资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题八 平面解析几何
04 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲对本模块内容的具体要求如下：
直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的重点，近几年高考中主要在选择题或填空题中单独命制，主要是考察综合问题，但难度不大，一般以基础题和中档题为主，出题形式比较灵活，多利用数形结合方法解题.
数学建模：两圆相切、相交的有关问题.
直观想象：圆与圆位置关系的判断.
逻辑推理：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系.
应用能力：运用直线和圆的方程解决简单问题.
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
dr 相离．
(2)代数法：
2．圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜ d＜R＋r d＝R－r d＜R－r
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
[常用结论]
1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
2．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
考点一　直线与圆的位置关系
考法1 直线与圆位置关系的判定
（1）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】
圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
（2）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A　
【解析】法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<.
故直线l与圆相交．
法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．
考法2 切线问题
（1）（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
考虑斜率不存在和斜率为0的两种情况，计算切点，得到切线方程.
【详解】
，即，圆心为，半径.
当斜率不存在时，直线与圆相切，切点为；
当斜率为0时，直线与圆相切，切点为.
故直线方程为斜率，直线方程为，即.
故选：A.
（2）（2021·全国·高二专题练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得切线长的最小值．
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为1，
由直线上的点向圆引切线，要使切线长最小，
则最小，此时，
所以切线长的最小值为．
故选：A
（3）（2021·河北·高二期中）过点且与圆相切的直线方程为______．
【答案】
【分析】
先求得圆的圆心和半径，再根据点在圆上求解.
【详解】
可化为，其圆心为，半径为．
因为点在圆上，
所以切线的斜率满足，解得，
则切线方程为，即．
故答案为：
考法3 弦长问题
（1）（2021·全国·高三月考（文））直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】
由圆的方程可知圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以弦长为.
故选：A.
（2）设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
【答案】B　
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.
故选B
【规律方法】
1.判断直线与圆的位置关系的常用方法：
（1）若易求出圆心到直线的距离，则用几何法，利用d与r的关系判断.
（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较复杂，则用代数法，联立方程后利用Δ判断，能用几何法求解的，尽量不用代数法.
2.（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
（2）处理圆的切线问题时，一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M x0，y0 在圆x2＋y2＝r2上，则过点M的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
【跟踪练习】（1）（2021·重庆市实验中学高二月考）点P是直线上的动点，由点P向圆O：作切线，则切线长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
由题意可得切线长为，求出圆心到直线的距离，即可得的最小值，从而可得切线长的最小值，进而可得答案
【详解】
由题意可得切线长为，所以当取得最小值时，切线长最小，
圆心到直线的距离，即为的最小值，
所以，
所以切线长的最小值为，
因为，，，
故选：AC
（2）（2021·陕西安康·高二期中（文））若直线：与圆：相交于，两点，则弦长的最小值为___________.
【答案】
【分析】
求出直线所过的定点，圆的圆心，半径，设圆心到直线的距离为，由，当直线与垂直时，弦心距最大即可得的最小值.
【详解】
由可得：，
由可得，所以直线过定点，
由可得，所以圆心，半径，
因为，所以点在圆内部，
所以当直线与垂直时，最小为，
故答案为：.
考点二 圆与圆的位置关系
考法1 圆与圆的位置关系
（2021·重庆市江津中学校高二期中）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】C
【分析】
求出两圆的圆心坐标与半径，从而求出圆心距即可判断；
【详解】
解：圆：圆心，半径与圆：，圆心，半径，所以，所以两圆相内切；
故选：C
考法2 两圆的公共弦问题
（1）（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））圆与圆相交于两点．则弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，求出一个圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．
【详解】
由题意
化简可得的直线方程为，
圆心到直线的距离为，
故选：C．
（2）（2021·河南开封·高二期中（文））已知点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意，由圆的方程求出两圆的公共弦方程，将点坐标代入直线方程可得，即；利用乘“1”法由基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，圆的方程为，圆的方程为，
则其公共弦的方程为，
又由点在两圆的公共弦上，则有，
即，又因为、，
所以，当且仅当，即、时取等号；
所以的最小值为8；
故选：A．
考法3 两圆的公切线问题
（1）（2021·浙江省青田县中学高二期中）圆与圆有且仅有两条公切线，实数的值可以取（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
由题可知两个圆相交，列出不等式可求得答案.
