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专题八 平面解析几何
08 圆锥曲线中的定点、定值、范围和最值问题
考纲对本模块内容的具体要求如下：
圆锥曲线中的定点、定值、范围和最值问题是解析几何中的常见问题，它多与圆锥曲线的性质相结合，难度较大，常出现在解答题中. 求解定值问题一般利用特殊情况先确定定值，再证明这个值与变量无关，或者通过直接推理、计算，在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值；探索直线过定点即先求出直线的方程，借助于直线系的思想证明直线过定点，或者从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关；证明动点在定直线上，就是求动点的轨迹，证明轨迹是直线.
考点一　定点问题
（2021·全国·模拟预测）已知是坐标原点，圆：与轴的左交点为，动点到圆心的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线，直线与曲线相交于，两点．
（Ⅰ）若经过点，求在轴上的截距的取值范围；
（Ⅱ）当与坐标轴不垂直的直线变化时，若总有，则是否定点？若过定点，求出该顶点；若不过定点，说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线恒过定点.
【分析】
（Ⅰ）先根据已知条件求出曲线的方程，再设出的斜截式方程，并与曲线联立，由判别式大于0，求得斜率的取值范围，即可求解；
（Ⅱ）由向量关系得出平分，并设出直线的方程，与曲线的方程联立，再利用一元二次方程根与系数的关系得到参数之间的关系及范围，再将平分转化为斜率关系，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）将圆的方程整理为，
所以圆心，．
因为动点到圆心的距离与直线的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线．
设的方程为（），则，
故曲线的方程为．
设直线的方程为．
联立消去整理得．
因为与相交于，两点，
所以，
整理，
所以或．
因为直线在轴上的截距为，
所以或，
故直线在轴上的截距的取值范围为．
（Ⅱ）直线恒过定点．
因为表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
所以表示的外角平分线的方向向量．
由知与的外角平分线垂直，
所以平分．
设直线的方程为，
联立消整理得，
．
设，，
则，．
因为平分，所以，
即，
故，
所以．
而．
由题知，所以，
所以直线的方程为，
当时，，故直线恒过定点．
【规律方法】
圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【跟踪练习】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点.
（1）求双曲线C：方程；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】
（1）
（2）过定点，（0，1）
【分析】
（1）利用待定系数法求处标准方程；
（2）先判断出斜率存在，不妨设直线AB的方程为，代入双曲线方程，利用“设而不求法”，表示出，得到，即可得到直线AB的方程为，经过定点.
（1）离心率为，则，，即双曲线方程为.
又点在双曲线C上，所以，
解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，
设，，则，
由，得，即，
整理得，
所以，
整理得：，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点（0，1）.
考点二 定值问题
（2021·云南·高三月考（文））已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据条件可得，，解出即可；
（2）设，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到，，然后由算出答案即可.
（1）由题意，，，
解得，，
因此椭圆的方程为；
（2）证明：直线的方程为，
设，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为.
由消去，得，
易知，得，，
所以直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.
（2021·江苏如皋·高三月考）已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.
（1）若直线又过的左焦点，求的值；
（2）若点的坐标为，求证：为定值.
【答案】
（1）；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出左焦点的坐标，设，，求出直线的方程，与双曲线方程联立，可得，，由两点间距离公式计算即可求解；
（2）设直线，与双曲线方程联立可得，，利用向量的坐标表示，整理即可求证.
（1）由双曲线可得，，所以，
所以，设，，
，所以直线的方程为，
由联立得：，
所以，
.
（2）由题意知直线的斜率存在，不妨设直线，
由可得：，
所以，，，，
.
所以为定值.
【点睛】
思路点睛：解决定值、定点的方法
（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；
（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.
（2021·重庆巴蜀中学高二期中）已知抛物线：上有一点.
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）过点的直线交抛物线C于A，B两点，为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】
（1）抛物线：，准线方程为：
（2）证明见解析
【分析】
(1)根据抛物线C所过的点即可求出C的方程及其准线方程.
