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专题20：导数的几何意义01
高考中，关于导数的几何意义问题，主要以选择题或填空题形式出现，难度主要以中低档题出现，偶尔也会有较难试题，此时导数的几何意义仅仅作为中间步骤而已。
导数的几何意义常考题型包括：（1）直接求切线的斜率；（2）求切线方程或者法线方程；（3）求切点的坐标；（4）求参数的值；（5）曲线的公切线问题；（6）与其他知识相关的综合性问题。
导数的几何意义是高考的热点内容之一，多数是选择填空，有时解答题中也有涉及，函数在某点处的导数的几何意义就是在曲线上该点处切线的斜率，用导数求切线或斜率的一个显著特点是要知道切点，在不知道切点时要设出切点，这是用导数解决切线问题的一个非常有用的原则。
本文核心内容：
"在"与“过”，求曲线f（x）的切线方程
利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
题型分析：
一、"在"与“过”，求曲线f（x）的切线方程
1．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ）
A．-8 B．-3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】
由题可得切线斜率为2，分别设出切点，利用斜率求出切点即可得出.
【详解】
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为2，
设直线与相切于，
因为，所以，解得，故直线与相切于，
设直线与相切于，
因为，则，解得，则，
所以直线的方程为，即，
在直线上，则，解得.
故选：A.
2．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三期中）已知（为自然对数的底数），，则与的公切线条数（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【分析】
设直线l是与的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.
【详解】
根据题意，设直线l与相切于点 ，与相切于点，
对于，，则
则直线l的方程为 ，即，
对于，，则
则直线l的方程为，即，
直线l是与的公切线，则 ，
可得，即或
则切线方程为： 或,切线有两条.
故选：C
3．（2021·四川·成都七中高三期中（理））如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把曲线和曲线有且仅有两条公切线，转化为有且仅有两解.
记，利用导数研究单调性和极值，建立不等式，即可解得.
【详解】
曲线上一点，，切线方程为：.
曲线上一点，，切线方程为：.
若直线与两条曲线都相切，则有，消去得：.
因为曲线和曲线有且仅有两条公切线，
所以有且仅有两解.
记，则.
令，得，所以在上单增；，得，所以在上单增.
所以.
又有，解得：（舍）或.
当，则；当，则；
而，所以要使有且仅有两解，
只需，解得：.
故选：B
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
4．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知命题“，”，命题“，”，若为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别求出p、q为真时的取值范围，再根据为真命题判断出p真q假，即可求得.
【详解】
若命题“，”，为真命题，则有.
命题“，”，为真命题，令，只需两函数相交.
设与相切于，则有，解得：，
即过原点的切线为.
要使相交，只需.
因为为真命题，所以p真q假，所以且，即实数的取值范围是.
故选：A
5．（2021·河北衡水中学高三月考）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值.
【详解】
解：的导数为，
曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即.
由于切线与曲线相切，
可联立，
得，
又，两线相切有一切点，
所以有，
解得.
故选：B.
6．（2021·江西赣州·高三期中（理））平面直角坐标系中，已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】
化简已知条件，得到两个函数，利用导数求出切线的斜率，利用两平行线间的距离求解即可.
【详解】
根据条件得到表示的是曲线上两点的距离的平方.
∵，∴，由，可得，此时.
∴曲线在处的切线方程为，即：.
直线与直线的距离为，
∴的最小值为.
故选：C.
7．（2021·全国·高三月考）已知抛物线焦点为是抛物线上一点，且，点在抛物线上运动，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
法一：利用抛物线定义求抛物线方程，设，结合点线距离公式得到关于t的函数，求最值即可；法二：利用导数求与平行且与抛物线相切的直线，根据平行线的距离公式求点线距离最小值；法三：设平行于且与抛物线相切的直线方程，联立抛物线应用方程法求参数，写出切线方程，进而求距离.
【详解】
法一：抛物线的准线为，由抛物线的定义知：，解得，
∴抛物线的方程为．设，
点到直线的距离，当且仅当时等号成立.