【详解】
因为圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交，
因为的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以即，解得，
故选：AB
（2）（2021·浙江·高二期中）点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．两圆有且仅有两条公切线 B．的最大值为10
C．两个圆心所在直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线方程为
【答案】BC
【分析】
两圆的位置关系可得公切线的条数进而可判断A；由可判断B；由斜率公式求出可判断C；两圆的位置关系可判断D.
【详解】
圆的圆心坐标，半径
圆 ，即的圆心坐标，半径
因为圆心距，
所以两圆外切，
所以两圆有3条公切线，故A错误；
又在圆上，在圆上
则的最大值为，故B正确；
两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；
因为两圆外切，故两圆没有相交弦，故D错误；
故选：BC
【规律方法】
1.判断两圆位置关系的方法,常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.
2.两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法,两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
3.两圆公共弦长的求法,求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二课时练习）过两圆及的交点的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．不存在
【答案】A
【分析】
根据公共弦方程求法直接计算.
【详解】
由
得，
故选：A.
（2）（2021·广东龙岗·高二期中）已知圆和圆，则（ ）
A．两圆的圆心间的距离为5 B．两圆相交
C．两圆的公共弦所在直线方程为 D．两圆的公共弦长为
【答案】ABD
【分析】
配方求出圆心和半径，然后计算圆心距，判断两圆位置关系，判断AB，两圆方程相减可求得公共弦所在直线方程，判断C，由勾股定理求得公共弦长（求出圆心到公共弦所在直线的距离后计算），判断D．
【详解】
圆的标准方程为，，半径，
圆的标准方程为，，半径．
，，两圆相交，AB正确
两圆方程相减得，C错误，
到直线的距离为，
公共弦长为，D正确．
故选：ABD．
（3）（2021·天津四十三中高二期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，则圆与公共弦长为________
【答案】
【分析】
求出公共弦的方程，再求出公共弦所在直线截圆所得弦长即可.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆心距为，所以，，
所以，两圆相交，将两圆方程作差可得相交弦所在直线方程为，
圆心到直线的距离为，
故两圆相交弦长为.
故答案为：.
1．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】
由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
2．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）直线与圆相切，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
利用点到直线的距离公式结合直线与圆相切的关系可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
由题意可得，解得或.
故选：D.
3．（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
当直线斜率不存在时，直线为，和圆不相切；当直线斜率存在时，设出直线方程，根据点到直线的距离为，得到关于的方程，解出方程即可得到或，进而得到直线方程.
【详解】
由题意可知，在圆的外部，故点不是切点；
圆
当直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到切线的距离为，此时直线和圆不相切；
作圆的切线，斜率存在，设为，
则切线方程为，即．
圆，圆心到切线的距离为
，
化简可得，
解得或，
∴切线方程为或，
化简可得或.
故选:C．
4．（2021·江苏·徐州市第一中学高二期中）已知圆．动直线于圆C交于A，B两点，线段的中点为P，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意可得C(4，0)和直线l过定点，设，利用平面向量的坐标表示得出P的轨迹方程，进而
根据，计算即可.
【详解】
由题意知，圆C：，得圆心C(4，0)，半径为4，
，得直线l过定点，
设，则，
根据题意，得，所以，有，
即，
所以中点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以，
所以，，
所以的取值范围为，
故选：B
5．（2021·陕西安康·高二期中（文））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的最小值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】
确定，两点坐标，再根据点到直线距离确定到距离的最小值，进而求得三角形面积的最小值.
【详解】
，，∴，
圆的圆心到直线的距离，
∴到距离的最小值为，
∴面积的最小值为，
故选：A.
