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圆锥曲线轨迹方程（较难）
方法一、直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程.
例1.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
变式1.（2021·全国·高三专题练习）直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．求点的轨迹方程.
作业1.（2020·重庆市第十一中学校高三月考）在平面直角坐标系中，，点与 连线的斜率之积为.记点的轨迹为，求的轨迹方程.
方法二、几何法
若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可.
例2.（2020·重庆市云阳江口中学校高二月考）如图，点是圆上的一动点，过作圆的切线，的角平分线交的中垂线于，求点的轨迹方程．
变式2.（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，，平面内两点，且是三条边中线的交点，是的外心，，
求的顶点的轨迹方程
作业2.已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足，求点T的轨迹C的方程.
方法三、定义法
某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
例3.（2021·湖北武汉·高三月考）在平面直角坐标系中，圆，，过的直线与圆交于两点，过作直线平行交于点,求点的轨迹方程；
变式3.（2021·四川省华蓥中学模拟预测（理））已知在平面直角坐标系中，圆：的圆心为，过点任作直线交圆于点，过点作与平行的直线交于点,求动点的轨迹方程；
作业3-1.（2021·全国·高三专题练习）设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，求点M得轨迹方程.
作业3-2.（2021·全国·高三月考）已知、分別为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，过点作的外角平分线的垂线交的延长线于点,当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程.
方法四、相关点代入法
若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程.
例4.如图所示，已知是圆内的一点，A、B是圆上两动点，且满足求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
变式4.（2021·江西·高安中学高二期中（理））已知圆与轴交于点、，过圆上动点(不与、重合)作圆的切线，过点、分别作轴的垂线，与切线分别交于点，直线与交于点，关于的对称点为，则点的轨迹方程为_______
作业4-1.（2021·全国·高三专题练习）点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程.
作业4-2.P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．
作业4-3.如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
方法五、参数法
解题过程大胆设参数，通过题设条件列动点与参数之间得方程关系式，一般方程在两个及以上。列出方程以后，利用方程组之间的关系消参数，得到动点x、y之间的关系式及为所求轨迹方程。其解题思想为：设而不求，设而不用，设而相消。
例5-1.设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
例5-2.（2021·广东海珠·高二期末）已知点，，为直线上的两个动点，
且，动点满足，（其中为坐标原点）,求动点的轨迹的方程.
变式5-1.（2021·贵州·二模（理））在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点，，为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.
变式5-2.（2021·全国·高二课时练习）已知椭圆的左 右焦点分别为、，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两个不同的点、，点为坐标原点，则当的面积最大时，求线段的中点的轨迹方程.
作业5-1.（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，C是满足的一个动点，求垂心H的轨迹方程.
;
作业5-2.（2021·辽宁抚顺·高二期末）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为.已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．
作业5-3.设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
方法六、交轨法
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种.
例6-1.（2022·全国·高三专题练习）直线（是参数）与抛物线的相交弦是，求弦的中点轨迹方程.
例6-2.（2021·全国·高三月考（文））直线交椭圆于，两点，满足，其中为坐标原点，设椭圆在，两点处的切线交于点，求点的轨迹方程.
变式6-1.（2021·四川绵阳·高二月考（理））如图，为椭圆上的动点，过作椭圆的切线交圆于、，过、作切线交于，求的轨迹方程.
变式6-2.（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
变式6-3.（2021·全国·高三专题练习）设双曲线的方程为，、为其左 右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点，求点的轨迹方程.
作业6-1.（2021·上海金山·高二期末）设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点.
（1）求焦点的坐标及其准线方程；
（2）若弦长，求此时直线的斜率；
（3）设抛物线上的点在其准线上的射影分别为，若的面积是的面积的两倍，如图所示.求线段中点的轨迹方程.
作业6-2．（2021·上海·高三专题练习）如图，椭圆C0： (a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：，.点分别为的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点. 求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
作业6-3.（2021·上海·高三专题练习）双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，， 与的交点为，求点的轨迹方程.
方法七、其他
例7.（2021·安徽省怀远第一中学高二月考（理））已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于、两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且与交于点,求点的轨迹方程.
