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专题24：导数的高级应用03
命题规律与特点
1.从2020年高考情况来看，导数内容为高考热点，考题难度覆盖难、中、易，选择题、填空题和解答题均有可能出现，分值约为17分.2020年新高卷第21题第(2)问，通过恒成立问题求参数的取值范围，2020年课标1卷理数第21题考査利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导运算法则，这两个题都综合考査了逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.
2.导数内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与不等式关联紧密
3.导数应用题目很灵活，解题方法较多，多采用定义法、公式法、综合法，必要时还要使用放缩法
4.导数重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
已知函数单调区间求参数范围
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型分析：
一、已知函数单调区间求参数范围
1．（2021·山东菏泽·高三期中）函数在单调递增的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出导函数，转化为在区间上恒成立可得答案.
【详解】
由题得，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立，，
而在区间上单调递减，
．
所以选项A是必要不充分条件， 选项BD是充分不必要条件，
故选：C.
2．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）若函数（其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值.
【详解】
根据题意，
在R上单调递增 在R上恒成立
令，，则 可写为
根据题意在上的最小值非负
解得 ，所以选项B正确
故选：B.
3．（2021·新疆生产建设兵团第十二师高级中学高三月考（文））若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求函数的导数，要使函数单调递增，则恒成立，然后求出实数的取值范围．
【详解】
解：因为，所以．
要使函数单调递增，则恒成立．
即恒成立．
所以，
因为
所以，
所以，即．
故选：D ．
4．（2021·山西太原·高三期中）已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
不妨设，则原不等式等价于，构造函数，则在上为减函数，从而有在上恒成立，注意到，然后对分和两种情况进行讨论即可求解.
【详解】
解：由题意，不妨设，
因为，
所以，即，
令，
则，所以在上为减函数，
所以在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，
当时，，所以在上单调递减，
所以成立，符合题意；
当时，令，得，
所以在上单调递增，
所以当时，，不符合题意.
综上，实数的取值范围是.
故选：C.
5．（2021·天津四十三中高三月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，问题转化为 而 在 递增，求出 的最小值，从而求出的范围即可 .
【详解】
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故
令
在递增 ,
故
故选：D
6．（2021·福建上杭·高三月考）若在（﹣2，+∞）上是增函数，则b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣4，+∞） C．[﹣4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）
【答案】A
【分析】
先求出,然后将问题转化为在上恒成立,转化为求解的取值范围,由二次函数求解即可.
【详解】
解：函数,
则,
因为在上是增函数，
所以在上恒成立,
故在上恒成立,
因为,
所以,
所以的取值范围是.
故选：A.
7．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））设，.若任意、，且，有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，分析可知函数在上为减函数，利用函数的单调性与导数的关系结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】
由题意可得，
构造函数，则，
对于任意、，且，，
所以，函数在上为减函数，
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，所以，.
故选：A.
8．（2021·北京师范大学实验二龙路中学高三期中）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，由已知条件可得在上单调递增，则在上恒成立，问题转化为在上恒成立，令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，即可求得的取值范围．
【详解】
解：令，
当时，不等式恒成立，
在上单调递增，
在上恒成立，
在上恒成立，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在递增，
（1），，，
故选：B．
9．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得在上恒成立，进行参变分离得
在上恒成立，令，将问题转化为在上恒成立，由的单调性，求得其最大值，由此可得答案.
【详解】
解：因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，令，所以问题转化为在上恒成立，
而在上单调递增，所以当时，有最大值，所以有最大值，所以，
故选：A.
10．（2021·湖北·高三月考）已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与函数的图像相切
C．若函数在区间上单调递增，则
D．若在区间上恒成立，则
【答案】ABD
【分析】
对于A：当时，，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性，从而求得函数的最小值；
对于B：当时，，求导函数，设切点为，则过切点的切线方程为：，由切线过原点，求得，继而求得过原点的切线方程；
对于C：问题等价于在区间上恒成立，分离参数得在区间上恒成立，令，求导函数，分析导函数的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断；
对于D：问题等价于在区间上恒成立，时，不等式恒成立；当时，分离参数，令，求导函数，分析的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断.
【详解】
解：对于A：当时，，则，令，得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，所以，故A正确；
对于B：当时，，则，
设切点为，则过切点的切线方程为：，因为切线过原点，
所以，解得，此时，所以直线与函数的图像相切，故B正确；
对于C：由函数得，
因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，则，又令，所以，，函数单调递减，
所以，所以，故C不正确；
对于D：在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，恒成立，令，则，令，得，
因为，，函数单调递减，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD.
