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人教A版（2019）版选择性必修一全书综合测评
一、单选题
1．若直线经过点，且直线的一个法向量为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+（y+3）2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2=-12y B．x2=12y C．y2=12x D．y2=-12x
3．圆关于直线对称，则的最小值是
A． B． C． D．
4．已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在棱长都相等的正三棱柱中，是棱的中点，是棱上的动点.设，随着增大，平面与底面所成锐二面角的平面角是（ ）
A．增大 B．先增大再减小
C．减小 D．先减小再增大
7．在所有棱长均相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．△的面积为
11．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等
12．已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为
三、填空题
13．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为_______.
14．如图，边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别在正方形对角线和上移动，且.则下列结论：
①长度的最小值为；
②当时，与相交；
③始终与平面平行；
④当时，为直二面角．
正确的序号是__________．
15．已知圆C:，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为________________.
16．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过 的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______.
四、解答题
17．已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；
（3）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点．
18．在四棱锥中，平面，，，，，与平面所成的角是，是的中点，在线段上，且满足.
（1）求二面角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
19．根据所给条件求直线l的方程：
（1）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，截距之差为6；
（2）直线关于直线的对称直线的方程．
20．已知定点F(2，0)，曲线C上任意一点P(x，y)(x≥0)到定点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大2．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点F任作一直线l与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与直线x＝-2别交于点M，N（O为坐标原点）．试判断以线段MN为直径的圆是否经过点F？请说明理由．
21．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
22．已知圆，点是圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．
（1）若点满足，求点的轨迹方程；
（2）若过点且斜率分别为的两条直线与（1）中的轨迹分别交于点、，、，并满足，求的值．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
因为直线的一个法向量为，
所以，
则直线l的方程为 ，即，
故选：C
2．A
解：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等.
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y.
故选：A.
3．C
圆的圆心坐标为
因为圆关于直线对称
所以直线经过圆心，即
当且仅当，即时取等号
故选：C
4．C
直线，即为，可得直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，
由，可得的中点为，
设，，，，
则，，
两式相减可得，
由．，
可得，由，即有，
则椭圆的离心率，．
故选：C
5．C
解：根据题意，点在椭圆上，满足，，
又由椭圆的方程为，其中，
则有，，
联立可得，
则△的面积；
故选：C．
6．D
设正三棱柱棱长为，，
设平面与底面所成锐二面角为，
以为坐标原点，过点在底面内与垂直的直线为轴，
所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量，则，
即，令，则，
所以平面的一个法向量，
底面的一个法向量为，
当，随着增大而增大，则随着的增大而减小，
当，随着增大而减小，则随着的增大而增大.
故选：D.
7．B
解：取的中点，以为原点，以，和平面过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，
设直三棱柱的棱长均为2，则，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，，
∴，令得，
∴．
∴直线与平面所成角的正弦值为．
故选：B．
8．A
由双曲线可得．
设，．则，，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，
的周长
．
故选：A．
9．AC
A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；
B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；
C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；
D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.
故选：AC.
10．BCD
选项A. 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.
选项B. 所以，，抛物线方程为
将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确
选项C. 当时，则，则直线的方程为：
则 ，得，解得或
所以，则，
同理当时，可得，所以C正确.
选项D.由上可知当时，
同理当时，，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，过焦点的弦的性质，解答本题的关键是由抛物线的定义可得，解得的值，由求解面积，属于中档题.
11．BC
对于A中，若，
因为且，所以平面，
所以，所以，此时不成立，所以A错误；
对于B中，如图所示，取的中点，连接，
由条件可知：，且,
所以平面平面，
又因为平面，所以平面，所以B正确；
对于C中，连接，
因为为的中点，所以，
所以四点共面，所以截面即为梯形，
由题得该等腰梯形的上底下底，腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；
对于D中，假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误．
故选：BC．
12．AC
在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.
对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；
对于B，当P在双曲线的左支上时，，
故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.
故选：AC.
13．或
解：（1）当时，设，则，设，
由题意可知，，，，
则，，，
代入得，
即，解得，则，
（2）当时，设，，设，
则，，
由题意可知，，，，
则，，，
则，
则，
代入得，即，解得，则，
故答案为：或.
14．①③
因为平面平面，平面平面，，平面，平面，
因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、、、.
对于①，，
当且仅当时，等号成立，①正确；
对于②，当时，，，
，，，
设，即，该方程组无解，所以，②错误；
对于③，、.
，平面的一个法向量为，
，则，平面，平面，③正确；
对于④，当时，、.
设平面的法向量为，，，
由，得，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，得，取，可得，
所以，，此时，二面角不是直二面角，④错误.
故答案为：①③.
15．
由圆C:，可知圆心，
由圆的性质可知CP⊥PA，
设AC的中点为，则，
∴动点P的轨迹为以B为圆心，以为半径的圆，
∴这些弦的中点P的轨迹方程为.
故答案为：.
16．
角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率.
【详解】
连接，由于是圆的切线，所以.
在中，，
所以，所以，所以直线的斜率.
，
根据椭圆的定义可知.
故答案为：；
17．（1）
抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为：，即：
则，解得
故抛物线C的方程为：；
（2）
设，由抛物线的定义可知：，即，
解得：
将代入方程得：，即P的坐标为；
（3）
由题意可知直线l不能与x轴平行，故方程可设为
与抛物线方程联立得，消去x得：
设，则
由可得：，即即：
亦即：，又，解得：
所以直线l的方程为，易得直线l过定点.
18．（1）；（2）存在满足条件的点，理由见解析.
（1）因为平面，所以为与平面所成的角.
即，，所以.
以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，设.
，，
因为，所以，解得，.
设平面的法向量为，
又，.
所以，令，得到.
设平面的法向量为，
又，.
所以，令，得到.
所以.
又由图可知，该二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
（2）
因为，，设，.
所以，.
由（1）知平面的法向量为，
所以
又因为与平面所成角的余弦值是
所以其正弦值为，即
整理得：或（舍去）
所以存在满足条件的点，，.
19．
（1）
由已知得直线不过原点，设直线方程为，
则可得，解得或，
又截距之差为6，所以，．
则直线方程为，整理可得；
（2）
在直线m上取一点，如，则关于直线l的对称点必在直线上．
设，则解得．
设直线与的交点为，则联立方程可解得，
则的方程为，即.
20．
（Ⅰ） 由题意可知：上任意一点到定点的距离与它到直线的距离相等．设方程为,，，抛物线的方程为y2＝8x．
（Ⅱ）设直线AB的方程为x＝ty＋2，A，B，则，
．由，得，同理得，
由，得y2－8ty－16＝0，∴y1y2＝-16．∴，则，
则，因此，以线段MN为直径的圆经过点F．
21．
（1）由已知可得，，，又，所以平面.
又平面，所以平面平面；
（2）作，垂足为.由（1）得，平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）可得，.又，，所以.又，，故.
可得.
则 为平面的法向量.
设与平面所成角为，则.
所以与平面所成角的正弦值为.
22．（1）
解：设M的坐标为，P的坐标为，则
又点在圆O上，即，
亦即，化简得：．
（2）
解：设，所在的直线方程为：，联立得：，消去得：
则
同理：
由可得：，
化简：，又，故：，即：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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