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椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}．
　定义中的常数不满足2a>|F1F2|时点的轨迹是什么？
提示：(1)当|PF1|＋|PF2|＝2a<|F1F2|时，P的轨迹不存在.
(2)当|PF1|＋|PF2|＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 标准方程 焦点 焦距
焦点在x轴上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c
焦点在y轴上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c
　(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
　(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　　)
提示：(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．
(2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　　)
提示：(2)×.2a<|F1F2|，动点的轨迹不存在．
(3)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　　)
提示：(3)√.符合椭圆的定义．
(4)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　)
提示：(4)×.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若＝2，则＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】选D.由题意a＝5，＋＝2a，
所以＝2a－＝10－2＝8.
3．(教材二次开发：例题改编)设F1，F2为定点，＝6，动点M满足＋＝10，则动点M的轨迹是________．(从以下选择：椭圆．直线．圆.线段)
【解析】动点M满足＋＝10>6＝|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．
答案：椭圆
类型一　求椭圆的标准方程(数学运算)
1．(2021·昆明高二检测)已知椭圆的两个焦点是，，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．－＝1
【解析】选A.由题意，因为椭圆的两个焦点是(－3，0)，(3，0)，
所以c＝3，且焦点在x轴上，又因为椭圆过点，
所以b＝2，根据a2＝b2＋c2，可得a＝，故椭圆的标准方程为＋＝1.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－，0)，且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积最大值为3，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选C.因为椭圆C的左焦点为F(－，0)，所以c＝，
又因为椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形面积的最大值为3，
即×2a×b＝ab＝3①
又因为a2＝b2＋c2，即a2＝b2＋3②
由①②解得：a＝，b＝，
椭圆C的方程为＋＝1.
3．求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程．
【解析】方法一：(1)当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
依题意，有
解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去．
(2)当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
1．求曲线方程首先考虑比较简单的定义法，也可以用待定系数法．
2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程．
①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)；
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b或m，n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b或m，n代入所设方程即为所求．
提醒：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同．
类型二　椭圆中的焦点三角形问题(数学运算)
【典例】(1)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小．
(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
【思路导引】
【解析】(1)由＋＝1，知a＝3，b＝，
所以c＝，|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝＝－，
所以∠F1PF2＝120°.
(2)由＋＝1，知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.②
由①②联立得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2
＝××2×＝.
1．椭圆定义的应用
(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化．
(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题．
2．椭圆定义解题的整体思想
对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，如果已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为，过点F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．
【解析】由题意及椭圆的定义知4a＝4，
则a＝.又＝＝，
所以c＝1.所以b2＝2.
所以C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是________．
【解析】由椭圆方程知a＝，b＝2，
所以c＝＝1，
所以|F1F2|＝2，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－
2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－
2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝16(2－)，＝|PF1|·
|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.
答案：8－4
　　　【拓展延伸】
　　 椭圆中的焦点三角形：
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
【拓展训练】
在椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，点P的坐标为(x0，y0)，求证：△PF1F2的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2 tan .
【证明】S△PF1F2＝|F1F2||y0|＝c|y0|.
在△PF1F2中，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a.
两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2.①
根据余弦定理，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2| cos α＝4c2.②，
①－②，得(1＋cos α)|PF1||PF2|＝2b2，
所以|PF1||PF2|＝.
根据三角形的面积公式得
＝|PF1||PF2|sin α
＝··sin α＝b2·.
又因为＝＝＝tan ，
所以＝b2tan .
类型三　与椭圆有关的轨迹问题(直观想象、数学运算)
　定义法
【典例】一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【思路导引】由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．
【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．由题设有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，
所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
　若将“圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1”改为“圆Q1：(x＋3)2＋y2＝9”，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【解析】由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝3；Q2(3，0)，R2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R.由题设有
|MQ1|＝3＋R，|MQ2|＝9－R，
所以|MQ1|＋|MQ2|＝12>|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝6，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝36－9＝27，椭圆方程为＋＝1，又当M在点(－6，0)时，不存在圆符合题意，所以x≠－6，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1(x≠－6).
　代入法(相关点法)
【典例】已知P是椭圆＋＝1上一动点；O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．
【思路导引】点Q为OP的中点 点Q与点P的坐标关系 代入法求解．
【解析】设Q(x，y)，P(x0，y0)，
由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
又 eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,8) ＝1，
所以＋＝1，即x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
1．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
2．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).
1．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解析】设动圆M的半径为r，
则|MA|＝r，|MB|＝8－r，所以|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，所以动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3，0)，B(3，0)，且2a＝8，
所以a＝4，c＝3，b2＝a2－c2＝16－9＝7.
所以所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
2．(2021·洛阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且是与的等差中项．
(1)求此椭圆方程；
(2)若点P满足∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
【解析】(1)设所求椭圆方程为＋＝1(a>0，b>0)，
根据已知可得＝2，
所以＋＝4＝2a，
所以a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
所以此椭圆方程为＋＝1；
(2)在△PF1F2中，设＝m，＝n，
由余弦定理得4＝m2＋n2－2mn·cos 60°，
所以4＝(m＋n)2－2mn－2mn·cos 60°＝16－3mn，mn＝4，
所以S△PF1F2＝mn·sin 60°＝×4×＝.
1．若方程＋＝1表示椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．∪
C．∪
D．∪
【解析】选B.因为方程＋＝1表示椭圆，
所以有
－202．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选C.由已知c＝8，2a＝20，
所以a＝10，b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.
3．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．
【解析】由题可知，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得1－m>m>0，解得：0所以实数m的取值范围为.
答案：
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．
【解析】由于椭圆的焦点在x轴上，
所以
即解得a>3或－6答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)
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11椭圆的简单几何性质
导思
1.椭圆标准方程中a，b的几何意义是什么？
2．离心率对椭圆扁平程度的影响是怎样的？
1.椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
对称性 关于x、y轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴 长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b
【思考】
(1)如何从方程形式判断曲线的对称性？
提示：在曲线的方程里，
①如果把x换成－x而方程不变，那么曲线关于y轴对称．
②如果把y换成－y而方程不变，那么曲线关于x轴对称．
③如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
提示：与位置无关的，如长轴长、短轴长、焦距；与位置有关的，如顶点坐标、焦点坐标等．
2．椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为e＝，因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0，1)，当e越接近于1时，椭圆越扁，当e越接近于0时，椭圆越圆．
【思考】
(1)椭圆离心率趋向于1和0时其图形趋向的形状是什么样的？
提示：当e→0时，椭圆趋向的形状是圆，当e→1时，椭圆趋向的形状是线段．
(2)在a不变的情况下，随c的变化椭圆的形状如何变化？若c不变，随a的变化，椭圆的形状又如何变化呢？
提示：①a不变，c越小，椭圆越圆；c越大，椭圆越扁平．
②c不变，a越大，椭圆越圆；a越小，椭圆越扁平．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.(　 ×　)
提示：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是2a.
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　)
提示：离心率 e 越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.(　 ×　)
提示：若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1或者＋＝1.
(4)设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).(　 √　)
提示：椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
2．焦点在x轴上，过点且离心率为的椭圆的标准方程是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．x2＋＝1 B．＋y2＝1
C．x2＋4y2＝1 D．＋＝1
【解析】选B.由焦点在x轴上，过点，可得a＝2，由离心率e＝＝，可得c＝，
所以b＝＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
3．(教材二次开发：练习改编)若椭圆＋＝1经过点(，)，则该椭圆的短轴长是________．
【解析】因为椭圆＋＝1经过点(，)，
所以＋＝1，解得m＝3，所以该椭圆的短轴长为2.
答案：2
类型一　椭圆的几何性质(数学抽象)
【典例】1.椭圆C：4x2＋y2＝16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．8，4，(±2，0) B．8，4，(0，±2)
C．4，2，(±2，0) D．4，2，(0，±2)
【解析】选B.椭圆C：4x2＋y2＝16，即＋＝1，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为(0，±2).
2．已知点P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆上的两个焦点，
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积．
【解析】由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16，　①
在△F1PF2中，F2(，0)，F1(－，0)，
由余弦定理得，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12，　②
由①②得|PF1||PF2|＝，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝.
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
【解析】设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得PF1·PF2<0，
即(－－x，－y)·(－x，－y)＜0，
又＋y2＝1，
所以x2<2，解得－所以点P横坐标的取值范围是－【思路导引】
1．化椭圆方程为标准方程，然后求解椭圆的几何量．
2．(1)运用椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a及两焦点坐标，结合余弦定理及面积公式，即可求得△F1PF2的面积．
(2)设P(x，y)，根据∠F1PF2是钝角推断出<0.
