和思维转化能力，预计2022年的高考两直线的位置关系及交点坐标、距离公式还是以选择或者填空为主，其中距离的考查出题可能性比较大，主要是考查计算能力.
1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
逻辑推理：再利用两直线平行与垂直的条件时，对字母取值的讨论.
数学建模：1.两条直线平行与垂直的条件及应用.
2.理解方程组解的个数与两条直线相交、平行或重合的对应关系.
数学运算：求两条的交点坐标、两点间的距离公式及应用.
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 ______.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 ______.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝______.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝______.
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝______.
[常用结论]
1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线系方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0.
2．与对称问题相关的两个结论
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
考点一　两条直线的位置关系
（1）（2020全国高二课时练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（ ）
A．20 B．－4 C．0 D．24
（2）（2021·广东·广州六中高二期中）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（　　）
A．存在，使得的倾斜角为
B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合
D．对任意的，与都不垂直
（3）（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）下列结论不正确的是（ ）
A．若直线和的斜率相等，则
B．已知直线，（ 为常数），若直线，则
C．点到直线的距离为
D．直线外一点与上一动点的距离的最小值就是点到直线的距离
【规律方法】
1.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
2.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”.
【跟踪练习】（1）（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江湖州·高二期中）若，分别为，上的动点，且，下面说法正确的有（ ）
A．直线的斜率为定值 B．当时，的最小值为
C．当的最小值为1时， D．
（3）（2021·重庆市实验中学高二月考）已知两条直线和的交点为，求经过点且分别满足下列条件的直线方程：
（1）与直线垂直；
（2）与直线平行.
考点二 两条直线的交点与距离问题
（1）（2021·全国·高二专题练习）直线x+y=1与直线2x+y﹣1=0交点坐标是（ ）
A．（ 1，0 ） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
（2）（2021·全国·高二专题练习）直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（　　）
A． B． C．3 D．
（3）（2021·重庆十八中高二期中）在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.处理距离问题的两大策略
（1）点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.
（2）动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二期中（文））已知两平行直线：和：，则与的距离为（ ）
A． B． C． D．
（2）(2020福建厦门一中高二开学考试)已知，，从点射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
（3）(2020上海市七宝中学月考)若动点 分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点三 对称问题
（2021·全国·高一课时练习）（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线关于点对称的直线l的方程；
（3）求直线关于直线对称的直线l的方程.
【规律方法】
常见对称问题的求解方法
（1）中心对称
①点P x，y 关于Q a，b 的对称点P′ x′，y′ 满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
（2）轴对称
①点A a，b 关于直线Ax＋By＋C＝0 B≠0 的对称点A′ m，n ，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【跟踪练习】 （1）（2021·全国·高二课时练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
（2）（2021·湖北·大冶市第一中学高二月考）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（3）（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求关于直线对称的点的坐标___________.
1．（2021·湖南·高考真题）点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2021高二期中练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏·盐城中学高二期中）直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
5．（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知直线，以下结论不正确的是（ ）
A．不论a为何值，与都互相垂直
B．当a变化时，与分别经过定点和
C．不论a为何值，与都关于直线对称
D．若与交于点M．则的最大值是
6．（2021·全国·高二专题练习）若三条直线2x+3y+8＝0，x﹣y﹣1＝0和x+ky＝0交于一点，则k的值为（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．
7．（2021·全国·高二单元测试）经过直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点，且垂直于直线l1的方程为（　　）
A．2x﹣y+13＝0 B．x+2y+13＝0 C．2x﹣y﹣13＝0 D．x+2y﹣13＝0
8．（2021·辽宁实验中学高二月考）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·江苏·盐城中学高二期中）已知三条直线不能围成三角形，则实数m的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2021·广东·广州市第七中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行轴的直线
C．过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为
D．直线关于直线的对称的直线方程为
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，，，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时，与都互相垂直；
B．当，与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
12．（2021·浙江省青田县中学高二期中）直线，之间距离为，则实数___________.
13．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）两平行直线与间的距离为___________.
14．（2021·全国·高二课时练习）已知直线，，则关于对称的直线方程为_____.
15．（2021·北京市八一中学高二期中）已知直线与直线关于轴对称，则直线的一般方程为___________.
