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2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.6直线与圆的位置关系》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，已知∠APB＝30°，OP＝3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是什么？
（2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？
2．如图，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，以斜边AB为直径做⊙O．
（1）判断PC与⊙O的位置关系并证明；
（2）若AB＝5，AC＝4，AD＝OA，求PC的长
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若PF：PC＝1：2，AF＝5，求CP的长．
4．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
5．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
6．（1）已知⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为5，
①直线l与⊙O的位置关系是　 　；
②若点P为⊙O上一动点，求点P到直线l的距离的最大值和最小值．
（2）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE＝2，求弦CD的长．
7．已知等边三角形ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
（2）求FG的长．
8．如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）判断EF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．
9．如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．
（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．
10．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE＝∠BAF．
11．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）连接CD，若CD＝6，求AB的长．
12．如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系．圆心为A（3，0）的A被y轴截得的弦长BC＝8．解答下列问题：
（1）⊙A的半径为　 　；
（2）若将⊙A先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到⊙D，则⊙D的圆心D点的坐标是　 　；⊙D与x轴的位置关系是　 　；⊙D与y轴的位置关系是　 　；
（3）若将⊙A沿着水平方向平移　 　个单位长度，⊙A即可与y轴相切．
13．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA＝CD，∠CDA＝30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，求点A到CD所在直线的距离．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BC＝30．半径为（10+t）的圆的圆心P以2个单位/s的速度由点A出发，沿AC方向在射线AC上移动，设移动时间为t（单位：s）．
（1）t＝10时，分别判断⊙P与BC、AB的位置关系；
（2）⊙P与直线AB、BC能否同时相切？若相切，求出t的值，若不相切，说明理由．
15．如图，点A在x轴的正半轴上，以OA为直径作⊙P，C是⊙P上一点，过点C的直线与x轴、y轴分别相交于点D、点E，连接AC并延长与y轴相交于点B，点B的坐标为（0，）．
（1）求证：OE＝CE；
（2）请判断直线CD与⊙P位置关系，证明你的结论，并请求出⊙P的半径长．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．直线DE与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
17．如图，已知⊙P圆心P在直线y＝2x﹣1的图象上运动．
（1）若⊙P的半径为2，当⊙P与x轴相切时，求P点的坐标；
（2）若⊙P的半径为2，当⊙P与y轴相切时，求P点的坐标；
（3）若⊙P与x轴和y轴都相切时，⊙P的半径是多少？
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝6，AC＝4CE时，求⊙O的半径．
20．如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断CD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，圆O的半径为3，并且∠CAB＝30°，求AD的长．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
22．如图所示，AB为⊙O的直径，弦AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：∠CDA＝∠AED．
23．如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D．
①判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论．
②通过上述证明，你还能得出哪些等量关系？
