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专题25：导数的高级应用：构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小
命题规律与特点
1.从2020年高考情况来看，导数内容为高考热点，考题难度覆盖难、中、易，选择题、填空题和解答题均有可能出现，分值约为17分.2020年新高卷第21题第(2)问，通过恒成立问题求参数的取值范围，2020年课标1卷理数第21题考査利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导运算法则，这两个题都综合考査了逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.
2.导数内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与不等式关联紧密
3.导数应用题目很灵活，解题方法较多，多采用定义法、公式法、综合法，必要时还要使用放缩法
4.导数重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型分析：
一、构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小
1．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·新疆喀什·）已知定义在上的可导函数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·新疆喀什·）定义在上的偶函数存在导数，且当时，有恒成立，若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．，，
4．（2022·全国·）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·全国·）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·江西·景德镇一中）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A． B． C． D．，
7．（2021·江苏扬州·高三月考）已知且，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（文））已知，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））若，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·海南·高三月考）若，则下列结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
11．（2021·广东茂名·高三月考）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的都有成立，若，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三月考（理））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，不等式恒成立，若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·河南·高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习）若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式正确的是（　　）
A．x1lnx1＜x2lnx2 B．x1lnx1＞x2lnx2
C．x2lnx1＜x1lnx2 D．x2lnx1＞x1lnx2
17．（2021·湖北黄石·高三开学考试）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021·陕西·渭南市瑞泉中学高三月考）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
19．（2021·全国·高三课时练习）已知定义在上的函数满足对，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·宁夏·平罗中学高三月考（理））定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021·江苏·海安市南莫中学高三期中）设定义在上的函数f（x）的导函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
23．（2021·广东·东莞市东华高级中学高三期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2021·广东荔湾·高三期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
25．（2021·全国·高三课时练习）设，是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
26．（2021·全国·高三课时练习）已知函数，在上可导，且，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
27．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·全国·高三学业考试）若满足，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2021·全国·高三课时练习）(多选题)已知定义在上的函数f(x)的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，，其导函数满足，则下列说法正确的有（　　）
A．若x1＜x2，则x1-x2＞f(x1)-f(x2)
B．若x1＜x2，则x1-x2＞f(x2)-f(x1)
C．不等式的解集为
D．方程在上有解
31．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
32．（2021·江苏靖江·高三期中）已知函数在上可导，其导函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．恒大于0
33．（2021·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高三月考）已知函数，若，则t的取值范围是___________.
34．（2021·四川·石室中学高三月考（理））已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为________．
35．（2022·全国·高三专题练习）设为定义在上的奇函数，. 当时，，其中为的导函数，则使得成立的的取值范围是______．
36．（2021·辽宁丹东·高三期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，，，比较，，的大小.
试卷第2页，共2页专题25：导数的高级应用：构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小
命题规律与特点
1.从2020年高考情况来看，导数内容为高考热点，考题难度覆盖难、中、易，选择题、填空题和解答题均有可能出现，分值约为17分.2020年新高卷第21题第(2)问，通过恒成立问题求参数的取值范围，2020年课标1卷理数第21题考査利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导运算法则，这两个题都综合考査了逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.
2.导数内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与不等式关联紧密
3.导数应用题目很灵活，解题方法较多，多采用定义法、公式法、综合法，必要时还要使用放缩法
4.导数重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型分析：
一、构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小
1．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，求导后确定其单调性，原不等式转化为关于的不等式，再利用单调性得解集．
【详解】
设，则，
因为，所以，所以是上的增函数，
，不等式即为，即，
所以，
故选：D．
2．（2021·新疆喀什·）已知定义在上的可导函数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可得，令，根据奇偶性的定义，可得为偶函数，利用导数可得的单调性，将题干条件化简可得，即，根据的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.
【详解】
由，得，
记，则有，即为偶函数，
又当时，恒成立，
所以在上单调递增，
所以由，得，
即，
所以，即，解得，
故选：A.
3．（2021·新疆喀什·）定义在上的偶函数存在导数，且当时，有恒成立，若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．，，
【答案】D
【分析】
首先构造函数，并判断函数的单调性，结合条件，构造为，解抽象不等式.