6．（2021·浙江·高二期中）设，点，过点引圆的两条切线，，若的最大值为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】
由题可得要使最大，则必有最小，可得的最小值为到直线的距离，即可利用点到直线的距离公式得出.
【详解】
根据题意，设直线，圆心为，
如图，集合表示直线的左下方区域（包括直线），
要使最大，则必有最小，可得的最小值为到直线的距离，
此时，，
故.
故选：B.
7．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，当取最小值时，的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
利用圆的切线长公式，把转化为点到定点的距离，进而定点转化为动点到定点和到直线的距离和最小，结合与垂直时， 最小，利用直线的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，圆，可得圆心，半径，
所以过点的切线长为，
则的几何意义是点到定点的距离，
由点到直线的距离为，
则表示动点到定点和到直线的距离和最小，
如图所示，当与直线垂直时，此时最小，
又由直线的斜率为，且，
根据，可得.
故选：B.
8．（2021·四川省成都市新都一中高二期中（理））过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆相切，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7
【答案】C
【分析】
结合基本不等式求得当直线的斜率时，三角形面积最小.结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式求得的值.
【详解】
因为过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），其中k＜0，
令y＝0，解得x＝，令x＝0，则y＝1﹣2k，则A（，0），B（0，1﹣2k），
所以＝＝4，当其仅当，即k＝时取等号，
此时直线l的方程为，即x+2y﹣4＝0，
因为直线l与圆相切，
所以，解得m＝0或m＝5．
故选：C
9.（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）以下四个命题表述正确的是（ ）
①若点，圆的一般方程为，则点A在圆上
②圆的圆心到直线的距离为2
③圆与圆外切
④两圆与的公共弦所在的直线方程为
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】
代入点验证知①正确，计算点到直线的距离得到②错误，计算圆心距为，得到③正确，圆方程相减得到公共弦方程，④错误，得到答案.
【详解】
将点代入圆方程，满足，故①正确；
圆的圆心为，到直线的距离为，②错误；
圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径为，圆心距为，故③正确；
两圆与方程相减得到，即公共弦方程为：，④错误.
故选：B.
10.（2021·重庆市凤鸣山中学高二期中）设圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将两圆的方程相减，即可求两圆相交弦所在直线的方程.
【详解】
设，
因为圆： ①和圆： ②交于A，B两点
所以由①- ②得：,
即，
故坐标满足方程，
又过AB的直线唯一确定，
即直线的方程为.
故选：A
11.（2021·山西·康杰中学高二期中）已知圆与圆有四条公共切线，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
由题意，两圆外离，从而由两圆圆心距离大于两圆半径的和即可求解.
【详解】
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径．
因为两圆有四条公切线所以两圆外离，又两圆圆心距，
∴，解得或.
故选：AD．
12.（2021·黑龙江·高二期中）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
B．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
C．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．圆与圆的公共弦所在的直线方程为
【答案】AB
【分析】
A.根据圆心到直线的距离判断选项；B.根据圆心和直线上的点的连线的最小值，结合切线长公式，即可判断选项；C.根据圆与圆的位置关系，判断选项；D.两圆相减，即可求得公共弦所在直线方程.
【详解】
A.圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故A正确；
B.圆心到直线的距离是圆心与直线上的点连线的最小值，最小值是，所以的最小值为，故B正确；
C.若曲线和恰有四条公切线，则两圆相外离，曲线，圆心，半径，曲线，圆心，半径，圆心距，所以，解得：，故C错误；
D.两圆相交，且两圆相减得：，即，故D错误.
故选：AB
13.（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【分析】
设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】
设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.
14．（2021·四川省成都市新都一中高二期中（理））过点作圆的切线，切点为，，点为圆上任意一点，则三角形面积的最大值为 _______．
【答案】
【分析】
求出切点弦所在的直线的方程，由几何法求出弦长，求出圆心到直线的距离，求出点到直线的距离的最大值，再由面积公式即可求解.