16．（2021·重庆市江津中学校高二月考）直线经过两直线和的交点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为，求直线的方程．
17．（2021·全国·高二课时练习）求经过直线：和：的交点，且垂直于直线的直线方程．
18．（2021·江苏·盐城中学高二期中）已知直线
（1）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（2）直线与直线平行，求与之间的距离．
19．（2021·四川乐山·高二期中（理））已知直线
（1）求直线关于轴对称的直线的方程，并求与的交点P；
（2）若直线过点P且与直线垂直，求直线的方程.
20．（2021·江苏·高二专题练习）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求直线BC的方程；
（2）求直线BC关于CM的对称直线方程．
21．（2021·全国·高二课前预习）已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且l1在y轴上的截距为.
22．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）已知直线和.
（1）求经过与的交点且与直线平行的直线方程；
（2）求经过与的交点且与圆相切的直线l的直线方程.
23．（2021·浙江·金乡卫城中学高二期中）已知直线过两直线的交点，
（1）若直线与垂直，求的直线方程；
（2）若直线交轴、轴分别是点，点是线段的中点，求的面积（O是坐标原点）以及的直线方程．
24．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）已知直线：（，不同时为0），：，
（1）若且，求实数的值；
（2）当且时，求直线与之间的距离.
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专题八 平面解析几何
02 两条直线的位置关系、直线的交点坐标与距离公式
考纲对本模块内容的具体要求如下：
两直线位置关系及交点坐标、距离公式是高考中常考知识点，在近几年的高考中主要是以选择或者填空题的形式出现，题目难度以中低档题为主，主要是考查学生的计算能力和思维转化能力，预计2022年的高考两直线的位置关系及交点坐标、距离公式还是以选择或者填空为主，其中距离的考查出题可能性比较大，主要是考查计算能力.
1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
逻辑推理：再利用两直线平行与垂直的条件时，对字母取值的讨论.
数学建模：1.两条直线平行与垂直的条件及应用.
2.理解方程组解的个数与两条直线相交、平行或重合的对应关系.
数学运算：求两条的交点坐标、两点间的距离公式及应用.
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
[常用结论]
1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线系方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0.
2．与对称问题相关的两个结论
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
考点一　两条直线的位置关系
（1）（2020全国高二课时练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（ ）
A．20 B．－4 C．0 D．24
【答案】B
【解析】直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知，
将垂足坐标代入直线方程，得到，代入直线方程，得到，所以
，
故选B．
（2）（2021·广东·广州六中高二期中）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（　　）
A．存在，使得的倾斜角为
B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合
D．对任意的，与都不垂直
【答案】ABD
【分析】
当时可判断A；联立方程解方程组可判断B；当时可判断C；利用斜率乘积为求的值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：当时，直线：即，此时的倾斜角为，故选项A正确；
对于B：由可得，对于任意的，此方程组都有解，所以对任意的，与都有公共点，故选项B正确；
对于C：当时，直线：，即，此时与重合，故选项C不正确；
对于D：由可得直线的斜率为，直线与垂直，则直线的斜率为，此方程无解，所以对任意的，与都不垂直，故选项D正确；
故选：ABD.
（3）（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）下列结论不正确的是（ ）
A．若直线和的斜率相等，则
B．已知直线，（ 为常数），若直线，则
C．点到直线的距离为
D．直线外一点与上一动点的距离的最小值就是点到直线的距离
【答案】AC
【分析】
根据两直线平行和垂直的判定、点到直线距离的性质判断各选项即可.
【详解】
直线和的斜率相等但截距不等的情况下，截距相等的情况下两直线重合，A错.
两直线垂直则斜率之积为-1，的斜率为，的斜率为，，即，B对.
点到直线的距离为，C错.
设点到直线的垂点为B，则为直角三角形，根据直角三角形的性质，，所以直线外一点与上一动点的距离的最小值就是点到直线的距离，D对.
故选：AC.
【规律方法】
1.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.
2.“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”.
