资源简介

数列解答题之前n项和求解
【知识梳理】
1、常用公式
等差数列 等比数列
定义
通项公式
中项公式 若a,A,b成等差数列，则 若a,G,b成等比数列，则
下标和性质 若m+n=p+q，则 若m+n=p+q，则
片段和性质 成等差数列 成等比数列
前n项和公式 ；
2、通项公式求解
（1）公式法：已知函数类型，求出和（等差）；或者和（等比），然后利用通项公式即可；
（2）作差法：已知关系式，利用求解即可；
（3）累加法：已知类型；
（4）累乘法：已知类型；
（5）构造法：已知类型；
3、前n项和求解
（1）分组求和法：形如两个数列相加减形式的通项公式；
（2）裂项相消法：常用公式或；
（3）错位相减法：形如等差数列与等比数列相乘的形式的通项公式；
【题型训练】
例题1．（2021 海口模拟）已知数列{an}满足a1＝1，＝2（n∈N*）．
（1）求证：{an+1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝an+an+1+an+2，求数列{bn}的前n项和Tn．
变式训练1．（2021 海南模拟）在等比数列{an}中，a1+a3＝5，a2+a4＝10．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前2n项和．
变式训练2．（2021 阳泉三模）已知{an}为等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，2a1＝b1＝2，a2+a8＝10，，
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和Tn．
变式训练3．（2021 凯里市校级三模）已知数列{an}满足：a1+2a2+22a3+…+2n﹣1an＝16n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝log2an+2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．
例题2．（2021 让胡路区校级四模）已知数列{an}的首项为a1＝1，且an+1＝2（an+1）（n∈N*）．
（1）证明数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Tn．
变式训练1．（2021 秦州区校级三模）已知公差不为零的等差数列{an}满足a3＝6，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，求数列的前20项和．
变式训练2．（2021 雅安三模）已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），前n项和为Sn，S3＝14，且3a2是2a3与4a1的等差中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，{bn}的前n项和为Tn，证明：．
变式训练3．（2021 雨花区校级二模）已知数列{an}中，a1＝1，且an+1＝an+n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和Tn．
例题3．（2021 迎泽区校级二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝9．数列{bn}满足．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
变式训练1．（2021 山西三模）已知数列{an}是递增等比数列，且a3＝4，a2+a4＝10，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且b1＝a1，S2＝a2+1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
变式训练2．（2021 新安县校级模拟）已知数列{an}前n项和是Sn，且an+Sn＝3n﹣1．
（1）设bn＝3﹣an，证明：数列{bn}是等比数列；
（2）设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
变式训练3．（2021 南明区校级模拟）已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a2＝2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【巩固练习】
1．（2021秋 宝安区校级月考）已知等比数列{an}中，a1＝1，且2a2是a3和4a1的等差中项．等差数列{bn}满足b1＝1，b7＝13．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an﹣bn}的前n项和Tn．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+，求数列{}的前n项和Tn．
3．（2021 五华区校级模拟）已知数列{an}满足a1＝1，2an+1＝（1+）an（n∈N*）．
（1）求证：数列{}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．数列解答题之前n项和求解
【知识梳理】
1、常用公式
等差数列 等比数列
定义
通项公式
中项公式 若a,A,b成等差数列，则 若a,G,b成等比数列，则
下标和性质 若m+n=p+q，则 若m+n=p+q，则
片段和性质 成等差数列 成等比数列
前n项和公式 ；
2、通项公式求解
（1）公式法：已知函数类型，求出和（等差）；或者和（等比），然后利用通项公式即可；
（2）作差法：已知关系式，利用求解即可；
（3）累加法：已知类型；
（4）累乘法：已知类型；
（5）构造法：已知类型；
3、前n项和求解
（1）分组求和法：形如两个数列相加减形式的通项公式；
（2）裂项相消法：常用公式或；