　研究椭圆几何性质的一化、二判、三求
一化：将所给方程正确化成椭圆的标准形式．
二判：根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上．
三求：准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关问题．
　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标．
【解析】椭圆4x2＋9y2＝36化为标准方程＋＝1，
所以a＝3，b＝2，
所以c＝＝＝.
所以椭圆的长轴长为2a＝6，焦距为2c＝2，
焦点坐标为F1，F2，顶点坐标分别为
A1，A2，B1，B2.
类型二　由椭圆的性质求椭圆方程(数学抽象、数学运算)
【典例】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
【解析】设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0).由已知，2a＝10，a＝5，e＝＝，
所以c＝4，b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【解析】依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
【思路引领】先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求a，b，c.
　利用待定系数法求椭圆标准方程的关注点
(1)基本思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
(2)在求解a2，b2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝等构造方程(组)加以求解．
1．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1 D．＋y2＝1
【解析】选A.由|BF2|＝|F1F2|＝2，得a＝2，2c＝2，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，
所以该椭圆方程为＋＝1.
2．(2021·南宁高二检测)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，长轴长为10，焦距为4；
【解析】因为长轴长2a＝10，焦距2c＝4，所以a＝5，c＝2，
设短半轴长为b，因为a2＝b2＋c2，所以b＝.
又因为焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)焦点坐标分别为F1，F2，且经过点A.
【解析】因为焦点坐标分别为F1，F2，所以该曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且半焦距c＝1，
设椭圆的长轴长2a＝AF1＋AF2＝＋＝4，故a＝2，c＝1，
设短半轴长为b，因为a2＝b2＋c2，所以b＝，
所以该椭圆的标准方程为＋＝1.
类型三　求椭圆的离心率(数学运算)
　直接求出a，c的值
【典例】如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，则该椭圆的离心率为________．
【思路导引】求出直线l与x、y轴的交点，找出a，b，进而求出离心率e.
【解析】在直线l的方程x－2y＋2＝0中令y＝0得x＝－2，令x＝0得y＝1，故F1(－2，0)，B(0，1)，
所以c＝2，b＝1，故a2＝b2＋c2＝5.
所以a＝，因此离心率e＝＝＝.
答案：
　求c与a 的比值
【典例】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
【思路导引】由题设设出椭圆方程，求得A，B点坐标，根据△ABF2是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率．
【解析】不妨设椭圆焦点在x轴上，椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0).
依题意设A点坐标为，
则B点坐标为，
所以|AB|＝.
由△ABF2是正三角形得2c＝×，
即b2＝2ac，又因为b2＝a2－c2，
所以a2－c2－2ac＝0，
两边同除以a2得＋2－＝0，
解得e＝＝(负值舍去).
1．(变换条件)将本例中条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设A(0，y0)(y0＞0)，
则B，
因为B点在椭圆上，所以＋ eq \f(y,4b2) ＝1，
解得y＝4b2－，
由△AF1F2为正三角形得4b2－＝3c2，
即c4－8a2c2＋4a4＝0，
两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，
解得e＝－1(e＝＋1舍去).
2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率．
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由题意知A在椭圆上，
所以＋＝1，
解得e＝(负值舍去).
　求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解．
(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.
1．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．
C． D．
【解析】选D.由题意可设|PF2|＝m(m＞0)，
结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，
故离心率e＝＝＝＝＝.
2．(2021·桂林高二检测)F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆C上，且△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选C.根据题意画出参考图，过点P作PM⊥x轴于点M，
由题意知＝＝2c，
在直角△PMF2中，∠MF2P＝60°，＝c，＝c，可知点P的坐标为，又点P在椭圆C上，则＋＝1，又b2＝a2－c2，代入化简整理可得：8a2c2＝a4＋4c4，两边同除以a4得：4e4－8e2＋1＝0(e＝∈(0，1))，解得e2＝，即e＝.
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．8 C．2 D．4
【解析】选A.由题意＋x2＝1，
所以a2＝，b2＝1 且＝2·1，所以m＝.
2．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B． C． D．
【解析】选A.化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3，所以e＝＝.
3．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)具有(　　)
A．相同的离心率 B．相同的焦点
C．相同的顶点 D．相同的长短轴
【解析】选A.将＋＝k转化为椭圆的标准方程＋＝1，可以发现与＋＝1有相同的离心率．
4．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，则椭圆的短轴长为________．
【解析】因为椭圆的离心率为，焦距为2， c＝1，e＝＝＝，所以a＝2，由b2＝a2－c2＝4－1＝3，得b＝，则椭圆的短轴长2b＝2.
答案：2
5．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
【解析】由题意知，2c＝8，c＝4，
所以e＝＝＝，
所以a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
【解析】由已知得
所以从而b2＝9，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
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10第2课时　椭圆方程及性质的应用
导思 1.直线与椭圆的位置关系都有哪些？2．如何判断直线与椭圆的位置关系．
1.点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
位置关系 满足条件
P在椭圆外 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) >1
P在椭圆上 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) ＝1
P在椭圆内 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) <1
2.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
3．弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．弦长公式：|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
如何利用y1，y2表示弦长|AB|？
提示：|AB|＝·.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(　√　)
提示：根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．
(2)直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　√　)
提示：由－y＝1得y＝－1，代入＋y2＝1，
解得两交点坐标A(0，－1)，B(2，0).|AB|＝＝.
(3)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　×　)
提示：因为P(b，0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．
(4)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　√　)
提示：直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a，0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．
2．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【解析】选A.联立直线与椭圆的方程得
消去y得9x2＋10x－15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交．
【一题多解】选A.直线过点(0，1)，而0＋<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．
3．(2021·南充高二检测)直线y＝x与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则等于(　　)
A．2 B． C． D．
【解析】选C.由，
解得A，B，
由两点间的距离公式得＝＝＝.
类型一　点、直线与椭圆的位置关系(数学运算、直观想象)
1．直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断
【解析】选B.由题知，直线恒过定点，将点代入＋可得＋<1，故在椭圆内，直线与椭圆相交．
2．已知点P(k，1)在椭圆＋＝1外，则实数k的取值范围为________．
【解析】由题意知＋＞1，解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为∪.
答案：∪
3．当实数m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144有一个公共点？两个公共点？没有公共点？
【解析】联立直线与椭圆方程
整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0.
Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14 400.
当Δ＝0时，m＝±5，直线与椭圆有一个公共点．
当Δ>0时，－5当Δ<0时，m<－5或m>5，直线与椭圆没有公共点．
直线与椭圆位置关系的判断方法
【补偿训练】
k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
【解析】由消去y，得
2x2＋3(kx＋2)2＝6，即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0.
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.
①当Δ＝72k2－48>0，即k<－或k>时，直线和曲线有两个公共点．
②当Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－时，直线和曲线有一个公共点．
③当Δ＝72k2－48<0，即－类型二　弦长、中点问题(数学运算)
【典例】1.过椭圆4x2＋5y2＝20内一点P(1，1)引一条恰好被P点平分的弦，求这条弦所在直线的方程．
2．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
【思路导引】
1．分别设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差求得弦所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
2．可先求出A，B两点坐标，再转化为两点间的距离问题；也可以利用弦长公式求解．
【解析】1.设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
则4x＋5y＝20，4x＋5y＝20，
两式作差可得：
4(x1－x2)(x1＋x2)＝－5(y1－y2)(y1＋y2)，
所以＝－＝－.
因为直线过点P(1，1)，
所以这条弦所在直线的方程是y－1＝－(x－1)，
即4x＋5y－9＝0.
2．因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1，0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
方法一：解方程组
得交点A(0，－2)，B，
所以|AB|＝
＝
＝＝，
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25＞0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝0.
所以|AB|＝
＝ eq \r(（x1－x2）2（1＋k）)
＝ eq \r(（1＋k）[（x1＋x2）2－4x1x2])
＝＝.
方法三：由方程组
消去x得3y2＋2y－8＝0，因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100＞0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|AB|＝
＝ eq \r(（y1－y2）2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)＋1)))
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（y1＋y2）2－4y1y2)))
＝＝.
1．解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，①,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，②))
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
2．直线被椭圆截得的弦长的求法思路
(1)求两交点坐标，转化为两点间距离．
(2)用公式来求．
设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|.
1．已知一条直线与椭圆4x2＋9y2＝36交于A，B两点，弦AB恰好被点M(1，1)平分，则弦AB所在直线方程为(　　)
A．9x＋4y＋13＝0 B．9x＋4y－13＝0
C．4x＋9y－13＝0 D．4x＋9y＋13＝0
【解析】选C.设A，B，代入椭圆方程得4x＋9y＝36，4x＋9y＝36，两式相减并化简得4(x1＋x2)(x1－x2)＝－9，即4·＝－9·，即－＝，所以直线AB的斜率为－，所以直线AB的方程为y－1＝－，化简得4x＋9y－13＝0.