【跟踪练习】（1）（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出直线的交点坐标，再根据直线垂直斜率相乘为-1，即可得到答案；
【详解】
，交点坐标为，
所求直线垂直于直线，所求直线的斜率，
所求直线方程为：，
故选：C
（2）（2021·浙江湖州·高二期中）若，分别为，上的动点，且，下面说法正确的有（ ）
A．直线的斜率为定值 B．当时，的最小值为
C．当的最小值为1时， D．
【答案】ABD
【分析】
先利用两直线平行的条件确定和的值，由此判断选项A、D是否正确；当时，利用两平行线间的距离公式求得的最小值，即可判断B选项；由的最小值为，利用两平行线间的距离公式求出的值，即可判断C选项.
【详解】
解：且，
，，故A、D选项正确；
分别为上的动点，且∥，
的最小值为两平行直线间的距离，
当时，的最小值为，故B选项正确；
由，得出，则，
又可化为
，
当的最小值为时，，或，故C选项错误；
故选：ABD.
（3）（2021·重庆市实验中学高二月考）已知两条直线和的交点为，求经过点且分别满足下列条件的直线方程：
（1）与直线垂直；
（2）与直线平行.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）联立直线方程，即可得交点坐标，再根据直线垂直，则斜率之积为-1，即可得直线方程；
（2）根据直线方程可得斜率为-2，再根据直线平行，则斜率相等，即可得所求直线的斜率，即可得直线方程.
（1）由解得 ，
所以交点为，
直线的斜率为，
因为所求直线与直线垂直，
可得所求直线的斜率，
所以所求直线方程为，
即；
（2）因为直线的斜率为，
因为所求直线与直线平行，
故所求直线的斜率 ，
所以所求直线方程为，
即.
考点二 两条直线的交点与距离问题
（1）（2021·全国·高二专题练习）直线x+y=1与直线2x+y﹣1=0交点坐标是（ ）
A．（ 1，0 ） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）
【答案】B
【分析】
联立直线方程即可求出.
【详解】
联立，解得，可得交点（0，1）．
故选：B．
（2）（2021·全国·高二专题练习）直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】
求出与的交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】
由得，即，
由得，即，
则|AB|.
故选：D
（3）（2021·重庆十八中高二期中）在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】
因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，
直线和之间的距离为：，
和之间的距离为：，
于是有：，
故选：B
【规律方法】
1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.处理距离问题的两大策略
（1）点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.
（2）动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二期中（文））已知两平行直线：和：，则与的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，求得，得到的方程，解两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】
由题意，两直线和，
因为，可得，即，所以，
把直线化为，
根据两平行线间的距离公式，可得，
即两平行线间的距离为.
故选：A.
（2）(2020福建厦门一中高二开学考试)已知，，从点射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【解析】直线AB的方程为：，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，，联立解得，．
，光线所经过的路程为．
故选：D．
（3）(2020上海市七宝中学月考)若动点 分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵在直线上，在直线上，是中点，∴点在到两直线与距离相等的平行线上，
直线和，因此点所在直线为，
则的最小值为．
故选：C．
考点三 对称问题
（2021·全国·高一课时练习）（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线关于点对称的直线l的方程；
（3）求直线关于直线对称的直线l的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
(1)求得直线AA′的方程，再求直线l与与直线AA′的交点，进而即可求出A′的坐标；
(2)取直线l上任一点(x，y)，根据题意得到关于点的对称点在直线上，进而求出直线方程；
(3)求出已知两直线的交点坐标，进而根据对称的性质，结合两点式方程即可解答.
【详解】
（1）过点且与直线垂直的直线的方程为，
由得，
即直线与直线的交点坐标为，
∵点关于点的对称点的坐标为，
∴点A关于直线l的对称点的坐标为.
（2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上，
∴，整理得，
即所求直线l的方程为.
（3）由得
∴两直线的交点为，
在直线上取点，
设点B关于直线的对称点为，
则有
解得即点C的坐标为，
由于所求直线经过A C两点，则有，
即，
∴所求直线l的方程为.
【规律方法】
常见对称问题的求解方法
（1）中心对称
①点P x，y 关于Q a，b 的对称点P′ x′，y′ 满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
（2）轴对称
①点A a，b 关于直线Ax＋By＋C＝0 B≠0 的对称点A′ m，n ，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【跟踪练习】 （1）（2021·全国·高二课时练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【分析】
结合两平行线间的距离公式求得正确选项.
【详解】
设对称直线方程为，
，解得或（舍去）.