法二：如图，当点到直线的距离最小时，抛物线在点处的切线与平行，
设切点的横坐标为，由，得，则，即
∴抛物线上的点到直线距离最小的点是，此时点到直线的距离为．
法三：设与抛物线相切且与直线平行的直线为，
由，整理得
由，则到直线的最小距离为.
故选：B．
8．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________；若，则的最大值为___________.
【答案】0
【分析】
由得出的关系，代入计算可得，求出导函数，对中的部分式子再利用导数确定其正负后可得出的正负，从而得极大值也即最大值．
【详解】
由已知，，所以，即，
所以．
，定义域为，
，
令，则，时，，所以在上递减，
所以时，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以．
故答案为：0；．
9．（2021·广东福田·高三月考）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是________．
【答案】
【分析】
计算时，，求导得到，计算切线得到答案.
【详解】
当时，，故，
故.
故时，，，，
故切线方程为：，即.
故答案为：.
10．（2021·云南大理·模拟预测（文））已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求出、，可得切线的斜率和切点坐标，利用点斜式方程可得答案；
（2）转化为时，恒成立，令，求出的最大值可得答案.
（1）
因为，所以，，
即切线的斜率为，切点坐标为，所以切线方程为，
即为.
（2）
当时，函数的图象均在轴下方，
即当时，函数恒成立，所以有在时恒成立，
即，
令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，故在取得最大值，
最大值为，所以，
故实数的取值范围是．
11．（2021·全国·高三课时练习）已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若是函数的极值点，且，求证：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）求导，可得，，即得解；
（2）求导可得导函数与同正负，分，两种情况讨论极值，当时，对求导，分析可得存在，使得，当时，函数的极小值，令，求导分析可得，利用导数分析可得，，代入即得解
（1）
若，则，
∴，
又，，
∴切线的方程为，
即；
（2）
，
∵函数的定义域为，∴，
令，，
①当时，，，在上单调递增，无极值，不符合题意；
②当时，，∴在上单调递增，
当时，，，
∴存在，使得，即，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
∴当时，函数的极小值
，
令，则，
∴在上单调递减，又∵，
∴，
令，
故在单调递增，
故当，有
令，
故在单调递减，
故当，有
∴.
则.
12．（2021·重庆国维外国语学校高三期中）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先利用导数求出在处的斜率，再利用点斜式即可求出切线方程；
（2）构造新的函数，利用导数讨论新函数的单调性，进而求出实数的取值范围.
（1）
解：
又
切线方程为：.
（2）
解：设函数
由题知，
即在时恒成立
又
当时，即时，函数单调递减
设，则
，即，则符合题意
当时，恒成立
此时，函数单调递增，即对任意恒成立，不合题意
当时，设
则，故
时，函数，此时单调递增，故
时，函数单调递增
时，成立，不合题意
综上，实数的取值范围为.
13．（2021·广东·福田外国语高中高三月考）已知函数在处的切线与直线平行.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导，代入可得，由平行关系即，求解即可
（2）转化为在上恰有两个不相等的实数根，令，求导分析单调性、极值、边界，分析即得解
【详解】
（1）函数的导数为，
即有在处的切线的斜率为，
由切线与直线平行，
即有，解得；
（2）关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，
即有在上恰有两个不相等的实数根.
令，
，
当时，，递减，当时，，递增.
即有处取得最小值，且为，
又，，
，
∴，解得.
二、利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围
14．（2021·山东烟台·高三期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.
【详解】
，当时，，所以，由万能公式得：
所以
故选：B
15．（2021·四川巴中·高三月考（理））关于函数，有下列个结论：
①函数的图象关于点中心对称；
②函数无零点；
③曲线的切线斜率的取值范围为
④曲线的切线都不过点
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
①证得，即可判断；②结合零点存在性定理即可判断；③求导，求出导函数的值域即可判断；④结合导数的几何意义与斜率公式即可判断.
【详解】
由已知：，故①正确；
由，（或）知函数在内有零点，故②不正确；
由且当且仅当取等号知：的值域为，故③正确；
若曲线存在过点的切线，设切点为，则由导数的几何意义与斜率公式得：，化简得：，令，则，当时，，当时，，故，所以函数无零点，因此方程无实数解，假设不成立，故④正确.综上，正确结论共个.
