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专题八 平面解析几何
05 椭圆
考纲对本模块内容的具体要求如下：
椭圆的标准方程及其几何性质是高考必考重点之一，对于椭圆知识的考察主要是椭圆的定义及标准方程，椭圆的几何性质，其中椭圆的几何性质考察主要是离心率问题.椭圆的另一个考察重点是与直线等等相结合的问题，主要涉及方程组联立，根的判别式，根与系数的关系，弦长等等问题.在出题上选择、填空、都有可能涉及，必考解答题，其中多以压轴题出现.
数学运算：1.利用直线与椭圆的位置关系解决弦长、中点弦等问题.
2.椭圆离心率对椭圆形状的影响.
3.椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程.
逻辑推理：灵活运用椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系解决问题.
数学建模：利用椭圆的几何性质解决问题.
1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：______；对称中心：______
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率 e＝______，且e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
[常用结论]
1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋＞1.
2．焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
5．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－.
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|＝(k为直线斜率)．
考点一　椭圆的定义及其应用
（1）（2021·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，为坐标原点，点在椭圆上，且，则的面积（ ）
A． B． C． D．
（2）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【规律方法】
1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.
2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.
【跟踪练习】(1)（2021·全国·高二月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
(2)（2021·天津·耀华中学高二期中）已知曲线，关于曲线的四个结论：
①若曲线表示双曲线，则；②曲线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上；
③若曲线表示椭圆，则；④曲线可能表示圆.
其中所有正确的编号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
考点二 椭圆的标准方程
（1）（2021·全国·高二月考）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
(2)（2021·黑龙江·哈师大附中高二期中）焦点为，，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪练习】（2021·浙江·效实中学高二期中）已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为8的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点三 椭圆的几何性质
考法1 求离心率或范围
（1）（2021·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左 右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
(2)（2021·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考法2 与椭圆几何性质有关的范围问题
（1）(2021·河北质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
（2）（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【跟踪练习】（1）（2021·江苏·盐城中学高二期中）已知平行于轴的一条直线与椭圆相交于，两点，，，（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
（3）（2021·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上，且点M到C的左，右焦点的距离之和为4．
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，若C的弦的中点在线段（不含端点）上，求的取值范围．
考点四 直线与椭圆的位置关系
(1)（2021·浙江·高二期中）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
(2021高三练习）若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m＞1　　 B．m＞0
C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5
【跟踪练习】（2021·湖南·高考真题）已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.
考点五 弦长和中点弦问题
考法1 中点弦问题
（1）（2021·全国·高二专题练习）过椭圆内一点，且被点平分的弦所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
(2)（2021·全国·高二专题练习）已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋
（3）（2021·广东·广州市培英中学高二期中）已知的周长为且点的坐标分别是，，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点，交曲线于两点，且为的中点，求直线的方程.
考法2 弦长问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
【跟踪练习】【1】（2021·广东·广州市增城区新塘中学高二期中）己知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的斜率为1，求弦的长；
（3）若过点的直线与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦的中点，求直线的方程．
【2】（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）已知椭圆的中心在原点，且经过点，离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的焦点在x轴上，直线交椭圆于A，B，试计算线段AB的长.
1.（2021·河北·高二期中）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则（ ）
A． B．
C．直线的斜率为1 D．直线的斜率为4
2.（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2021·河北·衡水市第十四中学高二月考）若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．9
4．（2021·河南郑州·高二期末（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·山西·长治市第八中学高三月考（理））P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·山东师范大学附中高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．与有相同的离心率 B．与有相同的焦点
C．与有相同的顶点 D．与有相同的离心率
7．（2021·全国·高二月考（文））罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为（其中，分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，取3.14），已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（ ）
A．0.41平方米 B．0.32平方米 C．0.22平方米 D．0.12平方米
8．（2021·全国·高二课时练习）直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是（ ）
A．(1，2) B．(-2，-1)
C．(-1，-2) D．(2，1)
9．（2021·全国·高二课前预习）已知中心在原点的椭圆C的半焦距长为1，离心率等于，则C的方程是（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
10．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且，，，过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的方程为
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在2个点Q，使得
D．直线的方程为
11．（2021·全国·高二课时练习）(多选)已知椭圆与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等，则（ ）
A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9
12．（2021·江苏如皋·高二月考）已知P为椭圆上一点，，为椭圆C的上焦点和下焦点，若为直角三角形，则P点坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·浙江·高二期中）已知椭圆：上有一点， 分别为左 右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则满足题意的点有四个；
C．椭圆内接矩形周长的最大值为20；
D．若为钝角三角形，则；
14．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
15．（2021·天津英华国际学校高二期中）已知椭圆：，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为 ，且 均不为0.为坐标原点，若直线、 的斜率之和为1.则______________.