【详解】
圆的圆心，半径，设
所以，，可得，
由对称性可得：，
所以点，在以为圆心，半径为的圆上，
所以点，所在的圆的方程为：，
将与两圆方程相减可得：，
即直线的方程为：，
则圆心到直线的距离，
则弦长，
圆上的点到直线的距离的最大值为，
则三角形面积的最大值为．
故答案为：.
15.（2021·浙江宁波·高二期中）已知点P为圆O：x2+y2=1上任意一点，过点P作两直线分别交圆O于A，B两点，且∠APB=60°，则的取值范围是___________.
【答案】，
【分析】
过点作直径，则，令，则，由题意知：，或或，则，，由此能求出的取值范围．
【详解】
解：过点作直径，如图，根据题意可得：，
令，则，
①当时，
，
，
，
，，
，
，，
的取值范围为，．
②当时，则两点重合，此时，；
③当时，
，
，
，
，，
，．
综上，的取值范围为，．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查两线段平方和的取值范围的求法，涉及的知识点有：直线方程，圆的标准方程，以及三角函数，考查运算求解能力及化归与转化思想，有一定的难度．
16.（2021·天津二十五中高二月考）已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
首先结合已知条件和圆与圆的位置关系求出与的关系式，从而得到为上一点，再利用的几何意义以及定点到圆上一点的最值求法即可求解.
【详解】
由题意，：的方程可化为，
故是以圆心为，半径为2的圆；
因为圆和圆恰好有三条公切线，所以圆和圆相外切，
又因为圆：，所以圆的圆心为，半径为1，
从而，化简得，，
即为上一点，
不妨令
由两点间距离公式可知，可表示为上一点到的距离，
因为是以圆心为，半径为3的圆，
所以圆心到的距离为，
故的最大值为，最小值为，
从而，
因为，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
17.（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy中，已知，直线．设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若点M满足，求点M的轨迹方程．
【答案】
（1）或者
（2）
【分析】
（1）两直线相交得圆心坐标，从而得圆方程，切线斜率存在，设切线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程；
（2）设，由两点间距离公式表示出已知等式化简可得轨迹方程．
（1）由得圆心C为（3，2），∵圆C的半径为1，
∴圆C的方程为：．
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即，
∴，∴，∴∴或者，
∴所求圆C的切线方程为：或者
即或者．
（2）设M为，由，即
即，
整理得：
所以点M的轨迹方程为．
18.（2021·陕西陈仓·高一期末）已知圆C：
（1）已知点在圆C上，求过点B的圆C的切线方程
（2）过点做圆C的切线，切点为R、S，求切线长．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据题意，求出直线CB的斜率，结合切线的性质分析可得切线的斜率，据此分析可答案；
（2）根据题意，分析圆的圆心与半径，求出的长，再由切线长公式计算可得答案．
（1）解：根据题意，圆C：的圆心为，半径，
点在圆C上，则，
则切线的斜率，
则切线的方程为，即；
所以过点B的圆C的切线方程为.
（2）解：根据题意，，，
过点做圆C的切线，切线长．
19．（2021·浙江·高二期中）已知点，圆：.
（1）若过点的圆的切线只有一条，求实数的值及切线方程；
（2）若过点且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为，求实数的值.
【答案】
（1）答案见解析
（2）或
【分析】
（1）由题可得在圆上，求出，即可求出切线方程；
（2）求出圆心到直线的距离，讨论两种情况根据距离公式可求.
（1）若过点的圆的切线只有一条，则在圆上，即，解得，
当时，，则切线斜率为，则切线方程为，即；
当时，，则切线斜率为，则切线方程为，即；
（2）设圆心到直线的距离为，则，
当直线过原点时，设直线方程为，将代入直线中得：，
又因为，计算得：，所以.
当直线不过原点时，设直线为，将代入直线中得，
所以，又因为，计算得：（舍）或，所以.
综上所述，或.