2．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程．
(2)求此弦长．
【解题指南】(1)方法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．
方法二：点差法．
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2).代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝，又M为AB的中点，
所以＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(2，1)为AB的中点，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，又A，B两点在椭圆上，
所以x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝－＝－，即kAB＝－，又直线AB过点M(2，1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，
所以|AB|＝·
＝·＝2.
类型三　与椭圆有关的综合问题(直观想象、逻辑推理)
　与面积的综合问题
【典例】(2021·大理高二检测)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2.点P满足＝.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆2＋2＝16相交于M，N两点，且＝，求椭圆的方程．
【思路导引】
(1)由|PF2|＝|F1F2|及两点间距离公式可建立等式＝2c，消去b，即可求解出，不符合题意的根要舍去；
(2)联立直线PF2和椭圆的方程，利用弦长公式求得|AB|，再利用几何关系求得|MN|，代入|MN|＝|AB|，可解得c，从而得到椭圆的方程．
【解析】(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，
因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，
整理得22＋－1＝0，得 ＝－1(舍)或＝，
所以e＝；
(2)由(1)知a＝2c，b＝，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)，A，B两点的坐标满足方程组为，
消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0， x2＝c，得方程组的解为和 ，
不妨设：A， B(0，－c)，
所以|AB|＝＝c，
于是 |MN|＝|AB|＝2c，圆心(－1，)到直线PF2的距离为 d＝＝，
因为d2＋2＝42，
所以 (2＋c)2＋c2＝16，整理得：7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)或 c＝2，所以椭圆方程为＋＝1.
　最值、范围问题
【典例】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若λ∈，求弦长|AB|的取值范围．
【思路导引】
(1)将“直线l垂直于x轴时，|AB|＝”转化为椭圆过点，代入椭圆方程，然后结合离心率为，a，b，c的关系，求解即可．
(2)运用弦长公式求出|AB|，此时|AB|中含有参数，根据参数范围求|AB|范围．
【解析】(1)由已知e＝，得＝，
因为当直线l垂直于x轴时，|AB|＝，
所以椭圆过点，
代入椭圆方程得＋＝1，
又a2＝b2＋c2，可得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，λ＝＝＝3＋2＞2或λ＝＝＝3－2＜，不符合题意．
所以直线的斜率不能为0.
设直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程代入椭圆方程得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由
根与系数的关系可得，
将①式平方除以②式可得：＋＋2＝－，
由已知|MA|＝λ|MB|可得，＝－λ，
所以－λ－＋2＝－，
又知λ∈，
由对勾函数单调性得－λ－＋2∈，
所以－≤－≤0，
解得m2∈.
|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2
＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]
＝8＝8，
因为m2∈，
所以∈，
所以|AB|∈.
求最值、范围问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值．
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
1．(2021·保山高二检测)设F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，P为椭圆C上给定一点，以PF1为直径作圆Γ，点Q为圆Γ上的动点，则坐标原点O到Q的距离的最大值为________．
【解析】设P(x，y)，因为F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，记右焦点为F2，则F1，F2，记PF1的中点为M，由题意可得，M为圆Γ的圆心，圆Γ的半径为r＝，因为点Q为圆Γ上的动点，由圆的性质可得，坐标原点O到Q的距离的最大值为max＝＋r＝＋＝＝＝＝a＝.
答案：
2．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
(2)当m＝1时，求直线与椭圆的相交弦长．
(3)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．
【解析】联立消去y得
5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)
(1)因为直线和椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即m2≤，
所以－≤m≤.
所以m的取值范围为.
(2)设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将m＝1代入(*)式得5x2＋2x＝0.
由题意得Δ＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝0，
则弦长为|x1－x2|
＝·
＝×＝.
(3)设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知Δ＞0，
则－＜m＜，对于(*)式，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，
x1·x2＝，
则弦长为|x1－x2|
＝·＝·.
由上式知，当m＝0时，弦最长．此最长弦所在的直线的方程为y＝x，即x－y＝0.
备选类型　求解椭圆问题的一般思路(逻辑推理、数学抽象)
【典例】已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由已知，直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.
由消去y可得x2－18＝0，
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)若设A(x1，y1)，B(x2，y2).当直线l的斜率不存在时，不合题意，设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).
联立消去y得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
所以＝＝4，解得k＝－，满足Δ＞0.
这时直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
【一题多解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,36)＋\f(y,9)＝1，,\f(x,36)＋\f(y,9)＝1，))
两式相减得 eq \f(x－x,36) ＋ eq \f(y－y,9) ＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4，2)是AB的中点，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，kAB＝－＝－，
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
(1)几何法：一般地，对于选择、填空题，题目的条件和结论能明显体现几何特征及其意义，考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出所求问题隐含的几何意义，并能借助相应椭圆的定义及性质求解．
(2)代数法：一般地，对于解答题，条件和结论能体现一种明确的代数关系，可首先建立起方程式，再根据方程式的特征选用适当的方法求解．
直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程．
【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，得
(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)＝，化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，k＝±1，满足Δ＞0，
所以直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
1．(2021·贵阳高二检测)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)
A．3 B．2 C．2 D．4
【解析】选C.设椭圆长轴长为2a(且a>2)，
则椭圆方程为＋＝1.
由，
可得(4a2－12)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
因为直线与椭圆只有一个交点，则Δ＝0，
即192(a2－4)2－16(a2－3)×(16－a2)×(a2－4)＝0.
解得a＝0或a＝2或a＝，
又由a>2，所以a＝，所以长轴长2a＝2.
2．已知点(2，3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是(　　)
A．点(－2，3)在椭圆外 B．点(3，2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上
【解析】选D.由椭圆对称性易知点(2，－3)在椭圆上．
3．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________，________．
【解析】过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；
最短弦为过焦点垂直于长轴的弦，
因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，
解得y2＝，即y＝±，
所以最短弦的长为2×＝3.
答案：4　3
4．已知椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2.过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是________．
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，))
两式相减得＝－，
所以＝－·，所以＝＝4，
所以a2＝2b2＝4，所以a＝2.
答案：2
5．焦点分别为(0，5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).依题意，有a2－b2＝(5)2＝50.①
由消去y并整理，得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.
因为所得弦的中点的横坐标为，
所以＝，a2＝3b2.②
由①②，得a2＝75，b2＝25.
经检验，此时Δ>0.所以椭圆方程为＋＝1.
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17双曲线及其标准方程
导思 1.双曲线上的点到两焦点的距离满足什么条件？2．定义中的常数与|F1F2|的关系有什么要求．
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)定义的集合表示：
P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
(1)如何理解“绝对值”？
提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
(2)把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或常数为0，结果如何？
提示：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．双曲线的标准方程
焦点所在的坐标轴 x轴 y轴
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系式 a2＋b2＝c2
如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？
提示：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　×　)
提示：双曲线中b2＝c2－a2，椭圆中b2＝a2－c2.
(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．(　×　)
提示：因为|AB|＝2＝|AC|－|BC|，所以C点的轨迹是两条射线．
(3)双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a>b.(　×　)
提示：在双曲线－＝1中，焦点在x轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b.
2．双曲线x2－＝1的焦点坐标为(　　)
A．，(，0) B．，(2，0)
C．，(0，) D．，(0，2)
【解析】选B.由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，b＝，所以c＝2，所以双曲线x2－＝1的焦点坐标为，(2，0).
3．(教材二次开发：例题改编)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________.
【解析】因为双曲线的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为－＝1(a>0，b>0).
因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5.
所以b2＝52－32＝16.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
类型一　双曲线的定义及其应用(数学抽象、数学运算)
【典例】1.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝(　　)
A．－1 B．1 C．±1 D．2
2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
3．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【思路导引】1.直接利用焦点的定义求解．
2．利用定义及3|PF1|＝4|PF2|求得|PF1|和|PF2|，得到三角形是直角三角形，再求面积．
3．利用定义转化为A点与右焦点的距离处理．
【解析】1.选B.由双曲线－＝1知：a>0且焦点为(±，0)，而其与椭圆＋＝1有相同焦点，所以a2<4且4－a2＝a＋2，解得a＝1(负值舍去).
2．选C.由题意得
解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝24.
3．因为F是双曲线－＝1的左焦点，
所以F(－4，0)，设其右焦点为H(4，0)，
则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.