变式7.（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
作业7.（2021·全国·高二单元测试）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，分别以为切点作抛物线的切线、，直线、交于点,求动点的轨迹方程.圆锥曲线轨迹方程（较难）
方法一、直接法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程.
例1.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，．
整理得，这就是动点M的轨迹方程．
若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；
若λ≠1，方程化为， 它表示以为圆心，为半径的圆．
变式1.（2021·全国·高三专题练习）直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．求点的轨迹方程.
【详解】由，且λ+μ＝1，得，
∴，即，则C、A、B三点共线．设C（x，y），则C在AB所在的直线上，
∵A（2，1），B（4，5），∴AB所在直线方程为 ，整理得：．故的轨迹方程为：．
作业1.（2020·重庆市第十一中学校高三月考）在平面直角坐标系中，，点与 连线的斜率之积为.记点的轨迹为，求的轨迹方程.
【详解】设，则∴的方程为： ()
方法二、几何法
若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可.
例2.（2020·重庆市云阳江口中学校高二月考）如图，点是圆上的一动点，过作圆的切线，的角平分线交的中垂线于，求点的轨迹方程．
【详解】连接OM，因为点在的中垂线上，又在的平分线上，为圆的切线，
∴，，
因为圆，所以圆的半径为2，所以，即为定值，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上，所以点的轨迹方程为，
变式2.（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，，平面内两点，且是三条边中线的交点，是的外心，，
求的顶点的轨迹方程
【详解】设，，，因为是的外心，所以，
所以在线段的中垂线上，所以．
因为，所以．又是三条边中线的交点，所以是的重心，
所以，，所以．
又，所以，
化简得（），所以顶点的轨迹方程为（）．
作业2.已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足，求点T的轨迹C的方程.
解法一：（相关点法）
设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（），则,因此①；由得:②，
将①代入②，可得.综上所述，点T的轨迹C的方程是
解法二：（几何法）设点T的坐标为，当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得。又，所以T为线段F2Q的中点。在△QF1F2中，，所以有。综上所述，点T的轨迹C的方程是
方法三、定义法
某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.
例3.（2021·湖北武汉·高三月考）在平面直角坐标系中，圆，，过的直线与圆交于两点，过作直线平行交于点,求点的轨迹方程；
【详解】由，于是点的轨迹是以为焦点长轴为的椭圆，设轨迹方程为，其中，轨迹方程为，
由于直线不能与轴重合，所以，则轨迹为：().
变式3.（2021·四川省华蓥中学模拟预测（理））已知在平面直角坐标系中，圆：的圆心为，过点任作直线交圆于点，过点作与平行的直线交于点,求动点的轨迹方程；
【详解】由圆：可得，∴圆心，圆的半径，
因为，所以，因为，所以，可得，所以，所以,
由椭圆的定义可得：点的轨迹是以、为焦点，的椭圆，
即，，所以，所以动点的轨迹方程为 。
作业3-1.（2021·全国·高三专题练习）设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，求点M得轨迹方程.
，
解：因为,所以，所以，
所以，所以点的轨迹是以T，S为焦点的椭圆，所以，所以椭圆的标准方程是.
作业3-2.（2021·全国·高三月考）已知、分別为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，过点作的外角平分线的垂线交的延长线于点,当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程.
【详解】设从点引的外角平分线的垂线，垂足为，∵在中，是的角平分线，∴，可得，根据椭圆的定义，可得.∴，即动点到点的距离为定值，因此点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆（不含与轴的交点），其轨迹方程为.
方法四、相关点代入法
若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程.
例4.如图所示，已知是圆内的一点，A、B是圆上两动点，且满足求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解析:设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又∵R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)，又|AR|=|PR|=
∴有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0，因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动。设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0，整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
变式4.（2021·江西·高安中学高二期中（理））已知圆与轴交于点、，过圆上动点(不与、重合)作圆的切线，过点、分别作轴的垂线，与切线分别交于点，直线与交于点，关于的对称点为，则点的轨迹方程为_______
【详解】
依题意作图，有，，设()，.过点的圆的切线的方程为，所以，.
联立，解得，所以点.
又点，关于点对称，所以，即，
又点在圆上，所以，
把代入整理得，，又，所以点的轨迹方程().
作业4-1.（2021·全国·高三专题练习）点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程.
