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专题八 平面解析几何
06 双曲线
考纲对本模块内容的具体要求如下：
双曲线的定义、标准方差、几何性质一直是高考的必考重点知识之一，近几年的高考中多有涉及，从高考的出题来看多集中在选择题和填空题，以中档题为多，灵活多样.在考查中重点是注重学生分析问题和解决问题的能力，注重数学核心素养的考查.预计2022年的高考对于双曲线的考查变化不是很大，还是以选择或者填空为主，但要注意新高考下的多选题的考查，注重能力的考查.
数学建模（数学运算）：1.双曲线的定义及标准方程.
2.与渐近线及离心率有关的一些问题.
3.直线与双曲线的位置关系的判定、弦长、中点等问题.
逻辑推理（数据分析）：双曲线标准方程的推导.
数学抽象：在处理直线与双曲线位置关系时方程思想的运用及含字母的运算.
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的_____为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的_____．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当_____时，M点的轨迹是双曲线；
②当_____时，M点的轨迹是两条射线；
③当_____时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：_____，对称中心：_____
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝_____(c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_____，离心率为e＝.
[常用结论]
1．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为.
2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．
3．已知双曲线－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)，求其渐近线的方程，只需把λ改写为0整理即可．
考点一　双曲线的定义及其应用
(1)(2020兴安县第三中学开学考试)若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________________.
（2）（2021·全国·高二课时练习）已知定点，定直线l：，动点P点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E．则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹E的方程为
B．轨迹E上的点P到定点F距离的最小值为2
C．轨迹E上的点P到定直线l：距离的最小值为1
D．轨迹E上的点到直线l：距离的最小值为
（3）（2021·全国·高二课时练习）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
【规律方法】
1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【跟踪练习】（1）（2020·海南·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
（2）（2021·天津·耀华中学高二期中）若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.
考点二 双曲线的标准方程
（1）（2021·广西·南宁市东盟中学模拟预测（文））若双曲线的焦距为，一条渐近线为，且点到的距离为，则双曲线的方程为__________．
（2）（2021·辽宁·大连市第十五中学高二期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为坐标原点，，点是双曲线左支上一点，若，，则双曲线的标准方程是_________________.
【规律方法】
求双曲线标准方程的主要方法
（1）定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.
（2）待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.
【跟踪练习】（1）（2021·黑龙江·鹤岗一中高二期中）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为___________．
（2）（2021.全国.高二练习）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
考点三 双曲线的几何性质
考法1 离心率问题
(1)（2021·山东·高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
(2)（2021·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考法2 渐近线问题
（1）(2020浙江月考)已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·江苏高邮·高二期中）在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
考法3 性质的综合应用
（1）已知双曲线C1：－y2＝1，双曲线C2：－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C2的一条渐近线上，且OM⊥MF2(O为坐标原点)，若S△OMF2＝16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长为(　　)
A．32 B．16 C．8 D．4
（2）（2021·安徽·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2π B．3π C．2π D．4π
【规律方法】
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式 或不等式 ，解方程(或不等式)即可求得.
(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.
【跟踪练习】(1) （2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点．点满足，且．若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
（2）（2021·河北·高二期中）双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（ ）
A． B． C．5 D．
（3）（2021·北京市第三十五中学高三期中）已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
（4）（2021·全国·高二课时练习）已知为双曲线：上一点，，为双曲线的左、右焦点，，分别为的重心、内心．若轴，则内切圆的半径为______．
考点四 直线与双曲线的位置关系
（1）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ）
A． B． C．10 D．
（2）（2021·全国·高二期中）过点（1，2）且与双曲线没有交点的直线l斜率的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣2，+∞）
（3）（2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．bC．离心率 D．b>a
【跟踪练习】（2021·江苏高邮·高二期中）已知双曲线.
（1）过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率；
（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.
