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圆锥曲线轨迹方程（中等）
方法一、直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程.
例1.（2022·浙江·高三专题练习）已知且满足的动点的轨迹为，求曲线的轨迹方程.
变式1.（2021·全国·高三专题练习）直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．求点的轨迹方程.
作业1-1.（2021·北京市第五十七中学高二期中）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足，求动点M的轨迹C的方程.
作业1-2.（2020·重庆市第十一中学校高三月考）在平面直角坐标系中，，点与 连线的斜率之积为.记点的轨迹为，求的轨迹方程.
方法二、几何法
若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可.
例2．（2021·全国·高三专题练习（理））在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的轨迹方程.
变式2．（2021·上海市西南位育中学高二期末）如图，平面上，P、Q两地间距离为4，O为PO中点，M处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得，且O、M间距离为，现一机器人N正在运行，它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大2（P、O、M、N及电波直线均共面），请建立适当的平面直角坐标系，求出机器人N运行的轨迹方程.
作业2-1.（2021·云南·曲靖市第二中学二模（理））已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长，求点的轨迹方程；
作业2-2.（2021·全国·高二课时练习）已知圆：，是轴上的动点，、分别切圆于、两点，求动弦的中点的轨迹方程.
方法三、定义法
某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
例3-1.（2021·安徽·二模（文））已知定点，，，以为一个焦点作过，两点的椭圆，求椭圆的另一个焦点的轨迹方程．
例3-2.（2021·湖南怀化·高二期末）已知动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程.
例题3-3.已知动圆过定点，且与直线相切，其中.求动圆圆心的轨迹的方程.
变式3-1．（2021·云南·富宁县第一中学高二月考（文））设圆的圆心为，过点且不垂直于轴的直线交圆于，两点，过作的平行线交于点,求点的轨迹方程.
变式3-2.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
变式3-3.（2021·全国·高三专题练习）已知点为圆：上一动点，圆心关于轴的对称点为，点 分别是线段，上的点，且，,求点的轨迹方程.
作业3-1．（2021·陕西·西安中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中，为坐标原点，、，已知周长为定值,求动点的轨迹方程.
作业3-2．（2021·全国·高三专题练习）已知圆：，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点,求点的轨迹方程.
作业3-3.（2016高考新课标1卷）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E，证明为定值,并写出点E的轨迹方程.
方法四、相关点代入法
若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程.
例4.（2021·全国·高三专题练习）过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程.
变式4.（2017年高考全国Ⅱ卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，求点P的轨迹方程；
作业4-1.（2021·广东·汕头市澄海中学高二期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，且直线过定点，求点的轨迹方程.
作业4-2.P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．
方法五、参数法
解题过程大胆设参数，通过题设条件列动点与参数之间得方程关系式，一般方程在两个及以上。列出方程以后，利用方程组之间的关系消参数，得到动点x、y之间的关系式及为所求轨迹方程。其解题思想为：设而不求，设而不用，设而相消。
例5-1.（2021·全国·高二课时练习）若直线与、轴交点分别为、，则的中点的轨迹方程是___________.
例5-2.（2021·全国·高三专题练习）椭圆上有两点P、Q，O为原点，连接，求线段中点M的轨迹方程.
例5-3.（2021·贵州·二模（理））在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点，，为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.
变式5-1.（2021·广西·高三开学考试（理））设双曲线其右焦点为F，过F的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，求中点的轨迹坐标方程．
变式5-2.（2021·广东海珠·高二期末）已知点，，为直线上的两个动点，
且，动点满足，（其中为坐标原点）,求动点的轨迹的方程.
变式5-3.在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO，求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
作业5-1.（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）平面上一动点的坐标为，求点轨迹的方程.
作业5-2.（2021·上海·曹杨二中高二月考）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点,求中点的轨迹方程.
作业5-3.（2021·全国·高三专题练习（理））已知曲线和直线，若C与有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.
方法六、交轨法
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种.
例6.（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
变式6.抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。
作业6.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.
方法七、其他
例7.（2021·安徽省怀远第一中学高二月考（理））已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于、两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且与交于点,求点的轨迹方程.
变式7.（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
作业7.（2021·全国·高二单元测试）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，分别以为切点作抛物线的切线、，直线、交于点,求动点的轨迹方程.圆锥曲线轨迹方程（中等）
方法一、直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程.
例1.（2022·浙江·高三专题练习）已知且满足的动点的轨迹为，求曲线的轨迹方程.
【详解】∵，且，等式两边平方整理得．
变式1.（2021·全国·高三专题练习）直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．求点的轨迹方程.
【详解】由，且λ+μ＝1，得，
∴，即，则C、A、B三点共线．设C（x，y），则C在AB所在的直线上，
∵A（2，1），B（4，5），∴AB所在直线方程为 ，整理得：．故的轨迹方程为：．
作业1-1.（2021·北京市第五十七中学高二期中）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足，求动点M的轨迹C的方程.