【详解】
解：是上的偶函数，
令，则，
为偶函数，
当时，，
在上单调递增，①
，
，
，
即，
由①得，展开得，
解得，或，
故选：D．
4．（2022·全国·）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
令，，根据已知条件可得当时，单调递减，且，根据单调性和奇偶性可得时，；当时，，再分情况讨论即可求解.
【详解】
令，，
则对于恒成立，
所以当时，单调递减，
又因为，
所以当时，；此时，所以；
当时，，此时，所以；
又因为是奇函数，
所以时，；当时，；
因为，
所以当时，，解得；①
当时，，解得；②
综合①②得成立的的取值范围为，
故选：A.
5．（2021·全国·）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
原不等式等价于，根据的图象判断函数的单调性，可得和的解集，再分情况或解不等式即可求解.
【详解】
由函数的图象可知：
在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，；当时，；
由可得，
所以或，
即或，解得：或，
所以原不等式的解集为：，
故选：D.
6．（2021·江西·景德镇一中）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（）
A． B． C． D．，
【答案】C
【分析】
利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，结合目标式有，构造并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】
函数的导数为，则，
∴切点为，代入，得，
、为正实数，即，
∴，令且，则，即为增函数，
．
故选：C．
7．（2021·江苏扬州·高三月考）已知且，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，利用导数得出函数单调性，由题可得，，，根据单调性可判断大小.
【详解】
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
画出函数图象如下，
由题可得，，，
，，，则，，，
，，
即，.
故选：A.
8．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（文））已知，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题设，，构造利用导数研究单调性可得，再构造有，利用导数研究其单调性即可判断参数的大小关系.
【详解】
由题设，，，
令，则且，，
∴当时，即递增；当时，即递减；
∴，即，
对于有且，
∴时，，递增；时，，递减；
∴.
故选：A
9．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））若，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用函数在上的单调性可判断AB选项的正误，利用函数在上的单调性可判断CD选项的正误.
【详解】
对于AB选项，构造函数，则，当时，，
所以，函数在上单调递增，
因为，则，即，即，A错，B对；
对于CD选项，构造函数，其中，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数在上不单调，无法比较、的大小，C错，D错.
故选：B.
10．（2021·海南·高三月考）若，则下列结论一定正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合已知条件，首先对求导，进而求出的单调区间即可求解.
【详解】
由题意可得，的定义域为，，
当；，
故在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以与无法确定大小，且，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
11．（2021·广东茂名·高三月考）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的都有成立，若，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的是否连续可判断AB；构造函数，利用导数可得，根据，得到，再判断和1的大小即可得答案.
【详解】
若函数是连续的，则，若函数是不连续的，，也可能．故A，B都不正确．
∵，∴，
令，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
，即
又函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的都有成立，
故函数在和上单调递减，
因为，不妨设，则
，，即
∴．
.
故选：D．
12．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三月考（理））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，不等式恒成立，若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，由奇偶性定义知为偶函数，结合导数和偶函数性质可确定在上单调递减，由指数和对数函数单调性可确定，结合偶函数性质和单调性可得，由此可得大小关系.
【详解】
设，则，为定义在上的偶函数；
当时，，在上单调递增，
由偶函数性质可知：在上单调递减，
，，
又，，
即.
故选：C.
13．（2021·河南·高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，通过导数与单调性的关系可得，化简即可得结果.
【详解】
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，即，
所以，即，即，
故选：A.
14．（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】
构造函数，则，
因为，所以，故，
因此在上单调递增，
所以对于任意的正数，有，即，即，
又因为，所以，结合选项可知B正确，
故选：B
15．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，并利用导数判断的单调性；把要解不等式变形为，根据的单调性即可解出不等式.
【详解】
设，则，
因为对任意，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
又等价于，即，
因为在上单调递增，所以
解得，所以原不等式的解集是.
故选：D.
16．（2022·全国·高三专题练习）若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式正确的是（　　）
A．x1lnx1＜x2lnx2 B．x1lnx1＞x2lnx2
C．x2lnx1＜x1lnx2 D．x2lnx1＞x1lnx2
【答案】C
【分析】
构造函数f（x）＝xlnx，利用导数研究函数的单调性，即可判断选项A，B；构造函数，利用导数研究其单调性，即可判断选项C，D．
【详解】
令，则，
当0＜x＜1时，的正负不能确定，故x1lnx1与x2lnx2的大小不能确定，故选项A，B错误；
令，则，
当0＜x＜1时，，则在上单调递增，
因为0＜x1＜x2＜1，
所以，即，即x2lnx1＜x1lnx2，故选项C正确，选项D错误．
故选：C．
17．（2021·湖北黄石·高三开学考试）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
令，利用导数判断在上的单调性，即可得，，的大小关系.