故选：B.
【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
16．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求导可得，则，结合，即得解
【详解】
，.
设，则曲线在点P处的切线的斜率为，
.
，
故选：D
17．（2021·全国·高三课时练习）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】B
【分析】
对函数求导得，再将代入，即可得到答案；
【详解】
把代入得导数值为，即为所求切线的斜率．
故选：B
18．（2021·全国·高三课时练习）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
，求出导函数，从而求出导函数函数值的范围，即切线的斜率得范围，即可得出答案.
【详解】
解：∵，∴．
由题意，知曲线在点处的切线的斜率存在，设，则切线的斜率，∴，∵，∴.
故选：D．
19．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知曲线和与直线y=x相切于同一点P，则大于1的a的值为（ ）(下列是自然对数的底数)
A．e2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据公切线方程设出点，求导，联立，利用换底公式、对数恒等式进行求解.
【详解】
依题意，直线是两条曲线的公切线，
切点为，设，
因为，
且公切线的斜率为1，
所以，
由（2）得：，即，
由换底公式得:，
将此式代入（1）得：，
即，解得.
故选：D．
20．（2021·江西·新余市第一中学高三月考（文））直线是曲线的切线，则它的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设曲线上任意一点的坐标，借助导数求出切线的斜率范围即可得解.
【详解】
设是直线曲线上任意一点，
由求导得：，于是得切线的斜率，当且仅当时取“=”，
显然，为钝角，又在上单调递增，于是得，
所以倾斜角的取值范围是.
故选：C
21．（2021·全国·高三专题练习）一条倾斜角为的直线与执物线交于不同的两点，设弦的中点为过作平行于轴的直线交抛物线于点，则以为切点的抛物线的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设弦所在直线的方程为，，联立方程得，进而得，再根据导数的几何意义求解.
【详解】
设弦所在直线的方程为，，
所以联立方程得，
所以，解得
，
所以，
所以点的坐标为，
所以联立方程得，
此时点在轴上方，抛物线对应的函数为，故求导得，
所以点的切线的斜率为.
故选：C
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设弦所在直线的方程为，进而与抛物线联立计算得，进一步计算得，最后根据导数的几何意义求解.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出的图象，函数有两个零点，即与有两个交点，根据图象，利用数形结合即可求解结果.
【详解】
作出的图象，如图所示，
当与相切时，设切点为，
则有，解得，
所以相切时的斜率；
将函数的图象顺时针旋转，
当时，与有2个交点，满足题意；
当时，与有3个交点，不满足题意；
当时，与有1个交点，不满足题意；
当时，与有0个或1个交点，不满足题意.
故选：D.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
23．（2021·全国·高三专题练习（理））过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，设抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先设出直线：，用“设而不求法”表示出，利用导数的几何意义计算出即可.
【详解】
抛物线的焦点，
由题意可设直线的方程为，
设，，
将代入，消去可得，
∴．
由可得，所以，所以，，
所以.
故选：A．
【点睛】
（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；
（2）利用导数的几何意义求抛物线的切线斜率是解析几何中求切线的特殊方法.
24．（2020·浙江·学军中学高三期中）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，不等式恒成立”的只有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
可化成，表示的是函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值，而四个选项中的函数都是上可导的函数，因此即转化为它们的导数值的绝对值在内是否恒小于1的问题，对四个选项中的函数分别求导，判断导函数的值域是否是或是的子集即可．
【详解】
解：因为对于区间上的任意，，恒成立”
所以函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值小于1即可，又因为四个函数均是上的可导函数，则在内总能找到一条切线平行于任意两点连线，则问题即转化为
在上四个函数的导数绝对值是否满足恒在取值即可，
对于，当时，，故符合题意；
对于：由题意，，故不满足题意；
对于：函数，所以，故不满足题意；
对于，当时，，，故不满足题意．
故选：．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，实际上是对于可导函数而言，割线在沿着某个方向平移的过程中极限位置是某点处的切线，从而将问题转化为导数的问题求解．
25．（2013·全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】
由题意可作出函数的图像，和函数的图像.
