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专题21：导数的几何意义02
高考中，关于导数的几何意义问题，主要以选择题或填空题形式出现，难度主要以中低档题出现，偶尔也会有较难试题，此时导数的几何意义仅仅作为中间步骤而已。
导数的几何意义常考题型包括：（1）直接求切线的斜率；（2）求切线方程或者法线方程；（3）求切点的坐标；（4）求参数的值；（5）曲线的公切线问题；（6）与其他知识相关的综合性问题。
导数的几何意义是高考的热点内容之一，多数是选择填空，有时解答题中也有涉及，函数在某点处的导数的几何意义就是在曲线上该点处切线的斜率，用导数求切线或斜率的一个显著特点是要知道切点，在不知道切点时要设出切点，这是用导数解决切线问题的一个非常有用的原则。
本文核心内容：
利用导数值求参数值
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
题型分析：
一、利用导数值求参数值
1．（2021·山东省郓城第一中学高三月考）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江西·景德镇一中高三期中）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A． B． C． D．，
3．（2021·内蒙古·乌兰浩特一中高三期末（理））实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·重庆市南坪中学校高三期中）函数的图象在处的切线方程为，则的极小值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
5．（2021·云南·高三期末（文））点在函数的图像上，若满足到直线的距离为1的点有且仅有1个，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高三单元测试）已知实数a，b，c满足，其中e是自然对数的底数，那么的值可能是（ ）
A．8 B．6 C．10 D．7
7．（2021·全国·高三单元测试）设函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；
（2）若对任何恒成立，求的取值范围．
8．（2021·青海师大附中高三期中（文））已知函数，函数在处的切线与轴垂直.
（1）求实数的值；
（2）设，求函数的最小值.
9．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求实数k的值并判断的单调性；
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
10．（2021·北京·潞河中学高三月考）已知函数．
（1）曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，若曲线在直线的上方，求的取值范围.
11．（2021·江苏省如皋中学高三月考）己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.
12．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））已知函数f（x）=（x+a）·e－x，若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线y=x－2平行.
（1）求实数a的值；
（2）如果03.
13．（2021·贵州·高三月考（文））已知函数.
（1）若曲线在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行，求实数a的值；
（2）当时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.
14．（2021·重庆巴蜀中学高三开学考试）设函数，（且，），曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围.
15．（2021·全国·高三课时练习）函数和的图象有公共点，且在点处的切线相同.
（1）求m的值.
（2）证明：.
16．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三期中）已知的最小值为0，则正实数的值为__．
17．（2021·福建·莆田第七中学高三期中）已知函数（）．
（1）若函数图象上点处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在内是增函数，求的取值范围．
18．（2021·天津市武清区天和城实验中学高三月考）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与曲线相切，则实数的值为__________．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知直线y＝2x与函数f（x）＝﹣2lnx+xex+m的图象相切，则m＝_________.
22．（2021·广东普宁·高三期末）已知函数.
（1）若在点处的切线的斜率为10，求此切线方程；
（2）当时，证明：.
23．（2021·江苏省溧水高级中学高三月考）已知函数在处取得极值，则实数的值为__________；若关于的方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围为_______________.
24．（2021·河北·石家庄一中高三月考）已知函数，，其中e为自然对数的底数.
（1）求a的值；
（2）若的零点为，求的值.
25．（2021·四川·树德中学高三开学考试（理））已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的可能取值为___________.
26．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）证明：．
27．（2021·江西·景德镇一中高三期中（理））已知的最小值为0，则正实数的最小值为__________.
28．（2021·安徽芜湖·高三期中（文））已知函数，若在处的切线方程为.
（1）求，；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.
29．（2021·浙江温州·高三期中）已知函数，在处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）若对定义域内恒成立，求的取值范围.
30．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知函数，曲线在点处切线方程为．
（1）求的值；
（2）求的单调区间，并求的极大值．
试卷第2页，共2页专题21：导数的几何意义02
高考中，关于导数的几何意义问题，主要以选择题或填空题形式出现，难度主要以中低档题出现，偶尔也会有较难试题，此时导数的几何意义仅仅作为中间步骤而已。
导数的几何意义常考题型包括：（1）直接求切线的斜率；（2）求切线方程或者法线方程；（3）求切点的坐标；（4）求参数的值；（5）曲线的公切线问题；（6）与其他知识相关的综合性问题。
导数的几何意义是高考的热点内容之一，多数是选择填空，有时解答题中也有涉及，函数在某点处的导数的几何意义就是在曲线上该点处切线的斜率，用导数求切线或斜率的一个显著特点是要知道切点，在不知道切点时要设出切点，这是用导数解决切线问题的一个非常有用的原则。
本文核心内容：
利用导数值求参数值
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
题型分析：
一、利用导数值求参数值
1．（2021·山东省郓城第一中学高三月考）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作出函数的图象，由题意可得在的图象的上方，分别讨论、、，结合图象的平移，以及导数的几何意义即可求解.