解：设，则，由，得，因为点P在圆上，所以，故点M的轨迹C的方程为：；
作业1-2.（2020·重庆市第十一中学校高三月考）在平面直角坐标系中，，点与 连线的斜率之积为.记点的轨迹为，求的轨迹方程.
【详解】设，则∴的方程为： ()
方法二、几何法
若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可.
例2．（2021·全国·高三专题练习（理））在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的轨迹方程.
【详解】设圆心，圆的半径为，因为动圆与圆外切, 所以①，又动圆与直线相切.所以②，联立①②消去，可得．所以曲线的轨迹方程为.
变式2．（2021·上海市西南位育中学高二期末）如图，平面上，P、Q两地间距离为4，O为PO中点，M处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得，且O、M间距离为，现一机器人N正在运行，它在运行过程中始终保持到P地的距离比到Q地的距离大2（P、O、M、N及电波直线均共面），请建立适当的平面直角坐标系，求出机器人N运行的轨迹方程.
【详解】如图所示，以点O为坐标原点，以PQ所在的直线建立直角坐标系，则,
设点，则,∴动点N是以点为焦点的双曲线的右支，
由题得所以，所以动点N的轨迹方程为.
作业2-1.（2021·云南·曲靖市第二中学二模（理））已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长，求点的轨迹方程；
【详解】设点的坐标为，，则点到直线的距离，
经过点作圆的切线，切线长为，
因此，整理可得，即点的轨迹方程为：；
作业2-2.（2021·全国·高二课时练习）已知圆：，是轴上的动点，、分别切圆于、两点，求动弦的中点的轨迹方程.
连接、，设，由点、、在一直线上，得，即，
由射影定理得，即，
把代入得：（）.
方法三、定义法
某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
例3-1.（2021·安徽·二模（文））已知定点，，，以为一个焦点作过，两点的椭圆，求椭圆的另一个焦点的轨迹方程．
【详解】在以为焦点的椭圆上，，则可得的轨迹为以为焦点的双曲线的下支，
设双曲线方程为，则可得，即，，，
则焦点的轨迹方程是.
例3-2.（2021·湖南怀化·高二期末）已知动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程.
【详解】设动圆的半径为，又圆与圆的半径均为，则由已知，所以.又点，则，所以，根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，因为，所以，于是点的轨迹方程为.
例题3-3.已知动圆过定点，且与直线相切，其中.求动圆圆心的轨迹的方程.
【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：。即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为.
变式3-1．（2021·云南·富宁县第一中学高二月考（文））设圆的圆心为，过点且不垂直于轴的直线交圆于，两点，过作的平行线交于点,求点的轨迹方程.
【详解】依题意，圆A：的圆心A(-2，0)，半径r=8，是等腰三角形，，如图：
，于是得，，
由椭圆定义知，点的轨迹是以A，B为左右焦点，长轴长为8的椭圆(除长轴的两个端点外)，
长轴长2a=8，焦距2c=4，短半轴长b，则，椭圆方程为，
所以点的轨迹方程为；
变式3-2.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系， 可求得动点P的轨迹方程为：.
变式3-3.（2021·全国·高三专题练习）已知点为圆：上一动点，圆心关于轴的对称点为，点 分别是线段，上的点，且，,求点的轨迹方程.
【详解】，是的中点，，，
点在的垂直平分线上，，，
点在以为交点的椭圆上，且，则，故点的轨迹方程为.
作业3-1．（2021·陕西·西安中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中，为坐标原点，、，已知周长为定值,求动点的轨迹方程.
解：，∵的周长为，∴，
由题意可知，点不能在轴上，∴点的轨迹是去掉长轴端点的椭圆，且该椭圆的长轴长为，，∴，，从而，则点的轨迹方程为.
作业3-2．（2021·全国·高三专题练习）已知圆：，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点,求点的轨迹方程.
【详解】由圆，可得圆心，半径，∵，所以点在圆内，
又由点在线段的垂直平分线上，所以，∴，
由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，，
所以点的轨迹方程为.
作业3-3.（2016高考新课标1卷）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E，证明为定值,并写出点E的轨迹方程.
解析：因为,,故,
所以,故.
又圆的标准方程为,从而,所以.
由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.
方法四、相关点代入法
若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程.
例4.（2021·全国·高三专题练习）过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程.
【详解】设，，，代入得，
化简得，又，所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.
变式4.（2017年高考全国Ⅱ卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，求点P的轨迹方程；
【解析】设P（x，y），M（），则N（），，由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹方程为.
作业4-1.（2021·广东·汕头市澄海中学高二期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，且直线过定点，求点的轨迹方程.