答案：9
求解双曲线中焦点三角形面积的两种方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系．
1．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)
A．8 B．10 C．4＋3 D．3＋3
【解析】选B.由已知双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
2．已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．
【解析】因为P是双曲线左支上的点，
所以|PF2|－|PF1|＝6，
两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
类型二　双曲线标准方程的求法及其应用(数学运算)
　待定系数法求双曲线方程
【典例】求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为26，且经过点M(0，12).
(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，.
【思路导引】
(1)判断焦点的位置，由c和a的大小，利用b2＝c2－a2求得b，写出方程．
(2)设出双曲线的方程利用待定系数法求得参数，解得方程．
【解析】(1)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
则解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
待定系数法求方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
　定义法求双曲线方程
【典例】如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
四步 内容
理解题意 条件：定圆F1，定圆F2，动圆M与定圆F1，F2都外切，结论：圆心M的轨迹方程
思路探求 寻找动点M与定点F1，F2的距离之和或差的关系，发现|MF2|－|MF1|＝3是定值，运用双曲线的定义求解．
书写表达 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，所以|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.所以动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.注意书写的规范性：①注意判断2a与2c的关系，即|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|；②注意最后查缺补漏，即x≤－.
题后反思 定义法比直接法计算量少，但需要寻求关系，并且要注意点的范围，即双曲线上的所有点是否都能取到．
运用双曲线定义求轨迹方程
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
1．(2021·洛阳高二检测)已知双曲线的上、下焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点且|－|＝4，则双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】选C.由双曲线的定义可得c＝3，2a＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1.
2．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
【解析】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件得|MC1|－
|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|
＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
答案：x2－＝1(x≤－1)
类型三　利用双曲线的标准方程求参数(数学运算)
【典例】1.若方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．m＜4 B．m＞9
C．4＜m＜9 D．m＜4或m>9
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是________．
【思路导引】
1．根据双曲线的定义可知，要使方程表示双曲线，需9－m和4－m异号，进而求得m的范围．
2．根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解．
【解析】1.选C.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(9－m)(4－m)＜0，解得4＜m＜9.
2．由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m>5.
所以实数m的取值范围是(5，＋∞).
答案：(5，＋∞)
把本例1中的方程改为“＋＝1”表示双曲线，那么m的取值范围是________.
【解析】依题意有或
解得－33.
所以m的取值范围是{m|－33}．
答案：{m|－33}
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
1．双曲线－＝1的焦距是(　　)
A．4 B．2 C．8 D．与m有关
【解析】选C.c2＝m2＋12＋4－m2＝16，所以c＝4，2c＝8.
2．如果方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．
【解析】由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范围是(－2，－1).
答案：(－2，－1)
【补偿训练】
已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1，3)　　　 B．(－1，)
C．(0，3) D．(0，)
【解析】选A.由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，
解得－m21．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)
A．22或2 B．7 C．22 D．2
【解析】选A.设双曲线－＝1的左右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝，
设P为双曲线上一点，不妨令＝12(12>a＋c＝5＋)，
所以点P可能在左支，也可能在右支，
由＝2a＝10，得＝10，
所以＝22或2.
所以点P到另一个焦点的距离是22或2.
2．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足－＝10，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
【解析】选D.由于|F1F2|＝2＋8＝10，即|PF1|－|PF2|＝|F1F2|，所以P点轨迹是一条射线．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
【解析】由题易知，双曲线的右焦点为(4，0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，
则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
4．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
【解析】由题可知：椭圆的焦点F1，F2，又双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，所以双曲线的焦点为F1，F2，
由双曲线与椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4，
所以点A，则－＝－＝4＝2a，
所以a＝2，又b2＝c2－a2＝5，
所以双曲线的标准方程为：－＝1.
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11第1课时　双曲线的简单几何性质
1.双曲线的几何性质
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.
(1)椭圆中要求a>b>0，在双曲线中a，b是否也要满足该条件？
提示：不是，在双曲线中，a，b没有大小关系，只需a>0，b>0.
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？
提示：以双曲线－＝1(a＞0，b＞0)为例．
e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　√.　)
提示：双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同，但是位置不一样．
(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　×　)
提示：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(　×　)
提示：等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.
(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．(　√　)
提示：等轴双曲线的离心率是.
2．(2021·桂林高二检测)双曲线的方程为－＝1，则其离心率为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.因为双曲线的方程为－＝1，
所以a2＝4，b2＝9，因此c2＝4＋9＝13，
所以离心率为e＝＝＝.
3．(教材二次开发：例题改编)双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．6x±5y＝0 B．5x±6y＝0
C．25x±36y＝0 D．36x±25y＝0
【解析】选A.由双曲线－＝1，
令－＝0，整理可得6x±5y＝0.
类型一　双曲线的简单几何性质(数学抽象)
【典例】1.(2021·郑州高二检测)已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线x2－＝1的渐近线平行，则直线l的方程是(　　)
A．y＝x＋2
B．y＝x＋2或y＝－x＋2
C．y＝x＋2或y＝－x＋2
D．y＝x＋2
【思路导引】
根据直线与直线的平行关系，并结合直线的截距，可得结果．
【解析】选B.双曲线x2－＝1的渐近线的斜率为±，
因为所求直线与双曲线的渐近线平行，
故直线l的方程是y＝±x＋2.
2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．
【思路导引】
利用双曲线的渐近线方程，列出方程求解即可．
【解析】易知双曲线渐近线方程为y＝±x，由题意得a2＝m，b2＝1，且一条渐近线方程为y＝－x，则有m＝3.故焦距为2c＝4.
答案：4
3．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
【思路导引】
先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．
【解析】将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
所以顶点为A1(－3，0)，A2(3，0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
　由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键．
(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆．
1．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为4，虚轴长为2
B．实轴长为8，虚轴长为4
C．实轴长为2，虚轴长为4
D．实轴长为4，虚轴长为8
【解析】选B.双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.
2．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________，离心率是________．
【解析】由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，
所以m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到a＝2，b＝，c＝，即焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为.
答案：(－，0)，(，0)　
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2，)在双曲线C上，若AF2⊥F1F2，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
【解析】选A.因为AF2⊥F1F2，A，
所以F1，F2，
由双曲线的定义可知2a＝－ ＝－＝2，即a＝，
所以b＝＝，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
类型二　由双曲线的几何性质求标准方程(逻辑推理、数学运算)
【典例】求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为.
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2).
【思路导引】(1)由已知及e＝，求a，b的值．
(2)因为有公共渐近线，所以设所求双曲线方程为x2－2y2＝λ.
【解析】(1)由已知得，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
所以a＝5，b＝＝12，
所以其标准方程为－＝1.
(2)因为所求双曲线与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，所以设所求双曲线方程为x2－2y2＝λ(λ≠0).又双曲线过点M(2，－2)，则22－2×(－2)2＝λ，即λ＝－4.
所以所求双曲线方程为－＝1.
　巧设双曲线方程的方法与技巧
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ(4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
(5)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
1．(2021·贵阳高二检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有共同焦点，且双曲线的渐近线方程为x±y＝0，则该双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】选D.易知椭圆＋＝1的两个焦点分别为(3，0)，(－3，0)，设双曲线的焦距为2c，则c＝3，且焦点在x轴上，设双曲线的实轴、虚轴分别为：2a，2b，由双曲线的渐近线方程为x±y＝0，可得：，解得a＝，b＝.所以该双曲线的方程为－＝1.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．
【解析】因为e＝，
所以＝，
所以＝，
所以a2＝3b2.①
又因为直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
所以d＝＝，
即4a2b2＝3(a2＋b2).②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
【补偿训练】
求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程．
【解析】设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0).
因为点M(3，－2)在双曲线上，
所以－＝λ，即λ＝－2.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
类型三　双曲线的离心率问题(逻辑推理、数学运算)
　求离心率的值
【典例】1.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A．＋1 B． C． D．－1
【思路导引】
先设|F1F2|＝2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，利用∠PF1F2＝30°，求出|PF1|，|PF2|，根据双曲线的定义求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．
【解析】选A.设|F1F2|＝2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，又因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝c，|PF2|＝c，
所以|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
2．已知点P(2，1)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线上，则C的离心率为__________.
【思路导引】
求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a＝2b，运用双曲线的离心率公式计算即可得到所求值．
【解析】双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±x，
由题意可得＝1，即a＝2b，
c＝＝a，可得e＝＝.
答案：
　求离心率的取值范围
【典例】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．
【思路导引】可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有≥tan 60°.
【解析】因为双曲线一条渐近线的斜率为k＝，
直线的斜率为k＝tan 60°＝，
所以≥，
所以e＝＝≥＝2，
所以离心率的取值范围是[2，＋∞).
1．求双曲线离心率的常见方法
(1)依据条件求出a，c，再计算e＝.
