资源简介

解析几何轨迹方程的求解方法
方法一、直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程.
例1.（2021·重庆市万州第二高级中学高二期中）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值，求动点的轨迹方程.
变式1.(2019年高考全国Ⅱ卷理数)已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线.
作业1-1．（2021·浙江杭州·高三期中）已知点，，直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程.
作业1-2．（2021·广东·北京师范大学广州实验学校高二期中）已知点，动点满足，求动点P的轨迹方程.
方法二、几何法
若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可.
例2.（2021·江西·景德镇一中高二期末（文））动圆过点，且与直线相切，求该圆圆心的轨迹方程.
变式2.（2021·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长，求点的轨迹方程；
作业2.（2021·重庆市第六十六中学校高二月考）已知动圆过定点，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程.
方法三、定义法
某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
例3.（2021·重庆·礼嘉中学高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．动点到，两点的距离之和为4,求其轨迹方程.
变式3-1. （2021·全国·高三专题练习）已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，，设动点形成的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程.
变式3-2.（2021·江西·景德镇一中高二期末（文））动圆过点，且与圆相内切，求该圆圆心的轨迹方程；
作业3-1.（2021·四川·成都七中高二期中（理））平面上一动点满足，则的轨迹方程为__________．
作业3-2.（2021·全国·高三专题练习）已知点在圆上，，，线段的垂直平分线与相交于点,求动点的轨迹方程.
作业3-3.（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知，，，动点满足，求动点的轨迹方程.
方法四、相关点代入法
若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程.
例4.（2020·全国·高三专题练习）已知是椭圆上任一点，是坐标原点，则中点的轨迹方程为
变式4.（2021·四川绵阳·高二月考（理））已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，求点M的轨迹方程.
作业4-1.若是双曲线上任一点，是右焦点，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程是_______________.
作业4-2.（2021·山西省长治市第二中学校高二期末（理））在圆上任取一点，过做轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程；
方法五、参数法
解题过程大胆设参数，通过题设条件列动点与参数之间得方程关系式，一般方程在两个及以上。列出方程以后，利用方程组之间的关系消参数，得到动点x、y之间的关系式及为所求轨迹方程。其解题思想为：设而不求，设而不用，设而相消。
例5.（2021·全国·高二课时练习）若直线与、轴交点分别为、，则的中点的轨迹方程是___________.
变式5.（2021·全国·高三专题练习）椭圆上有两点P、Q，O为原点，连接，求线段中点M的轨迹方程.
作业5-1.（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）平面上一动点的坐标为，求点轨迹的方程.
作业5-2.（2021·上海·曹杨二中高二月考）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点,求中点的轨迹方程.
方法六、交轨法
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种.
例6.（2020·广东·深圳实验学校高二月考）已知直线（）与抛物线相交于，两点，且以弦为直径的圆恒经过坐标原点，求动圆的圆心的轨迹方程．
作业6.（2021·重庆一中高三月考）过点的直线与抛物线交于P、Q两点，求线段PQ的中点B的轨迹方程.解析几何轨迹方程的求解方法
方法一、直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程.
例1.（2021·重庆市万州第二高级中学高二期中）动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值，求动点的轨迹方程.
解：设点，依题意，有两边平方，整理得所以动点的轨迹方程为；
变式1.(2019年高考全国Ⅱ卷理数)已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为 .记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线.
【解析】由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
作业1-1．（2021·浙江杭州·高三期中）已知点，，直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程.
解：设，则，化简得，∴轨迹方程为.
作业1-2．（2021·广东·北京师范大学广州实验学校高二期中）已知点，动点满足，求动点P的轨迹方程.
解：∵，，∴，.
则，∴∴.
方法二、几何法
若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可.