11．（2021·重庆·高三月考）函数的单调增区间为________；若对，，均有成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】
利用导数直接求出的单调增区间即可；变形给定不等式，再构造函数，借助其单调性即可作答.
【详解】
函数定义域为，，当时，，当时，，
则有在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调增区间是；
因，，均有成立，不妨令，
于是得，
令，则有，，恒成立，从而得在上单调递减，
因此，，，而在上单调递减，则当时，，即，
所以的取值范围是.
故答案为：；
12．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
确定函数为偶函数，再判断函数的单调性得到在上恒成立，令，求导得到单调区间，计算最值得到答案.
【详解】
，即为偶函数，
又对且，都有，
知在上单调递减，故在上单调递增，
则当时，，即在上恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
∴当时，取得极小值也是最小值，
∴，即．
故答案为：．
13．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数，若对于任意的且，都有成立，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】
将不等式变形为：恒成立，构造函数，转化为当时，恒成立，为了求的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．
【详解】
对于任意的，，，且，都有成立，
不等式等价为恒成立，
令，则不等式等价为当时，恒成立，
即函数在上为增函数；
，
则在，上恒成立；
；即恒成立，
令，；
在，上为增函数；
（1）；
；
．
的取值范围是．
故答案：．
14．（2021·全国·）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
采用分离参数法，可得，再令，对函数求导，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.
【详解】
解：令
则，
令，
则由知，
在上单调递减，在上单调递增
且，，.
，，
，
作出函数的图像，如下图所示：
所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为.
故答案为：.
15．（2021·全国·）已知函数在上是增函数，函数，若（e为自然对数的底数）时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】
由题意，，令，由函数单减及已知条件可得，由此得解．
【详解】
解：依题意，在上恒成立，即，解得，
设，由可得，则，
易知函数单调递减，
由题意知， ，等价于，即，
又，所以恒成立，
所以实数的取值范围是，
故答案为：．
16．（2021·山西省长治市第二中学校（文））已知函数，其中.若对任意实数，都有，则正数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
设，且，求导，易知在上递增，将转化为，然后令，则在上递增，由在恒成立求解.
【详解】
设，且，
因为，
所以，
所以在上递增，
所以，
因为，
所以，
令，
所以，即在上递增，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令在上递减，
所以，
所以.
故答案为：
17．（2021·陕西韩城·（理））设，若函数在区间上不单调，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据导函数求出的单调区间，即可得解.
【详解】
函数，，
单调递增，单调递减，
函数在区间上不单调，
则，
解得：
故答案为：
18．（2021·四川成都·高三期中（文））已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，求证：当时，.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）求出在上恒成立，分离参数即可求解.
（2）求出，当时，在上单调递增，利用导数与函数单调性之间的关系可得存在，使在上单调递减，在上单调递增，从而可得，令，利用导数即可证明.
（1）
解：由题意，得在上单调递增，
所以在上恒成立，
故，所以实数的取值范围是.
（2）
证明：当时，因为，，
所以在上单调递增.
又因为当时，，，
所以存在使得（*），
且在上单调递减，在上单调递增，
由（*）式可得，，代入上式，得.
由，令，则，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以，所以，
所以当时，，即得证.
19．（2020·安徽省肥东县第二中学高三月考）已知函数．
（1）若在处取得极值，求a的值；
（2）若在单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
(1)求出函数的导数，由求出a值并验证即得.
(2)根据给定条件可得在上恒成立，再分离参数即可推理计算作答.
（1）
，
由在处取得极值，则，即，解得，
此时，令，显然是R上增函数，且，
则有两个零点0和1，当或时，，当时，，即1是函数的极值点，
所以a的值是.
（2）
依题意，在上恒成立，
即为，亦即在上恒成立，
而函数在上递增，则，，于是得，
所以实数a的取值范围是.
20．（2021·山西省新绛中学校高三月考（文））已知函数，.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数在区间内是减函数，求的取值范围；
（3）若函数的单调减区间是，求的值.
【答案】
（1）答案见解析
（2）
（3）1
【分析】
(1)对函数求导，对参数a的取值(、、)分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可得出对应的单调区间；
(2)由(1)知当时，根据题意可得，进而得到，解之即可；
(3) 由(1)知，当时，有，进而得到，解之即可.
（1）
由题意知，，
当时，恒成立，所以的单调递增区间是；
当时，令，令，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，令，令，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）
由(1)知，当时，有，所以，
解得，即a的取值范围为；
（3）
由(1)知，当时，有，所以，
解得.