24．如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝9，EF＝1，求DF的长．
25．已知，四边形ABCD中，点O，E在对角线AC上，以OE为半径的⊙O经过A，B，D三点，连接OB，DE，DE＝CE＝OE．
（1）猜想CD与⊙O的为位置关系并证明；
（2）若AC＝2，求△ACD的面积．
参考答案
1．解：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′＝PO﹣O′O＝3﹣1＝2cm，
作O′C⊥PA于C，
∵∠P＝30度，
∴O′C＝PO′＝1cm，
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；
（2）如图：当点O由O′向左继续移动时，PA与圆相交，
当移动到C″时，相切，
此时C″P＝PO′＝2，
∵OP＝3，
∴OO'＝1，OC''＝OP+C''P＝3+2＝5
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交，
故答案为：1cm＜d＜5cm．
2．解：（1）PC是⊙O的切线，
证明：如图，连接OC，
∵PD⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ECP＝∠AED，
又∵OA＝OC
∴∠EAD＝∠ACO，
∴∠PCO＝∠ECP+∠ACO＝∠AED+∠EAD＝90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是⊙O切线．
（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝5，
∴AO＝，
∴AD＝OA＝，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE＝，
∴CE＝4﹣＝，
过P作PG⊥CE于G，
∵∠ECP＝∠PEC，
∴PE＝PC，
∴EG＝CG＝CE＝，
同理得△CGP∽△BCA，
∴，
∴，
∴PC＝．
3．解：（1）AB是⊙O的切线，理由是：
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEF＝90°，
∵∠FDP＝∠CEP，∠CAE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠FDP＝∠CAE+∠CEF＝90°，
∴AB⊥CD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠FDP＝∠CEP，∠DPF＝∠EPC，
∴△DPF∽△EPC，
∴＝，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC+∠ACB＝180°，
∴DE∥AC，
∴△DPE∽△CPA，
∴，
∴＝，
设PF＝x，则PC＝2x，
∴＝，
x＝，
∴CP＝2x＝．
4．解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴DF⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠E＝60°，
∴∠M＝60°，
∵⊙O的半径为5，
∴AM＝10，
∴BM＝5，则AB＝＝5．
5．解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝BD＝＝5，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝5，
答：AC＝5，AD＝5；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠CEP＝75°，
∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，
∴直线PC与⊙O相切．
6．解：（1）①∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径为3，
∵圆心O到直线l的距离是5，5＞3，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离；
②点P到直线l的距离的最大值＝5+6÷2＝8，最小值＝5﹣6÷2＝2；
（2）如图，连接OC；
∵直径AB＝10，BE＝2，
∴OE＝5﹣2＝3，OC＝5；
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝DE；
由勾股定理得：
CE＝＝4，
∴CD＝2CE＝8．
故答案为：相离．
7．（1）证明：连接OD，
∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，
∴∠B＝∠C＝∠ODB＝60°，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD＝∠ODF＝90°，即OD⊥DF，
∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，
∴DF是圆O的切线；
（2）∵OB＝OD＝AB＝6，且∠B＝60°，
∴BD＝OB＝OD＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD＝12﹣6＝6，
∵在Rt△CFD中，∠C＝60°，
∴∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝×6＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA＝90°，
∵∠FAG＝60°，
∴FG＝AFsin60°＝．
8．证明：（1）如图1，连接FO，
∵F为BC的中点，AO＝CO，
∴OF∥AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，
∴OF⊥CE，
∴OF所在直线垂直平分CE，
∴FC＝FE，OE＝OC，
∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE，