1.（2021·河北·深州长江中学高二期中）已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
2.（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·高考真题（理））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5.（2021·云南·昆明一中高三月考（文））已知，分别为双曲线的左右交点，过作一条直线l与双曲线的右支交于P，Q两点，若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．（2021·江苏·南京师范大学附属中学秦淮科技高中高三开学考试）已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线上的点到点的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高三专题练习（文））已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M Q，则的最大值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．42
8．（2021·北京八十中高二期中）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·山东聊城·高二期中）已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·河南省实验中学高三月考（理））已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点，若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·贵州师大附中高二月考（理））根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国·高三月考（文））已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·江苏·海安高级中学高三期中）已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线过点，顶点分别为，，焦点分别为，，一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．该双曲线的方程为或
B．若点为双曲线上任意一点（顶点除外），则
C．若直线过点且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线只有2条
D．若点为双曲线右支上的任意一点（顶点除外），则双曲线在点处的切线平分
14．（2021·江苏海安·模拟预测）已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（ ）
A．
B．直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆
C．该双曲线的共轭双曲线的方程为
D．过的弦长为5的直线有且只有1条
15．（2021·江苏·盐城中学高二期中）在平面直角坐标系中，等轴双曲线，若直线l与在x轴上方的曲线交于P，Q两点，点P在y轴右侧，Q在y轴左侧，同时，直线l与的渐近线交M，N两点，M点在第一象限．下列说法中正确的有（ ）
A．对每一个确定的k值，若，则为定值
B．是“P，Q为线段的三等分点”的充要条件
C．的面积的最小值是1
D．
16．（2021·山西运城·高二期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，A是C的左顶点，点P在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为____________.
17．（2021·全国全国·模拟预测）某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.如图，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，则该双曲线的离心率为______.
18．（2021·全国·高三专题练习）郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线 反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.
（1）已知，是在直线两侧且到直线距离不相等的两点，为直线上一点.试探究当点的位置满足什么条件时，取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.
19．（2021·江苏·徐州市第一中学高二期中）O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切．
（1）求的方程；
（2）过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．
20．（2021·浙江·诸暨中学高二期中）已知双曲线：（，）的实轴长为，离心率.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线相交于，两点，弦的中点坐标为，求直线的方程.
21．（2021·广东·华南师大附中高二期中）已知双曲线过点，焦距为，．
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
22．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为，，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，
①求直线与双曲线有两个公共点时，直线的斜率的取值范围；
②设直线与双曲线的交点为、，求当为线段的中点时直线的方程．
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专题八 平面解析几何
06 双曲线
考纲对本模块内容的具体要求如下：
双曲线的定义、标准方差、几何性质一直是高考的必考重点知识之一，近几年的高考中多有涉及，从高考的出题来看多集中在选择题和填空题，以中档题为多，灵活多样.在考查中重点是注重学生分析问题和解决问题的能力，注重数学核心素养的考查.预计2022年的高考对于双曲线的考查变化不是很大，还是以选择或者填空为主，但要注意新高考下的多选题的考查，注重能力的考查.
数学建模（数学运算）：1.双曲线的定义及标准方程.
2.与渐近线及离心率有关的一些问题.
3.直线与双曲线的位置关系的判定、弦长、中点等问题.
逻辑推理（数据分析）：双曲线标准方程的推导.
数学抽象：在处理直线与双曲线位置关系时方程思想的运用及含字母的运算.
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
[常用结论]
1．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为.
2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．
3．已知双曲线－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)，求其渐近线的方程，只需把λ改写为0整理即可．
考点一　双曲线的定义及其应用
(1)(2020兴安县第三中学开学考试)若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】∵曲线表示双曲线，∴，解得或．
故答案为：．
（2）（2021·全国·高二课时练习）已知定点，定直线l：，动点P点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E．则下列说法正确的是（ ）
A．轨迹E的方程为
B．轨迹E上的点P到定点F距离的最小值为2
C．轨迹E上的点P到定直线l：距离的最小值为1
D．轨迹E上的点到直线l：距离的最小值为
【答案】AD
【分析】
设，用坐标表示点的几何性质化简得轨迹方程，判断A，求出轨迹E上的点到定点F的距离，利用A中方程中的范围可得最小值判断B，同时判断C，求出与平行且与轨迹相切的直线方程后可得轨迹上的点到直线的距离的最小值判断D．
【详解】
设，则，化简得，
所以轨迹E的方程是，A正确．
轨迹E上的点到定点F的距离为
，
因为或，所以距离的最小值为1；
轨迹E上的点Р到定直线l：距离的最小值为，B，C不正确．
设直线m：与双曲线E相切，
联立，得，
由，解得，
易知切线m：到直线l：的距离最小，
当时，解方程得，
当时，，所以切点即为所求，
此时最小值，D正确．
故选：AD．
（3）（2021·全国·高二课时练习）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
【答案】
【解析】因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4，所以cos∠F1PF2
＝＝＝.