(2)设出直线AB方程，与抛物线C的方程联立，借助韦达定理即可计算作答.
（1）因抛物线：过点，则有，解得，
所以抛物线的标准方程是：，准线方程为：.
（2）依题意，过点的直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程为，
由消去x并整理得：，设，则，，
于是得，
所以为定值.
【规律方法】
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
（1）求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
（2）求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
（3）求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
【跟踪练习】（2021·福建省福州第八中学高二期中）已知为坐标原点，椭圆：的左 右焦点分别为，，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过，的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，若，点在上，.证明：存在点，使得为定值.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据焦点坐标求出c，进而根据圆与直线相切并结合椭圆的定义求出a，再求出b，最后得到椭圆的方程；
（2）根据题意，设直线的方程为：，代入椭圆方程并化简，进而结合根与系数的关系与求出，然后根据求得答案.
（1）由题意，，，则.
又圆与直线相切，则圆的半径，
而圆又过两个焦点，结合椭圆定义可知，，
所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，
将带入得：，
所以，，
所以，
所以，
解得，，直线过定点或，
根据题意，在以为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，
所以存在定点或，使得为定值.
考点三 范围问题
（2021·全国·高二月考）已知圆，，是圆上的一个动点，的中垂线交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由中垂线性质可知，又，可得，即可求得点的轨迹的方程；
（2）设出直线的一般方程，联立椭圆方程求出韦达定理，求出中点，再设的垂直平分线的方程为，将点代入化简，结合即可求解.
（1）由题意可知：，
由的中垂线交于点，则，
，
则点的轨迹为以，为焦点，为长轴长的椭圆，
即，，，
点的轨迹的方程为：；
（2）
设直线，，，将代入椭圆方程，
消去得，
所以，即①，
由根与系数关系得，则，
所以线段的中点的坐标为.
又线段的垂直平分线的方程为，
由点在直线上，得，
即，所以②，
由①②得，
，，所以，即或，
所以实数的取值范围是.
（2021·辽宁大连·高二期中）已知圆的圆心为，过点作直线与圆交于点、，连接、，过点作的平行线交于点；
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知点，对于轴上的点，点的轨迹上存在点，使得，求实数的取值范围．
【答案】
（1）（）
（2）.
【分析】
（1）根据题意，轨迹为椭圆，计算得到椭圆方程.
（2）设，根据向量垂直得到，，化简得到，得到范围.
（1），故，即，
，故轨迹为椭圆，
，，，故，故轨迹方程为：（）.
（2）设，则，，
，即，，
即，即，，
设，，.
故实数的取值范围为.
【规律方法】
圆锥曲线中范围问题的求解方法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
（3）利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围.
（4）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【跟踪练习】（2021·浙江·瑞安中学高二期中）已知是平面上的动点， 且点与的距离之和为．点的轨迹为曲线．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点， 曲线与轴的交点为，当时，求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由椭圆定义得，由焦点坐标得，再计算出即得椭圆方程；
（2）设直线l方程为y＝k（x＋1，代入椭圆方程，设交点，由韦达定理得，代入圆锥曲线中的弦长求得的范围，再用数量积的坐标表示计算，并化为的函数，从而可得取值范围．
（1）依题意，点P的轨迹E是以为焦点，长轴为的椭圆，
设，则
故轨迹E的方程为．
（2）设直线l方程为y＝k（x＋1）
代入E的方程，整理得．
设点，
可得．
由得，，
解得．
因为
所以
．
由已知得
，
．
的取值范围是．
考点四 最值问题
（2021·浙江·镇海中学高二期中）已知抛物线，直线经过点，并与抛物线交于，两点．
（1）证明：在轴上存在一个定点，使得；
（2）若直线，分别交轴于，两点，设的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）设，联立方程组求得，由题意得到，代入抛物线方程得到，整理得到，根据和，即可求解.
（2）由，得到，写出和的方程，求得，得到，分直线的斜率不存在和存在，结合韦达定理得到，利用换元法和函数的单调性，即可求解.
