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专题八 平面解析几何
07 抛物线
考纲对本模块内容的具体要求如下：
从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现．
数学运算：1.抛物线标准方程的四种形式.
2.直线与抛物线的位置关系问题.
数学建模：1.抛物线定义及其标准方程的应用.
2.应用抛物线的几何性质解决相关弦问题.
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
[常用结论]
1．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
2.设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
考点一　抛物线的定义及其应用
(1) (2021.全国.高二练习）到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知点的轨迹是抛物线，确定该抛物线的焦点坐标和准线方程，即可得出点的轨迹方程.
【详解】由题意可知，动点到点的距离等于到直线的距离，
故点的轨迹为以点为焦点，以直线为准线的抛物线，其轨迹方程为.
故选：C.
（2）（2021·全国·高二课时练习）在正方体中，为侧面所在平面上的一个动点，且点到平面的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
【答案】D
【分析】
根据正方体的性质得点到平面的距离等于点到直线的距离，再根据抛物线的定义可得选项.
【详解】
解：正方体中平面，∴等于点直线的距离.
∵平面平面，∴点到平面的距离等于点到直线的距离.
∵点到平面的距离与到直线的距离相等，∴MB等于点到直线的距离.
根据抛物线的定义，可知动点的轨迹为抛物线.
故选：D.
（3）(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2　　　　　　　 　B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6.
故选C.
【规律方法】
应用抛物线定义的两个关键点
（1）由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
（2）注意灵活运用抛物线上一点P x0，y0 到焦点F的距离
【跟踪练习】（1）（2021·湖南·高二期中）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则_______；周长的取值范围为____________．
【答案】4
【分析】
抛物线与圆的方程联立求得点的坐标；利用抛物线的定义转化，再求周长的取值范围.
【详解】
设与抛物线的准线交于点，则
周长为
又∴周长.
故答案为：；
（2）（2021·全国·高二专题练习）点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是___________.
【答案】
【分析】
根据抛物线的定义即可求解.
【详解】
解：点到点的距离比它到直线的距离小1，
点到直线的距离和它到点的距离相等.
因此点的轨迹符合抛物线的定义
根据抛物线的定义可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
，抛物线的标准方程为，
故答案为：.
考点二 抛物线的标准方程及其性质
考法1 抛物线的标准方程
（1）（2021·全国·高二课时练习）顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出的值，结合焦点的位置可得出所求抛物线的标准方程.
【详解】
顶点在原点，对称轴为轴的抛物线的标准方程为．
由顶点到准线的距离为4知，故所求的抛物线的标准方程为．
故选：D.
（2）（2021·全国·高二课时练习）若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值.
【详解】
设等边三角形的边长为，
则，解得．
根据抛物线的对称性可知，且，
设点在轴上方，则点的坐标为，即，
将代入抛物线方程得，
解得，故抛物线方程为．
故选：A
考法2 抛物线的几何性质
（1）（2021河北高二练习）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果.
【详解】由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，
∴d1+d2＝|MF|+|MN|，
当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，
∵抛物线C：y2＝4x，∴焦点F（1，0），
∴|FN|＝d＝，
设直线l'与x轴的交点为D，
令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，
在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．
故选：A
（2）（2021·全国·高二课时练习）[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【答案】BCD
【分析】
根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.
【详解】
易知点的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；
若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，
为，即，选项C正确，
抛物线的焦点为，准线方程为，
过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，
所以，．
所以，
所以线段，
所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．
故选：BCD
【规律方法】
1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二课前预习）已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
【答案】CD
【分析】
将直线方程代入抛物线方程，求得交点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线方程．
【详解】
解：由，解得：或，则交点坐标为，，
则，解得：，
则抛物线的方程，
故选：CD．
（2）（2021·全国·高二练习）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝_______.
【答案】4
【解析】法一：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2.将其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
法二：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝＝4.
考点三 直线与抛物线的位置关系
（1）（2021·全国·高二课时练习）过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设直线方程为，联立方程组根据线段AB中点的横坐标为2，求得，结合根与系数的关系和弦长公式，即可求解.