16．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为___________.
17．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
18．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
19．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
20．（2021·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且离心率为.
（1）椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积.
21．（2021·全国·高二月考）已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程.
22．（2021·山东师范大学附中高二期中）已知椭圆（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程
（2）分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点
①求证：；
②求证：定值.
23．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）如图，在直角坐标系中，是轴上关于原点对称的两定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知，若直线交曲线于两点，求面积的最大值．
24．（2021·江西·景德镇一中高一期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，椭圆上任意一点，满足的最小值为，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
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专题八 平面解析几何
05 椭圆
考纲对本模块内容的具体要求如下：
椭圆的标准方程及其几何性质是高考必考重点之一，对于椭圆知识的考察主要是椭圆的定义及标准方程，椭圆的几何性质，其中椭圆的几何性质考察主要是离心率问题.椭圆的另一个考察重点是与直线等等相结合的问题，主要涉及方程组联立，根的判别式，根与系数的关系，弦长等等问题.在出题上选择、填空、都有可能涉及，必考解答题，其中多以压轴题出现.
数学运算：1.利用直线与椭圆的位置关系解决弦长、中点弦等问题.
2.椭圆离心率对椭圆形状的影响.
3.椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程.
逻辑推理：灵活运用椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系解决问题.
数学建模：利用椭圆的几何性质解决问题.
1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率 e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
[常用结论]
1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋＞1.
2．焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.
3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
5．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－.
6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝|y1－y2|＝(k为直线斜率)．
考点一　椭圆的定义及其应用
（1）（2021·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，为坐标原点，点在椭圆上，且，则的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点，根据点在椭圆上以及可得出关于、的方程组，求出的值，即可求得的面积.
【详解】
在椭圆中，，，，则，
设，由点在椭圆上且，得，解得.
所以.
故选：B
（2）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】A
由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)．
又|MO|＞|FO|，
∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆.
故选：A
【规律方法】
1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.
2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.
【跟踪练习】(1)（2021·全国·高二月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】
根据题意，由求解.
【详解】
若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，
解得：，
故选：B.
(2)（2021·天津·耀华中学高二期中）已知曲线，关于曲线的四个结论：
①若曲线表示双曲线，则；②曲线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上；
③若曲线表示椭圆，则；④曲线可能表示圆.
其中所有正确的编号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】
根据双曲线、椭圆和圆的标准方程的特征讨论k的范围，进而得到答案.
【详解】
对①，若曲线表示双曲线，则，正确；
对②，因为，若曲线C表示椭圆，则，则焦点在x轴上，若曲线C表示双曲线，由①，，此时，焦点在x轴上，所以曲线的焦点不可能在y轴上，错误；
由②可知，③正确；
由②可知，，④错误.
故选：B.
考点二 椭圆的标准方程
（1）（2021·全国·高二月考）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
分焦点在轴上、焦点在轴上两种情况求解，分别设出椭圆的方程，然后由离心率和过点求解即可.
【详解】
①当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，
由椭圆的离心率为，得，所以椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，，，椭圆的标准方程为.
②当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，
由椭圆的离心率为，得，所以椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，，，椭圆的标准方程为.
故选：AC
(2)（2021·黑龙江·哈师大附中高二期中）焦点为，，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得，求出的值，再由求出，从而可求得答案
【详解】
由题意设椭圆的标准方程为，
则由题意得，解得，
所以，
所以所求的椭圆方程为，
故选：B
【规律方法】
（1）求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
（2）利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 m＞0，n＞0，m≠n 的形式.
【跟踪练习】（2021·浙江·效实中学高二期中）已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为8的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
若椭圆方程为，易得可排除C、D，再设交点为，，结合椭圆方程及中点坐标可得，即可确定正确选项.