所以所求直线方程为.
故选：B
（2）（2021·湖北·大冶市第一中学高二月考）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
【详解】
因为直线：与：，
所以，
又两条平行直线：与：之间的距离是，
所以解得
即直线：，：，
设直线关于直线对称的直线方程为，
则，解得，
故所求直线方程为，
故选：A
（3）（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求关于直线对称的点的坐标___________.
【答案】
【分析】
设对称点为，利用与垂直和的中点在直线上列方程组求解．
【详解】
设对称点为，则，解得，
所以对称点坐标为，
故答案为：．
1．（2021·湖南·高考真题）点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
点到直线的距离为，
故选：D.
2．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】
由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
3．（2021高二期中练习）直线关于直线对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．
【详解】
设所求直线上任一点（），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D．
故选D．
【点睛】
本题考查了相关点法：求轨迹方程法属于基础题．
4．（2021·江苏·盐城中学高二期中）直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】
求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到，进而可以求出结果.
【详解】
因为与的交点坐标为
所以，
当时， ，
所以的最大值是，
故选：B.
5．（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知直线，以下结论不正确的是（ ）
A．不论a为何值，与都互相垂直
B．当a变化时，与分别经过定点和
C．不论a为何值，与都关于直线对称
D．若与交于点M．则的最大值是
【答案】C
【分析】
对于A，恒成立，故A正确；
对于B． 恒过定点，所以恒过定点，故B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，对称点不在上，故C不正确；
对于D.，所以的最大值是，故D正确．
【详解】
对于A，恒成立，所以与互相垂直恒成立，故A正确；
对于B．直线，当a变化时，恒成立，所以恒过定点；，当a变化时，恒成立，所以恒过定点，故B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入，则等式左边不恒等于0，故C不正确；
对于D．联立，解得，即，
所以，所以的最大值是，故D正确．
故选：C．
6．（2021·全国·高二专题练习）若三条直线2x+3y+8＝0，x﹣y﹣1＝0和x+ky＝0交于一点，则k的值为（　　）
A．﹣2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入x+ky＝0，即可求得k的值．
【详解】
依题意，，解得，
∴两直线2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0的交点坐标为（﹣1，﹣2）．
∵直线x+ky＝0，2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0交于一点，
∴﹣1﹣2k＝0，
∴k．
故选：B．
7．（2021·全国·高二单元测试）经过直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点，且垂直于直线l1的方程为（　　）
A．2x﹣y+13＝0 B．x+2y+13＝0 C．2x﹣y﹣13＝0 D．x+2y﹣13＝0
【答案】B
【分析】
先求出两条直线的交点坐标，然后求出直线的斜率，由直线的点斜式方程求解即可．
【详解】
联立直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的方程，
解得x＝﹣3，y＝﹣5，
所以直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为（﹣3，﹣5），
又直线l1的斜率为2，
故所求直线的斜率为，
所以所求直线的方程为，即x+2y+13＝0．
故选：B
8．（2021·辽宁实验中学高二月考）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，设所求直线上任一点M（x，y）且M关于直线的对称点，，利用轴对称的性质列出方程组解出用、表示、的式子，再由点在直线上代入，化简即得所求对称直线方程；
【详解】
设所求直线上任一点，关于直线的对称点，，
则，解出
点在直线上， 将式代入，得，
化简得，即为关于对称的直线方程．
故选：C
9．（2021·江苏·盐城中学高二期中）已知三条直线不能围成三角形，则实数m的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】CD
【分析】
若三条直线不能围成三角形则需其中两直线平行或者三条直线相交于一点即可，进而可求出结果.
【详解】
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以直线与直线相交，
若三条直线不能围成三角形，则需满足直线与直线平行或者与直线平行，因此或，因此或，
又，解得，即直线过，所以，
综上：或或，
结合选项知选CD,
故选：CD.
10．（2021·广东·广州市第七中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行轴的直线
C．过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为
D．直线关于直线的对称的直线方程为
【答案】BD
【分析】
过原点的直线不能用表示判断A；当时可判断B；所求直线有两条，一条为经过点且与直线平行的直线，另一条为过点与线段中点的直线，可判断C；直线上的点关于直线对称的点为可判断D.