【详解】
令，可得，
当时，恒成立，
所以在上单调递减，
所以，
即，可得，，
所以，，
所以，，
即，，
所以，
故选：A.
18．（2021·陕西·渭南市瑞泉中学高三月考）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】
根据给定不等式构造函数，探讨函数的单调性，由此判断函数值大小得解.
【详解】
依题意，令，则，
于是得函数在上单调递减，则有，，
即，，
所以，.
故选：D
19．（2021·全国·高三课时练习）已知定义在上的函数满足对，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
引入新函数，求导后确定的单调性，由单调性解不等式.
【详解】
令，，则，
因为，所以，所以函数在上单调递减．
因为，所以，所以，
即，所以且，解得，
所以实数的取值范围为．
故选：D.
【点睛】
易错点睛：应用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质时，首先要考虑函数的定义域，即单调区间、极值点都要在函数的定义域内，本题容易因忽略而出错．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数（），求出导数，根据已知可得在上单调递增，不等式等价于即可求解.
【详解】
根据，得．
设（），则，
则函数在上单调递增，且，
则不等式，可化为，
则，解得.
故选：C．
21．（2021·宁夏·平罗中学高三月考（理））定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
题目考查构造函数解不等式的应用，根据导函数可以构造原函数，并确定原函数的单调性，从而根据单调性解不等式
【详解】
将左右两边同乘得：，
令，则，所以在R上单调递增，且；不等式等价于，即，所以
故选：A
22．（2021·江苏·海安市南莫中学高三期中）设定义在上的函数f（x）的导函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，结合，利用导数判断其单调性求解.
【详解】
设， 则 ，
因为，
所以 ，
则 在 上递减，
又 ，
所以 ，即 ，
所以，
故选：B
23．（2021·广东·东莞市东华高级中学高三期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
令，依题意知为偶函数，且在区间上是减函数，再由，结合条件分别判断四个选项即可．
【详解】
解：偶函数对于任意的满足，
令，则，即为偶函数．
又，故在区间上是减函数，
所以，
即，故B正确；
，故A错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：B．
【点睛】
关键点睛：根据导函数不等式构成函数，利用函数的单调性进行判断是解题的关键.
24．（2021·广东荔湾·高三期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分别构造函数，，利用导数求其在上的单调性，结合得答案．
【详解】
令，则，，
因为函数和在上是增函数，
所以在上也是增函数，
又，，
所以存在，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当，与的大小无法确定，
即与，
所以与的大小无法比较，故A、B错误；
令，则，当时，，所以在上单调递增，
，，即，故C正确，D错误．
故选：C．
25．（2021·全国·高三课时练习）设，是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
由，构函数，再根据的单调性，求得结论．
【详解】
令，则．
由，得，
所以函数在R上单调递增．
当时，有，
又，是定义在R上的恒大于零的可导函数，
所以，．
故选：BC
26．（2021·全国·高三课时练习）已知函数，在上可导，且，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
由条件利用导数判断函数的单调性，根据单调性的性质判断各选项的对错.
【详解】
令，则，
∵，∴，
∴在上是增函数.
由于在上的取值情况不确定，所以无法判断与的大小关系.
故A错误.
当时，，
∴，，，
∴，，.故B，C正确，D错误.
故选：BC.
27．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
A.构造函数，，研究其单调性可得答案；
B.构造函数，，研究其单调性可得答案；
C.构造函数，，研究其单调性可得答案；
D.构造函数，，研究其单调性可得答案；
【详解】
选项A：.
设，.
，又，，
在上存在极值点，
故在上不单调，对于，不成立，A不正确.
选项B：.
设，.
，
∴在上单调递减，∴对，，B正确.
选项C：.
设，.
，
∴在上单调递增，∴对，.C正确；
选项D：.
设，.
，令，，在上存在极值点，故在上不单调，对于，不成立，D不正确.
故选：BC．
28．（2021·全国·高三学业考试）若满足，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
先构造函数，通过求导，再结合已知条件判断出单调性，然后再分析每个选项即可.