【详解】
由题设，若椭圆方程为，则且，即，排除C、D；
令直线与椭圆交点分别为，，
∴，两式相减得：，
易知：弦的中点，则，
∴，排除A.
故选：B
考点三 椭圆的几何性质
考法1 求离心率或范围
（1）（2021·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左 右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由轴，求出，再利用，得到线段比例关系，从而得到，，进而得到点，代入椭圆结合即可求得离心率.
【详解】
由，，
将代入椭圆方程知，解得：，即
过点作轴，则，又
，得，
所以点的坐标为，即
又点在椭圆上，，即
又，，，即
故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
(2)（2021·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】
设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
考法2 与椭圆几何性质有关的范围问题
（1）(2021·河北质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
【答案】4　
【解析】由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为＋＝1.
设P点坐标为(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因为F(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
则当x0＝－2时，·取得最大值4.
（2）（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【规律方法】
（1）求椭圆离心率的方法,①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.,②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
（2）利用椭圆几何性质求值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a、b、c的方程或不等式.
【跟踪练习】（1）（2021·江苏·盐城中学高二期中）已知平行于轴的一条直线与椭圆相交于，两点，，，（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设点位于第一象限，根据求出点坐标，进而可得，再根据可得为等边三角形，可得，再由离心率公式即可求解.
【详解】
因为直线平行于轴，且，
设点位于第一象限，将代入可得，
所以点坐标为，
因为，根据对称性可得为等边三角形，
所以即，整理可得：，
所以，
故选：D.
（2）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
（3）（2021·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上，且点M到C的左，右焦点的距离之和为4．
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，若C的弦的中点在线段（不含端点）上，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）本小题根据已知条件直接求出，，再求出椭圆方程即可.
（2）本小题先设、两点，再将转化为只含的表达式，最后根据的范围确定的范围，即可解题.
【详解】
解：（1）∵点在椭圆：（）上，
∴ ，又∵，
∴ ，.
∴椭圆的方程：；
（2）设点、的坐标为，，
则中点在线段 上，
且，则，
又，，
两式相减得，
易知，，
所以，则.
设方程为，代入,
并整理得.
由解得，
又由，则.
由韦达定理得，，
故
∴的取值范围是．
考点四 直线与椭圆的位置关系
(1)（2021·浙江·高二期中）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【分析】
通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点在椭圆内，进而可得结论.
【详解】
因为直线和圆没有交点，
所以圆心到直线的距离，
可得：，
即点在圆内，
又因为圆内切于椭圆，
所以点在椭圆内，
即过点的直线与椭圆有两个交点.
故选：C.
(2021高三练习）若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m＞1　　 B．m＞0
C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5
【答案】D　
【解析】∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，
∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，
只需＋≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范围为m≥1且m≠5.
故选D.
【规律方法】
直线与椭圆位置关系的判定方法,直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，
①Δ＞0 直线与椭圆相交；
②Δ＝0 直线与椭圆相切；
③Δ＜0 直线与椭圆相离.
提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
【跟踪练习】（2021·湖南·高考真题）已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意得，，再结合即可求得答案；
（2）联立直线、椭圆方程可得两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.
【详解】
（1）椭圆经过点，所以，
因为离心率为，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由得，解得，
所以，或，
可得，，或者，，
所以.
考点五 弦长和中点弦问题
考法1 中点弦问题
（1）（2021·全国·高二专题练习）过椭圆内一点，且被点平分的弦所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设所求直线与椭圆交于，两点，利用，两点均在椭圆上，得出两方程，两式相减结合，即可求出的值，再由点斜式可得所求直线的方程.
【详解】
设所求直线与椭圆交于，两点，
由于，两点均在椭圆上，
所以，，
两式相减得，
因为是，的中点，
所以，，所以，
故，
直线的方程为，即，
故选：B.
(2)（2021·全国·高二专题练习）已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】D
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得
①－②得＋＝0.
又AB的中点为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
∴＝＝＝，
又右焦点为F(3,0)，∴a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，
即所求椭圆方程为＋＝1.
故选D
（3）（2021·广东·广州市培英中学高二期中）已知的周长为且点的坐标分别是，，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点，交曲线于两点，且为的中点，求直线的方程.
