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角平分线的五种常用解题技巧以及角平分线在抛物线解题中的妙用
经常看到不少同学，遇到与角平分线相关的题目时，不知从何下手，其实万变不离其宗，如果你掌握了角平分线的性质以及以下五种角平分线常用解题技巧，所有角平分线相关的题目都会迎刃而解！
一、角平分线遇平行构造等腰三角形
例1、如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．
①求证：AB＝DE；
②√若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，（角平分线遇平行构造等腰三角形）
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．
二、有角平分线时，常过角平分线上的关键点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题。
例2、如图：在△ABC中，∠BAC=100°，∠ACB=20°，CE是∠ACB的角平分线，D是BC上一点，若∠DAC=20°，求∠CED的度数．
延长CA到X，
∵∠BAC=100°，∠ACB=20°
∴∠B=60°，∠BAX=80°，∠DAB=80°，
∴∠DAB=∠BAX=80°，∠ADB=40°，
即AE平分∠DAX，
过E作EM，EN，EQ垂直CA，CD，AD
∵AE是DAX角平分线，
∴EM=EQ
∵CE是ACD角平分线，
∴EM=EN
∴EQ=EN
∴EM=EN
∴DE是∠ADB角平分线，
∴∠EDB=1/2∠ADB=20°，
∵∠ACB=20°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠DEC=10°，
∴∠DEC=20°-10°=10°．
三、有与角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，构造全等三角形
例3、如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交边CD于F点，交AD边于H，延长BA到G点，使AG＝CF，连接GF.若BC＝7，DF＝3，EH＝3AE，则GF的长为_______.
【解】延长FE、AB交于点I，易得CE＝CF，BA＝BE，
设CE＝x，
则BA＝CD＝3＋x，BE＝7－x，
3＋x＝7－x，
x＝2，AB＝BE＝5，AE＝，
作AJ⊥BC，连接AC，
求得GF＝AC＝3
四、有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形
例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE+CF>EF
【提示】截取DN=DB，则有△DEN≌△DFN，△DFN≌△DFC
∴BE=EN,NF=FC
而在同一三角形中EN+NF>EF
∴BE+CF>EF
五、有两条角平分线交于一点时，常连接第三个顶点与角平分线的交点；并观察三角形两角和的一半是否为特殊角
例5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=，则AC=　 　．
重要方法：题目中有边长时，判断是否有以此边为一边的角为45
【答案】解：作EG⊥AF，连接CF，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,
∴∠FAB+∠FBA=45°，∴∠AFE=45°，
在Rt△EGF中，
∵EF= ,∠AFE=45°，
∴EG=FG=1，
又∵AF=4,
∴AG=3,
∴AE= ，
∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,
∴CF平分∠ACB,
∴∠ACF=45°，
∵∠AFE=∠ACF=45°，∠FAE=∠CAF，
∴△AEF∽△AFC，
∴ ,即 ,∴AC= .
六、角平分线在抛物线解题中的妙用
练习：如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+c与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点P在x轴上，直线DP将△BCD的面积分成1：2两部分，请求出点P的坐标；
（3）如图2，作DM⊥x轴于M点，点Q是BD上方的抛物线上一点，作QN⊥BD于N点，是否存在Q点使得△DQN∽△DBM？若存在，请 直接写出Q坐标；若不存在，请说明理由．
重要总结：任意选取一条边，在这条边上找到一点，使这点把该边分为1∶2，连接这点和这个点·所在边的对角顶点，得到两个小三角形，这两个三角形面积比就是1∶2，
【解答】解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+kx+c得：
，解得：，
∴抛物线表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则点D的坐标为（1，4）；
（2）取BC的三等分点E、F，作EG⊥x轴于点G，FH⊥x轴于点H，
∵B（3，0）
∴由平行线分线段成比例的性质可得：OG＝GH＝HB＝1．
由B（3，0）、C（0，3）可得BC的直线表达式为：y＝﹣x+3，
∴E（1，2）、F（2，1），
∴P1坐标为（1，0），
由D（1，4）、F（2，1）得DF的直线表达式为：y＝﹣3x+7，
当y＝0时，x＝，即点P坐标为（，0），
故点P的坐标为（1，0）或（，0）；
（3）存在，理由：设点Q坐标为（m，n），n＝﹣x2+2x+3，
延长QN交DM于点Q′，（此处应用与角平分线垂直的线段延长与角的另一边相交，在角平分线两边截取的线段相等的性质）
∵△DQN∽△DBM，
∴∠MDB＝∠BDQ，而DN⊥QN，
∴DQ′＝DQ，
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