（1）解：设，直线的方程为，
联立方程组，整理得，可得，
由，可得，即，
因为，可得，
整理得，即，
又因为，所以，
当时，此时直线方程为，此时关于轴对称，显然；
当时，解得 ，此时点，能使得，
综上可得，在轴上存在一点，使得.
（2）解：由，
又由，则，
又由直线的方程为，令，可得，
同理可得，所以，
两式相加可得，即，
当直线的斜率不存在时，此时，可得，且，
此时；
当直线的斜率存在时，此时，
则
，
又由，整理得，可得，
代入上式，可得，
所以，
令，可得，
令，则，所以，
又因为函数在上为单调递增函数，
所以，
综上可得，面积的最小值为.
（2021·重庆·高二月考）已知椭圆，其长轴为，离心率为，过椭圆上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴的交点分别为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由题意可得，，，求出、的值即可求解；
（2）设点椭圆上点坐标为，切点坐标为，由利用基本不等式可求出的最大值，由可得，同理，进而可得直线方程为：，求出 坐标结合面积公式即可求解.
（1）由题意可得：，得，
因为，可得，所以，
所以椭圆方程为.
（2）设点椭圆上点坐标为，切点坐标为，
因为直线，为圆的两切线，圆方程为，
所以，
因为，
所以，
得到：，即，
同理可得：，
所以点同时满足直线方程，
即直线方程为：，
令，得点坐标为，令，得点坐标为，
所以，
因为在椭圆上，所以，可得，所以，
所以，
当时等号成立，最小值为.
【规律方法】
圆锥曲线中最值问题的解决方法
（1）代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值.
（2）几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.
【跟踪练习】 （2021·四川省广安代市中学校高二月考（文））已知椭圆焦点在轴上，下顶点为，且离心率.直线经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相切，求直线的方程；
（3）若直线与椭圆相交于不同的两点 ，求面积的最大值.
【答案】
（1）
（2）或
（3）
【分析】
（1）由顶点坐标得，由离心率得，结合可求得，得椭圆方程；
（2）易知切线斜率存在，设方程为，代入椭圆方程，由求得，得切线方程；
（3）设，，直线方程为，代入椭圆方程，应用韦达定理得，而，代入计算后由基本不等式得的最大值，从而得面积最大值．
（1）设椭圆方程为，由已知得，，
又，∴，，
即椭圆方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，显然不成立.可设直线方程为：，
由消去整理得，，
又得，，
∴直线方程为：或.
（3）
设，，
由（2），得或，，，
又
，
又，∴，
当，的最大值为.
1.（2021·江苏省镇江中学高二期中）已知抛物线C：的焦点到其准线的距离为2，
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l过点与抛物线交于不同的两点A，B．点A关于y轴的对称点为，连接．求证：直线过y轴上一定点，并求出此定点坐标．
【答案】
（1）
（2）直线过定点
【分析】
（1）依题意表示出焦点坐标与准线方程，即可求，从而得解；
（2）设直线的方程为，又设，，，，则，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及判别式，求出直线的斜率，推出直线方程，利用直线系求解即可．
（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以，即，所以抛物线方程为；
（2）设直线的方程为，又设，，，，则，，
由得，则△，，，
所以，
于是直线的方程为，
所以，，当时，，
所以直线过定点．
2.（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线上点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若（位于轴上方）为抛物线上异于原点的两点，直线的斜率分别为，且满足，过点作，垂足为，设点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意可得点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，即可列式求出；
（2）设，直线的方程为：，联立直线与抛物线根据已知可求得直线过定点，设出直线的方程与直线联立求出坐标，即可根据距离公式结合取值范围得出.
【详解】
（1）点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，
点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，
，解得，即抛物线方程为；
（2）设，，则，
，则，即，
设直线的方程为：，
联立方程得，则，
所以，且，故，
则直线的方程为，过定点，
设直线的方程为：，
联立方程解得，
则.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
3.（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，点，，为上的两点，在第一象限，满足.
