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圆的一般方程
一、考查内容：
圆的一般方程
直线和圆的位置关系及直线和圆的位置关系的确定.
二、知识讲解
考点1
1.圆的一般方程
方程形式 一般方程
方程
圆心
半径
考点2
3.二元二次方程
（1）当时,该方程表示以为圆心,以为半径的圆； （2）当时,该方程表示一个点； （3）当时,该方程不表示任何图形.
三、例题精析
例1 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径.
（1）
（2）
【规范解答】（1）对方程左边配方，方程化为，所以圆的圆心坐标为半径为5.
（2）方程两边除以4得
方程左边配方得,所以圆心的坐标为，半径为
【总结与反思】圆的一般方程可以通过配方化为圆的标准方程在圆的标准方程中可以看出圆的圆心和圆的半径.
【再例】求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
【解答】　法一　设点C为圆心，
∵点C在直线：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴＝
，
解得a＝－2.
∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二　设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由条件知
解得
故所求圆的标准方程为
(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三　线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝＝，
所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2，
所以线段AB的垂直平分线的方程为：
y＋4＝－2x，
即y＝－2x－4.
故圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，由得
即圆心为(－1，－2)，圆的半径为r＝＝，
所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
例2 求过三点,,的圆的方程.
【规范解答】设圆的方程为
因为点在圆上所以点的坐标是方程的解，把它们的坐标代入圆的方程得
解这个方程得所求方程为
【总结与反思】待定系数法确定D,E,F三个系数，根据三个条件建立三个方程.
例3已知一曲线是与两个定点,距离的比为的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线.
【规范解答】设是曲线上任意一点，点在曲线上的条件是
由两点之间的距离公式，上式用坐标表示，两边平方化简的,将圆配方得.
[再例]
求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．
【解】　法一　设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
法二　因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的中垂线上．
AB中垂线的方程为y＝－(x－4)，
令y＝0，得x＝4.即圆心坐标为C(4,0)，
所以r＝|CA|＝＝.
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
【反思与总结】动点的轨迹方程一般首先设动点的坐标为再根据几何关系坐标化，最后化简方程检查完备性和纯粹性.
四.课堂运用
基础
一、选择题
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
【解析】　方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，
可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．
【答案】　A
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是(　　)
A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0
【解析】　∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，
∴D＝E≠0.
【答案】　D
3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是(　　)
A.π B.π
C．3π D．不存在
【解析】　所给圆的半径为
r＝＝.
所以当m＝－1时，
半径r取最大值，此时最大面积是π.
【答案】　B
4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
【解析】　把圆x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则＝，解得a＝2或a＝0.故选C.
【答案】　C
巩固
5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
【解析】　线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．
【答案】　C
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
【解析】　由题意可得圆C的圆心在直线
x－y＋2＝0上，将代入直线方程得
－1－＋2＝0，解得a＝－2.
【答案】　－2
7．过点M(－1,1)，且与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0有相同圆心的圆的方程为________．
【解析】　圆C的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝16，则所求圆的圆心为(2，－3)．半径r＝＝5，方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
【答案】　(x－2)2＋(y＋3)2＝25
8．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．
【解析】　设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得
所以
点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，
化简得＋＝，即为点Q的轨迹方程．
【答案】　＋＝
拔高
9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程.
【解】　圆心C，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20，②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，
所以所以圆的一般方程为：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作 MONP，求点P的轨迹方程．
【解】　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，故
则有即N(x＋3，y－4)．
又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此，点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和.
课程小结
圆的方程有两种表达方式标准方程和一般方程做题时注意适当的选择这两种方式
待定系数法是求圆的方程的一种方法
圆的一般方程注意成立的条件 (
1
)

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