【详解】设动点M的坐标为（x，y），设B点坐标为（x0，y0），则由M为线段AB中点，可得
，即点B坐标可表示为（2x－2a，2y），因为点（x0，y0）在椭圆上，
，从而有整理得动点的轨迹方程为.
作业4-2.P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程．
解：由＝＋，又＋＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝(－，－)，即P点坐标为(－，－)，又P点在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1，∴动点Q的轨迹方程为＋＝1(a>b>0)．
作业4-3.如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
解：设切点A、B坐标分别为，∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：；解得P点的坐标为：。
所以△APB的重心G的坐标为 ，
所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
方法五、参数法
解题过程大胆设参数，通过题设条件列动点与参数之间得方程关系式，一般方程在两个及以上。列出方程以后，利用方程组之间的关系消参数，得到动点x、y之间的关系式及为所求轨迹方程。其解题思想为：设而不求，设而不用，设而相消。
例5-1.设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)，直线AB的方程为x=my+a.
由OM⊥AB，得m=－;由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0.
所以y1y2=－4pa, x1x2=.所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2.所以.
故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0),故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
【解法二】 设OA的方程为，代入y2=4px得,则OB的方程为，代入y2=4px得,∴AB的方程为，过定点，由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）.故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。
【解法三】 设M(x,y) (x≠0)，OA的方程为，代入y2=4px得,则OB的方程为.代入y2=4px,得.由OM⊥AB，得M既在以OA为直径的圆……①上，又在以OB为直径的圆……②上（O点除外），
①+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)，故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。
例5-2.（2021·广东海珠·高二期末）已知点，，为直线上的两个动点，
且，动点满足，（其中为坐标原点）,求动点的轨迹的方程.
【详解】设、、，则，，，
，，.由，得，且点、均不在轴上，故，且，.由，得，即.由，得，即.所以，所以动点的轨迹的方程为：；
变式5-1.（2021·贵州·二模（理））在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点，，为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.
【详解】设直线的斜率为，所以直线的方程为，即 ，
所以与椭圆联立方程得，
即，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为，因为直线与的斜率之和为，所以直线的斜率为，同理，用替换点的坐标得点的坐标，
所以点的坐标为，所以点的参数方程为：（为参数）
消去参数得点的轨迹方程，由解得，所以，
所以点的轨迹方程.
变式5-2.（2021·全国·高二课时练习）已知椭圆的左 右焦点分别为、，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两个不同的点、，点为坐标原点，则当的面积最大时，求线段的中点的轨迹方程.
【详解】（1）由题意知，解得，故椭圆的方程为；
（2）设、、，由得，
，
由韦达定理可得，，点到直线的距离，
，
取得最大值，当且仅当即时成立，①
符合，此时，，
即，代入①式，得，整理得，
即点的轨迹方程为.
作业5-1.（2021·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，C是满足的一个动点，求垂心H的轨迹方程.
【详解】设的外心为，半径为R，则有，所以即，
设，，有，即有（），由，则有，
由，则有，
所以有，则有（），
所以垂心H的轨迹方程为（）.
作业5-2.（2021·辽宁抚顺·高二期末）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为.已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．
【详解】依题意可设直线，由得：，则，
…①，，
…②
由①②化简整理可得：，则有，解得：或．
当时，，解得：或，
此时过定点，不符合题意；
当时，对于恒成立，直线过定点，.
，，且四点共线，，则点的轨迹是以为直径的圆．
设，的中点坐标为，，则点的轨迹方程为．
检验：当的坐标为时，的方程为，不符合题意，
的轨迹方程为（除掉点）．
作业5-3.设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【解析】：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为．
(2)设点解方程组
得由和得
其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．
方法六、交轨法
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种.
例6-1.（2022·全国·高三专题练习）直线（是参数）与抛物线的相交弦是，求弦的中点轨迹方程.
【详解】设，中点，则.，过定点，.又，（1），（2）
得：，
，于是，即.
又弦中点轨迹在已知抛物线内，联立，
故弦的中点轨迹方程是.
例6-2.（2021·全国·高三月考（文））直线交椭圆于，两点，满足，其中为坐标原点，设椭圆在，两点处的切线交于点，求点的轨迹方程.