（1）求证：直线过定点，并求定点坐标；
（2）设为上的动点，求的取值范围；
（3）记△的面积为，△的面积为，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.
【分析】
（1）设，由已知并结合向量数量的坐标表示易得，再设为联立抛物线，应用韦达定理有，求得，即可证结论.
（2）设并求，关于参数a的表达式，由目标式化简，应用换元法并结合二次函数的性质求范围.
（3）由（1），用参数k表示、到的距离、，由、可得关于k的函数，应用判别式法求值域，进而可得最小值.
【详解】
（1）令，则，
由知：，又，，
∴，则，
设直线为，联立抛物线方程整理得：，则，
∴，故直线为，即直线过定点.
（2）设，则， ，
∴，令，
∴且，
∴当时，；当时，.
∴.
（3）由（1），直线为， 联立抛物线整理得：，
∴，，有，由在第一象限，则，即，
∴，可得.
，又到的距离，
∴，而，
∴，
∴，整理得，
∴，即，又，得：.
∴的最小值为.
4.（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于不同的两点、.
①若为线段的中点，求直线的方程；
②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）①或；②.
【分析】
（1）设点，则，利用平面向量数量积的坐标运算化简可得出曲线的方程；
（2）①分析可知直线不与轴垂直，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程代入曲线的方程，列出韦达定理，分析可知，结合韦达定理可求得实数的值，即可得出直线的方程；
②求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式以及韦达定理可得出关于的表达式，结合的取值范围可求得的取值范围.
【详解】
（1）设，则.
因为，所以，，
则，所以，所以曲线的方程为；
（2）①若的斜率为，则与曲线只有一个公共点，因此的斜率不为.
设直线的方程为，设点、，
由得，所以，解得或，
由韦达定理可得，，
因为为线段的中点，所以.
所以，，可得，，
解得，满足，
所以，直线的方程为，即或；
②因为点、关于轴对称，所以，
于是点到直线的距离为，
又，所以，
因此，面积的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
5.（2022·上海·高三专题练习）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q.
（1）求双曲线C的方程；
（2）在x轴上是否存在一点T？使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求M点的坐标，使得的面积最小.
【答案】（1）；（2）存在，；（3）或或或.
【分析】
（1）由渐近线方程得，再由顶点坐标可得，得双曲线方程；
（2）假设，由直线方程和是坐标，由向量的数量积运算可得，用坐标表示这个结论可得与关系，再由点在双曲线可得结论；
（3）直接计算的面积，用基本不等式可得最小值，从而得点坐标．
【详解】
（1）由已知得，所以，，所以双曲线方程为
（2）设，因为，令得，，令得
因为，平方可得，所以，
因为，所以，故，存在；
（3）因为
，
当且仅当时，取得最小值，
此时M的坐标是或或或.
6.（2021·全国·高二专题练习）已知直线与椭圆相交于、两点，是椭圆上一点
（1）当时，求面积的最大值；
（2）设直线和与轴分别相交于点、，为原点．证明：为定值．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）将代入椭圆方程，求出，求出点到直线的距离的最大值，进而可求得面积的最大值；
（2）设、两点坐标分别为、，设，则，，求出点、的坐标，结合椭圆方程可计算得出为定值.
（1）解：当时，将代入，解得，．
当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值，
面积的最大值是．
（2）证明：设、两点坐标分别为、，从而．
设，则有，，．
直线的方程为，令，得，从而．
直线的方程为，令，得，从而．
所以，
为定值．
7.（2021·广西·南宁市东盟中学模拟预测（理））已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
（1）证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
（2）设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在；
【分析】
（1）结合斜率的计算公式化简整理即可求出结果；
（2）直线MN的方程为与椭圆联立，进而结合韦达定理即可求出结果.