【详解】
设直线方程为，，，
联立方程组，整理得，
因为直线与抛物线交于两点，所以，解得，
因为线段中点的横坐标为2，可得，所以或（舍），
所以，可得，
则．
故选：C.
（2）设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
①当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
②证明：∠ABM＝∠ABN.
【解析】　①当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
②证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，
所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
【规律方法】
解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式.
（3）涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法.
提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.
【跟踪练习】（2021·江苏省阜宁中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）直线与抛物线交于M，N两点，若以为直径的圆经过O点，求直线l的方程．
【答案】
（1）y2=2x
（2）y=-x+1
【分析】
（1）根据题意列出方程组，求得，即可的解；
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2），联立，利用韦达定理，结合，解得直线的斜率，从而可求得直线方程.
（1）解：由题意得，解得p=1，所以抛物线方程为y2=2x；
（2）解：显然k≠0，设M(x1，y1)，N(x2，y2），
联立，消去y，得k2x2+2(k-1)x+1=0，
，解得k<，
，
因为以MN为直径的圆经过点O，所以OMON，x1x2+y1y2=0，
因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，
所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=，
+=0，k= -，
所以直线的方程为y=-x+1．
1.（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
2.（2021·全国·高二课时练习）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出抛物线的焦点的坐标，分析可知点到点的距离与点到准线的距离之和等于点到点的距离与点到点的距离之和，利用当点为线段与抛物线的交点时，即、、三点共线时取取最小值可得结果.
【详解】
抛物线的焦点为，准线方程为，
如下图所示，由抛物线的定义知，点到准线的距离等于点到焦点的距离，
因此点到点的距离与点到准线的距离之和等于点到点的距离与点到点的距离之和，
其最小值为点到点的距离（当点为线段与抛物线的交点时，即、、三点共线时），最小值为．
故选：A.
3.（2021·浙江·高二期中）已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】
由题可设直线的方程为，设，利用韦达定理可得，再结合抛物线的定义可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】
由抛物线：可知焦点为，
设直线的方程为，
由，得，
设，则，
由抛物线的定义可知
∴，
∴，
当且仅当时取等号.
故选：D
4.（2020·全国全国·模拟预测）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与坐标轴的交点，是抛物线上一点，则当取最大值时，直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
设，则．求得化为的函数，变形后利用基本不等式求得最大值．
【详解】
解：当与原点重合时，＝1，
当与原点不重合时，设，则．易知，，
所以，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
此时，所以直线的方程为或，
故选：C．
5．（2021·全国·高二课时练习）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】
由抛物线的焦点弦长公式，由此计算．
【详解】
因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
故选：B．
6．（2021·河北·高二期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则平分
D．若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线
【答案】ACD
【分析】
运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果即可得出答案.
【详解】
如图，若，则，C的焦点为，
则，选项A正确；
延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，选项D正确；
若，则，C的焦点为，直线，可得，选项B不正确；
时，因为，所以．又，所以平分，选项C正确．
故选：ACD.
7.（2021·江苏高邮·高二期中）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线与准线交于点，则
B．对任意的直线，
C．的最小值为
D．以为直径的圆与轴公共点个数为偶数
【答案】ABC
【分析】
先表示出点的坐标再将直线和抛物线联立可求出， 的关系，进而可以判断出选项，根据焦半径和均值不等式可判断出C选项的正误，求出以为直径的圆的圆心和半径可以确定D的正误.