【详解】
作出函数的图象，
由不等式对任意的恒成立，
可得的图象不在的图象的上方，
且的图象关于直线对称，
当时，由图象可知不满足题意；
当时，对任意的恒成立，满足题意；
当时，当的图象与的图象相切，即有为切线，
由可得，
设切点为，可得切线的斜率为，则，
所以，所以，解得：，
则时，满足题意.
综上可得，实数的取值范围是.
故选：.
2．（2021·江西·景德镇一中高三期中）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A． B． C． D．，
【答案】C
【分析】
利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，结合目标式有，构造并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】
函数的导数为，则，
∴切点为，代入，得，
、为正实数，即，
∴，令且，则，即为增函数，
．
故选：C．
3．（2021·内蒙古·乌兰浩特一中高三期末（理））实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题知,进而将问题转化为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，故只需求解上与直线平行的切线的切点，进而得答案.
【详解】
由，可得，
故几何意义为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方.
对于函数，令，解得，
所以函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为.
故选:D
4．（2021·重庆市南坪中学校高三期中）函数的图象在处的切线方程为，则的极小值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】B
【分析】
先求出的导函数，根据导数的几何意义求出参数，然后由得出函数的单调区间，得出极值.
【详解】
函数的图象在处的切线的斜率为
由，
则，则
所以，由，得，由得
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，有极小值
故选：B
5．（2021·云南·高三期末（文））点在函数的图像上，若满足到直线的距离为1的点有且仅有1个，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求导，设直线与相切于点，利用导数几何意义和切点在曲线、直线上求得切点，再利用到直线的距离为1，结合图象解得参数即可.
【详解】
函数的导函数为，设直线与相切于点，
则，解得切点为，
由题可知到直线的距离为1，
所以，解得，结合图象可知，.
故选：B.
6．（2021·全国·高三单元测试）已知实数a，b，c满足，其中e是自然对数的底数，那么的值可能是（ ）
A．8 B．6 C．10 D．7
【答案】AC
【分析】
已知等式变形得出点在一个函数图象上，点在一条直线上，然后求得函数的斜率与直线斜率相等的切线的切点坐标，由切点到直线的距离得出最小值，再判断各选项．
【详解】
由，设，则点在图象上，
又由，设，则点在直线上，
由，得，所以斜率为的切线的切点坐标为，所以的最小值为，
故选：AC.
7．（2021·全国·高三单元测试）设函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；
（2）若对任何恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）单调递减区间为，极小值为2；（2）.
【分析】
（1）求导，利用求出，代入导函数可得单调性和极值；
（2）条件等价于对任意恒成立，设，可得在上单调递减，则在上恒成立，参变分离，转化为最值问题即可求解.
【详解】
（1）由条件得，
∵在点处的切线与垂直，
∴此切线的斜率为0，即，有，得，
∴，由得，由得．
∴在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值．
故的单调递减区间为，极小值为2
（2）条件等价于对任意恒成立，
设．　
则在上单调递减，
则在上恒成立，得恒成立，
∴（对仅在时成立），
故的取值范围是
8．（2021·青海师大附中高三期中（文））已知函数，函数在处的切线与轴垂直.
（1）求实数的值；
（2）设，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求出导函数，由求得参数值；
（2）求的导函数，确定函数的单调性与极值，得最小值．
【详解】
解：（1）由已知，则，所以．
（2），，
则，定义域是，
显然，
所以时，，是减函数，
时，，是增函数，
所以时，取得极小值也是最小值．
9．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求实数k的值并判断的单调性；
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】（1），在上单调递增，在上单调递减；（2）2.