例2.（2021·江西·景德镇一中高二期末（文））动圆过点，且与直线相切，求该圆圆心的轨迹方程.
解：动圆过点，且与直线相切，圆心在以为焦点，为准线的抛物线上，
圆心的轨迹方程为：.
变式2.（2021·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长，求点的轨迹方程；
【详解】设点的坐标，则点到直线的距离，
过点做圆的切线，则切线长，
由题意可得，整理可得，所以点的轨迹方程：；
作业2.（2021·重庆市第六十六中学校高二月考）已知动圆过定点，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程.
【详解】∵动圆过定点，且与直线相切，∴曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：.
方法三、定义法
某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
例3.（2021·重庆·礼嘉中学高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．动点到，两点的距离之和为4,求其轨迹方程.
【详解】∵，由椭圆定义可知点轨迹为椭圆，，∴，，，所以轨迹方程为
变式3-1. （2021·全国·高三专题练习）已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，，设动点形成的轨迹为曲线，求曲线的轨迹方程，
【详解】，点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，
曲线的方程为，
变式3-2.（2021·江西·景德镇一中高二期末（文））动圆过点，且与圆相内切，求该圆圆心的轨迹方程；
【详解】设点,圆的圆心为,依题意可知即点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，则，，轨迹方程为：.
作业3-1.（2021·四川·成都七中高二期中（理））平面上一动点满足，则的轨迹方程为__________．
【详解】动点的坐标满足，
动点到和的距离之和等于4，
动点的轨迹是以点为焦点的椭圆，设其方程为，
由题得.动点的轨迹方程是.
作业3-2.（2021·全国·高三专题练习）已知点在圆上，，，线段的垂直平分线与相交于点,求动点的轨迹方程.
【详解】由得，圆心，半径，点在线段的垂直平分线上，，，
由椭圆的定义可得动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆．
从而，故所求动点的轨迹方程为．
作业3-3.（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知，，，动点满足，求动点的轨迹方程.
【详解】由题意得，则动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，
可设为．，，故动点的轨迹方程为．
方法四、相关点代入法
若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程.
例4.（2020·全国·高三专题练习）已知是椭圆上任一点，是坐标原点，则中点的轨迹方程为
【详解】设点，中点，∵点是中点，所以，则；
又∵点满足椭圆方程，所以,∴，化简得：；
∴满足，∴中点的轨迹方程为.
变式4.（2021·四川绵阳·高二月考（理））已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，求点M的轨迹方程.
【详解】设点，因，于是得点，又点P是椭圆上任意一点，因此，，化简得：，所以点M的轨迹方程是.
作业4-1.若是双曲线上任一点，是右焦点，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程是_______________.
【解析】设由题意可知
∵，
∴，∴.又点在双曲线上，,
∴，整理得，即为所求的点的轨迹方程.
作业4-2.（2021·山西省长治市第二中学校高二期末（理））在圆上任取一点，过做轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程；
【详解】设点的坐标为，点的坐标为，则因为点在圆上，所以上，把代入，得，即，即为的轨迹方程；
方法五、参数法
解题过程大胆设参数，通过题设条件列动点与参数之间得方程关系式，一般方程在两个及以上。列出方程以后，利用方程组之间的关系消参数，得到动点x、y之间的关系式及为所求轨迹方程。其解题思想为：设而不求，设而不用，设而相消。
例5.（2021·全国·高二课时练习）若直线与、轴交点分别为、，则的中点的轨迹方程是___________.
【详解】，，其中，，即且，设的中点，则，，则，即（且）.故答案为：（且）.
变式5.（2021·全国·高三专题练习）椭圆上有两点P、Q，O为原点，连接，求线段中点M的轨迹方程.
【详解】由中点坐标公式得线段的中点M的坐标为此即为点M的参数方程.
.即所求线段的中点M的轨迹方程为.
作业5-1.（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）平面上一动点的坐标为，求点轨迹的方程.
【详解】设，则，即，所以，所以的方程为.
作业5-2.（2021·上海·曹杨二中高二月考）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点,求中点的轨迹方程.
【详解】，直线中点为圆心，设线段的中点为，可得，消去得，因此，线段的中点的轨迹方程为；
方法六、交轨法
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种.
例6.（2020·广东·深圳实验学校高二月考）已知直线（）与抛物线相交于，两点，且以弦为直径的圆恒经过坐标原点，求动圆的圆心的轨迹方程．
【详解】设，，，，，
两式相减得
由已知条件， 点是的中点且过定点， ， ，
动圆的圆心的轨迹方程是
作业6.（2021·重庆一中高三月考）过点的直线与抛物线交于P、Q两点，求线段PQ的中点B的轨迹方程.
【详解】设，，，代入得，
，又，所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.

展开更多......

收起↑