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）由可知曲线为以为焦点的椭圆（不包含椭圆与轴的交点），求得值即可求得椭圆方程；
（2）利用点差法可求得直线斜率，进而得到直线方程.
（1），又周长为，，
点轨迹，即曲线是以为焦点的椭圆（不包含椭圆与轴的交点），
设曲线方程为，，，解得：，，
，
曲线的方程为；
（2）设，，则，，
，，
，即直线斜率，
直线方程为，即.
考法2 弦长问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
【解析】　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·＝.
同理，|CD|＝＝.
所以|AB|＋|CD|＝＋
＝＝，
解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
【规律方法】
（1）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.
（2）与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝－，即kAB＝－比较方便快捷，其中点M的坐标为 x0，y0 .
【跟踪练习】【1】（2021·广东·广州市增城区新塘中学高二期中）己知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的斜率为1，求弦的长；
（3）若过点的直线与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦的中点，求直线的方程．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
(1)根据给定条件直接求出半焦距c，b，a即可得解.
(2)将直线l与椭圆C的方程联立，借助弦长公式计算即得.
(3)设出点E，G坐标，利用点差法求出直线的斜率即可求解作答.
（1）依题意，椭圆C的半焦距，而，则，
所以椭圆C的方程为：.
（2）设，
依题意，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，
解得，因此，，
所以弦的长是.
（3）显然，点在椭圆C内，设，因E、G在椭圆C上，
则，两式相减得：，
而Q是弦的中点，即且，则有，
于是得直线的斜率为，直线的方程：，即，
所以直线的方程是.
【2】（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）已知椭圆的中心在原点，且经过点，离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的焦点在x轴上，直线交椭圆于A，B，试计算线段AB的长.
【答案】
（1）或
（2）
【分析】
（1）根据已知条件得到椭圆中的等量关系，待定系数求解即可
（2）联立椭圆与直线方程，用弦长公式求解线段长度
（1）①当焦点在x轴上时，设其方程为.
∵离心率，∴.
又∵，，即，∴.
又∵椭圆经过点，
∴，∴，.∴椭圆的标准方程为.
②当焦点在y轴上时，设其方程为.同理可得.将点代入椭圆方程得：， ∴，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知：椭圆C：，联立 得：，设，，则， ，
所以，
∴.
1.（2021·河北·高二期中）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则（ ）
A． B．
C．直线的斜率为1 D．直线的斜率为4
【答案】AC
【分析】
根据椭圆离心率的定义可得；
利用点差法可得，结合中点的坐标公式计算即可.
【详解】
由题意可得，整理可得．
设，，则，，两式相减可得．
因为直线与直线的交点恰好为线段的中点，所以，
则直线的斜率．
故选：AC
2.（2021·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】
由椭圆方程求得，中，应用余弦定理，结合向量的数量积可求得，即得，从而可得．
【详解】
由题意可设，
所以，
在中，，
即， ①
又，
即，
所以，代入①中，
得，
所以，所以，
又，所以，
故选：A．
3．（2021·河北·衡水市第十四中学高二月考）若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．9
【答案】D
【分析】
先根据双曲线方程得焦点坐标为，进而根据椭圆的方程即得.
【详解】
∵双曲线方程，
所以双曲线的焦点坐标为，
由于椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以由椭圆的方程得：.
故选：D．
4．（2021·河南郑州·高二期末（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设点，求出的值，由此可求得的面积.
【详解】
在椭圆中，，，则，所以，，
设点，则，可得，
，解得，，
因此，的面积为.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，常用以下两种方法求解：
（1）求出顶点的坐标，利用三角形面积公式求解；
（2）利用余弦定理和椭圆的定义求得的值，利用三角形面积公式求解.
5．（2021·山西·长治市第八中学高三月考（理））P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图所示，求出，化简方程即得解.
【详解】
如图所示，，
由题得
所以.
故选：C
6．（2021·山东师范大学附中高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．与有相同的离心率 B．与有相同的焦点
C．与有相同的顶点 D．与有相同的离心率
【答案】B
【分析】
根据椭圆标准方程写出离心率、焦点及顶点坐标，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：离心率为；离心率为，离心率不同，错误；
B：焦点为；焦点为，焦点相同，正确；
C：顶点为；顶点为，顶点不同，错误；
D：离心率为；离心率为，离心率不同，错误.