由图像可知：函数的图像是过原点的直线，
当直线介于与轴之间符合题意，
直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为
，
求其导数可得，因为，故，
故直线的斜率为，
故只需直线的斜率.
故选：D
【点睛】
本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
26．（2020·安徽·高三月考（文））将曲线绕着点逆时针方向旋转后与轴相切，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据导数的几何意义，求出过点与曲线相切的切线的切点，并求直线的斜率和倾斜角，再根据题意得出的最小正值.
【详解】
由题意得，设过点的直线与曲线相切于点，则，解得，所以直线的斜率，故的最小正值是．
故选：B．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，重点考查直观想象，计算能力，属于中档题型.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意依次计算得，再根据导数的几何意义求解即可.
【详解】
解：因为函数，若，，
所以，，，…，，
所以，
所以．
故在点处切线的斜率为.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数解析式的求解，导数的几何意义，考查运算能力，是中档题.
28．（2020·福建龙岩·模拟预测（文））已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据图象关于对称，求出的解析式，然后设切点，求导数，进而写出切线方程，再根据切线过原点，求出切点坐标，即可求出的值．
【详解】
由已知设是上任意一点，则关于的对称点为在的图象上，
所以， 所以，
设切点为 ，则，
故切线为，
由已知切线过，所以， 所以，
所以． 故．
故选：D．
【点睛】
本题考查导数的几何意义及切线方程的求法，注意利用切点满足的条件列方程解决问题．属于中档题．
29．（2019·河南·商丘市第一高级中学高三期中（理））已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用导数的几何意义，可求出直线的斜率，进而由与直线平行，可求出，从而可得到，进而求出即可.
【详解】
由题意，，则，所以直线的斜率为，
又直线的斜率为3，所以，解得.
则，故，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前项和，属于中档题.
30．（2019·安徽·高三期末（理））已知函数的图象关于对称，的图象在点处的切线过点，若图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据函数的图象关于点对称得到，，即.利用导数的切线过点得到，再求函数在处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子计算即可.
【详解】
因为函数的图象关于点对称，所以.
即：，解得，.
所以，，切点为.
，.
切线为：.
因为切线过点，所以，解得.
所以，.
，所以.
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.
31．（2020·江西修水·高三期末（文））函数在点处的切线斜率为4，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．
【答案】B
【分析】
根据切线斜率为4，利用导函数求得，利用基本不等式即可求解最值.
【详解】
，，所以.
则.
当且仅当，时，等号成立.
故选：B
【点睛】
此题考查基本不等式求最值，根据导数的几何意义结合切线斜率为4得到，关键在于熟练掌握基本不等式求最值的基本方法，需要注意考虑等号成立的条件.
32．（2020·江西·南昌二中模拟预测（理））函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
依题意，过原点的直线与函数在区间内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得，代入所求关系式即可得到答案.
【详解】
函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，
直线与函数在区间内的图象相切，
在区间上，y的解析式为，
故由题意切点坐标为，
切线斜率
由点斜式得切线方程为：
，
直线过原点，，得，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.
33．（2021·广东·高三月考）已知函数， ，若x1、x2、x3，x4是方程仅有的4个解，且x1A．01
C． D．
【答案】AC
【分析】
分别作出函数的图象，根据图象得出x1、x2、x3，x4的数量关系及范围即可求出结果.
【详解】
如图所示，与的图象在上有两个交点，所以，则，则，故A正确；
与的图象在上有两个交点，则，且直线与在处相切，所以，由导数几何意义得，将上述两式相除得，故C正确．
故选：AC.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
34．（2021·全国·高三课时练习）函数的导数为______，其函数图象在点处的切线的倾斜角为______．
【答案】
【分析】
利用复合函数的求导法则先求出函数的导数，再将点的值代入求得导数的值，即可由导数的斜率算出倾斜角.
【详解】
解：令，则，．
当时，，所以函数的图象在点处的切线的斜率为1，所以倾斜角为．
故答案为：
35．（2021·全国·高三月考（理））若函数的图象经过点，则过点的曲线的切线的斜率_______________________．
【答案】
【分析】
将点带入函数计算得到，求导得到，设过点的切线为，根据切线公式计算得到答案.