(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求离心率．
2．求离心率范围的技巧
(1)根据条件建立a，b，c的不等式．
(2)通过解不等式得或的范围，求得离心率的范围．
(3)还可以先找到恰好成立(或不成立)的条件，列出等式，求得边界值，然后求出范围．
1．(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
【解析】依题可得，＝3，而＝，＝c－a，即＝3，变形得c2－a2＝3ac－3a2，
化简可得，e2－3e＋2＝0，解得e＝2或e＝1(舍去).
答案：2
2．(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0).若＝2，求双曲线的离心率．
(2)设点P在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上，双曲线两焦点F1，F2，|PF1|＝4|PF2|，求双曲线离心率的取值范围．
【解析】(1)因为c＝，
所以e＝＝
＝＝＝.
(2)由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，与已知|PF1|＝4|PF2|联立解得|PF1|＝a，|PF2|＝a.
由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2 |得a＋a≥2c，
解得1所以离心率的取值范围为.
【补偿训练】
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)，过F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A，B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为________．
【解析】将x＝c代入双曲线方程可得y＝，所以A点坐标为.
由双曲线可知，其渐近线方程为y＝x，将x＝c代入可得y＝，所以B点坐标为.
由于A为BF的中点，所以＝2，解得c＝2b，
所以c＝a，所以离心率e＝＝.
答案：
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，一个焦点坐标为(2，0)，则该双曲线的方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1或－＝1
【解析】选A.因为渐近线互相垂直，故×＝－1，故a＝b，
又c＝2，故a＝b＝，故双曲线的方程是－＝1.
2．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，所以3b＝4a，所以9(c2－a2)＝16a2，所以e＝＝.
3．设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e＝__________.
【解析】当焦点在x轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋＝，
所以e＝；
当焦点在y轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋4＝5，所以e＝.
答案：或
4．求双曲线－＝1的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率．
【解析】由已知a＝4，b＝3，c＝5，则双曲线－＝1的实轴长为2a＝8，虚轴长为2b＝6，顶点为，，焦点坐标为，，离心率e＝＝.
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12第2课时　双曲线方程及性质的应用
类型一　直线与双曲线的位置关系(直观想象、数学运算)
1．已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程．
【解析】由题意可得：双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x.
(1)直线x＝1与双曲线只有一个公共点．
(2)过点P(1，1)且平行于渐近线y＝±2x时，直线l与双曲线只有一个公共点，
方程为y－1＝±2(x－1)，即2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0.
(3)设过点P的切线方程为y－1＝k(x－1)，与双曲线x2－＝1联立，利用Δ＝0可得k＝，
方程为y＝x－.
故直线l的方程为x＝1或2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0或y＝x－.
2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使：
①直线l与双曲线有两个公共点；
②直线l与双曲线有且只有一个公共点；
③直线l与双曲线没有公共点．
【解析】由消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，(*)
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，
所以方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
(1)
即－＜k＜，且k≠±1时，
方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)
即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点．
(3)
即k＜－或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．
所以，①当k∈∪(－1，1)∪时，直线与双曲线有两个公共点．
②当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点．
③当k∈∪时，直线与双曲线没有公共点．
　解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系．
类型二　弦长及中点弦问题(直观想象、数学运算)
【典例】1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，一条渐近线方程为y＝x，求经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度．
2．设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，AB中点为M(1，2)，求
(1)直线AB的方程．
(2)△OAB的面积(O为坐标原点).
【思路导引】
1．依题意可求得c，根据c＝和渐近线方程，联立求得a和b，进而根据通径求得答案．
2．(1)方法一：利用点差法和中点坐标公式求出直线AB的方程．
方法二：由根与系数的关系和中点坐标公式，联立求得直线的斜率．
(2)根据点到直线的距离、两点间的距离公式和三角形的面积公式即可求出三角形的面积．
【解析】1.因为双曲线的两个焦点分别为F1(－3，0)，
F2(3，0)，一条渐近线方程为y＝x，
所以
解得，a＝，b＝.
所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：
＝＝4.
2．(1)方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝1，,x－\f(y,2)＝1，))
两式相减可得(x1＋x2)(x1－x2)
＝(y1＋y2)(y1－y2)，
因为AB中点为M(1，2)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，
所以2(x1－x2)＝×4(y1－y2)，
所以kAB＝＝1，
所以直线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
方法二：依题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2，
代入x2－＝1，
整理，得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0①，
则x1，x2是方程①的两个不同的根，
所以2－k2≠0，且x1＋x2＝，
由M(1，2)是AB的中点，得(x1＋x2)＝1，
所以k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，
所以直线AB的方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)可知直线AB的方程为y＝x＋1，
代入x2－＝1，
整理得x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，所以y1＝0，y2＝4，
所以|AB|＝＝＝4，点O到直线AB的距离d＝，
所以S△OAB＝·|AB|·d＝×4×＝2.
　求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝
.
1．(2021·信阳高二检测)经过点M作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为________．
【解析】设点A，点B，M，则2x－y＝2，……①2x－y＝2，……②
①－②得2－＝0，2×2x0－2y0＝0，所以8－2k＝0，所以k＝4，所以y－1＝4，所以直线l的方程为4x－y－7＝0.
答案：4x－y－7＝0
2．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求|AB|的长．
【解析】易得双曲线的左焦点F1(－2，0)，
所以直线AB的方程为y＝(x＋2)，
与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·
＝×＝3.
【补偿训练】
过点P(8，1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为__________．
【解析】设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x－4y＝4　①，
x－4y＝4　②，
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
因为P是线段AB的中点，所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，
所以＝＝2.
所以直线AB的斜率为2，
所以直线AB的方程为2x－y－15＝0.
答案：2x－y－15＝0
类型三　双曲线性质的综合应用(数学运算、直观想象)
【典例】已知双曲线C：－＝1过点M(3，)，且右焦点为F(2，0).
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，交y轴于点P，若＝m，＝n，求证：m＋n为定值．
【思路导引】(1)根据题意，得出－＝1且c＝2，结合c2＝a2＋b2，求得a2，b2的值，即可求解；
(2)设A，B，直线l：y＝k(x－2)，联立方程组，得出x1＋x2，x1x2，结合＝m，＝n，进而化简得到m＋n为定值，得到答案．
【解析】(1)由题意，双曲线C：－＝1过点M(3，)，且右焦点为F(2，0).
可得－＝1且c＝2，又由c2＝a2＋b2，解得a2＝3，b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1；
(2)设A，B，
由题意得直线l的斜率存在，所以设直线l：y＝k(x－2)，所以P(0，－2k)，
由得(3k2－1)x2－12k2x＋12k2＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
由＝m，＝n，
可得x1＝m(2－x1)，x2＝n(2－x2)，
所以m＋n＝＋＝
＝
＝＝＝6，
所以m＋n＝6，为定值．
　与双曲线有关的综合问题
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．
(2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
1．(2021·银川高二检测)已知双曲线－＝1，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线的离心率为________．
【解析】设P，Q，直线PQ的方程为y＝x，代入双曲线方程，化简为x2－3a2b2＝0，x1＋x2＝0，x1x2＝－，那么y1＋y2＝0，y1y2＝x1x2＝－，设右焦点坐标为F，由条件可知⊥，即·＝0，＝，＝，
所以＋y1y2＝0，即x1x2－c＋c2＋y1y2＝0，－＋c2－＝0，代入b2＝c2－a2后整理为3c4－8a2c2＋4a4＝0，两边同时除以a4后可得3e4－8e2＋4＝0，即＝0，因为e>1，所以e2＝2，即e＝.
答案：
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点P(，1).
(1)求双曲线C的方程．
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线交于两个不同点A，B，且·>2(O为坐标原点)，求k的取值范围．
【解析】(1)由已知e＝＝，
所以c＝a，
b2＝c2－a2＝a2－a2＝a2，即a2＝3b2.
又P(，1)在双曲线上，
所以－＝1，
所以b2＝1，a2＝3.
所以所求双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立消去y并整理得：
(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C交于不同两点A(x1，y1)和B(x2，y2)得：
所以k2<1且k2≠.①又x1＋x2＝，
x1x2＝－，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝(k2＋1)－k·＋2>2.
所以<0，所以k的取值范围是∪.
备选类型　直线与双曲线交点所在分支问题(直观想象、数学运算)
【典例】1.过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值是________．
【思路导引】运用双曲线定义转化．
【解析】|MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－|MF1|－|NF1|＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)＝4a＝8.