20.（2021·山东烟台·高二期中）在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．
（1）求线段的中点C的轨迹方程；
（2）若直线．
①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；
②求直线l被曲线C截得的最短弦长．
【答案】
（1）
（2）① 证明见解析；②
【分析】
（1）根据点C到原点的距离为定值2，得出点C在以原点为圆心，2为半径的圆上，写出圆的方程即为点C的轨迹方程；
（2）先求解直线所过定点的坐标，再判断定点在圆内可得出结论；
根据动直线与圆相交得最短弦长的条件（直线所过定点与圆心的连线和直线垂直）确定弦心距的长，再计算弦长即可.
【详解】
（1）设线段的中点，当点C运动时，它到原点O的距离为定长，
即的斜边上的中线长，
因为，所以，
所以点C的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，
所以点C的轨迹方程是．
（2）直线可整理为
，
方程组的解为，
所以直线恒过定点，
将点代入圆C的方程有，所以点在圆C的内部，
所以直线与曲线C恒有两个不同交点．
由知，当直线垂直于时被截得的弦长最短，
又 所以此时弦长为，
所以直线被曲线C截得的最短弦长为．
21.（2021·全国·高二课时练习）已知圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+m＝0．
（1）若圆C1与圆C2恰有3条公切线，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，若直线xy+n＝0被圆C2所截得的弦长为2，求实数n的值．
【答案】
（1）m＝12
（2）n＝﹣1或﹣7
【分析】
（1）分别求得两圆的圆心和半径，由题意可得两圆外切，可得两圆的圆心距等于半径之和，解方程可得所求值；
（2）由直线和圆相交的弦长公式，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求值．
（1）解：圆C1：（x﹣1）2+y2＝1的圆心C1（1，0），半径r1＝1，
圆C2：x2+y2﹣8x+m＝0的圆心C2（4，0），半径r2，
由圆C1与圆C2恰有3条公切线，可得两圆外切，
则|C1C2|＝r1+r2，即13，
解得m＝12：
（2）圆C2：x2+y2﹣8x+12＝0的圆心为（4，0），半径为2，
由直线xy+n＝0被圆C2所截得的弦长为2，
可得2＝2（d为圆心C2到直线xy+n＝0的距离），
解得d，
则d，
解得n＝﹣1或﹣7．
22．（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E.
（1）求轨迹方程；
（2）过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程；
（2）联立直线与曲线E，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出.
（1）解：设的中点为，
的中点为，且
，即
点在圆上
即
化简得：
所以的轨迹方程为：
（2）解：设，
由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为
设直线的方程为：
联立直线与圆的方程：
得：
解得：
，
由得：
即
化简得：
将韦达定理代入得：
解得：，符合题意
此时直线的方程为：
由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为
在直线的方程中，当时，，即直线过圆心
所以
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题八 平面解析几何
04 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲对本模块内容的具体要求如下：
直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的重点，近几年高考中主要在选择题或填空题中单独命制，主要是考察综合问题，但难度不大，一般以基础题和中档题为主，出题形式比较灵活，多利用数形结合方法解题.
数学建模：两圆相切、相交的有关问题.
直观想象：圆与圆位置关系的判断.
逻辑推理：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系.
应用能力：运用直线和圆的方程解决简单问题.
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
_____ 相交；_____r 相切；_____ 相离．
(2)代数法：
2．圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜ d＜R＋r d＝R－r d＜R－r
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
[常用结论]
1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
2．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
考点一　直线与圆的位置关系
考法1 直线与圆位置关系的判定
（1）（2021·全国·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
（2）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　 B．相切 C．相离 D．不确定
考法2 切线问题
（1）（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高二专题练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
（3）（2021·河北·高二期中）过点且与圆相切的直线方程为______．
考法3 弦长问题
（1）（2021·全国·高三月考（文））直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
（2）设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
【规律方法】
1.判断直线与圆的位置关系的常用方法：
（1）若易求出圆心到直线的距离，则用几何法，利用d与r的关系判断.
（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较复杂，则用代数法，联立方程后利用Δ判断，能用几何法求解的，尽量不用代数法.