【详解】
对于A选项，两点在抛物线上，所以，
因为直线与准线交于点，所以直线为：，，
由得，所以
设直线 的方程为，联立 得，
所以，，所以，
即，所以，故A正确；
对于B选项，由A可知，故 B正确；
对于C选项，由B选项可知，，，
当且仅当，即时等号成立，故 C 正确；
对于D选项，设直线的方程为﹐
在抛物线上，所以，
以为直径的圆的半径，
的中点坐标为，，
所以以为直径的圆与轴相切，所以，以为直径的圆与轴公共点个数为1，故D错误；
故选：ABC
8.（2021·重庆巴蜀中学高二期中）平面内到定点的距离比到直线：的距离大1的动点的轨迹为曲线C，则（ ）
A．曲线C的方程为
B．点P是该曲线上的动点，其在x轴上的射影为点Q，点A的坐标为，则的最小值为5
C．过点F的直线交曲线C于A，B两点，若，则
D．点M为直线上的动点，过M作曲线C的两条切线，切点分别为，，则
【答案】ACD
【分析】
确定曲线是抛物线，及其焦点、准线得标准方程，判断A；利用转化为求到和点距离和的最小值，判断B；利用直线与抛物线相交，设，设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，再由向量共线的坐标表示求出两点纵坐标，得焦点弦长，判断C；设，再设切点坐标，得切线方程，由两切线都过点，代入后得出直线方程，此方程代入抛物线方程，应用韦达定理，得，然后计算，判断D．
【详解】
到定点的距离比到直线：的距离大1的动点的轨迹即为到定点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹，此轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确；
在曲线上，则，所以，当且仅当共线有在线段上时取等号，因此最小值是3，B错；
设方程为，，
，，，
又，所以，即，所以，，
，，，所以，C正确；
设，
由得，所以，切线方程为，
，同理方程为，
又都过点，所以，
所以过两点的直线方程为，
代入抛物线方程得，，
，D正确．
故选：ACD．
9.（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【分析】
先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】
利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
10.（2021·云南·曲靖一中高三月考（理））已知抛物线C： 的焦点为F，过点F斜率为k的直线l与C交于M， N两点，若O为坐标原点，OMN的重心为点G，则k=__________.
【答案】
【分析】
设的中点坐标为，根据三角形重心性质，得到，再设过焦点的直线的方程为， 与抛物线方程联立，然后利用韦达定理求解.
【详解】
焦点坐标为，设直线的方程为，的中点坐标为，
由三角形重心性质得，，
解得，
联立方程得
则，
解得，时G不合题意，
故答案为：
11.（2021·全国·高二专题练习）已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答.
【详解】
如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，
而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，
从而得，即，
设点，而，，则，
当且仅当t=1时取“=”，，
因此得，即，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
12.（2021·全国·高二单元测试）抛物线E：与圆M：交于A，B两点，圆心，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的取值范围是______.
【答案】
【分析】
根据题意，联立方程组求出点坐标，再结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】
如图，可得圆心也是抛物线的焦点，PN交抛物线的准线于H，
根据抛物线的定义，可得，故的周长，
由，解得，
∵，且 ∴PH的取值范围为，∴，
∴的周长的取值范围为.
故答案为：.
13.（2021·浙江·诸暨中学高二期中）已知抛物线（）的焦点为，则实数___________；若过点F且斜率为1的直线交该抛物线与A B两点，则___________.
【答案】
【分析】
由抛物线的位置特征即可求得p，再根据抛物线的定义求得.
【详解】
因为抛物线焦点为，则.设，，代入抛物线方程得：，所以，则由抛物线的定义可知.
故答案为：2；8.
14．（2021·浙江·模拟预测）已知P，Q是抛物线上两点，M是PQ中点，若，则M点纵坐标的最小值是___________；若，则M点纵坐标的最小值___________.
【答案】
【分析】
首先根据已知条件设出过焦点的直线，通过联立方程求出焦点弦的范围，然后当时，利用抛物线的定义以及三角不等式即可求解；当时，可知弦必不过焦点，然后利用抛物线的对称性即可求解.
【详解】
由题意可知，抛物线的焦点的坐标为，
设过焦点的直线：，且交抛物线于、两点，
由可得，，且，
则，，
所以，
从而可知过抛物线焦点的弦长的最小值为，
(i)当，则弦有可能过焦点，
由题意可知，抛物线的准线为：，
过、、分别作准线的垂线，垂足分别为、、，连接、，如下图所示：
由抛物线定义可知，，，
所以，
又由三角关系可知，，即，
从而M点纵坐标的最小值是；
(ii)当时，可知必不过焦点，
由抛物线性质可知，当平行于轴时，点纵坐标达到最小值，
由抛物线对称性，不妨令点横坐标为，易知点纵坐标，
即此时M点纵坐标的最小值是.