【详解】设，，是线段中点，，整理可得：，
在圆上，，
整理可得点轨迹方程为：.
作业4-2.P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．
解：由＝＋，又＋＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝(－，－)，即P点坐标为(－，－)，又P点在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1，∴动点Q的轨迹方程为＋＝1(a>b>0)．
方法五、参数法
解题过程大胆设参数，通过题设条件列动点与参数之间得方程关系式，一般方程在两个及以上。列出方程以后，利用方程组之间的关系消参数，得到动点x、y之间的关系式及为所求轨迹方程。其解题思想为：设而不求，设而不用，设而相消。
例5-1.（2021·全国·高二课时练习）若直线与、轴交点分别为、，则的中点的轨迹方程是___________.
【详解】，，其中，，即且，设的中点，则，，则，即（且）.故答案为：（且）.
例5-2.（2021·全国·高三专题练习）椭圆上有两点P、Q，O为原点，连接，求线段中点M的轨迹方程.
【详解】由中点坐标公式得线段的中点M的坐标为此即为点M的参数方程.
.即所求线段的中点M的轨迹方程为.
例5-3.（2021·贵州·二模（理））在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点，，为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.
【详解】设直线的斜率为，所以直线的方程为，即 ，
所以与椭圆联立方程得，
即，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为，
因为直线与的斜率之和为，所以直线的斜率为，
同理，用替换点的坐标得点的坐标，
所以点的坐标为，所以点的参数方程为：（为参数）
消去参数得点的轨迹方程，由解得，所以，
所以点的轨迹方程.
变式5-1.（2021·广西·高三开学考试（理））设双曲线其右焦点为F，过F的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，求中点的轨迹坐标方程．
【详解】设中点为﹐若直线的斜率存在，，，
消去得，，此时，
所以中点的轨迹坐标方程为，
若直线的斜率不存在，则，，满足，
综上，中点的轨迹坐标方程为.
变式5-2.（2021·广东海珠·高二期末）已知点，，为直线上的两个动点，
且，动点满足，（其中为坐标原点）,求动点的轨迹的方程.
【详解】设、、，则，，，
，，.由，得，且点、均不在轴上，故，且，.由，得，即.由，得，即.所以，所以动点的轨迹的方程为：；
变式5-3.在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO，求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
【解析】解法一：以OA的斜率k为参数由解得A（k，k2），∵OA⊥OB，∴OB：由解得B。设△AOB的重心G（x，y），则,
消去参数k得重心G的轨迹方程为.
解法二：设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）
∵OA⊥OB ∴,即，……(2)
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为。
作业5-1.（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）平面上一动点的坐标为，求点轨迹的方程.
【详解】设，则，即，所以，所以的方程为.
作业5-2.（2021·上海·曹杨二中高二月考）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点,求中点的轨迹方程.
【详解】，直线中点为圆心，设线段的中点为，可得，消去得，因此，线段的中点的轨迹方程为；
作业5-3.（2021·全国·高三专题练习（理））已知曲线和直线，若C与有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.
【详解】依题意，由分别消去x，y得：(k2-1)x2+2x-2=0，①;(k2-1)y2+2ky-2k2=0，②
设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有：，③;，④
又对②应满足，解得结合③④，消去k得x2-y2-x=0且有x>2，y>，∴所求轨迹方程是x2-y2-x=0(x>2，y>).
方法六、交轨法
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种.
例6.（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
【详解】设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，（1）；，（2）
得：， .
又，.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，联立,故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：
变式6.抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。
解1（交轨法）：点A、B在抛物线上，设A（，B（，∴kOA= kOB=。由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0①；又OM的方程为 ②；
由①②消去得yA+yB得：，即得。
所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。
解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。所以方程为，除去点（0，0）。
作业6.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.
【详解】设弦端点的坐标为，，弦的中点，则，，又，，两式相减得，
即，即，，，即，
由，得，。
点在椭圆内，它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为.
方法七、其他
例7.（2021·安徽省怀远第一中学高二月考（理））已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于、两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且与交于点,求点的轨迹方程.
【详解】设点、、，由，即，求导得，
所以，抛物线在点处的切线的方程为，
，所以，直线的方程为，同理，直线的方程为，
为直线、的公共点，则，所以，点、的坐标都满足方程，
所以，经过点、的直线是唯一的，故直线的方程为，
点在直线上，，点的轨迹方程为；
变式7.（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【详解】由题意得，即，
对其进行整理变形：，
，，
，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.
作业7.（2021·全国·高二单元测试）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，分别以为切点作抛物线的切线、，直线、交于点,求动点的轨迹方程.
【详解】设，，，.则以A为切点的切线为，整理得：，同理：以为切点的切线为：，联立方程组：，解得，
设直线的方程为：，联立方程组，整理得：，
恒成立,由韦达定理得：，，故，
所以点的轨迹方程为；

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