答案：8
2．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.求实数k的取值范围．
【思路导引】与右支交于两点，则联立直线与双曲线后得到的一元二次方程有两正根．
【解析】将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①，
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
所以
解得k的取值范围为{k|－2　直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个交点设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，消去y后所得一元二次方程为Ax2＋Bx＋C＝0，A≠0，Δ>0，则
①两交点在同一支上 x1x2>0；
②两交点不在同一支上 x1x2<0；
③两交点都在左支上 x1x2>0，x1＋x2<0；
④两交点都在右支上 x1x2>0，x1＋x2>0.
1．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
【解析】由得x2－(kx＋2)2＝6.
即(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．
则得－答案：
2．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为a＝1，b＝，c＝2，直线l过点F2且倾斜角为45°，
所以直线l的方程为y＝x－2.
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
因为x1·x2＝－＜0，
所以A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上．
因为x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝6.
1．过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．4
【解析】选B.双曲线x2－y2＝4的焦点为(±2，0)，
把x＝2代入x2－y2＝4，解得y＝±2，
所以|AB|＝2－(－2)＝4.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B． C． D．5
【解析】选D.依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝＝5，因此该双曲线的离心率e＝＝＝5.
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0，b)，且·＝0，则双曲线C的离心率为__________.
【解析】依题意，B(0，b)，A(－a，0)，F(c，0)，
因为·＝0，所以(－a，－b)·(c，－b)＝0，
所以b2＝ac＝c2－a2，所以e2－e－1＝0，
又e>1，所以e＝.
答案：
4．若点P是以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝__________.
【解析】不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|.
因为点P是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2，①
又|PA|2＋|PB|2＝36，②
联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，
所以|PA|＋|PB|＝2.
答案：2
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－).
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
【解析】(1)在双曲线－＝1中，a′＝2，b′＝，
则渐近线方程为y＝±x＝±x，
因为双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线，所以＝，
所以方程可化为－＝1，又双曲线C经过点M(，－)，代入方程，
所以－＝1，解得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知双曲线C：x2－＝1中，因为a＝1，b＝，c＝，所以实轴长2a＝2，离心率为e＝＝，设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，
所以d＝＝，即焦点到渐近线的距离为.
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11抛物线及其标准方程
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
定义中为什么要求直线l不经过点F？
提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线．
2．抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：
(1)二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？
提示：不完全相同．当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象．
(2)如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？
提示：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p的值，从而求出焦点坐标和准线方程．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)抛物线的方程都是二次函数．(　×　)
提示：当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象．
(2)准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y.(　 √　)
提示：由题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，因为抛物线的准线方程为y＝＝4，所以p＝8，
所以该抛物线的标准方程为x2＝－16y.
(3)抛物线的开口方向由一次项确定．(　√　)
提示：一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确．
2．(教材二次开发：例题改编)抛物线x2＝－y的焦点坐标是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.由题意，抛物线的焦点在y轴上，开口向下，且2p＝，所以＝.所以焦点坐标是.
3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
【解析】设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2p1y(p1≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
答案：y2＝－8x或x2＝－y
类型一　求抛物线的标准方程(数学运算)
【典例】(2021·石嘴山高二检测)已知动点P到定点M的距离比它到y轴的距离大2.
(1)求动点P的轨迹方程；(2)求动点P到直线l：8x－2y＋3＝0距离的最小值．
【思路导引】(1)首先设点P(x，y)，根据条件，知动点P到定点M的距离等于它到直线x＝－2的距离，利用抛物线的定义求得其方程；
(2)结合曲线的方程，设出点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合配方法求得最小值．
【解析】(1)设P(x，y)，因为动点P到定点M的距离比它到y轴的距离大2，
所以动点P到定点M的距离等于它到直线x＝－2的距离，因此点P的轨迹为开口向右的抛物线，且p＝4，所以方程为y2＝8x；
(2)设点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,8)，y0)) ，则点P到直线l：8x－2y＋3＝0的距离d＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(8·\f(y,8)－2y0＋3)),\r(64＋4)) ＝，
当y0＝1时d最小，为.
　抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出
动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
　根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点．
【解析】双曲线方程可化为－＝1，
左顶点为(－3，0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－＝－3，
所以p＝6，所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
【解析】设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义，得5＝|AF|＝.
又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
类型二　抛物线定义及其应用(数学抽象、数学运算)
【典例】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；
(2)已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标；
(3)动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2，0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程．
【思路导引】(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程．
(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．
(3)设F(2，0)，由题意MF＝|x|＋2，或根据点M，F在y轴的同侧或异侧分类讨论．
【解析】(1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由＋3＝5得p＝4，因此抛物线方程为x2＝－8y，其准线方程为y＝2，由m2＝24得m＝±2.
(2)如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
所以(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，所以P(1，2).
(3)设F(2，0)，由题意MF＝|x|＋2，
＝|x|＋2，
化简得y2＝4x＋4|x|＝
所以动点M的轨迹方程是y＝0(x<0)或y2＝8x(x≥0).
　抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
1．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
【解析】选C.设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋＝12，即12＝9＋，解得p＝6.
2．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以其方程为x2＝－12y.
类型三　抛物线的实际应用(数学建模)
【典例】河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分为米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【思路导引】→→
→→
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，所以抛物线方程为x2＝－y.
因为当船的两侧和拱桥接触时船开始不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船露出水面的部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航．
　求解抛物线实际应用问题的五个步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)设出合适的抛物线标准方程．
(3)通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求出需要求出的量．
(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
1．如图所示，抛物线形拱桥，拱顶离水面3米，水面宽6米．如果水面上升1米，则水面宽为________米．
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则拋物线方程可假设为x2＝－2py(p>0)，
因为拱顶离水面3米，水面宽6米，
所以A，代入抛物线方程可得9＝6p，所以2p＝3，
所以抛物线方程为x2＝－3y，如果水面上升1米，则令y＝－2，x＝±，所以水面宽为2米．
答案：2
2.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米．
【解析】如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径．
由已知，得A点坐标是(2，6)，
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则36＝2p×2，p＝9.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，
焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长．
|AF|＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米．
【补偿训练】
如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多长？(精确到1 m)
【解析】如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
依题意有P(－1，－1)在此抛物线上，代入得p＝，故抛物线方程为x2＝－y.
又点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝，则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝＋1，
因此水池的直径为2(1＋)m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m．
1．对抛物线y＝x2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
【解析】选A.由题知，该抛物线的标准方程为x2＝8y，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
2．点(7，－4)到抛物线y2＝16x焦点的距离是(　　)
A．5 B．8 C．11 D．15
【解析】选A.抛物线的焦点为(4，0)，点(7，－4)到点(4，0)的距离为＝5.
3．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)
A． B． C．|a| D．－
【解析】选B.因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为.
4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为__________．
【解析】根据题意，由于双曲线－＝1的a2＝6，b2＝3，c2＝a2＋b2＝9，所以c＝3，右焦点坐标为(3，0)，
因此可知抛物线y2＝2px的焦点为＝(3，0)，
所以＝3，所以p＝6.
答案：6
5．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．求抛物线E的方程．
【解析】依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.
设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，
y＝|OB|cos 30°＝12.
因为点B(4，12)在x2＝2py上，
所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.
故抛物线E的方程为x2＝4y.
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10第1课时　抛物线的简单几何性质
导思
1.抛物线是不是中心对称图形？
2．抛物线的通径长度是多少？
抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 (0，0)
离心率 e＝1
【思考】
(1)抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同？
提示：抛物线的离心率等于1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．
(2)过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少？
提示：这条线段是抛物线的通径，长度为2p，借助于通径可以画出较准确的抛物线．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)抛物线焦点到准线的距离等于p.(　 √　)
提示：(1)抛物线焦点到准线的距离等于＋＝p
(2)抛物线的范围是x∈R，y∈R.(　 ×　)
提示：(2)抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p>0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．
(3)抛物线是轴对称图形．(　√　)
提示：(3)抛物线y2＝±2px(p>0)的对称轴为x轴，抛物线x2＝±2py(p>0)的对称轴为y轴，故此说法正确．
2．下列抛物线中，开口最大的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝4x
【解析】选A.对于抛物线的标准方程中，开口最大：说明一次项的系数的绝对值最小，观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小．
类型一　由抛物线的几何性质求标准方程(直观想象、数学抽象)
【典例】1.顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
【解析】选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)，由顶点到准线的距离为4，知p＝8，故所求抛物线的方程为x2＝16y或x2＝－16y.
2．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
【解析】因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
所以抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，所以p＝8，所以所求的抛物线方程为x2＝16y.
答案：x2＝16y
【思路导引】
1．利用待定系数法设出方程，根据p的几何意义求得p的值．
2．求出双曲线的渐近线后，利用抛物线的焦点到渐近线的距离为2，求参数p.