故选：B
7．（2021·全国·高二月考（文））罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为（其中，分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，取3.14），已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（ ）
A．0.41平方米 B．0.32平方米 C．0.22平方米 D．0.12平方米
【答案】C
【分析】
根据已知条件求得观众区的面积，由此可得观众区每个座位所占面积.
【详解】
由条件可得，竞技场的总面积为平方米，表演区的面积为，
故观众区的面积为平方米，故观众区每个座位所占面积为平方米.
故选：C.
8．（2021·全国·高二课时练习）直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是（ ）
A．(1，2) B．(-2，-1)
C．(-1，-2) D．(2，1)
【答案】C
【分析】
直线与双曲线联立，利用中点坐标求弦的中点坐标.
【详解】
将y=x-1代入2x2-y2=3，得x2+2x-4=0.由此可得弦的中点的横坐标为=，所以y1+y2=(x1+x2)-2=-4，故弦的中点的纵坐标为-2，所以弦的中点坐标是(-1，-2).
故选：C
9．（2021·全国·高二课前预习）已知中心在原点的椭圆C的半焦距长为1，离心率等于，则C的方程是（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
【答案】AC
【分析】
根据半焦距长为1，离心率等于即可求解，同时要注意两种可能.
【详解】
依题意知，c＝1，，即，又，因此椭圆的焦点在轴和轴两种可能，所以椭圆的方程为或.
故选：AC
10．（2021·山东·嘉祥县第一中学高二期中）设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且，，，过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的方程为
B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在2个点Q，使得
D．直线的方程为
【答案】AD
【分析】
根据，，，利用勾股定理和椭圆的定义求得a，b，c,得得到焦距和椭圆方程判断选项AB；然后根据，得到点Q在以为直径的圆上，再根据，判断选项C；根据过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，得到点为弦AB的中点，利用点差法求解判断选项D.
【详解】
因为，，，
所以，
则，
所以椭圆的方程为，椭圆的焦距为，故A正确；B错误；
由知：，所以点Q在以为直径的圆上，
因为，所以圆与椭圆有4个交点，故C错误；
因为过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，
所以点为弦AB的中点，
设，
则，两式相减得：，
所以直线l的方程为，即，故D正确，
故选：AD
11．（2021·全国·高二课时练习）(多选)已知椭圆与椭圆有相同的长轴，椭圆的短轴长与椭圆的短轴长相等，则（ ）
A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9
【答案】AD
【分析】
由椭圆的标准方程求出两个已知椭圆的长轴长和短轴长，再利用椭圆间的关系进行求解.
【详解】
因为椭圆的长轴长为10，
且椭圆的短轴长为6，
所以椭圆中，，，
即，.
故选：AD.
12．（2021·江苏如皋·高二月考）已知P为椭圆上一点，，为椭圆C的上焦点和下焦点，若为直角三角形，则P点坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
由为直角三角形，则直角顶点可能为根据直角顶点的位置进行分别计算求解即可.
【详解】
椭圆中，
由为直角三角形，则直角顶点可能为
设，
若为直角顶点，则，所以，得
若为直角顶点，则，所以，得
若为直角顶点，则在圆上
由，解得
故选：AD
13．（2021·浙江·高二期中）已知椭圆：上有一点， 分别为左 右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则；
B．若，则满足题意的点有四个；
C．椭圆内接矩形周长的最大值为20；
D．若为钝角三角形，则；
【答案】BCD
【分析】
由题可得，，设，结合选项利用面积公式可得可判断ABD，设椭圆内接矩形的一个顶点为，利用辅助角公式可得周长的范围可判断C.
【详解】
∵椭圆：，
∴，∴，，
设，则，，
若，则，所以不存在，故A错误；
若，则，可得，故满足题意的点有四个，故B正确；
设椭圆内接矩形的一个顶点为，
则椭圆内接矩形周长为其中，
由得，
∴椭圆内接矩形周长的范围为，即，故C正确；
由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角，
先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时，
当为钝角三角形时，，所以，故D正确.
故选：BCD
14．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
【答案】
【分析】
不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
15．（2021·天津英华国际学校高二期中）已知椭圆：，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为 ，且 均不为0.为坐标原点，若直线、 的斜率之和为1.则______________.