【规律方法】
1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【跟踪练习】（1）（2020·海南·高考真题）已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】
结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】
对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
（2）（2021·天津·耀华中学高二期中）若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.
【答案】
【分析】
先根据双曲线的焦点和双曲线方程解得，设出点，代入曲线方程，求得横纵坐标关系，再根据题意坐标表示，，代入后利用二次函数的性质求其最小值，则可求得的取值范围.
【详解】
解：由题意得：
是已知双曲线的左焦点
，即
双曲线方程为
设点，则有，解得
，，
根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增
当时，取得最小值，
故答案为：
考点二 双曲线的标准方程
（1）（2021·广西·南宁市东盟中学模拟预测（文））若双曲线的焦距为，一条渐近线为，且点到的距离为，则双曲线的方程为__________．
【答案】
【分析】
根据题中数据可先求得半焦距c，依据点(1,0)在双曲线的对称轴上，选用双曲线的任一渐近线方程结合点到直线的距离公式，即可得出a，b的关系，进而求解双曲线的方程
【详解】
根据题意，双曲线的半焦距，且点到双曲线的两渐近线的距离相等
所以可选直线的方程为，则，
得，所以；所以双曲线的标准方程为．
故答案为：.
（2）（2021·辽宁·大连市第十五中学高二期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为坐标原点，，点是双曲线左支上一点，若，，则双曲线的标准方程是_________________.
【答案】
【分析】
根据求出的值；根据得出；设，从而利用双曲线的定义可求出的值，从而可求出答案.
【详解】
因为，所以，即.
因为，，所以，
设，则，解得，
所以，
又由双曲线的定义，知，即，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【规律方法】
求双曲线标准方程的主要方法
（1）定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.
（2）待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.
【跟踪练习】（1）（2021·黑龙江·鹤岗一中高二期中）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为___________．
【答案】
【分析】
由题意可知，进而可得出，再结合可求得、的值，由此可得出双曲线的方程.
【详解】
由于是边长为的等边三角形，则，
由题意可得，解得，
因此，双曲线的方程为.
故答案为：.
（2）（2021.全国.高二练习）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
【答案】C
【解析】由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
故选C.
考点三 双曲线的几何性质
考法1 离心率问题
(1)（2021·山东·高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】
易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得，
然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可.
【详解】
的坐标为，设点坐标为，
易得，解得，
因为直线与轴垂直，且，
所以可得，则，即，
所以，离心率为．
故选：A
(2)（2021·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】
关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
考法2 渐近线问题
（1）(2020浙江月考)已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，双曲线的渐近线为，
对于，，直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
设直线与直线相交于
原点到直线：的距离得，因此，
由于是线段的中点，是线段的中垂线，
则根据几何图形的性质可得，
根据双曲线的定义得，
因此可得，，则双曲线的线近线为.
故选：D
（2）（2021·江苏高邮·高二期中）在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由双曲线方程求得，的值即可求解.
【详解】
由双曲线可得，，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：C.
考法3 性质的综合应用
（1）已知双曲线C1：－y2＝1，双曲线C2：－＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C2的一条渐近线上，且OM⊥MF2(O为坐标原点)，若S△OMF2＝16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长为(　　)
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】B
【解析】双曲线C1：－y2＝1的离心率为，设F2(c,0)，双曲线C2的一条渐近线方程为y＝x，可得|MF2|＝＝b，|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32.又a2＋b2＝c2，且＝，得a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C2的实轴长为16.
故选 C
（2）（2021·安徽·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐 金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2π B．3π C．2π D．4π
【答案】C
【分析】
利用该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设，
代入方程，即可解得，
即杯身最细处圆的半径为 ，从而得解.
【详解】
该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设 代入双曲线方程可得
，
即，
作差可得，解得 ，
所以杯身最细处的周长为 .