　用待定系数法求抛物线方程的步骤
提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
【解析】选C.设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，
解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.
2．(2021·石林高二检测)在平面直角坐标系xOy中，点P到直线l：x＝－3的距离比到点F(3，0)的距离大2.
(1)求点P的轨迹C的方程；
【解析】由题意可得动点P到直线x＝－1的距离与到F(3，0)的距离相等，
设P(x，y)，则＝，化简整理，可得y2－8x＋8＝0，
所以点P的轨迹C的方程为y2＝8(x－1)；
(2)请指出曲线C的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由．
【解析】由(1)得C的方程为y2＝8(x－1)；即由抛物线y2＝8x向右平移一个单位得到；
所以曲线C也关于x轴对称，顶点为(1，0)，范围为x≥1，y∈R.
类型二　抛物线几何性质的应用(直观想象)
【典例】已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
四步 内容
理解题意 条件：(1)抛物线y2＝8x(2)|OA|＝|OB|，焦点F是△OAB的重心，结论：(1)顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)△OAB的周长．
思路探求 (1)利用抛物线对应的性质求解；(2)利用抛物线的对称性和三角形重心的性质求解．
书写表达 (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，[0，＋∞). (2)如图所示．由|OA|＝|OB|知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2，0)，所以|OM|＝|OF|＝3，M(3，0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝2或m＝－2，A(3，2)，B(3，－2)，|OA|＝|OB|＝，所以△OAB的周长为2＋4.注意书写的规范性：①注意抛物线的性质，特别是抛物线定义的应用；②第(2)问的关键是根据抛物线的对称性和等腰三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．
题后反思 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．
　利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点：解决焦点弦问题．
　已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长．
【解析】如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，又OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1>0，x2>0，2p>0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1与y＝2px1联立，解得y1＝2p，
所以|AB|＝2y1＝4p，即这个三角形的边长为4p.
类型三　焦点弦、中点弦问题(直观想象、数学运算)
　焦点弦问题
【典例】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
【思路导引】根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．
【解析】因为过焦点的弦长|AB|＝p，
所以弦所在的直线的斜率存在且不为零，
设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为y2＝2px的焦点为F.
所以直线方程为y＝k.
由
整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p2＝0(k≠0)，
所以x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p，又|AB|＝p，
所以＋p＝p，k＝±2.
所以所求直线方程为y＝2(p>0)
或y＝－2(p>0).
1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
【解析】设AB中点为M(x0，y0)，
由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝p，
所以AB的中点M到y轴的距离为p(p>0).
2．(变换条件)本例中，若A、B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1的大小．
【解析】由例题解析可知AB的方程为y＝k，
即x＝y＋，代入y2＝2px消x可得y2＝y＋p2，
即y2－y－p2＝0，所以y1y2＝－p2，由A1点的坐标为，B1点的坐标为，
得kA1F＝－，kB1F＝－.
所以kA1F·kB1F＝＝－1，所以∠A1FB1＝90°.
　中点弦问题
【典例】过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．
【思路导引】方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；方法二：设直线AB的方程，建立方程求解．
【解析】方法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，
所以(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2).
又y1＋y2＝2，所以y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝，所以kAB＝4.
所以所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
方法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由根与系数的关系得y1＋y2＝，又y1＋y2＝2，所以k＝4.所以所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
　直线与抛物线相交的弦长问题
直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.
(1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|.
(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)“中点弦”问题解题策略的两种方法
1．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
【解析】设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2px1，①,y＝2px2，②)) ②－①整理得＝，
又＝1，y1＋y2＝4，所以2p＝4.
因此抛物线C的方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
2．(2021·成都高二检测)已知抛物线C：y2＝2px上的点M到焦点F的距离为6.
(1)求p，m的值；
【解析】由抛物线焦半径公式知：＝5＋＝6，解得：p＝2，
所以C：y2＝4x，所以m2＝5×4＝20，解得：m＝±2.
(2)过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的方程．
【解析】设A，B，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1,y＝4x2)) ，
两式作差得：＝4，
所以kl＝＝，
因为P为AB的中点，所以y1＋y2＝2，所以kl＝2，
所以直线l的方程为：y－1＝2，即2x－y－3＝0.
【补偿训练】
已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)与圆C2：x2＋y2＝5的两个交点之间的距离为4.
(1)求p的值．
【解析】设交点为M，N.易知M(1，2)，N(1，－2)，代入y2＝2px得2p＝4，p＝2.
(2)设过抛物线C1的焦点F且斜率为2的直线与抛物线交于A，B两点，求|AB|.
【解析】由(1)知，抛物线C1：y2＝4x，焦点F(1，0).
直线AB的方程为y＝2(x－1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－3x＋1＝0，所以x1＋x2＝3，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋p＝5.
备选类型　抛物线的焦半径问题(直观想象、数学抽象)
1．已知直线l：y＝k与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若＝2，则k的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B． C．2 D．
【解析】选C.由抛物线C：y2＝8x，知F，
设A，B，
因为直线l过且其斜率大于零，故A，B在x轴两侧．
又＝2，知x1>x2，且x1＋2＝2，即x1＝2x2＋2.
由可得k2x2－x＋4k2＝0，
由根与系数的关系得，
代入x1＝2x2＋2，可得，
又k>0，故k＝2.
2．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，P为AB中点，Q在准线l上，且PQ⊥l，则|PQ|＝(　　)
A．1 B．2 C D
【解析】选B.如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，
由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，
|PQ|＝＝2.
　以抛物线y2＝2px(p＞0)为例：
(1)过焦点F的弦长|AB|有如下结论：
①|AB|＝2(焦点弦长与中点关系).
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角).
③A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，
即x1·x2＝，y1·y2＝－p2.
④S△AOB＝.
⑤＋＝(定值).
(2)以AB为直径的圆必与准线l相切．
提示：如图，AB是过抛物线焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
|AB|＝|AF|＋|BF|
＝|AA1|＋|BB1|＝2|MM1|，
所以|AM|＝|BM|＝|MM1|，
所以以AB为直径的圆必与准线l相切．
　过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　)
A．10 B．8 C．6 D．4
【解析】选B.|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
1．抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标为3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．y2＝8x B．y2＝12x
C．y2＝16x D．y2＝20x
【解析】选A.抛物线的准线方程为x＝－6a，由题意得3＋6a＝5，所以a＝.所以抛物线的方程是y2＝8x.
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　)
A．(4，±2) B．(±4，2)
C．(±2，4) D．(2，±4)
【解析】选D.抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题意，则即即所以符合题意的点为(2，±4).
3．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
【解析】由抛物线y2＝2px(p>0)，得焦点F的坐标为，则FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得，2p×＝1，所以p＝，
所以B点到准线的距离为＋＝p＝.
答案：
4．抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且它过点P(－2，2)，求抛物线的方程．
【解析】抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，需分类讨论：
(1)对称轴是x轴，即焦点在x轴上时，设方程为y2＝2px，代入P点得2p＝－4，所以方程为y2＝－4x；
(2)对称轴是y轴，即焦点在y轴上时，设方程为x2＝2py，代入P点得2p＝，所以方程为x2＝y.
综上，所求抛物线方程为x2＝y或y2＝－4x.
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12第2课时　抛物线方程及性质的应用
类型一　直线与抛物线的位置关系(直观想象、数学运算)
【典例】已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
【思路导引】将直线方程与抛物线方程联立，消去x后得到关于y的方程，利用判别式分类讨论．
【解析】由题意可得，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).
由方程组(*)
得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.
把y＝1代入y2＝4x，得x＝.
这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
(2)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).
①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1，或k＝.
所以当k＝－1，或k＝时，方程①只有一个解，所以方程组(*)只有一个解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点．
②由Δ>0，得2k2＋k－1<0，解得－1所以当－1③由Δ<0，即2k2＋k－1>0，
解得k<－1，或k>.
所以当k<－1，或k>时，方程①没有实数解，所以方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．
综上，当k＝－1，或k＝，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1，或k>时，直线l与抛物线没有公共点．
　直线与抛物线的位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点．
　直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：
(1)有一个公共点．(2)有两个公共点．(3)没有公共点．
【解析】将l和C的方程联立得消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，方程(*)只有一个解，x＝，y＝1.
所以直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交．
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切．
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；
(2)当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；
(3)当k＞1时，直线l与C没有公共点．
类型二　抛物线的综合运用(数学抽象、直观想象)
　定值、定点问题
【典例】如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
【解析】由已知可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
所以抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
【解析】因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB，即＝－.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
所以x1＝ eq \f(y,4) ，x2＝ eq \f(y,4) ，
所以有 eq \f(y1－2,\f(y,4)－1) ＝－ eq \f(y2－2,\f(y,4)－1) ，即＝－，
得y1＋y2＝－4，
所以直线AB的斜率kAB＝＝＝－1.