【详解】
解：对于A选项，过原点的直线不能用表示，故错误；
对于B选项，当时，方程表示平行轴的直线，故正确；
对于C选项，根据题意，所求直线有两条，一条为经过点且与直线平行的直线，此时斜率为， 方程为，另一条为过点与线段中点的直线，中点为， 直线方程为， 故错误；
对于D选项，直线上的点关于直线对称的点为，故对称的直线方程为，故正确.
故选：BD
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，，，以下结论正确的是（ ）.
A．不论a为何值时，与都互相垂直；
B．当，与x轴的交点A到原点的距离为
C．不论a为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
【答案】AD
【分析】
对A，根据直线方程可判断；对B，可直接求出交点A可判断；对C，取特殊的点代入即可判断；对D，联立直线求出交点即可表示出即可求出最值.
【详解】
对于A，恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，与x轴的交点，点A到原点的距离为，故B错误；
对于C，在l1上任取点，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确；
对于D，联立，解得，即，
所以，所以的最大值是，故D正确.
故选：AD.
12．（2021·浙江省青田县中学高二期中）直线，之间距离为，则实数___________.
【答案】4
【分析】
先把两平行线的，前的系数化为相同，再利用平行线间距离公式进行求解
【详解】
把变形为，则
解得：a=4或
故答案为：4或
13．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）两平行直线与间的距离为___________.
【答案】
【分析】
由平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】
由题意可知，两平行直线与间的距离为.
故答案为：.
14．（2021·全国·高二课时练习）已知直线，，则关于对称的直线方程为_____.
【答案】
【分析】
先求得直线与的交点坐标，再在直线上任取一点，写出其关于直线l的对称点，由这两点的坐标，以及直线的点斜式，即可得解．
【详解】
联立，解得，
∴直线与的交点坐标为，
在直线上任取一点，其关于直线的对称点为，
由点和点，可得，即．
故答案为：．
15．（2021·北京市八一中学高二期中）已知直线与直线关于轴对称，则直线的一般方程为___________.
【答案】
【分析】
根据题意，在直线上任取两点A和，则点A和点关于轴对称的对称点在直线上，再结合斜率公式和点斜式，即可求解.
【详解】
根据题意，在直线上取和两点，
则点和点关于轴对称的点和点在直线上，
因此直线的斜率，
故直线的方程为，即.
故答案为：.
16．（2021·重庆市江津中学校高二月考）直线经过两直线和的交点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为，求直线的方程．
【答案】
（1）
（2）或
【分析】
（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出的方程．
（2）分类讨论直线的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程．
（1）解：由，解得，
所以两直线和的交点为．
当直线与直线平行，设的方程为，
把点代入求得，
可得的方程为．
（2）解：斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5．
当的斜率存在时，设直限的方程为，即，
则点到直线的距离为，求得，
故的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
17．（2021·全国·高二课时练习）求经过直线：和：的交点，且垂直于直线的直线方程．
【答案】
【分析】
联立两直线的方程求出两直线的交点坐标，设所求直线的方程为，将交点坐标代入求出的值即可求解.
【详解】
由可得，所以交点坐标为，
因为所求直线垂直于直线，设所求直线为，
将点代入可得，解得：，
所以所求直线的方程为：，即.
故答案为：.
18．（2021·江苏·盐城中学高二期中）已知直线
（1）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（2）直线与直线平行，求与之间的距离．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
（1）直线，令，，则
（2）直线与直线平行，则，得
当时，直线，即满足条件
此时直线与之间的距离为
19．（2021·四川乐山·高二期中（理））已知直线
（1）求直线关于轴对称的直线的方程，并求与的交点P；
（2）若直线过点P且与直线垂直，求直线的方程.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）求出直线与x轴的交点，进而根据题意可知两条直线斜率互为相反数，进而求得答案；
（2）根据（1）中l3的斜率和点P的坐标，再由两条直线垂直，进而通过点斜式求得答案.
（1）
由题意，直线l3与直线l1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l1与l3必过x轴上相同点，∴直线l3的方程为，
由，解得，∴．
（2）
由（1）得直线l3的斜率为2，∴直线的斜率 且过点，∴直线的方程： 即为.