21．（2021·湖南·长郡中学高三月考）已知函数，．
（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据题意可知在上恒成立，然后再根据分离参数法结合导数在函数单调性中的应用，即可求出结果；
（2）设公切线在上的切点为，在上的切点为，根据导数的几何意义，求出切线方程为，和，根据公切线的含义化简可得，又，可得，令，再利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果.
（1）
解：由题意，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，则，
所以在上单调递增．
于是，所以．
（2）
解：当时，设公切线在上的切点为，
则切线方程为：．
设公切线在上的切点为，
则切线方程为：，
，
又，．
令．．
又在上单调递减，而，，
满足，即，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
，
．
22．（2021·全国·高三课时练习）已知函数，，．
（1）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由在上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求出实数a的取值范围；
（2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围．
（1）
因为在上单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立，令，则，而．
因为，所以．所以（此时），所以．
当时，．
因为，所以，即在上为减函数，又，所以实数a的取值范围是．
（2）
因为，，所以．
因为在上存在单调递减区间，所以当时，有解，即有解．
设，所以只要即可，而，所以，所以．
又，所以或．所以实数a的取值范围为．
23．（2021·山东·高三月考）设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为；（2）.
【分析】
（1）由题干条件可得切线的斜率为，即，可得，代入导函数，分析即得解；
（2）构造函数，题干条件可转化为在上单调递减，求导，转化为在上恒成立，参变分离即得解.
【详解】
（1）因为，则.
曲线在点处的切线与直线平行，此切线的斜率为，
即，解得，则，
，
由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，故的极小值为；
（2）对任意，恒成立等价于：对任意，
恒成立，
设，
则对任意，，即，
所以，函数在上单调递减，
在上恒成立，
在上恒成立，，
故实数的取值范围是.
24．（2021·四川省资中县第二中学高三月考（文））已知函数在处的切线与直线平行，记函数．
（1）求实数的值；
（2）令，若存在单调递减区间，求实数的取值范围
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由已知可得出，结合导数可求得实数的值；
（2）分析可知在上有解，可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为，则，
由函数在处的切线与直线平行，
所以，解得；
（2）因为，所以，
由题意得：在上有解，则，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，，即.
25．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数
（1）求函数的解析式和值域；
（2）若函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用换元法即可求得函数的解析式；求出函数的解析式后，对求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求出函数的值域.
（2）对求导，得到关于导函数是增函数的不等式，再进行参变分离，转化为求新函数的最值，进而得到实数的取值范围.
【详解】
（1）令，则
由，得
故
由题意得，函数的定义域是，且
令，解得；令，解得
故在上单调递增，在上单调递减
的最大值是
又当时，，的值域为；
（2）在上是增函数
在恒成立
则只需，而（当且仅当时，“=”成立）
实数的取值范围是.
26．（2021·河南·高三月考（文））已知函数.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）-ax2，若g（x）在定义域上单调且有唯一零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）求导可得，分析导函数正负即得解；
（2）求导可得，令，转化为函数在上不存在变号零点，分三种情况讨论，可得，再结合时，时，即得解.
【详解】
（1）因为函数的定义域为，有.
令，解得；
令，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意知，
有，
因为在定义域上单调且有唯一零点，
令，则函数在上不存在变号零点.
当时，对称轴，且，不成立；
当时，对称轴，故，解得；
当时，，不成立.
故有，
此时时，时，
故在定义域上单调且有唯一零点.
综上所述，a的取值范围为.
27．（2021·海南·高三月考）已知，在上是单调递增函数.
(1)求a的最小值；
(2)当实数a取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)2；(2).
【分析】
(1)结合已知条件，利用在恒成立问题即可求解；(2)根据已知条件对不等式分离参数，然后构造新函数，利用导函数求最值的方法即可求解.
【详解】
(1)由题意可知，在恒成立，
故在恒成立，即，解得，
故的最小值为2；
(2)当时，存在实数x使不等式成立，
由可知，存在实数x使不等式成立，即成立，
不妨令，即，
由，；；
故在上单调递增，在单调递减，
从而的最大值为，即，
故实数k的取值范围为.
28．（2021·四川新都·高三月考（文））已知函数，，．
（1）求的极值；
（2）若对任意的，，当时，恒成立，求实数的最大值；
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．
【分析】
（1）由函数，定义域为，求导，利用导数法求解；
（2）由，结合（1），将，转化为，设，由在为增函数，利用导数法求解.