【答案】
【分析】
设，，，，，，利用，在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：，同理可得：，，再利用已知条件即可得出结果.
【详解】
设,,,,,,
因为,在椭圆上,
所以,
,
两式相减得:
,
即,
同理可得,,
所以
因为直线 的斜率之和为1,
所以,
故答案为:
16．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为___________.
【答案】
【分析】
设出坐标，根据点在椭圆上利用点差法求解出的值，再利用直线的点斜式方程可求解出直线方程.
【详解】
设直线与椭圆的两个交点为，因为在椭圆上，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以的方程为：，即，
故答案为：.
17．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】
（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【点睛】
结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.
18．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【详解】
（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
19．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.
【详解】
（1）因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
综上，或.
20．（2021·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且离心率为.
（1）椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由题意求出即可求解；
（2）由椭圆的定义和三角形面积公式求解即可
（1）因为椭圆C与椭圆有相同的焦点，
所以椭圆C的焦点，，，
又，
所以，，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由，，
得，，
而，
所以，
所以
21．（2021·全国·高二月考）已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据椭圆的焦距为，离心率为，由，求解；
（2）设，，则，，利用点差法求解.
（1）解：，，
所以，，
又，
所以，
椭圆的标准方程为.
（2）设，，
则，，
两式相减可得，
为线段的中点，
则，，
，
，
直线的方程为，
整理得：.
22．（2021·山东师范大学附中高二期中）已知椭圆（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程
（2）分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点
①求证：；
②求证：定值.
【答案】
（1）
（2）①证明过程见解析；②证明过程见解析.
【分析】
（1）运用代入法，结合椭圆离心率公式进行求解即可；
（2）①根据圆的性质，结合椭圆的性质进行证明即可；
②根据斜率是否存在，分类讨论，结合椭圆弦长公式进行求解证明即可.
（1）椭圆的的离心率为，所以，
椭圆过点，所以，即，
因此椭圆的标准方程为；
（2）①当直线和中有一条没有斜率时，另一条的斜率为零，此时点是或者是，显然成立，
当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为，
因为，坐标原点是线段的中点，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（不包括两焦点），
综上所述：点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，因此，
显然，显然成立，
②当直线和中有一条没有斜率时，由于椭圆的对称性，不妨设直线不存在，因此直线的斜率为零，
，把时，，所以，
显然，所以定值；
当直线存在斜率且不为零时，设为，所以直线的斜率为，
直线的方程为：，于是有，设，
，
，
同理可得：，
于是定值，
综上所述：定值.
【点睛】
关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系求解椭圆弦长是解题的关键.
23．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）如图，在直角坐标系中，是轴上关于原点对称的两定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）已知，若直线交曲线于两点，求面积的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由椭圆的定义可知点P的轨迹是以为焦点的椭圆，求出，代入椭圆方程即可求解；
（2）直线和椭圆相交点，的坐标分别为，，联立方程，利用韦达定理和两点之间的距离公式求出以及到的距离，利用面积公式求出三角形的面积，然后利用基本不等式求最值.
（1）解：由题意得：
点P的轨迹是以为焦点的椭圆
椭圆的方程为.
（2）设点，的坐标分别为，，
由得，即
由韦达定理，
，．
点到直线的距离
的面积
，当且仅当，即时等号成立．
所以当时，面积的最大值为．
24．（2021·江西·景德镇一中高一期中）已知椭圆的左、右焦点分别为和，椭圆上任意一点，满足的最小值为，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）通过通经长，求得，通过的最小值为，求得，再结合，最终求得，，得到椭圆方程；（2）先考虑斜率不存在的情况，求出，再考虑当斜率存在时，利用韦达定理求得：，结合，求得，最终求得范围.
（1）过作垂直于椭圆长轴的弦长为3
因为，所以把代入到中，得：
所以，即
因为为椭圆上一点，根据椭圆的定义得：，设，则有，化为：①
则②
把①式代入②得，，因为，所以当时，取得最小值，即，化简得：，结合与，解得：，
∴椭圆的方程为
（2）点坐标为，点坐标为
当过的直线斜率不存在时，不妨设，
此时
当过的直线斜率存在时，设为
将其代入椭圆方程中，得：
设，
则，
则
∵，∴
纵上所述，
【点睛】
（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
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