故答案为：
15．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
【答案】
（1）；
（2）米.
【分析】
（1）设出抛物线方程，根据点在抛物线上，代入即可求出抛物线方程；
（2）设车辆高为h米，根据点在抛物线上，求出的值，从而可求出限制高度.
（1）根据题意，设该抛物线的方程为，
由图可知点在抛物线上，所以，即，
所以该抛物线的方程为.
（2）设车辆高为h米，则，故，
代入方程，解得，
所以车辆通过隧道的限制高度为米.
16．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】
解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
17．（2021·山东·高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.
（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.
【详解】
（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，
∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，
∴，解得，则抛物线方程是．
（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，
∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，
设，，联立直线与抛物线的方程得，
消去，并整理得，于是，，
∴，
又，因此，即，
∴，解得或．
当时，直线的方程是，不满足，舍去．
当时，直线的方程是，即，
∴直线的方程是．
18．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出的值后可求抛物线的方程.
（2）设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.
【详解】
（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
【点睛】
方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.
19．（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】
（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】
（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点坐标的关系，在求斜率的最值时要注意对取值范围的讨论.
20.（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．
（1）求C的方程
（2）已知，若P在线段上，是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设点，由中点坐标得，再由直线AB的斜率得，将A、B两点代入抛物线方程中计算可求得得抛物线的方程；
（2）设，且，设点，，求得切线PH、PG的方程，再由点P在切线PG、PH上得出直线GH的方程，与抛物线联立，求得弦长，以及点P到直线GH的距离，表示的面积，根据二次函数的性质可求得三角形面积的最大值.
【详解】
解：（1）设点，则，所以，又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，，
即，所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为；
（2）因为，P在线段上，所以设，且，
设点，，则切线PH、PG的斜率定存在，设直线PH的方程为，与抛物线联立消y得：，
所以，即，解得，所以切线PH的方程为，即，
同理得切线PG的方程为，
又点P在切线PG、PH上，所以，所以直线GH的方程为，即，
直线GH的方程与抛物线联立 ，整理得，所以，
又点P到直线GH的距离为，
所以的面积为，
因为，所以，，所以，所以面积的最大值为．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上位于第一象限的点，为的焦点，与交于点(异于点).直线与相切于点，与轴交于点.过点作的垂线交于另一点.
（1）证明：线段的中点在定直线上；
（2）若点的坐标为，试判断，，三点是否共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）点，，三点共线.
【分析】
（1）利用导数求出切线方程求出M坐标，利用中点坐标公式即可求证；
（2）根据题意求出点，，的坐标，利用斜率相等证明三点共线.
【详解】
（1）设，则，
因为点在第一象限，所以，
对两边求导得：，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，则，所以，
所以线段的中点为
所以线段的中点在定直线上.
（2）若，则.
所以，，
因为，所以，
所以，直线.
由得，所以或2，
所以，
由得，所以或8，
所以.
因为，，，
所以，，
所以点，，三点共线.
22.（2021·黑龙江实验中学高二期中）已知点，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点，且斜率为的直线被曲线截得的弦为，若点在以为直径的圆上，求的值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）设，利用列方程，化简即可求解；
（2）设，直线的方程为，与抛物线方程联立可得，，结合，利用坐标表示列方程即可求解.
（1）设，则，，，
由，得，化简得，
故动点的轨迹的方程为.
（2）设，过点且斜率为的直线方程为，
联立 ，消去得：，
由可得，
，，
易知抛物线的，点在以为直径的圆内等价于，
解得：，满足
所以的值.
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专题八 平面解析几何
07 抛物线
考纲对本模块内容的具体要求如下：
从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现．
数学运算：1.抛物线标准方程的四种形式.