（1）
；设，且，则
所以
（2）设，直线MN的方程为；
联立及，得，
所以，（*）
若以MN为直径的圆过点B，则，即
将带入整理得；
带入（*），化简整理得5，解得，或（舍）
，满足，故存在，使得以MN为直径的圆过恒过定点B；
【点睛】
求定值、定点问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值、定点，再证明这个值、点与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值、定点．
8.（2021·吉林·长春市实验中学高二期中）已知点M是椭圆上一点，，分别为C的左 右焦点，，，的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，过点作直线l交椭圆C于异于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为，，证明：为定值.
【答案】
（1）
（2）证明见解析．
【分析】
（1）在中由三角形面积公式和余弦定理求得，得值，再求得可得椭圆方程；
（2）直线斜率不存在时直接求出两点地，计算出，斜率存在时，设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，代入化简可得．
（1）中，由余弦定理得，
即，
又，
，
所以，
，即，，又，
所以，
椭圆方程为．
（2）若直线的斜率不存在，则方程为，代入椭圆方程得，、
即，
，
直线斜率存在时，设直线方程为，设，
由得，
，，
，
综上，为定值．
9.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，且经过点
（1）求双曲线C的标准力程；
（2）己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．
【答案】（1）；（2），，或者，．
【分析】
（1）结合两点的坐标求得，由此求得双曲线的标准方程.
（2）设，设出动直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系以及判别式.由列方程，化简求得，由此求得的坐标以及对应的值.
【详解】
（1）由题意．
且．
联立解得，所以双曲线C的标准方程为．
（2）设，过点的动直线为：．
设，，联立得，-
所以，由且，解得且，
，即，即，．
化简得，
所以，．
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，
所以
如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去．
因此，从而，所以，代入
得，解得，此时在双曲线C上．
综上，，，或者，．
【点睛】
直线和双曲线位置关系有关问题，可采用设而不求，整体代入来进行求解.
10.（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点E(m，0)(m>0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
（1）求轨迹H的方程；
（2）若m＝1，且过点E的两条直线相互垂直，求△EMN的面积的最小值；
（3）若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
【答案】
（1）y2＝4x
（2）4
（3）证明见解析
【分析】
（1）设动圆圆心的坐标为(x，y)，根据题意建立关系即可求出；
（2）联立直线AB和抛物线方程，表示出坐标，即可表示出△EMN的面积，利用基本不等式可求出最小值；
（3）联立直线AB和抛物线方程，表示出坐标，即可得出直线MN方程，求出定点.
（1）设动圆圆心的坐标为(x，y)，
由题意知，化简得y2＝4x，
所以动圆圆心的轨迹H的方程为y2＝4x.
（2）当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，
因为AB⊥CD，所以k1k2＝－1.
设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立，消去x并整理，得k1y2－4y－4k1＝0，
则，y1y2＝－4，.
因为，所以.
同理，可得．
所以
，
当且仅当，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.
（3）设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立，消去x并整理，得k1y2－4y－4k1m＝0，
则，
.
因为，所以.
同理，可得，
所以，
所以直线MN的方程为
即y＝k1k2(x－m)＋2，所以直线MN过定点(m，2)．
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专题八 平面解析几何
08 圆锥曲线中的定点、定值、范围和最值问题
考纲对本模块内容的具体要求如下：
圆锥曲线中的定点、定值、范围和最值问题是解析几何中的常见问题，它多与圆锥曲线的性质相结合，难度较大，常出现在解答题中. 求解定值问题一般利用特殊情况先确定定值，再证明这个值与变量无关，或者通过直接推理、计算，在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值；探索直线过定点即先求出直线的方程，借助于直线系的思想证明直线过定点，或者从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关；证明动点在定直线上，就是求动点的轨迹，证明轨迹是直线.
考点一　定点问题
（2021·全国·模拟预测）已知是坐标原点，圆：与轴的左交点为，动点到圆心的距离与到直线的距离相等，动点的轨迹为曲线，直线与曲线相交于，两点．
（Ⅰ）若经过点，求在轴上的截距的取值范围；
（Ⅱ）当与坐标轴不垂直的直线变化时，若总有，则是否定点？若过定点，求出该顶点；若不过定点，说明理由．
【规律方法】
圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【跟踪练习】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点.