【分析】
（1）求出函数的导函数，即可得到，依题意求出，即可求出函数的解析式与单调性；
（2）依题意在上恒成立，参变分离，在利用基本不等式计算可得；
【详解】
（1）由题意得，的定义域为．∵，∴．
∵切线l与直线平行，∴，解得，∴，．
由，得，此时在上单调递增；由，得，此时在上单调递减．
故在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，所以，∴．
∵，∴在上恒成立．
∵，当且仅当即时成立．
由在上恒成立且，可知的最大值为2．
10．（2021·北京·潞河中学高三月考）已知函数．
（1）曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，若曲线在直线的上方，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求，由即可求得的值；
（2）由题意可得恒成立，分离可得，令利用单调性求最值即可求解.
【详解】
（1）由，可得，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，解得．
（2）当时，若曲线在直线的上方，
即恒成立，
因为，可得对于恒成立，
令，则，
当时，恒成立，故在上单调递减，
因为，所以，
若对于恒成立，则，
所以的取值范围为：.
11．（2021·江苏省如皋中学高三月考）己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由抛物线方程化为并求导，根据切线斜率求参数p，即可写出抛物线方程.
（2）由题意设直线、为、，令、、、，联立抛物线方程并结合韦达定理求，，，，进而求AB、EF中点、N坐标，进而可得直线方程，即可确定是否过定点.
【详解】
（1）由可化为，则.
当A的横坐标为1时，抛物线C在A处的切线斜率为，
∴，即，
∴抛物线C的标准方程为.
（2）由（1）知：点T坐标为(0,2)，
由题意知，直线和斜率都存在且均不为0，设直线为，
由，联立消去y并整理得，，
设，，则，，
∴，又M为AB中点，则，
∵，N为EF中点，则直线为，联立抛物线可得，
∴，，则
∴，
∴直线MN为，整理得，
∴直线MN恒过定点(0,4).
12．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））已知函数f（x）=（x+a）·e－x，若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线y=x－2平行.
（1）求实数a的值；
（2）如果03.
【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，由求得；
（2）由得的关系，，令t=x2－x1（t>0），把都用表示，要证不等式化为关于的不等式，再变形后引入新函数，由新函数的导数求得最值，证得结论．
【详解】
（1）由f（x）=（x+a）e－x，得f′（x）=（1－a－x）e－x.
依题设f′（0）=1－a=1，∴a=0.
（2）由（1）知，f（x）=xe－x，因为0所以x2=x1·ex2－x1，令t=x2－x1（t>0），则x1et－x1=t得，.
要证3x1+x2>3，即证，因为t>0，所以et－1>0，即证.
设（t－3）et+3t+3（t>0），则g′（t）=（t－2）et+3（t>0）.
令h（t）=（t－2）et+3（t>0），则h′（t）=（t－1）et，当01时，h′（t）>0
所以函数h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
所以h（t）≥h（1）=3－e>0，即g′（t）>0，所以g（t）在（0，+∞）上单调递增
所以g（t）>g（0）=0，即g（t）=（t－3）et+3t+3>0
所以3x1+x2>3.
13．（2021·贵州·高三月考（文））已知函数.
（1）若曲线在x=1处的切线与直线2x-y+1=0平行，求实数a的值；
（2）当时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，利用，求出a；
（2）先把等价于，令，利用导数判断单调性，求出，即可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：（1）因为，
所以，所以.
（2）当时，等价于，
即.
因为，所以，所以.
令，
则.
令，得或e（舍去），
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以（或）.
14．（2021·重庆巴蜀中学高三开学考试）设函数，（且，），曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求，由导数的几何意义可知，结合即可求解；
（2）构造函数，由题意可得在有两个零点，
求，分和、讨论的单调性与极值，可得在有两个零点的条件，即可求解.
【详解】
（1）由可得
因为曲线在点处的切线方程为.
所以，因为，所以，
（2），，
令，
若对任意，与有且只有两个交点，
则在有两个零点，
，
当时，由可得；由可得，
此时在上单调递减，在上单调递增，
当趋近于时，，当趋近于时，，
若在有两个零点，
只需，所以，所以，
当时，由可得；由可得或，
所以在和上单调递增，在上单调递增，
而，
此时在至多只有一个零点不符合题意，
当时，恒成立，在单调递增，
此时在至多只有一个零点不符合题意，
综上所述：的取值范围为.
15．（2021·全国·高三课时练习）函数和的图象有公共点，且在点处的切线相同.
（1）求m的值.
（2）证明：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】
(1)根据导数的几何意义即可.
(2)构造新的函数，利用导数讨论它的单调性证明不等式即可.
