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2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝20，则S2＝（　　）
A．14 B． C．26 D．
3．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形…，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（　　）
A．12 B．32 C．64 D．128
4．如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（　　）
A．5尺 B．25尺 C．13尺 D．12尺
5．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，9，12 B．﹣9，40，41 C．52，122，132 D．7，24，25
6．若a、b、c是△ABC三条边的长，且满足a2﹣2ab+b2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝16，BC＝8，则CM等于（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
8．有一圆柱体如图，高4cm，底面周长6cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离（　　）cm．
A．3 B．2 C．8 D．5
9．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（　　）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）
A．90 B．100 C．110 D．121
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2021＝　 　．
12．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝60°，AD⊥CD，AB＝2，AC＝2，则CD＝　 　．
13．在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是　 　．
14．一根长16cm牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中．牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是　 　
15．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是这个台阶两个相对的端点，在A点有一只蚂蚁，想到B点去觅食，那么它爬行的最短路程是多少？
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底的等腰三角形？
18．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
19．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
20．如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）连接AC，判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形花圃ABCD的面积．
21．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：a＝32，b＝42，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项A符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故选项B不符合题意；
由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故选项D不符合题意；
故选：A．
2．解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝20﹣6＝14，
则S2＝AC2＝14，
故选：A．
3．解：∵由图（1）到图（2）增加了4个正方形，4＝22，
由图（2）到图（3）增加了8个正方形，8＝23，
∴按此规律，由图（3）到图（4）增加了24个正方形，
由图（4）到图（5）增加了25个正方形，
由图（5）到图（6）增加了26个正方形，
∵26＝64，
∴C选项符合题意，
故选：C．
4．解：如图：由题意可知AB＝5尺，设AC长为x尺，则BC长为（25﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
则x2+52＝（25﹣x）2，
解得：x＝12，即AC＝12尺，
故选：D．
5．解：A、∵62+92≠122，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（﹣9）2+402＝412，能组成直角三角形，但﹣9不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵252+1442≠1692，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵72+242＝252，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
6．解：∵a2﹣2ab+b2+|a2+b2﹣c2|＝0，
即（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴（a﹣b）2＝0，且|a2+b2﹣c2|＝0，
∴（a﹣b）2＝0，且a2+b2＝c2，
∴a＝b，且△ABC是直角三角形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故选：B．
7．解：设BD＝x，则CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝16﹣x，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，
即：x2＝82+（16﹣x）2，
解得：x＝10，
∴BD＝10，
∵M是BD的中点，
∴CM＝5，
故选：A．
8．解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C，D分别是BE，AF的中点．
∴AF＝6cm．AD＝3cm．
∴AC＝＝＝5（cm）．
故选：D．
9．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB＝＝10（海里）．
故选：B．
10．解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
易得△CAB≌△BOF≌△FLG，
∴AB＝OF＝3，AC＝OB＝FL＝4，
∴OA＝OL＝3+4＝7，
∵∠CAB＝∠BOF＝∠L＝90°，
所以四边形AOLP是正方形，
边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，
所以KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
因此矩形KLMJ的面积为10×11＝110．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝＝2，
∴OP4＝＝，…，
OP2021＝．
故答案为：．
12．解：延长BA，CD交于点E，过点A作AF⊥BC于点F，
∵∠B＝∠DCB＝60°，
∴∠E＝60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，
∵AB＝2，
∴BF＝AB＝1，AF＝，
∴CF＝＝＝5，
∴BC＝BF+CF＝6，
∴AE＝4，
∴DE＝AE＝2，
∴CD＝CE﹣DE＝6﹣2＝4．
故答案为4．
13．解：将纸箱展开，当蚂蚁经上表面爬到B点，则AB＝＝
当蚂蚁经右侧面爬到B点，则AB＝＝
比较上面两种情况，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是，即10．
14．解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣12＝4cm．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，
故h＝16﹣13＝3cm．
故h的取值范围是3≤h≤4．
故答案是：3≤h≤4．
15．解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AC＝，
∵点A表示的数是﹣1，
∴点C表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共6小题，满分50分）
16．解：如图所示，
AB＝＝100（cm）．
答：它从点A爬到点B的最短路程是100cm．
17．解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，
∴AC＝6cm，
∵点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，
∴BP＝2t（cm），AP＝AB﹣BP＝（12﹣2t）cm，AQ＝tcm；
（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
∴当t＝4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形．
18．解：当AC边上的中线BD等于AC时，
BD＝AC＝，CD＝AC＝，
∵∠C＝90°，
∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得：
BC＝＝＝＝＝6；
当BC边上的中线AE等于BC时，
CE＝BC＝AE，
∵∠C＝90°，
∴在Rt△AEC中，根据勾股定理得：
AC2＝AE2﹣CE2，
即BC2﹣（BC）2＝（4）2，
解得BC＝8，
答：BC的长是6或8．
19．解：在Rt△ABC中，∵AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝＝2.4米，
又∵AA1＝0.4，
∴A1C＝2.4﹣0.4＝2，
在Rt△A1B1C中，B1C＝＝1.5米，
则BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8米．
故：梯子底部B外移0.8米．
20．解：（1）连接AC，
因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得：
AC2＝AB2+BC2，
AC2＝42+32，
AC2＝25，
∴AC＝5m，又CD＝12m，AD＝13m，
所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形；
（2）S四边形ABCD＝AC CD+AB BC
S四边形ABCD＝×5×12+×4×3
＝30+6
＝36（m2），
答：该花圃的面积为36m2．
21．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．
答：AP的长为2．
（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．
答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．

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