2.直线与抛物线的位置关系问题.
数学建模：1.抛物线定义及其标准方程的应用.
2.应用抛物线的几何性质解决相关弦问题.
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_______；
(3)定点_______定直线上．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 _______
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
[常用结论]
1．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
2.设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
考点一　抛物线的定义及其应用
(1) (2021.全国.高二练习）到点的距离比到直线的距离小的动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高二课时练习）在正方体中，为侧面所在平面上的一个动点，且点到平面的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
（3）(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2　　　　　　　 　B．3 C．6 D．9
【规律方法】
应用抛物线定义的两个关键点
（1）由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
（2）注意灵活运用抛物线上一点P x0，y0 到焦点F的距离
【跟踪练习】（1）（2021·湖南·高二期中）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则_______；周长的取值范围为____________．
（2）（2021·全国·高二专题练习）点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是___________.
考点二 抛物线的标准方程及其性质
考法1 抛物线的标准方程
（1）（2021·全国·高二课时练习）顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·全国·高二课时练习）若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
考法2 抛物线的几何性质
（1）（2021河北高二练习）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（　　）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高二课时练习）[多选题]已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【规律方法】
1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高二课前预习）已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
（2）（2021·全国·高二练习）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝_______.
考点三 直线与抛物线的位置关系
（1）（2021·全国·高二课时练习）过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（ ）
A． B． C． D．
（2）设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
①当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
②证明：∠ABM＝∠ABN.
【规律方法】
解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式.
（3）涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法.
提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.
【跟踪练习】（2021·江苏省阜宁中学高二期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）直线与抛物线交于M，N两点，若以为直径的圆经过O点，求直线l的方程．
1.（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2.（2021·全国·高二课时练习）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2021·浙江·高二期中）已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
4.（2020·全国全国·模拟预测）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与坐标轴的交点，是抛物线上一点，则当取最大值时，直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2021·全国·高二课时练习）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．（2021·河北·高二期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则平分
D．若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线
7.（2021·江苏高邮·高二期中）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线与准线交于点，则
B．对任意的直线，
C．的最小值为
D．以为直径的圆与轴公共点个数为偶数
8.（2021·重庆巴蜀中学高二期中）平面内到定点的距离比到直线：的距离大1的动点的轨迹为曲线C，则（ ）
A．曲线C的方程为
B．点P是该曲线上的动点，其在x轴上的射影为点Q，点A的坐标为，则的最小值为5
C．过点F的直线交曲线C于A，B两点，若，则
D．点M为直线上的动点，过M作曲线C的两条切线，切点分别为，，则
9.（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
10.（2021·云南·曲靖一中高三月考（理））已知抛物线C： 的焦点为F，过点F斜率为k的直线l与C交于M， N两点，若O为坐标原点，OMN的重心为点G，则k=__________.
11.（2021·全国·高二专题练习）已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
12.（2021·全国·高二单元测试）抛物线E：与圆M：交于A，B两点，圆心，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的取值范围是______.
13.（2021·浙江·诸暨中学高二期中）已知抛物线（）的焦点为，则实数___________；若过点F且斜率为1的直线交该抛物线与A B两点，则___________.
14．（2021·浙江·模拟预测）已知P，Q是抛物线上两点，M是PQ中点，若，则M点纵坐标的最小值是___________；若，则M点纵坐标的最小值___________.
15．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
16．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
17．（2021·山东·高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．
18．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
19．（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
20.（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．
（1）求C的方程
（2）已知，若P在线段上，是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求面积的最大值．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上位于第一象限的点，为的焦点，与交于点(异于点).直线与相切于点，与轴交于点.过点作的垂线交于另一点.
（1）证明：线段的中点在定直线上；
（2）若点的坐标为，试判断，，三点是否共线.
22.（2021·黑龙江实验中学高二期中）已知点，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点，且斜率为的直线被曲线截得的弦为，若点在以为直径的圆上，求的值．
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