【详解】
函数的图象经过点，，解得，，．
设过点的曲线的切线为，切点为．
由题意得解得.
故答案为：.
36．（2022·全国·高三专题练习）曲线在处的切线的倾斜角为α，则__．
【答案】．
【分析】
求得函数的导数，可得切线的斜率，由三角函数的诱导公式、二倍角的余弦公式，计算可得所求值．
【详解】
因为的导数为，
可得在处的切线的斜率为，
则，
所以sin(2α)＝cos2α．
故答案为：．
37．（2020·山西吕梁·高三期中（文））若对恒成立，则的最大值与的最小值之和为__________.
【答案】
【分析】
对不等式进行转化，利用正弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
条件可以转化为，即在恒在上方，恒在的下方.因为当是增函数，而
故的最大值为，因为，所以，因此函数在原点的切线的斜率为1，故最小值1，
所以的最大值与的最小值之和为.
故答案为：
【点睛】
关键点睛：本题的关键是对不等式的转化，利用正弦函数的性质进行求解.
38．（2021·宁夏·贺兰县景博中学高三期末（理））已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
求导函数，确定其值域，即可求出的取值范围．
【详解】
，
，
,
，
的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于基础题．
39．（2021·全国·高三课时练习）已知定义在上的单调函数，对任意的，都有，则函数的图象在处的切线的倾斜角为________.
【答案】
【分析】
设，则，求得的值，进而得到的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解.
【详解】
设，则.
因为为单调函数，故不随的变化而变化即是常数.
又，，，，
，，，切线斜率为1，
所以倾斜角为.
∴答案为:.
【点睛】
本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.
40．（2020·福建·厦门市湖滨中学模拟预测（理））已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则__________.
【答案】
【分析】
首先求函数的导数，利用导数的几何意义可知，再利用，变形为，再上下同时除以，化简求值.
【详解】
由，在点处切线斜率，即
所以
.
故答案为：
【点睛】
本题考查导数的几何意义，三角函数的化简求值，重点考查计算能力，属于基础题型.
41．（2020·海南·二模）已知函数，若函数至少有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.
【答案】.
【分析】
函数至少有两个零点等价于方程至少有两个不同的实数根,即函数的图象与直线至少有两个不同的交点,画出函数的图象,利用导函数求出相切时的切线斜率,进而根据图象得到结果.
【详解】
函数至少有两个零点等价于方程至少有两个不同的实数根,即函数的图象与直线至少有两个不同的交点,画出函数的图象,如图所示,
设直线与相切于点,且,则,解得,
由图可知,实数的取值范围是.
故答案为:
【点睛】
本题考查已知零点个数求参问题,考查导函数的几何意义的应用,考查数形结合思想.
42．（2019·浙江·临海市白云高级中学高三期中）已知函数，则函数在点处切线的斜率的最小值是________．
【答案】2
【分析】
根据已知条件得到的导函数，根据限制性条件，和基本不等式
进行解答．
【详解】
因为，
所以．
又因为，，
所以（b），
所以斜率的最小值是2．
故答案是：2．
【点睛】
本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本
题的关键．
43．（2021·全国·高三课时练习）已知函数．
（1）求该函数的导数；
（2）求该函数的图象在处的切线的倾斜角．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）运用复合函数的求导法则，计算即可得到所求的导数.
（2）代入，计算可得切线的斜率，由斜率公式可得倾斜角的大小.