20．（2021·江苏·高二专题练习）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求直线BC的方程；
（2）求直线BC关于CM的对称直线方程．
【答案】（1）6x﹣5y﹣9＝0；（2）38x﹣9y﹣125＝0．
【分析】
（1）可得直线AC的方程为：2x+y﹣11＝0．联立，解得C坐标．设B（a，b），则M．M在直线2x﹣y﹣5＝0上，可得：﹣﹣5＝0，化为：2a﹣b﹣1＝0．B在直线x﹣2y﹣5＝0上，可得：a﹣2b﹣5＝0．联立解得B坐标．可得直线BC的方程．
（2）点B关于直线CM对称的点（x，y）在所求的直线上，由，解得，即可得出所求直线方程．
【详解】
（1）由题意，直线AC与高BH所在直线垂直，可设直线AC的方程为
代入A（5，1），可得直线AC的方程为：2x+y﹣11＝0．
联立，解得C（4，3）．
设B（a，b），则M．
M在直线2x﹣y﹣5＝0上，可得：﹣﹣5＝0，化为：2a﹣b﹣1＝0．
B在直线x﹣2y﹣5＝0上，可得：a﹣2b﹣5＝0．
联立，解得a＝﹣1，b＝﹣3，B（﹣1，﹣3）．
因此，代入点C，可得点斜式
于是直线BC的方程为：6x﹣5y﹣9＝0．
（2）点B关于直线CM对称的点（x，y）在所求的直线上，
由，．
由于点C也在对称的直线上，故
代入点C，得到点斜式：
∴直线BC关于CM的对称直线方程为38x﹣9y﹣125＝0．
21．（2021·全国·高二课前预习）已知两条直线和，试分别确定的值，使：
（1）与相交于一点；
（2）且过点；
（3）且l1在y轴上的截距为.
【答案】
（1）
（2）或.
（3）
【分析】
（1）根据题意得到方程组，即可求解；
（2）当时，此时不满足；当时，根据题意得到方程组，即可求解.
（3）根据题意得到方程组，即可求解.
（1）解：由于与相交于一点，故把点代入的方程
可得，联立解得.
（2）解：当时，可得和，此时不满足；
当时，因为且过点，可得，
解得或.
（3）解：由且l1在y轴上的截距为，可得，解得.
22．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）已知直线和.
（1）求经过与的交点且与直线平行的直线方程；
（2）求经过与的交点且与圆相切的直线l的直线方程.
【答案】
（1）
（2）或
【分析】
（1）解方程组得到交点坐标，根据平行得到斜率，得到直线方程.
（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系解得答案.
（1）由方程组得，
∵直线l和直线平行，∴直线l的斜率.
∴根据点斜式有，∴.
（2）若l的斜率存在时，则设l：，整理得：，
圆心到l的距离，解之得或，
∴l的方程为或，
当直线斜率不存在时不合乎题意.
综上所述：直线方程为或.
23．（2021·浙江·金乡卫城中学高二期中）已知直线过两直线的交点，
（1）若直线与垂直，求的直线方程；
（2）若直线交轴、轴分别是点，点是线段的中点，求的面积（O是坐标原点）以及的直线方程．
【答案】
（1）4x－3y－11＝0
（2）面积是4，x－2y－4＝0
【分析】
（1）求得交点的坐标，可设l的直线方程：4x－3y＋t＝0，将点的坐标代入求得，即可得出答案；
（2）求得两点的坐标，即可得出答案.
（1）解：由，解得，
设l的直线方程：4x－3y＋t＝0，将P（2，－1）代入得t＝－11，
∴l的直线方程：4x－3y－11＝0；
（2）解：设，
则有，解得，
所以A（4，0），B（0，－2），
∴△OAB面积是4，
∴直线l的方程为，即x－2y－4＝0.
24．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）已知直线：（，不同时为0），：，
（1）若且，求实数的值；
（2）当且时，求直线与之间的距离.
【答案】
（1）或
（2）
【分析】
（1）根据题意，结合两直线垂直的判定，即可求解；
（2）根据题意，结合两直线平行的判定以及两平行直线间的距离公式，即可求解.
（1）根据题意，当时，：，由，知，解得或.
（2）当时，：，
由，知，解得，
此时的方程为：，
的方程为：，即，
则它们之间的距离为.
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