故选：C
【点睛】
读懂题意，提炼有用信息，设出点的坐标，结合双曲线的方程解得，
即为双曲线右支与x轴交点的横坐标，可得周长，关键在于对题中信息的理解与处理.
【规律方法】
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式 或不等式 ，解方程(或不等式)即可求得.
(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.
【跟踪练习】(1) （2021·浙江·慈溪中学高三期中）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点．点满足，且．若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
由，确定M的位置，解三角形求，，由余弦定理可得，的关系，由此可求离心率.
【详解】
∵ ，
∴ M为线段的中点，，即垂直平分，
∴ ，设，则
又 为直角三角形，
∵ ，即，
∴ ，，
由双曲线定义可得，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
又，
由余弦定理可得，
∴，
∴ ，
∴ 离心率.
故选：C.
（2）（2021·河北·高二期中）双曲线的焦点到C的渐近线的距离为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】
根据双曲线的方程求得焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
由双曲线，可得，可得，
所以双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，即，
所以焦点到渐近线的距离为.
故选：B.
（3）（2021·北京市第三十五中学高三期中）已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求出的值即得解.
【详解】
解：由题得，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：B
（4）（2021·全国·高二课时练习）已知为双曲线：上一点，，为双曲线的左、右焦点，，分别为的重心、内心．若轴，则内切圆的半径为______．
【答案】
【分析】
不妨设点在第一象限，，根据已知求出，再化简即得解.
【详解】
解：不妨设点在第一象限，，，分别为与三边的切点．
由切线长定理以及双曲线的定义，得
，
∴，∴．
设，由为的重心知，，
则．
∴，
∴．
设内切圆的半径为，
则．
又，
∴，∴．
故答案为：
考点四 直线与双曲线的位置关系
（1）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】C
【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴，∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，消可得，∴，，
∴．
故选:C
（2）（2021·全国·高二期中）过点（1，2）且与双曲线没有交点的直线l斜率的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣2，+∞）
【答案】B
【分析】
设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），与双曲线方程联立方程组，由方程组无解（相应方程无解）得结论．
【详解】
解：由题意l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），
与双曲线方程联立，
消去y，并整理得（4﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣8＝0，
若4﹣k2＝0，即k＝±2，
当k＝2时，方程即为﹣4＝0，方程无解，直线l与双曲线无交点，符合题意；
当k＝﹣2是，方程即为16x﹣20＝0，方程有一个解，此时直线l与双曲线有一个交点，不符合题意；
若4﹣k2≠0，∵过点P（1，2）直线l与双曲线没有交点，
∴△＝[2（k2﹣2k）]2﹣4（4﹣k2）（﹣k2+4k﹣8）＝64（﹣k+2）＜0，
解得k＞2．
综上所述，直线l斜率的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
（3）（2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．bC．离心率 D．b>a
【答案】CD
【分析】
根据M（1，1）是AB的中点，且斜率为2，利用点差法求解.
【详解】
解：设，
则，
两式相减得，
化简得，
因为M（1，1）是AB的中点，
所以，即，
所以，渐近线方程为，离心率为，
故选：CD
【跟踪练习】（2021·江苏高邮·高二期中）已知双曲线.
（1）过的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率；
（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）设出直线方程，与双曲线联立，利用判别式可求；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合求出和关系即可证明.
（1）由题意得直线的斜率必存在，设，
联立，得
若，即时，满足题意；
若，即时，
令，解之得；
综上，的斜率为
（2）证明：设，，
联立，得，
则：
以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，
，即，
由韦达定理知，.
则，
整理得， 解得或（均满足）.
当时，直线：，此时，直线过点，不满足题意，故舍去；
当时，直线：，此时，直线恒过点，满足题意.
所以原题得证，即直线过定点.
1.（2021·河北·深州长江中学高二期中）已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】A
【分析】
根据双曲线的标准方程特点可得，即可得到答案.
【详解】
∵方程表示双曲线
∴
∴
故选：A．
2.（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】
由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
3．（2020·全国·高考真题（理））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】
根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
4．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5.（2021·云南·昆明一中高三月考（文））已知，分别为双曲线的左右交点，过作一条直线l与双曲线的右支交于P，Q两点，若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】
利用双曲线的定义可算出答案.
【详解】
由双曲线定义得，，
则，得，则的周长为，
故选：C.