【详解】
（1），
．
（2）由（1），知
所以．
设该函数的图象在处的切线的倾斜角为，则．又，所以，所以该函数的图象在处的切线的倾斜角为．
试卷第2页，共2页专题20：导数的几何意义01
高考中，关于导数的几何意义问题，主要以选择题或填空题形式出现，难度主要以中低档题出现，偶尔也会有较难试题，此时导数的几何意义仅仅作为中间步骤而已。
导数的几何意义常考题型包括：（1）直接求切线的斜率；（2）求切线方程或者法线方程；（3）求切点的坐标；（4）求参数的值；（5）曲线的公切线问题；（6）与其他知识相关的综合性问题。
导数的几何意义是高考的热点内容之一，多数是选择填空，有时解答题中也有涉及，函数在某点处的导数的几何意义就是在曲线上该点处切线的斜率，用导数求切线或斜率的一个显著特点是要知道切点，在不知道切点时要设出切点，这是用导数解决切线问题的一个非常有用的原则。
本文核心内容：
"在"与“过”，求曲线f（x）的切线方程
利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
题型分析：
一、"在"与“过”，求曲线f（x）的切线方程
1．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））与曲线和都相切的直线与直线垂直，则=（ ）
A．-8 B．-3 C．4 D．6
2．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三期中）已知（为自然对数的底数），，则与的公切线条数（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
3．（2021·四川·成都七中高三期中（理））如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知命题“，”，命题“，”，若为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·河北衡水中学高三月考）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
6．（2021·江西赣州·高三期中（理））平面直角坐标系中，已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
7．（2021·全国·高三月考）已知抛物线焦点为是抛物线上一点，且，点在抛物线上运动，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________；若，则的最大值为___________.
9．（2021·广东福田·高三月考）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是________．
10．（2021·云南大理·模拟预测（文））已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围．
11．（2021·全国·高三课时练习）已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若是函数的极值点，且，求证：.
12．（2021·重庆国维外国语学校高三期中）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围．
13．（2021·广东·福田外国语高中高三月考）已知函数在处的切线与直线平行.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
二、利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围
14．（2021·山东烟台·高三期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·四川巴中·高三月考（理））关于函数，有下列个结论：
①函数的图象关于点中心对称；
②函数无零点；
③曲线的切线斜率的取值范围为
④曲线的切线都不过点
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·全国·高三课时练习）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．－ B． C．－ D．
18．（2021·全国·高三课时练习）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知曲线和与直线y=x相切于同一点P，则大于1的a的值为（ ）(下列是自然对数的底数)
A．e2 B． C． D．
20．（2021·江西·新余市第一中学高三月考（文））直线是曲线的切线，则它的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·全国·高三专题练习）一条倾斜角为的直线与执物线交于不同的两点，设弦的中点为过作平行于轴的直线交抛物线于点，则以为切点的抛物线的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·全国·高三专题练习（理））过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，设抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2020·浙江·学军中学高三期中）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，不等式恒成立”的只有（ ）
A． B． C． D．
25．（2013·全国·高考真题（文））已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2020·安徽·高三月考（文））将曲线绕着点逆时针方向旋转后与轴相切，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
28．（2020·福建龙岩·模拟预测（文））已知曲线与的图象关于点对称，若直线与曲线相切，则（ ）
A． B． C． D．
29．（2019·河南·商丘市第一高级中学高三期中（理））已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
30．（2019·安徽·高三期末（理））已知函数的图象关于对称，的图象在点处的切线过点，若图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
31．（2020·江西修水·高三期末（文））函数在点处的切线斜率为4，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．
32．（2020·江西·南昌二中模拟预测（理））函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
33．（2021·广东·高三月考）已知函数， ，若x1、x2、x3，x4是方程仅有的4个解，且x1A．01
C． D．
34．（2021·全国·高三课时练习）函数的导数为______，其函数图象在点处的切线的倾斜角为______．
35．（2021·全国·高三月考（理））若函数的图象经过点，则过点的曲线的切线的斜率_______________________．
36．（2022·全国·高三专题练习）曲线在处的切线的倾斜角为α，则__．
37．（2020·山西吕梁·高三期中（文））若对恒成立，则的最大值与的最小值之和为__________.
38．（2021·宁夏·贺兰县景博中学高三期末（理））已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是________.
39．（2021·全国·高三课时练习）已知定义在上的单调函数，对任意的，都有，则函数的图象在处的切线的倾斜角为________.
40．（2020·福建·厦门市湖滨中学模拟预测（理））已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则__________.
41．（2020·海南·二模）已知函数，若函数至少有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.
42．（2019·浙江·临海市白云高级中学高三期中）已知函数，则函数在点处切线的斜率的最小值是________．
43．（2021·全国·高三课时练习）已知函数．
（1）求该函数的导数；
（2）求该函数的图象在处的切线的倾斜角．
试卷第2页，共2页

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