【详解】
(1)，.
设切点的横坐标为，则根据题意可得
设，则，有，
所以在上单调递增，又，
在上单调递减，在上单调递增，又，
所以方程有唯一解.
代入，得.
(2)证明：令，
则，
令，得；令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
则，即.
16．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三期中）已知的最小值为0，则正实数的值为__．
【答案】
【分析】
将问题转化为的图象在函数的图象上方相切，利用函数的导数和切线的斜率的关系，求出切点坐标即可得解．
【详解】
由于函数的最小值为0，
所以恒成立，即恒成立且可取等号，
设、
所以的图象在函数的图象上方相切，
当时，的图象与轴的交点在轴的负半轴上，
由图可知当正数最小时，直线与在内相切，
对函数求导得到，
所以，解得，
所以，所以切点的坐标为
把点代入得：．
由于的周期为，故每向左或向右平移都会与曲线相切，又.
故答案为：
17．（2021·福建·莆田第七中学高三期中）已知函数（）．
（1）若函数图象上点处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在内是增函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据切线的斜率可以求出函数中参数的值，点在函数上，代入可求出的值
（2）导函数是含参数的二次函数，已知内单增，即导数在大于等于0恒成立，分参求最值即可
【详解】
（1）∵，
∴．
则点处的切线斜率为．
又∵切线方程为，∴．即．
∴．
∵在的图象上，∴．
（2）∵函数在内是增函数，
∴对于一切恒成立，即，
∴，
由于在上单调递增，
∴，即．
∴的取值范围是．
18．（2021·天津市武清区天和城实验中学高三月考）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】
函数有3个零点，转化为与有3个交点，利用数形结合，以及导数的几何意义，即可求得实数a的取值范围.
【详解】
，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，
函数有3个零点，转化为方程有3个实数根，即与有3个交点，表示斜率的直线，如图，当直线过原点时，两个函数有3个交点，此时，当直线与相切时，设切点
，解得：，，
如图，满足条件的的取值范围是
故答案为：
19．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与曲线相切，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】
根据给定条件设出切点坐标，借助切点位置及导数的几何意义列出方程组求解即得.
【详解】
依题意，设切点坐标为，由求导得：，
于是得，即，解得：，
所以实数的值为.
故答案为：
20．（2021·福建·三明一中高三月考）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则a与b满足的关系式为______________．的最小值为____________．
【答案】
【分析】
求出原函数的导函数，结合在切点处的斜率值是2，求出切点，得到切线方程，求得，然后利用基本不等式求的最小值．
【详解】
解：由，得，
因此曲线在切点处的切线的斜率等于2，
，即，此时．
则切点为，
所以相应的切线方程为，
则，．
又，，．
当且仅当时上式等号成立．
故答案为：；．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知直线y＝2x与函数f（x）＝﹣2lnx+xex+m的图象相切，则m＝_________.
【答案】
【分析】
设出切点，根据切线方程的几何意义，得到，解方程组即可.
【详解】
因为，所以
设切点为，所以切线的斜率为
又因为切线方程为y＝2x，因此，
由，得，
因为，所以，又，
所以，得.
故答案为：.
22．（2021·广东普宁·高三期末）已知函数.
（1）若在点处的切线的斜率为10，求此切线方程；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由在点处的切线的斜率为10，列方程求出，然后求出切线的方程即可；
（2）对求导，判断的单调性，求出的最大值，然后构造函数，求出的最大值，进一步得到．
【详解】
解：（1），
.
在点处的切线的斜率为10，
，即，
解得：
.
，切点坐标为.
∴所求切线方程为：，即.
（2），
，当时，；
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减.
∴当时，取得极大值，也是最大值，且.
，
令.
解，得；
解，得；解，得
在上单调递增，在单调递减．
当时，取得极大值，也是最大值，且．
，，即．
当时，．
23．（2021·江苏省溧水高级中学高三月考）已知函数在处取得极值，则实数的值为__________；若关于的方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围为_______________.
【答案】4； .
【分析】
在处取得极值，只能有极值，有可得的值；有与相切和与相切求出切点坐标，得到切线斜率结合图象可得的范围.