【详解】设，当，不在坐标轴上，且的斜率存在时，
设直线，代入，由，得，
直线，同理可得，，因为它们都过点，
所以，，所以直线同时过点，，
即直线为，即，与对比得，，
由（1）知，，故有，即，
当，在坐标轴上，或斜率不存在时，经检验仍满足，
所以点的轨迹方程为.
变式6-1.（2021·四川绵阳·高二月考（理））如图，为椭圆上的动点，过作椭圆的切线交圆于、，过、作切线交于，求的轨迹方程.
解:设点，先证明椭圆在点处的切线方程为.
联立，可得，，
故椭圆在点处的切线方程为.
设点，先证圆在点处的切线方程为.
①当直线的斜率存在且不为零时，，圆在点处的切线斜率为，
所以，圆在点处的切线方程为，即，
设点，则圆在点处的切线方程为，设点，则，所以，点、的坐标满足方程，故直线的方程为，由于直线与直线重合，即直线与直线重合，所以，，即，
由于点在椭圆上，则，即，因此，点的轨迹方程为.
变式6-2.（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
【详解】（1）由题意得，故，解得，故拋物线C的方程为.
（2）易得，由题意可设直线PQ的方程为，，
由，消去x，得，故，
因为，所以，即，
整理得，
即，∴，
所以，所以或，当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；当，即时，直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.
设，则由，即，得，
即点N的轨迹方程为.
变式6-3.（2021·全国·高三专题练习）设双曲线的方程为，、为其左 右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，，与交于点，求点的轨迹方程.
解：根据题意，设，
，
由①②得：，
，代入③得，即，即，经检验点不合题意，因此Q点的轨迹方程为（除点外）.
作业6-1.（2021·上海金山·高二期末）设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点.
（1）求焦点的坐标及其准线方程；
（2）若弦长，求此时直线的斜率；
（3）设抛物线上的点在其准线上的射影分别为，若的面积是的面积的两倍，如图所示.求线段中点的轨迹方程.
【详解】（1）因为抛物线，所以焦点的坐标为，准线方程为；
（2）设直线AB的方程为，联立直线和抛物线方程得，所以，所以，所以直线AB的斜率为.
（3）设，，，，准线方程为， ，设直线与轴交点为，，△的面积是的面积的两倍，，，即．设中点为，则，由，得，
即，当时，线段中点就是点；当时，
，又，，即．中点的轨迹方程为．显然点在曲线上，所以综合得中点的轨迹方程为．
作业6-2．（2021·上海·高三专题练习）如图，椭圆C0： (a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：，.点分别为的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点. 求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
【详解】设A(x1，y1)，B(x1，-y1)，又知A1(-a，0)，A2(a，0)，则直线A1A的方程为y= (x+a)①，
直线A2B的方程为y= (x-a) ②. 由①②得y2= (x2-a2)③.
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故.从而，代入③得 (x<-a，y<0).
作业6-3.（2021·上海·高三专题练习）双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，， 与的交点为，求点的轨迹方程.
【详解】设，，，，由题意可知，，否则点（或点）和点（或点）重合，不符合题意；
，，利用垂直斜率关系可得，两式相乘得①
又点在双曲线上，，即
将其代入①式得，化简整理得：
所以点的轨迹方程为：
方法七、其他
例7.（2021·安徽省怀远第一中学高二月考（理））已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为、，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于、两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且与交于点,求点的轨迹方程.
【详解】设点、、，由，即，求导得，
所以，抛物线在点处的切线的方程为，
，所以，直线的方程为，同理，直线的方程为，
为直线、的公共点，则，所以，点、的坐标都满足方程，
所以，经过点、的直线是唯一的，故直线的方程为，
点在直线上，，点的轨迹方程为；
变式7.（2021·浙江·高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【详解】由题意得，即，
对其进行整理变形：，
，，
，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.
作业7.（2021·全国·高二单元测试）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，分别以为切点作抛物线的切线、，直线、交于点,求动点的轨迹方程.
【详解】设，，，.则以A为切点的切线为，整理得：，同理：以为切点的切线为：，联立方程组：，解得，
设直线的方程为：，联立方程组，整理得：，
恒成立,由韦达定理得：，，故，
所以点的轨迹方程为；

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