（3）错位相减法：形如等差数列与等比数列相乘的形式的通项公式；
【题型训练】
例题1．（2021 海口模拟）已知数列{an}满足a1＝1，＝2（n∈N*）．
（1）求证：{an+1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝an+an+1+an+2，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】证明：（1）数列{an}满足a1＝1，＝2（n∈N*）．整理得an+1+1＝2an+2，
故（常数），所以：数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以：．
（2）bn＝an+an+1+an+2＝7×2n﹣3，
所以＝．
变式训练1．（2021 海南模拟）在等比数列{an}中，a1+a3＝5，a2+a4＝10．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前2n项和．
【解析】（1）设{an}的公比为q，由条件可得，又由，
得a1＝1，所以．
（2）由于，所以
变式训练2．（2021 阳泉三模）已知{an}为等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，2a1＝b1＝2，a2+a8＝10，，
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和Tn．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，
∵2a1＝2，a2+a8＝10，∴2a1+8d＝10，
∴a1＝1，d＝1，∴an＝1+（n﹣1）×1＝n．
由，得Sn＝2（bn﹣1），
当n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2（bn﹣1）﹣2（bn﹣1﹣1），
即bn＝2bn﹣1所以{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴．
（2）由（1）得，
∴，
＝（1+2+ +n）+（21+22+ +2n），
＝．
变式训练3．（2021 凯里市校级三模）已知数列{an}满足：a1+2a2+22a3+…+2n﹣1an＝16n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝log2an+2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】（1）当n＝1时，a1＝16．
当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n﹣1an＝16n．①
a1+2a2+22a3+…+2n﹣2an﹣1＝16（n﹣1）． ②
①﹣②得an＝25﹣n，
当n＝1时，满足上式．
∴{an}的通项公式为an＝25﹣n；
（2）bn＝log2an+2n﹣1＝log225﹣n+2n﹣1＝5﹣n+2n﹣1，
∴Tn＝（4+20）+（3+21）+（﹣2+22）+ +（5﹣n+2n﹣1）
＝[4+3+2+ +（5﹣n）]+（20+21+22+ +2n﹣1）
＝+2n﹣1，n∈N*．
例题2．（2021 让胡路区校级四模）已知数列{an}的首项为a1＝1，且an+1＝2（an+1）（n∈N*）．
（1）证明数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Tn．
【解析】（1）证明：由an+1＝2（an+1）得an+1+2＝2（an+2），
因为an+2≠0，所以，又因为a1+2＝3，
所以数列{an+2}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
可得，从而（n∈N*）；
（2）依题意，＝，
故＝，
故．
变式训练1．（2021 秦州区校级三模）已知公差不为零的等差数列{an}满足a3＝6，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求{an}的通项公式an；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，求数列的前20项和．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
由a3＝6，得a1+2d＝6①，又a1，a2，a4成等比数列，得a22＝a1a4，即（a1+d）2＝a1（a1+3d），
故a1d﹣d2＝0②，由①②得a1＝d＝2，所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；
（2）由（1）可知Sn＝（2+2n）＝n（n+1），则＝＝﹣，
令{}的前n项和为Tn，则T20＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．
变式训练2．（2021 雅安三模）已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），前n项和为Sn，S3＝14，且3a2是2a3与4a1的等差中项．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，{bn}的前n项和为Tn，证明：．
【解析】∵3a2是2a3与4a1的等差中项，
∴6a2＝2a3+4a1，
∴q2﹣3q+2＝0，
∴q＝2或q＝1（舍去），
又∵S3＝14，∴，∴a1＝2，
∴；
（2）证明：由（1）得
，
，
∴．
变式训练3．（2021 雨花区校级二模）已知数列{an}中，a1＝1，且an+1＝an+n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】（1）∵an+1＝an+n，∴an+1﹣an＝n．∴a1＝1，
a2﹣a1＝1，