6．（2021·江苏·南京师范大学附属中学秦淮科技高中高三开学考试）已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线上的点到点的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用已知条件求得、的值，可得出的值，求得双曲线的标准方程，然后利用两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得双曲线上的点到点的最小距离.
【详解】
由已知可得，，可得，，，
所以，双曲线的方程为，
设是双曲线上的点，则，且或，
则，
所以当时，.
故选：B.
7．（2021·全国·高三专题练习（文））已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M Q，则的最大值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．42
【答案】A
【分析】
由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果；
【详解】
由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，
直线方程为，令，解得：，；
以为直径的圆的圆心为，且．
连接，
在以为直径的圆上，，，
；
为双曲线上一点，且，，；
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线中的最值问题的求解，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采用几何法转化为关于的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于点横坐标的函数的最值的求解.
8．（2021·北京八十中高二期中）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用双曲线的性质即可求解.
【详解】
由题得，则 ，
即，所以双曲线的渐近线方程为 ，
即 ，
故选：D
9．（2021·山东聊城·高二期中）已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，得到，，过点作轴，垂足为，求得，将点代入的方程，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
由，可得，
因为，所以，，
过点作轴，垂足为，
则，，即，
又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，
代入点的坐标，可得，
整理得，即，所以双曲线的离心率为.
故选：B.
10．（2021·河南省实验中学高三月考（理））已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点，若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用直角三角形的性质，结合双曲线渐近线的方程和性质、双曲线离心率的性质进行求解即可.
【详解】
如图所示：
因为，所以是直角三角形，又因为是的中点，
所以是直角斜边中线，因此，而点是线段的中点，
所以是等腰三角形，因此，由双曲线渐近线的对称性可知中：
，于是有：，因为双曲线渐近线的方程为：，因此有：
，
故选：C
11．（2021·贵州师大附中高二月考（理））根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
显然在第一象限，然后根据已知求出点的坐标，再求出点的坐标，由此可得轴，设角的角平分线为，求出直线的倾斜角，即可求解．
【详解】
解：由已知可得在第一象限，
将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，
又由双曲线的方程可得，，所以，则，
所以，且点，都在直线上，又，
设过点与双曲线相切的直线方程为，代入
所以，
设的角平分线为，则，
所以直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
因为，解得
所以直线的斜率为
故选：D．
12．（2021·全国·高三月考（文））已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设的内切圆半径为，求出双曲线的离心率，利用三角形的面积公式以及双曲线的定义可求得的取值范围.
【详解】
由、、成等比数列得，，即.
，.
设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，易知，
，，.
由得，
即，则，
的取值范围为，
故选：D.
13．（2021·江苏·海安高级中学高三期中）已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线过点，顶点分别为，，焦点分别为，，一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．该双曲线的方程为或
B．若点为双曲线上任意一点（顶点除外），则
C．若直线过点且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线只有2条
D．若点为双曲线右支上的任意一点（顶点除外），则双曲线在点处的切线平分
【答案】BD
【分析】
根据给定条件求出双曲线C的方程，再逐项探讨各选项并判断作答.
【详解】
依题意，设双曲线，因双曲线过点，则，
于是有双曲线的方程为，其渐近线方程为，A不正确；
由双曲线对称性知，不妨设，，令，，B正确；
显然直线与双曲线相切，过点平行于直线的直线及过点平行于
直线的直线与双曲线都各有一个公共点，即这样的直线至少有3条，C不正确；
令双曲线上点，显然切线PT的斜率存在，设其方程为，
由消去y得：，
，
整理得，而，即，，
则有，解得，切线PT与x轴交于点，则，于是得，即，
不妨设点，，，则，，，
又，
，则是的内角平分线，即切线平分，D正确.
故选：BD
14．（2021·江苏海安·模拟预测）已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（ ）
A．
B．直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆
C．该双曲线的共轭双曲线的方程为
D．过的弦长为5的直线有且只有1条
【答案】AB
【分析】
对于A中，求得切线的方程，结合点到直线的距离公式，可判定A正确
对于B中，联立方程组，分别求得坐标，结合斜率公式，可判定B正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C错误；结合实轴长和通经，可判定D错误.