∵∠ACB＝90°，
即：∠0CE+∠FCE＝90°，
∴∠0EC+∠FEC＝90°，
即：∠FEO＝90°，
∴FE为⊙O的切线；
（2）如图2，∵⊙O的半径为2，
∴AO＝CO＝EO＝2，
∵∠EAC＝60°，OA＝OE，
∴∠EOA＝60°，
∴∠COD＝∠EOA＝60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝2，
∴CD＝2，
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
CD＝2，AC＝4，
∴AD＝2．
9．解：（1）直线OB与⊙M相切，
理由：设线段OB的中点为D，连接MD，如图1，
∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD＝4．
∴∠AOB＝∠MDB＝90°，
∴MD⊥OB，点D在⊙M上，
又∵点D在直线OB上，
∴直线OB与⊙M相切；
，
（2）解：连接ME，MF，如图2，
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴设直线AB的解析式是y＝kx+b，
∴，
解得：k＝，b＝6，
即直线AB的函数关系式是y＝x+6，
∵⊙M与x轴、y轴都相切，
∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME＝MF，
设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），
把x＝a，y＝﹣a代入y＝x+6，
得﹣a＝a+6，得a＝﹣，
∴点M的坐标为（﹣，）．
10．解：（1）连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO；
又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠B，
∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B＝180°，
∴∠BAF＝∠DAE．
11．解：（1直线BD与⊙O相切．
连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠DOB＝60°，又∠B＝30°，
∴∠ODB＝90°，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）∵CD＝6，
∴AC＝2CD＝12，
∴OD＝6，
∴OB＝2OD＝12，
∴AB＝18．
12．解：（1）由垂径定理得：OB＝BC＝4，∵A（3，0），
∴OA＝3，
由勾股定理得：AB＝＝5，
即⊙A的半径为5；
故答案为：5；
（2）根据题意得：⊙D的圆心D点的坐标是（6，2）；
∵D到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，
⊙D的半径＝5，2＜5＜6，
∴⊙D与x轴相交，与y轴相离；
故答案为：（6，2），相交，相离；
（3）∵A（3，0），⊙A的半径为5，
当圆心A到y轴的距离＝5时，
即⊙A沿着水平方向向右平移2高或向左平移8个单位长度，
∴⊙A即可与y轴相切．
故答案为：2或8．
13．解：（1）∵△ACD是等腰三角形，∠D＝30°，
∴∠CAD＝∠CDA＝30°．
连接OC，
∵AO＝CO，
∴△AOC是等腰三角形，
∴∠CAO＝∠ACO＝30°，
∴∠COD＝60°，
在△COD中，又∵∠CDO＝30°，
∴∠DCO＝90°
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在Rt△COD中，∵∠CDO＝30°，
∴OD＝2OC＝12，
AD＝AO+OD＝6+12＝18，
在Rt△ADE中，
∵∠EDA＝30°，
∴点A到CD边的距离为：AE＝＝9．
14．解：（1）作PD⊥AB于D，如图，
∵∠C＝90°，AC＝40，BC＝30，
∴AB＝＝50，
当t＝10时，AP＝2t＝20，半径R＝10+10＝20，
∴PC＝AC﹣AP＝40﹣20＝20，
∵BC⊥PC，
∴⊙P与BC相切；
∵∠PAD＝∠BAC，
∴Rt△APD∽Rt△ABC，
∴＝，即＝，解得PD＝12，
∴R＞PD，
∴⊙P与AB相交；
（2）能．理由如下：
AP＝2t，PC＝40﹣2t或PC＝2t﹣40，
∴Rt△APD∽Rt△ABC，
∴＝，即＝，
∴PD＝t，
当⊙P与直线BC相切时，PC＝10+t，即40﹣2t＝10+t，解得t＝10或2t﹣40＝10+t，解得t＝50
当⊙P与直线AB相切时，PD＝10+t，即t＝10+t，解得t＝50，
∴当t＝50时，⊙P与直线AB、AC能同时相切．
15．解：（1）证明：连接OC，
∵直线y＝x+2与y轴相交于点E，
∴点E的坐标为（0，2），即OE＝2．
又∵点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4，
∴BE＝OE＝2，
又∵OA是⊙P的直径，
∴∠ACO＝90°，即OC⊥AB，
∴OE＝CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
（2）直线CD是⊙P的切线．
①证明：连接PC、PE，由①可知：OE＝CE．
在△POE和△PCE，，
∴△POE≌△PCE，
∴∠POE＝∠PCE．
又∵x轴⊥y轴，
∴∠POE＝∠PCE＝90°，
∴PC⊥CE，即：PC⊥CD．
又∵直线CD经过半径PC的外端点C，
∴直线CD是⊙P的切线；
②∵对，当y＝0时，x＝﹣6，即OD＝6，
在Rt△DOE中，，
∴CD＝DE+EC＝DE+OE＝．
设⊙P的半径为r，则在Rt△PCD中，由勾股定理知PC2+CD2＝PD2，
即 r2+（）2＝（6+r）2，
解得 r＝6，即⊙P的半径长为6．
16．解：连接OD，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠C＝∠CBA，
∵在△OBD中，OB、OD均为⊙O的半径，