a3﹣a2＝2，
，
an﹣an﹣1＝n﹣1，
∴，
∴；
（2）由（1）知
，
，
因此，．
例题3．（2021 迎泽区校级二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝9．数列{bn}满足．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，
由S3＝9，得3a1+3d＝9，又a1＝1，则d＝2，所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
当n＝1时，有＝3，得b1＝，当n≥2时，由++…++＝2n+1
得++…+＝2n﹣1+1，两式相减得＝2n+1﹣（2n﹣1+1）＝2n﹣1，所以bn＝＝，
又b1＝不满足上式，所以bn＝；
（2）证明：根据题意，Tn＝b1+b2+…+bn＝+++…+，所以Tn＝++…++，
两式相减得Tn＝+++…+﹣＝+﹣＝﹣，
故Tn＝﹣＜．
变式训练1．（2021 山西三模）已知数列{an}是递增等比数列，且a3＝4，a2+a4＝10，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且b1＝a1，S2＝a2+1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q，
∵a3＝4＞0且数列{an}是递增等比数列，∴公比q＞1，
由a3＝4，a2+a4＝10，可得，解得，∴an＝1 2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*，
设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，
由S2＝a2+1，可得b1+b2＝2+1＝3，即2b1+d＝3，解得d＝1，
∴bn＝1+（n﹣1）×1＝n，n∈N*．
（2）由（1），可得，
∴，①
．②
①﹣②，得
＝
＝（1﹣n） 2n﹣1，
∴．
变式训练2．（2021 新安县校级模拟）已知数列{an}前n项和是Sn，且an+Sn＝3n﹣1．
（1）设bn＝3﹣an，证明：数列{bn}是等比数列；
（2）设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】（1）证明：由题意，当n＝1时，2a1＝a1+S1＝3×1﹣1＝2，解得a1＝1，
当n≥2时，由an+Sn＝3n﹣1，可得an﹣1+Sn﹣1＝3（n﹣1）﹣1，
两式相减，可得2an＝an﹣1+3，即﹣2an＝﹣an﹣1﹣3，
两边同时加6，可得6﹣2an＝6﹣an﹣1﹣3＝3﹣an﹣1，
即2bn＝bn﹣1，则bn＝bn﹣1，
∵b1＝3﹣a1＝3﹣1＝2，
∴数列{bn}是以2为首项，为公比的等比数列．
（2）解：由（1），知bn＝2 （）n﹣1＝（）n﹣2，
则cn＝nbn＝n （）n﹣2，
∴Tn＝c1+c2+ +cn＝1 （）﹣1+2 （）0+3 （）1+ +n （）n﹣2，
Tn＝1 （）0+2 （）1+3 （）2+ +（n﹣1） （）n﹣2+n （）n﹣1，
两式相减，可得Tn＝（）﹣1+（）0+（）1+ +（）n﹣2﹣n （）n﹣1
＝﹣n （）n﹣1
＝4﹣，
∴Tn＝8﹣．
变式训练3．（2021 南明区校级模拟）已知数列{an}的前n项和Sn满足，且a2＝2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】（1）法一：因为，
所以，
两式相减得2an+1＝（n+2）an+1﹣（n+1）an，整理得nan+1＝（n+1）an，
即，所以为常数列，
所以，所以an＝n，且a1＝1，a3＝3．
法二：因为，，
所以，
两式相减得2an+1＝（n+2）an+1﹣（n+1）an，整理得nan+1＝（n+1）an，
所以，由累乘法，
所以，又a2＝2，所以an＝n，且a1＝1，a3＝3．
（2）由（1），，
所以，，
两式相减得，
，
化简得．
【巩固练习】
1．（2021秋 宝安区校级月考）已知等比数列{an}中，a1＝1，且2a2是a3和4a1的等差中项．等差数列{bn}满足b1＝1，b7＝13．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an﹣bn}的前n项和Tn．
【解析】（1）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，
由题意可得：2×2a2＝a3+4a1，即4a2＝a3+4a1，
联立，可得q＝2，
则数列{an}的通项公式为；
（2）由题意可得：b7﹣b1＝12＝6d，即d＝2，
则数列{bn}的通项公式为bn＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．
，
则
＝．
2．（2021 5月份模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an+，求数列{}的前n项和Tn．
【解析】（1）当n＝1时，a1＝s1＝，
当n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1＝2n﹣，
经验证n＝1满足，
∴an＝2n﹣．
（2）∵bn＝an+＝2n，∴＝，
∴Tn＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣）＝．
3．（2021 五华区校级模拟）已知数列{an}满足a1＝1，2an+1＝（1+）an（n∈N*）．
（1）求证：数列{}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
【解析】（1）证明：因为，所以，
又，故数列为首项为1，公比为的等比数列．
所以，故．
（2）因为①，
②，
①、②式错位相减得：
化简整理得．

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