（1）求双曲线C：方程；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.
考点二 定值问题
（2021·云南·高三月考（文））已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.
（2021·江苏如皋·高三月考）已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.
（1）若直线又过的左焦点，求的值；
（2）若点的坐标为，求证：为定值.
（2021·重庆巴蜀中学高二期中）已知抛物线：上有一点.
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）过点的直线交抛物线C于A，B两点，为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为，，求证：为定值.
【规律方法】
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
（1）求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
（2）求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
（3）求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
【跟踪练习】（2021·福建省福州第八中学高二期中）已知为坐标原点，椭圆：的左 右焦点分别为，，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过，的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，若，点在上，.证明：存在点，使得为定值.
考点三 范围问题
（2021·全国·高二月考）已知圆，，是圆上的一个动点，的中垂线交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围.
（2021·辽宁大连·高二期中）已知圆的圆心为，过点作直线与圆交于点、，连接、，过点作的平行线交于点；
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知点，对于轴上的点，点的轨迹上存在点，使得，求实数的取值范围．
【规律方法】
圆锥曲线中范围问题的求解方法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
（3）利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围.
（4）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【跟踪练习】（2021·浙江·瑞安中学高二期中）已知是平面上的动点， 且点与的距离之和为．点的轨迹为曲线．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点， 曲线与轴的交点为，当时，求的取值范围．
考点四 最值问题
（2021·浙江·镇海中学高二期中）已知抛物线，直线经过点，并与抛物线交于，两点．
（1）证明：在轴上存在一个定点，使得；
（2）若直线，分别交轴于，两点，设的面积为，的面积为，求的最小值．
（2021·重庆·高二月考）已知椭圆，其长轴为，离心率为，过椭圆上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴的交点分别为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最小值.
【规律方法】
圆锥曲线中最值问题的解决方法
（1）代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值.
（2）几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.
【跟踪练习】 （2021·四川省广安代市中学校高二月考（文））已知椭圆焦点在轴上，下顶点为，且离心率.直线经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相切，求直线的方程；
（3）若直线与椭圆相交于不同的两点 ，求面积的最大值.
1.（2021·江苏省镇江中学高二期中）已知抛物线C：的焦点到其准线的距离为2，
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l过点与抛物线交于不同的两点A，B．点A关于y轴的对称点为，连接．求证：直线过y轴上一定点，并求出此定点坐标．
2.（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线上点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若（位于轴上方）为抛物线上异于原点的两点，直线的斜率分别为，且满足，过点作，垂足为，设点，求的取值范围.
3.（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，点，，为上的两点，在第一象限，满足.
（1）求证：直线过定点，并求定点坐标；
（2）设为上的动点，求的取值范围；
（3）记△的面积为，△的面积为，求的最小值.
4.（2021·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于不同的两点、.
①若为线段的中点，求直线的方程；
②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围.
5.（2022·上海·高三专题练习）在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q.
（1）求双曲线C的方程；
（2）在x轴上是否存在一点T？使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求M点的坐标，使得的面积最小.
6.（2021·全国·高二专题练习）已知直线与椭圆相交于、两点，是椭圆上一点
（1）当时，求面积的最大值；
（2）设直线和与轴分别相交于点、，为原点．证明：为定值．
7.（2021·广西·南宁市东盟中学模拟预测（理））已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
（1）证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
（2）设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
8.（2021·吉林·长春市实验中学高二期中）已知点M是椭圆上一点，，分别为C的左 右焦点，，，的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，过点作直线l交椭圆C于异于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为，，证明：为定值.
9.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，且经过点
（1）求双曲线C的标准力程；
（2）己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．
10.（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点A(2，0)，且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点E(m，0)(m>0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
（1）求轨迹H的方程；
（2）若m＝1，且过点E的两条直线相互垂直，求△EMN的面积的最小值；
（3）若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
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