【详解】
由题意，双曲线的焦点坐标为，，
对于A中，由双曲线的性质，可得切线的方程为，即，
则，
所以A正确
对于B中，联立方程组，可得，
又由，可得，
，，
，
，
则
，
∴，，
∴，，，四点共圆，B正确.
对于C中，双曲线的共轭双曲线为，所以C错误
对于D中，由双曲线，可得，则，
可得，且通经长，所以过的弦长为5的直线有3条，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
方法点拨：联立方程组，求得点，，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键.
15．（2021·江苏·盐城中学高二期中）在平面直角坐标系中，等轴双曲线，若直线l与在x轴上方的曲线交于P，Q两点，点P在y轴右侧，Q在y轴左侧，同时，直线l与的渐近线交M，N两点，M点在第一象限．下列说法中正确的有（ ）
A．对每一个确定的k值，若，则为定值
B．是“P，Q为线段的三等分点”的充要条件
C．的面积的最小值是1
D．
【答案】ABD
【分析】
设直线l的方程为，联立方程组求|PQ|，|MN|，由此判断各选项.
【详解】
设直线l的方程为，，，，,
联立，化简可得，
由已知，即，
，，
设P,Q的中点为，则，
联立可得，即M的坐标为，
联立可得，即N的坐标为，
由已知，，，∴
∴ M，N的中点F的横坐标为，
∴ MN的中点与PQ的中点重合，
∴ |MP|=|NQ|，
∴，
∴，D对，
设直线MN与y轴的交点为T，则
∵ 的面积，
∵，
∴，又
∴的面积的大于1，C错，
若，即
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴，
∴ 的面积，
∴ 当k为定值时，为定值，A对，
若，则，又
∴ ，
∴ P，Q为线段的三等分点，
若P，Q为线段的三等分点，则，
∴，
∴
即是“P，Q为线段的三等分点”的充要条件，B对，
故选：ABD.
16．（2021·山西运城·高二期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，A是C的左顶点，点P在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为____________.
【答案】3
【分析】
写出P点所在的直线方程，设出P点，然后根据几何关系，过P点作轴与点，根据为等腰三角形得出以及是有一个角为角的直角三角形得出，整理求出与的关系即可求出离心率.
【详解】
解：由题意得：如图：过P点作轴与点
点P所在的直线方程为，故设
，根据几何关系可知
，整理得
又为等腰三角形
，故，整理的
故双曲线的离心率为
故答案为：3
17．（2021·全国全国·模拟预测）某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.如图，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【分析】
以最小半径的圆的圆心为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为，，.代入可求得b,t,c,从而求得双曲线的离心率可得答案.
【详解】
以最小半径的圆的圆心为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设双曲线的方程为，，.
将，点的坐标代入双曲线方程得
则解得
∴，即，
故双曲线的离心率.
【点睛】
关键点睛：本题以电厂冷却塔的外形为背景，考查双曲线的标准方程及其几何性质（离心率）.关键在于将生活中的数据转化到数学中双曲线中的数据，根据双曲线的几何性质得以解决.
18．（2021·全国·高三专题练习）郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合.双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似.双曲线在物理学中具有很多应用，比如波的干涉图样为双曲线 反射式天文望远镜利用了其光学性质等等.
（1）已知，是在直线两侧且到直线距离不相等的两点，为直线上一点.试探究当点的位置满足什么条件时，取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在该点处的垂线对称.证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.
【答案】（1）当的位置使得为的平分线时，取最大值；（2）证明见解析.
【分析】
（1）作点A关于直线l对称点，直线与x轴的交点即为取最大值时的点P，由三角形两边之差小于第三边可证；
（2）设入射光线从出射，入射点，则点在（曲线在入射点处的）切线上，先证明是切线上唯一使得取最大值的点，再由结论（1）可得切线即的角平分线，即反射光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点.
【详解】
（1）不妨设点到直线的距离比点到直线的距离大，作点关于直线的对称点.
当，，三点共线，即为的平分线时，
有，
当，，三点不共线，即不是的平分线时，取这样的点，则，，能构成一个三角形，
故(两边之差小于第三边)，
因此，当且仅当的位置使得为的平分线时，取最大值.