∴∠BDO＝∠CBA，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切．
17．解：（1）当⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标为2或﹣2．
∴2＝2x﹣1，
或﹣2＝2x﹣1；
∴．
∴P点的坐标为或．
（2）当⊙P与y轴相切时，P点的横坐标2或﹣2．
∴y＝2×2﹣1＝3，或y＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5．
∴P点的坐标为（2，3）或（﹣2，﹣5）．
（3）⊙P与x轴和y轴都相切时，横坐标与纵坐标绝对值相等
即x＝y，或y＝﹣x
∴x＝2x﹣1，即x＝1，y＝1；或﹣x＝2x﹣1，即x＝，y＝﹣；
∴P点的坐标为（1，1）或（，﹣），即⊙P的半径是1或．
18．解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即（R+2）2＝（2）2+R2，
解得：R＝2，
即⊙O的半径是2．
19．解：（1）AE与⊙O相切．
理由如下：
连接OM，则OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM＝∠EBM．
∴∠OMB＝∠EBM．
∴OM∥BC．
∴∠AMO＝∠AEB．
在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC．
∴∠AEB＝90°．
∴∠AMO＝90°．
∴OM⊥AE．
∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，
∴BE＝BC，∠ABC＝∠C．
∵BC＝6，cosC＝，
∴BE＝3，cos∠ABC＝．
在△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝12．
设⊙O的半径为r，则AO＝12﹣r．
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE．
∴＝．
∴＝．
解得：r＝2.4
∴⊙O的半径为2.4．
20．解：（1）CD与圆O的位置关系是相切，
理由是：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∵∠CAB＝∠CAD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD与圆O的位置关系是相切；
（2）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵圆O的半径为3，
∴AB＝6，
∵∠CAB＝30°，
∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，
∵AD⊥直线l，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB＝30°，
∴CD＝AC＝，AD＝＝＝．
21．（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接DE，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠CBD，
∴△ADE∽△BCD，
∴＝，
∵AD：AO＝10：7，BC＝2，
∴＝，
解得：BD＝2.8．
22．证明：（1）CD是⊙O的切线，
连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵AC⊥CD，即∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠ODA+∠CDA＝90°，
∴OD⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠B＝∠AED，
∴∠AED+∠BAD＝90°，
∵∠CDA+∠CAD＝90°，∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠AED．
23．解：①⊙D与OA的位置关系是相切，
证明：过D作DF⊥OA于F，
∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF＝DE，
即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，
∴⊙D与OA相切．
②∠DOA＝∠DOE，OE＝OF．
24．解：（1）DF与⊙O相切．
连接OD．
∵AC＝BC，OB＝OD，
∴∠B＝∠A，∠B＝∠1．
∴∠A＝∠1．
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°．
∴∠ODF＝∠AFD＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切．
（2）过O作OG⊥EC交EC于点G．
∵∠ODF＝∠AFD＝90°，
∴四边形OGFD是矩形．
∴DF＝OG，FG＝OD＝AC＝BC＝．
连接OE，
∵OG⊥EC，OC＝OE
∴CG＝EG＝FG﹣EF＝﹣1＝．
∴DF＝OG＝＝＝2．
25．（1）CD与⊙O的为位置关系是相切，
证明：连接OD，
∵DE＝CE＝OE，
∴∠CDE＝∠DCE，∠EDO＝∠EOD，
∵∠CDE+∠DCE+∠EDO+∠EOD＝180°，
∴∠CDE+∠EDO＝90°，
∴DO∠CD，
∴CD与⊙O相切；
（2）解：作DF⊥AC于F，
∵OD＝OE，
∴OD＝DE＝OE，
∴∠EDO＝∠COD＝∠DEO＝60°，
∴∠CDE＝∠DCE＝30°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠COD＝30°，
∴∠DCE＝∠OAD，
∴AD＝CD，
∴AF＝CF＝AC＝＝，
在Rt△AFD中，∠OAD＝30°，
∴AD＝2DF，
∵AD2+DF2＝AF2＝（）2＝3，
∴DF＝1，
∴S△ACD＝＝＝．

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