【详解】
当时，得，
因为在处取得极值，所以，得；
令与相切，则
只有1个解，所以，解得或，
切点为，切点为，
令与相切，设切点为，，
则解得，切点为，
如图所示，三条直线分别为，对应的斜率分别为，
所以，，，，
当变化时，与、与、与图象的交点个数如下表，
的取值范围 与图象的交点个数 与图象的交点个数 与图象交点个数
2 0 2
2 2 4
2 1 3
2 0 2
1 0 1
0 0 0
1 0 1
1 0 1
所以的取值范围.
故答案为：①4；②.
24．（2021·河北·石家庄一中高三月考）已知函数，，其中e为自然对数的底数.
（1）求a的值；
（2）若的零点为，求的值.
【答案】（1）-2；（2）0
【分析】
（1）根据题意，求出函数的导数，进而可得的值，分析可得，可得的值；
（2）根据题意，求出的解析式，由函数零点的定义可得变形可得：，设，分析可得，结合函数的单调性可得，即，代入，计算可得答案.
【详解】
（1）根据题意，，则
若，解得：；
（2）根据题意，由（1）的结论，，则，则，
若的零点为，则，变形可得：，
设，则则有，
而函数 是上的增函数，必有，即，
则有.
25．（2021·四川·树德中学高三开学考试（理））已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的可能取值为___________.
【答案】
【分析】
，看成点到点的距离的平方，转化为一个点在函数上，一个点在直线上，根据导数的几何意义及切线的应用可以求出，再利用取等号的条件即可求解.
【详解】
因为，
则看成点到点的距离的平方，
其中点在函数上，点在直线上，
由，得，令，则，，
设，所以函数在点处的切线与直线平行，
所以点到直线的距离，即点到点的距离的最小值，
点到直线的距离为，
所以，
过点且垂直直线的直线方程为，由，得，
当且仅当，即时，，
所以.
所以实数的所有可能取值为，
故答案为：.
26．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题知，，进而解方程即可得，，进而得答案；
（2）由（1）知，进一步求导研究得在上为增函数且存在使，进而得，再结合在上单调递减即可证明.
【详解】
解：（1），
因为曲线在点处的切线方程为．
所以，，
解得：，
∴．
（2）由（1）知，
∴在上恒成立，
∴在上为增函数
又，，
故存在使，
当，，
当，，
，
令，在区间成立，
所以函数在上单调递减，
故，即.
27．（2021·江西·景德镇一中高三期中（理））已知的最小值为0，则正实数的最小值为__________.
【答案】
【分析】
将问题转化为的图象在函数的图象上方相切，利用函数的导数和切线的斜率的关系，求出切点坐标即可得解．
【详解】
解：由于函数的最小值为0，
所以恒成立，即恒成立且可取等号，
设、
所以的图象在函数的图象上方相切，
当时，的图象与轴的交点在轴的负半轴上，
由图可知当正数最小时，直线与在内相切，
对函数求导得到，
所以，解得，
所以，所以切点的坐标为
把点代入得：．
故答案为：．
28．（2021·安徽芜湖·高三期中（文））已知函数，若在处的切线方程为.
（1）求，；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）示出导函数，由切线斜率和切点坐标联立可求得；
（2）不等式变形为，令，用导数求得的最小值即可得．
【详解】
解：（1）因为，
所以，，，
解得，.
（2）当时，由得：
令，则
令，解得：.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增
∴
∴，即实数的取值范围是
29．（2021·浙江温州·高三期中）已知函数，在处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）若对定义域内恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用切点和斜率求得的值，从而求得的解析式.
（2）将转化为对任意恒成立，利用导数求得的最大值，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）由题可知，，
，
解得，，
∴.
（2）对定义域内恒成立对任意恒成立，
即求的最大值不大于，
∵且，
又，，在单调递减，，
∴在上单调递增，上单调递减，
∴，
当时，对定义域内的恒成立.
【点睛】
求解不等式恒成立问题，可利用分离常数法，结合导数来求得参数的取值范围.
30．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知函数，曲线在点处切线方程为．
（1）求的值；
（2）求的单调区间，并求的极大值．
【答案】（1），；（2）在，上单调递增，在上单调递减，极大值为．
【分析】
（1）根据题意，由和，列出方程组，即可求得的值；
（2）由（1）知，得到，结合导数的符号和函数极值的定义，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，可得，
因为曲线在点处切线方程为，
可得，，即，解得.
（2）由（1）知，函数，
可得，
令，解得或．
从而当时，；
当时，．
故在，上单调递增，在上单调递减．
当时，函数取得极大值，极大值为．
试卷第2页，共2页

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