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2021-2022学年度高三二轮复习导数最优解方法指导
1.证明：恒成立
2. 【2021-T8联盟】已知函数（），若恒成立，则实数的取值范围 .
3.若，恒成立，则实数的取值范围 .
4.已知函数，若在时有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.【2021-湖南省三湘名校联盟-22】已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证在上恒成立；
（3）求证：当时，.
6. 【2021-山东检测-21】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求使在恒成立的所有值.
7.若函数有两个零点，则的取值范围为 .
8.已知函数，，若对任意的，
恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数有三个极值点、、（）.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：为定值.
11.已知函数（），.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数恰有三个不同的零点、、（）.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
12.已知函数（，，，），若对，，函数 有且只有1个零点，求的值.
2021-2022学年度高三二轮复习导数最优解方法指导答案
1.方法一：放缩（切线放缩应用）
因为，所以
因为（取等号条件“”）， （取等号条件“”）
所以，即
2. 方法一：放缩（取对数思想和切线放缩混合应用）
因为，，所以
因为，所以
因为，所以
综上所述：实数的取值范围
点评：当时，
3. 方法一：放缩（切线放缩和均值不等式混合应用）
解：因为（取等号条件“”）， （取等号条件“”）
所以
所以，所以（取等号条件“”）
综上所述：实数的取值范围为.
注意：立方差
4.解：因为函数，所以导函数
所以函数单调递增，因为
所以，即，所以
设，，则，（存在性问题）
方法一：切线放缩法
因为（取等号条件“”），所以，所以，故选择D.
点评：方法二构造、求导、研究单调性.
5. 解：（1）因为函数，所以导函数
①当时，，函数单调递增；
②当或时，令，所以，
Ⅰ、当时，、，所以，函数单调递增；
Ⅱ、当时，、，所以函数单调性如下：
当时，，函数单调递减；
当或时，，函数单调递增.
（2）当时，，所以导函数
所以函数单调递增，因为，所以在上
（3）方法一：放缩法（曲线放缩、切线放缩比较综合）
因为当时，，所以，只需证明：
整理得：，只需证明：
设，导函数
设，导函数，所以函数在区间上单调递增
因为，所以函数，所以函数在区间上单调递增
因为，所以
综上所述：当时，.
方法二：代数变换
设函数，，导函数
设，导函数
函数单调递减，因为，所以函数在区间上单调递减
所以函数，所以在区间上单调递减
因为（证明取等号条件“”），所以
综上所述：当时，.
6.解：因为函数，，所以导函数
① 当时，，函数单调递增；
② 当时，令，
Ⅰ、当时，，函数单调递减；
Ⅱ、当时，，函数单调递增.
综上所述：① 当时，函数单调递增；
② 当时，Ⅰ、当时，函数单调递减；Ⅱ、当时，函数单调递增.
（2）方法一：分类讨论法
当时，，导函数
① 当时，，函数单调递增，，即
② 当时，令，，根据单调性可知：
所以，设，
导函数，令，
根据单调性可知：恒成立
综上所述：实数的取值范围为.
7. 方法一：（平移）切线放缩
解：因为
因为有两个零点，所以
综上所述则的取值范围为.
8.方法一：数学实验法
a=2 a=e
从上图可知：答案为A、B、C.
方法二 ：放缩法与赋值法
情景铺垫：
本题采用赋值法和取对数切线放缩法在高三得教学中是必须讲解内容，赋值法在高一得教学中会拿来教学，是一个更加常用得方法；取对数的思想是不容易想到，主要让学生记住数式结构，在后期的教学和学习要引起注意。
解：
由可得：
由可得：
整理可得：，构造函数求得最小值为，所以A、B满足
设，可得:
证明：
设，可得：
当时，，舍去
综上所述：A、B、C满足题意，D不满足题意。
方法二 ：放缩法与赋值法（快速解法）
情景铺垫：
每当我们解出一道题的步骤，我们要在此基础上进行逻辑结构的优化，形成快速解题的方法。
解：
函数与在上单调递增
当时，，故D舍去；
设，可得:
证明：
因为，所以可得A与B满足题意.
综上所述：A、B、C满足题意，D不满足题意。
方法三 ：切线放缩
情景铺垫：
该方法没有对取对数进行处理，而是直接单边切线放缩，这样容易避免双边放缩造成参数的范围减少，但是又引来函数求导的麻烦，一般我们可以利用分离常数的方法来不断的分解式子，利用单调性来求出最值问题，即能解决恒成立的问题。
解：
由可得：，参变分离可得：
设，求导（分离常数即可）
，所以
综上所述：A、B、C满足题意，D不满足题意。
方法四 ：级数展开
解：
可得：
利用泰勒级数展开可知：
解得
综上所述：A、B、C满足题意，D不满足题意。
9.法一：参变分离
解：由可得：
设，导函数
令，
① 当时，，函数的单调递减；
② 当时，，函数的单调递增.
所以，，所以选择A.
10.解：当时，
导函数，令，
设，导函数
因为函数单调递减，，所以
所以，，
所以① 当时，，函数单调递减；
② 当时，，函数单调递增.
（2）方法一：极值点问题（零点问题）
因为，所以
设有三个零点，，有两个正根条件如下：
① 根据韦达定理可知：和大于零和积大于零，所以
②
所以实数的取值范围为.
根据零点定理可知：，
所以，
函数单调递增，又因为，所以
（2）由题意可知：
因为
所以，故
综上所述：实数的取值范围为，为定值为1.
11.解：（1）当时，
函数导数，函数单调递增
所以函数的单调区间为.
（2）方法一：参变分离法和换元法（复合函数）
因为函数恰有三个不同的零点
所以，设，
导函数，令，所以
因为，当时，（详见必修一第三章第二节函数应用例二）
根据单调性可知：函数图像如下：
从图像可知：，，图像如下：
从图像可知：实数的取值范围.
（2）根据上图可知：，
因为，所以
根据韦达定理可知：
综上所述：
方法点评：
本题方法的关键在于图像的识读和图像精准画出，尤其第一幅图含有渐近线，这个函数是比较好记忆，因为该函数属于“黄金函数”的变形，大部分“黄金函数”最大的特点就是拥有“渐近线”的属性，这个在平时的教学中要认认真真的练习“黄金函数”的本身函数和拓展变形（图像变换），不至于学生上考场感到陌生，以至于无的放矢。
12.方法一：构造法
解：因为函数，
所以导函数，该函数单调递增
因为，，根据零点定理可知：，即
所以
所以
综上所述：的值为1.
方法点评：
本题的关键点就是在于零点值的寻找，这是必修一函数整体的考查，属于一道不错的题型，需要考生具备比较全面的知识来解决该问题，一般在正根或者负根根的个数或者不等式范围整根考查，需要学生和老师在这方面多多引起注意，本题的难度不大，应该北京考卷喜欢出这样的考试试题。
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行
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