（2）不妨设双曲线的焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为b，左右焦点分别为，，入射光线从出射，入射点，反射光线，双曲线在点处的切线，在点处的垂线，
由光的反射定律，，关于对称，故，关于对称，
要证：反射光线过点，
只要证：是的角平分线，
定义双曲线焦点所在区域为双曲线的内部，渐近线所在区域为双曲线的外部，
由双曲线的定义，，双曲线上任意一点满足方程为，
若，满足不等式，即与焦点同在双曲线内部；
若，满足不等式，即在双曲线外部.
故：对于双曲线内部的任意一点，有，
对于双曲线外部的任意一点，有，
又是双曲线在点处的切线，故在上有且仅有一点使得，
上其他点均有，
故是上唯一使得取最大值的点，
又，到直线距离不相等，根据(1)中结论，可知是的角平分线，
故反射光线过点，命题得证.
【点睛】
设双曲线左右焦点分别为，，则有：
若为双曲线上任意一点，则，且；
若为双曲线内部任意一点，则，且；
若为双曲线外部任意一点，则，且.
19．（2021·江苏·徐州市第一中学高二期中）O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切．
（1）求的方程；
（2）过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．
【答案】
（1）的方程为：，的方程为：
（2）1
【分析】
（1）先根据求出，再代入所列出的方程中，求出，；（2）设出直线，联立后用弦长公式求出的长，再求出P，Q两点的坐标，利用点到直线距离公式，表示出，点直线距离，用表达出四边形面积，分离常数后求得面积的最小值
（1）因为，，，
所以①
因为，所以②
由①得：，解得：，代入②式中，
解得：，
所以的方程为：，的方程为：
（2），因为直线不垂直于y轴
所以设方程为：
联立 得：
设，，
则，，，
则，
因为点M在直线上，所以，
直线：
联立得：
解得：，显然，故
当时，，
当时，
则，
，点直线距离分别是：
，
因为，点直线两侧，故
显然，所以
所以
则
则四边形面积
当时，四边形面积取得最小值，此时
此时方程为：，符合题意，故四边形面积的最小值为1
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
20．（2021·浙江·诸暨中学高二期中）已知双曲线：（，）的实轴长为，离心率.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线相交于，两点，弦的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由已知条件可得，，，解方程求得的值即可求解；
（2）设，，则，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式可得的方程.
（1）
由题意可得，解得：，所以双曲线的方程为：.
（2）
设，，
因为弦的中点坐标为，所以，，
将点，代入双曲线可得：
，两式相减可得：
即，所以，
所以直线的斜率为：，
所以直线的方程为：即.
21．（2021·广东·华南师大附中高二期中）已知双曲线过点，焦距为，．
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）.
（2）存在，直线为或.
【分析】
（1）根据焦距、双曲线上的点求双曲线参数，进而写出双曲线C的方程；
（2）由题设有，设直线为，，并联立双曲线方程，应用韦达定理、中点坐标公式求M，N的中点坐标，由等腰三角形中垂线性质求参数k，进而可得直线l的方程.
（1）由题设，，又在双曲线上，
∴，可得，
∴双曲线C的方程为.
（2）由（1）知：，设直线为，，
联立双曲线方程可得：，由题设，
∴，，则.
要使△构成以为顶角的等腰三角形，则，
∴的中点坐标为，
∴，可得或.
∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形.
22．（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为，，实轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知直线过点，
①求直线与双曲线有两个公共点时，直线的斜率的取值范围；
②设直线与双曲线的交点为、，求当为线段的中点时直线的方程．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，解方程组即可求出结果；
（2）①首先检验斜率不存在是否成立，斜率存在时，设出直线得方程与双曲线联立，解不等式，注意考虑与渐近线平行时的情况，即可求出结果；
①结合韦达定理以及中点坐标公式即可求出结果.
【详解】
（1）由题意可知双曲线得焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意可得，解得，双曲线的标准方程为．
（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，显然成立，
当斜率存在时，设直线方程为，
则，化简可得，
因为有两个公共点，
所以，
解得或，
由于当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，所以，
因此直线的斜率的取值范围；
②直线斜率不存在时，则由双曲线对称性，线段的中点在轴上，所以不满足题意；
设，，由①得，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，由①知符合题意，
所以直线方程为，即．
【点睛】
求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
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