【详解】
（1）函数，定义域为，，令，得，
列表如下：
单调递减 单调递减 极小值 单调递增
，的极小值为，无极大值；
（2），由（1）可知，
等价于，即，
设，
则在为增函数，
在上恒成立，恒成立，
设，
在上恒成立，
在上单调递增，
在上的最小值为，
，
的最大值为；
29．（2021·上海·曹杨二中高三月考）设，已知函数满足.
（1）求a的值，并讨论函数的奇偶性（只需写出结论）；
（2）若函数在区间上单调递减，求b的最小值；
（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数有且仅有一个零点q，且存在递增的正整数列，使得成立.
【答案】（1），判断奇偶性答案见解析；（2）最小值为；（3）证明见解析.
【分析】
（1）化简即得的值，再得到函数的奇偶性；
（2）在区间上恒成立，进而可得的最小值；
（3）证明函数在上有且仅有一个零点q，由得到，，即得解.
【详解】
（1）
的定义域为
当为偶函数；
当
∴既不是偶函数也不是奇函数；
（2）由（1）得：
则，
若在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
当时，，
故的最小值为；
（3）恒成立，
所以函数在上无零点，
当时，，所以函数在上单调递增，
，
函数在上有且仅有一个零点q，
所以存在递增的正整数列，使得成立.
30．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围：
（2）设，当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导，根据函数在上单调递增，由在上恒成立求解；
（2）由，得到，根据方程在区间上有唯一解，利用导数法求解.
【详解】
（1），
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以（其中，，，
所以，解得，
故的取值范围是．
（2）当时，，
则，
设，则．
因为，，
所以，在区间上单调递减，
因为，．
所以存在唯一的，使得，即，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为，，
又因为方程在区间上有唯一解，
所以．
即的取值范围是．
31．（2021·河南·高三月考（文））已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把在区间上不是单调函数，转化为在区间上有零点，用分离参数法得到，规定函数，求出值域即可得到实数的取值范围.
【详解】
因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
故选：A
32．（2021·四川省资中县第二中学高三月考（文））已知函数，.
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出由题意可得在上恒成立，令，结合导数求出的单调性，从而求出的最小值，即可求出的取值范围.
（2）令,当时，，令，结合导数可判断的最小值，从而可得此时恒成立.
【详解】
（1）因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立；
等价于在上恒成立；
令，即在的最小值，
，
，得，单调递减；，得，单调递增；
的最小值为，所以.
（2）令，
因为，所以.
令,
令，，
所以在上单调递增.
因为，
所以时，，单调递减;
时，，单调递增.
故，即得证;
33．（2021·全国·高三单元测试）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在上有交点，即求.
【详解】
函数的定义域为，，
令，
若在上不单调，则函数与x轴在上有交点，
又，
则，
解得，
故在上不单调的一个充分不必要条件是．
故选：D．
34．（2021·广西·高三开学考试（理））已知a∈R，f '(x)是函数f(x)的导函数，f '(x)＝x2＋（a－2）x，g(x)＝2alnx．
（1）若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直，求f(x)的解析式；
（2）设F(x)＝f '(x)－g(x)，若对任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1>x2，都有F（x1）－F（x2）>a（x1－x2），求a的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）根据直线垂直的斜率关系结合导数的几何意义列方程求函数f(x)的解析式；
（2）利用导数与函数的单调性的关系列不等式求a的取值范围．
【详解】
（1）∵，设，∴，
∵，∴，依题意有，且，
可得，
解得或，
所以或；
（2）∵，
等价于．
设，等价于在上是增函数，
，可得，
依题意有，对任意，有恒成立．
由，可得．
35．（2021·广东·肇庆市第一中学高三月考）已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x.
（1）若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
【答案】（1）－；（2）(－∞，－1]；（3）.
【分析】
（1）求导根据即可求出的值，注意检验时，函数f(x)是否在x＝2处取得极值即可得出结论；
（2）原题等价于在时恒成立，参变分离，求出的最小值即可得出结果；
（3）利用导数研究函数的图象与性质，进而根据题意得到不等式组，解不等式组即可求出结果.
【详解】
（1）由题意，得 (x>0)，
因为x＝2时，函数f(x)取得极值，所以，即，解得，
则，则，令，则或，所以和时，，单调递减，时，，则单调递增，故函数在x＝2处取得极大值，故符合题意，因为；
（2）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意在时恒成立，即在时恒成立，则在时恒成立，即，
当时，取最小值，
所以a的取值范围是.
（3）当时，，
即.