2.（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
（2）处理圆的切线问题时，一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M x0，y0 在圆x2＋y2＝r2上，则过点M的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
【跟踪练习】（1）（2021·重庆市实验中学高二月考）点P是直线上的动点，由点P向圆O：作切线，则切线长可能为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·陕西安康·高二期中（文））若直线：与圆：相交于，两点，则弦长的最小值为___________.
考点二 圆与圆的位置关系
考法1 圆与圆的位置关系
（2021·重庆市江津中学校高二期中）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
考法2 两圆的公共弦问题
（1）（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））圆与圆相交于两点．则弦长等于（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·河南开封·高二期中（文））已知点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考法3 两圆的公切线问题
（1）（2021·浙江省青田县中学高二期中）圆与圆有且仅有两条公切线，实数的值可以取（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江·高二期中）点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．两圆有且仅有两条公切线 B．的最大值为10
C．两个圆心所在直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线方程为
【规律方法】
1.判断两圆位置关系的方法,常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.
2.两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法,两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
3.两圆公共弦长的求法,求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二课时练习）过两圆及的交点的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．不存在
（2）（2021·广东龙岗·高二期中）已知圆和圆，则（ ）
A．两圆的圆心间的距离为5 B．两圆相交
C．两圆的公共弦所在直线方程为 D．两圆的公共弦长为
（3）（2021·天津四十三中高二期中）在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，则圆与公共弦长为________
1．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·兰溪市厚仁中学高二期中）直线与圆相切，则（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（2021·江苏·徐州市第一中学高二期中）已知圆．动直线于圆C交于A，B两点，线段的中点为P，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·陕西安康·高二期中（文））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的最小值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
6．（2021·浙江·高二期中）设，点，过点引圆的两条切线，，若的最大值为，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
7．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，当取最小值时，的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．（2021·四川省成都市新都一中高二期中（理））过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆相切，则实数m的值为（ ）
A．﹣1或4 B．1或6 C．0或5 D．2或7
9.（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）以下四个命题表述正确的是（ ）
①若点，圆的一般方程为，则点A在圆上
②圆的圆心到直线的距离为2
③圆与圆外切
④两圆与的公共弦所在的直线方程为
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
10.（2021·重庆市凤鸣山中学高二期中）设圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11.（2021·山西·康杰中学高二期中）已知圆与圆有四条公共切线，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
12.（2021·黑龙江·高二期中）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
B．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
C．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D．圆与圆的公共弦所在的直线方程为
13.（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
14．（2021·四川省成都市新都一中高二期中（理））过点作圆的切线，切点为，，点为圆上任意一点，则三角形面积的最大值为 _______．
15.（2021·浙江宁波·高二期中）已知点P为圆O：x2+y2=1上任意一点，过点P作两直线分别交圆O于A，B两点，且∠APB=60°，则的取值范围是___________.
16.（2021·天津二十五中高二月考）已知圆：和：恰好有三条公切线，则的取值范围是___________.
17.（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy中，已知，直线．设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若点M满足，求点M的轨迹方程．
18.（2021·陕西陈仓·高一期末）已知圆C：
（1）已知点在圆C上，求过点B的圆C的切线方程
（2）过点做圆C的切线，切点为R、S，求切线长．
19．（2021·浙江·高二期中）已知点，圆：.
（1）若过点的圆的切线只有一条，求实数的值及切线方程；
（2）若过点且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为，求实数的值.
20.（2021·山东烟台·高二期中）在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．
（1）求线段的中点C的轨迹方程；
（2）若直线．
①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；
②求直线l被曲线C截得的最短弦长．
21.（2021·全国·高二课时练习）已知圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+m＝0．
（1）若圆C1与圆C2恰有3条公切线，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，若直线xy+n＝0被圆C2所截得的弦长为2，求实数n的值．
22．（2021·广东·湛江二十一中高二期中）已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E.
（1）求轨迹方程；
（2）过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