【思路导引】第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来．
　若本例改为：在平面直角坐标系xOy中，设点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程；
【解析】因为点F(1，0)，直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中点，由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线．因为|PQ|是点Q到直线l的距离，而|PQ|＝|QF|，所以动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x(x>0).
(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3，0).
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：x＝my＋1(m≠0)，则消去x得y2－4my－4＝0.所以有yM＝＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即M(2m2＋1，2m).
同理，N.所以直线MN的斜率kMN＝＝，
方程为y－2m＝(x－2m2－1)，
即mx＋(1－m2)y－3m＝0.
显然，不论m为何值，(3，0)均满足方程，
所以直线MN过定点(3，0).
　最值问题
【典例】如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
【思路导引】解决本题的关键是弦AB为定值，将点P到直线AB的距离的最值问题转化为二次函数问题求解．在应用配方法求最值时，一定要注意自变量的取值范围．
【解析】由解得或
由题图知A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则
d＝＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)－y0－4)) ＝|(y0－1)2－9|.
因为－2＜y0＜4，
所以(y0－1)2－9＜0，d＝[9－(y0－1)2].
所以当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.
所以当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
　应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)求定值、过定点问题．常用斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
如参数法，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
1．(2021·绵阳高二检测)已知动圆过定点A(0，2)，且在x轴上截得的弦长为4.
(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，则x2＋(y－2)2－4＝y2，化简得x2＝4y；
(2)设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q.若＋＝2，求证：直线l过定点．
【解析】易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋b(k≠0)，
则由，得x2－4kx－4b＝0，
由根与系数的关系知，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.
从而＋＝2 x1＋x2＝2x1x2，
即4k＝－8b，则b＝－k，
则直线l：y＝kx－k＝k，故直线过定点.
2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M.
(1)求抛物线的标准方程．
【解析】由椭圆＋＝1知，其右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为F(1，0)，所以＝1，解得p＝2；所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)求的最小值．
【解析】①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，易得|AB|＝2p＝4，＝2；
②当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知AB的斜率不为0，
设AB所在直线方程为y＝k(x－1)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组，消去y得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝1，且Δ＝16(k2＋1)＞0，
所以|AB|＝|x1－x2|
＝·＝；
FM所在的直线方程为y＝－(x－1)，
联立方程组求得点M，
所以|MF|＝＝2.
所以＝＝2＞2；
综上所述，的最小值为2.
1．抛物线x2＝8y的准线被圆x2＋y2－6x＝0截得的线段长为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．4 B．2 C． D．2
【解析】选B.因为抛物线x2＝8y的准线方程为y＝－2，圆x2＋y2－6x＝0整理得2＋y2＝9，
则圆心坐标为，半径为r＝3，
则圆心到直线y＝－2的距离为d＝2，
因此y＝－2被圆x2＋y2－6x＝0截得的弦长为
2＝2.
2．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　)
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
【解析】选C.因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，
所以直线过点(1，0).
又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部．
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0，直线与抛物线有两个公共点．
3．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
【解析】可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，
设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，
则由消去x得y2－4y＋4m＝0.
所以Δ＝16－16m＝0，m＝1.
又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，
则所求的最小距离为.
答案：
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x＋t与抛物线C相交于A，B两点．
(1)将A，B两点的距离d表示为t的函数；
【解析】，整理得4x2＋4x＋t2＝0，
则，
＝
＝＝，其中t<；
故d(t)＝.
(2)若|AB|＝3，求△AFB的周长．
【解析】(2)由|AB|＝3，则＝3，解得t＝－4，
经检验，此时Δ＝16－32t>0，
所以x1＋x2＝1－t＝5，由抛物线的定义，有|AF|＋|BF|＝＋＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7，
又|AB|＝3，所以△AFB的周长为7＋3.
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8第二课　圆锥曲线与方程
题组训练一　求圆锥曲线标准方程
1．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1　 B．－y2＝1
C．y2－＝1　 D．－＝1
【解析】选A.由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
所以a＝1.又c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
2．以椭圆＋＝1的短轴顶点为焦点，离心率为e＝的椭圆方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选A.＋＝1的短轴顶点为(0，－3)，(0，3)，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3.
又e＝＝，所以a＝6.所以b2＝a2－c2＝36－9＝27.
所以所求椭圆方程为＋＝1.
　求圆锥曲线的标准方程一般有两种类型：一是用定义求方程，利用定义分析出曲线类型求得参数得到方程；二是已知性质求方程，根据已知的性质求出参数得到标准方程．
题组训练二　圆锥曲线的性质
　求离心率
1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于另一个点A，若|BF|＝3|AF|，则C的离心率为________.
【解析】由已知B(0，b)，F(－c，0)，由|BF|＝3|AF|，可得A，点A在椭圆上，则＋＝1，整理可得·＝，所以e2＝＝.所以e＝.
答案：
2．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l：x＝(c为双曲线的半焦距的长)与两条渐近线分别交于P，Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e＝________.
【解析】由双曲线的对称性，知|PF|＝|QF|，
又因为△PQF是直角三角形，
所以∠PFQ＝90°，∠PFO＝45°.渐近线为y＝±x.
由题意知点P坐标为，
所以＝c－，即a＝b.所以e＝＝＝.
答案：
　求顶点、焦点、双曲线渐近线
1．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】选B.由条件可知＝，则＝＝，所以双曲线的渐近线方程是y＝±x.
2．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PA|＝2|PF2|，则C的离心率为(　　)
A． B． C．1＋ D．1＋
【解析】选A.由题设知双曲线C：－＝1的一条渐近线方程为l：y＝x.右焦点F2(c，0)，|PF2|＝＝＝b.所以|OP|＝a，P，|PA|＝＝2|PF2|＝2b，平方化简得(a2＋ac)2＋a2b2＝4b2c2，又c2＝a2＋b2，所以a2(a＋c)＝(c－a)(4c2－a2)，＝，即＝4e2－1，又01，故得e＝.
1．圆锥曲线的主要性质
范围、对称性、焦点、顶点、离心率，另外椭圆还包括长短轴，双曲线还包括实虚轴，渐近线，抛物线还包括准线．
2．求离心率的主要方法
(1)定义法：利用平方关系以及e＝，知道a，b，c中任意两个求e.
(2)方程法：建立a与c的齐次关系式，求离心率e.
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
题组训练三　直线与圆锥曲线的位置关系
1．(2021·宜宾高二检测)过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点C与点D关于直线x＝对称，则|AB|＝(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选C.抛物线y2＝4x，所以p＝2，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点， 其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线焦半径公式，
则＝x1＋＝x1＋1，＝x2＋＝x2＋1，
所以|AB|＝＋＝x1＋x2＋2，
又点C与点D关于直线x＝对称，
则x1＋x2＝×2＝3，所以|AB|＝3＋2＝5.
2．已知直线l过点(0，－1)，椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的交点个数为__________．
【解析】因为点在椭圆C：＋＝1的内部，而直线l过点，所以直线与椭圆相交，交点个数为2.
答案：2
3．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有________条．
【解析】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2).
答案：2
4．已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，当△ABC面积为最大值时，求直线l的方程．
【解析】(1)由已知抛物线的焦点为(0，－)，
故设椭圆方程为＋＝1.
将点A(1，)代入方程得＋＝1.
整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1(舍)，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC的方程为y＝x＋m，
代入椭圆方程并化简得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，
可得m2<8.(*)又x1＋x2＝－m，x1x2＝，
故|BC|＝|x1－x2|＝.
又点A到BC的距离为d＝.
故S△ABC＝|BC|·d＝≤
·＝，
当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足(*)式)，S△ABC取得最大值，此时直线l的方程为y＝x±.
　(1)求直线与圆锥曲线的位置关系，或求直线与圆锥曲线的交点个数问题，其基本方法是联立直线方程和圆锥曲线的方程，消元化成一元二次(或一次)方程，通过二次(或一次)方程解的个数来判定．在解答过程中要注意两点：一是二次项系数是否为0，只有二次方程才能用判别式；二是对于变量的取值受到特别限制的情况要数形结合．
(2)利用代数方法判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时，注意方程组有一解时，直线与双曲线、抛物线的位置关系，可能是相交或相切．
(3)与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法：
①结合定义利用图形中几何量之间的大小关系．
②不等式(组)求解法：根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的变化范围．
③函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、另一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．
④利用基本不等式往往需要创造条件，并进行巧妙构思．
⑤构造一个一元二次方程，利用判别式Δ≥0来求解．
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