设，
则，令，或，
当变化时，的变化情况如下表：
x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
所以g(x)极小值＝g（2）＝ln2－b－2，
g(x)极大值＝g（1）＝－b－，
又g（4）＝2ln2－b－2，
因为方程g(x)＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，
则，解得ln2－2所以实数b的取值范围是.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
试卷第2页，共2页专题24：导数的高级应用03
命题规律与特点
1.从2020年高考情况来看，导数内容为高考热点，考题难度覆盖难、中、易，选择题、填空题和解答题均有可能出现，分值约为17分.2020年新高卷第21题第(2)问，通过恒成立问题求参数的取值范围，2020年课标1卷理数第21题考査利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导运算法则，这两个题都综合考査了逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.
2.导数内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与不等式关联紧密
3.导数应用题目很灵活，解题方法较多，多采用定义法、公式法、综合法，必要时还要使用放缩法
4.导数重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
已知函数单调区间求参数范围
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型分析：
一、已知函数单调区间求参数范围
1．（2021·山东菏泽·高三期中）函数在单调递增的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）若函数（其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·新疆生产建设兵团第十二师高级中学高三月考（文））若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·山西太原·高三期中）已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·天津四十三中高三月考）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·福建上杭·高三月考）若在（﹣2，+∞）上是增函数，则b的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣4，+∞） C．[﹣4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）
7．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））设，.若任意、，且，有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·北京师范大学实验二龙路中学高三期中）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·湖北·高三月考）已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与函数的图像相切
C．若函数在区间上单调递增，则
D．若在区间上恒成立，则
11．（2021·重庆·高三月考）函数的单调增区间为________；若对，，均有成立，则的取值范围是__________．
12．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数，对任意且，都有，则实数的取值范围是_______．
13．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数，若对于任意的且，都有成立，则的取值范围是________.
14．（2021·全国·）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.
15．（2021·全国·）已知函数在上是增函数，函数，若（e为自然对数的底数）时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
16．（2021·山西省长治市第二中学校（文））已知函数，其中.若对任意实数，都有，则正数的取值范围是___________.
17．（2021·陕西韩城·（理））设，若函数在区间上不单调，则的取值范围是___________.
18．（2021·四川成都·高三期中（文））已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，求证：当时，.
19．（2020·安徽省肥东县第二中学高三月考）已知函数．
（1）若在处取得极值，求a的值；
（2）若在单调递增，求实数a的取值范围．
20．（2021·山西省新绛中学校高三月考（文））已知函数，.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数在区间内是减函数，求的取值范围；
（3）若函数的单调减区间是，求的值.
21．（2021·湖南·长郡中学高三月考）已知函数，．
（1）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，若，存在公切线，求的范围（表示不大于的最大的整数）．
22．（2021·全国·高三课时练习）已知函数，，．
（1）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
23．（2021·山东·高三月考）设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
24．（2021·四川省资中县第二中学高三月考（文））已知函数在处的切线与直线平行，记函数．
（1）求实数的值；
（2）令，若存在单调递减区间，求实数的取值范围
25．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数
（1）求函数的解析式和值域；
（2）若函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围.
26．（2021·河南·高三月考（文））已知函数.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）-ax2，若g（x）在定义域上单调且有唯一零点，求实数a的取值范围.
27．（2021·海南·高三月考）已知，在上是单调递增函数.
(1)求a的最小值；
(2)当实数a取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数k的取值范围.
28．（2021·四川新都·高三月考（文））已知函数，，．
（1）求的极值；
（2）若对任意的，，当时，恒成立，求实数的最大值；
29．（2021·上海·曹杨二中高三月考）设，已知函数满足.
（1）求a的值，并讨论函数的奇偶性（只需写出结论）；
（2）若函数在区间上单调递减，求b的最小值；
（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数有且仅有一个零点q，且存在递增的正整数列，使得成立.
30．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围：
（2）设，当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围．
31．（2021·河南·高三月考（文））已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·四川省资中县第二中学高三月考（文））已知函数，.
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，证明：.
33．（2021·全国·高三单元测试）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2021·广西·高三开学考试（理））已知a∈R，f '(x)是函数f(x)的导函数，f '(x)＝x2＋（a－2）x，g(x)＝2alnx．
（1）若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直，求f(x)的解析式；
（2）设F(x)＝f '(x)－g(x)，若对任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1>x2，都有F（x1）－F（x2）>a（x1－x2），求a的取值范围．
35．（2021·广东·肇庆市第一中学高三月考）已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x.
（1）若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
试卷第2页，共2页

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