【详解】
设，则，因为，
所以，在R上是增函数，因为a是正实数，所以，
所以，即，又，故，大小不确定，故A错误.
因为，所以，即，故B正确.
因为，所以，即，又，
所以，大小不确定，故C错误，D正确.
故选：BD.
29．（2021·全国·高三课时练习）(多选题)已知定义在上的函数f(x)的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】
结合已知可构造，，利用导数研究函数的单调性并结合条件，可判断出在上单调递减，，得出，最后根据函数的单调性及不等式的性质，一一分析各个选项即可判断得出答案．
【详解】
解：令，，
因为，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
因为，则，所以在上恒成立，
结合选项可知，由于，所以，
从而有，即，故选项错误；
因为，则，结合在上单调递减，且，
可知，从而有，
由于，则，可得，故B选项错误；
又因为，所以，从而有，
即，故C选项正确；
又因为，所以，从而有，
即，故D选项正确．
故选：CD．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，，其导函数满足，则下列说法正确的有（　　）
A．若x1＜x2，则x1-x2＞f(x1)-f(x2)
B．若x1＜x2，则x1-x2＞f(x2)-f(x1)
C．不等式的解集为
D．方程在上有解
【答案】AC
【分析】
构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断A，B选项；
不等式化简整理得，利用的单调性解不等式，从而判断C选项；
通过举例，求出的最小值，从而判断D选项．
【详解】
设函数，则，所以在R上单调递增，
若x1＜x2，则F(x1)＜F(x2)，即f(x1)-x1＜f(x2)-x2，所以x1-x2＞f(x1)-f(x2)，故A正确，B错误；
F(0)=f(0)-0＝-1，不等式整理为f(x-1)-(x-1)＞-1，即，
因为单调递增，所以x-1＞0，即x＞1，所以不等式的解集为，故C正确；
不妨取，设，则，
所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以，
即函数g(x)无零点，方程无解，选项D错误．
故选：AC．
31．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，由此可判断各选项的正误.
【详解】
因为，所以，，
又，所以．
构造函数，，
则，所以在上为增函数，
因为，所以，
所以，即，故A正确；
因为，所以，
所以，即，故B错误；
因为，所以，
所以，即，故C错误；
因为，所以，
所以，即，故D正确，
故选：AD.
32．（2021·江苏靖江·高三期中）已知函数在上可导，其导函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．恒大于0
【答案】BCD
【分析】
构造函数,利用导数求出函数的单调性,结合单调性对选项依次判断即可.
【详解】
解:设,
则,
因为,
所以当x>1时,则,
当x<1时,则,
故函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,
则,则g(x)>0恒成立,故D正确;
又,得,得,故A错误;
又,得,得,故B正确;
又,得,得,故C正确.
故选:BCD.
33．（2021·新疆·乌鲁木齐市第二十中学高三月考）已知函数，若，则t的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
首先利用定义判断得到函数为奇函数，从而将不等式转化为，构造，得到，再根据在上为增函数得到，解不等式即可.
【详解】
因为，定义域为，
，所以函数为奇函数.
因为，
所以，
等价于.
设，得.
因为，
所以在上为增函数.
所以，即，解得.
故答案为：
34．（2021·四川·石室中学高三月考（理））已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为________．
【答案】
【分析】
先将不等式转化为，又时，，问题转化为在上递减，所以当时，恒成立，最后参变分离即可求出参数的最大值．
【详解】
解：因为在上恒成立，
令，则，
当时，，则在上单调递减，
，即
所以当时，，
所以在上递减，
所以当时，恒成立，
即时，恒成立，故，
所以实数的最大值为．
故答案为：.
35．（2022·全国·高三专题练习）设为定义在上的奇函数，. 当时，，其中为的导函数，则使得成立的的取值范围是______．
【答案】
【分析】
利用题意构造函数，利用导函数的符号判定函数的单调性，利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，再结合函数的单调性和奇偶性及函数和的关系解不等式.
【详解】
令，
当时，，
即在上单调递增，
因为为上的奇函数，即，
于是得，
则是奇函数，在上单调递增，
又，则，
当时，，得，
当时，，得，
综上，得：或，
所以成立的的取值范围是.
故答案为：.
36．（2021·辽宁丹东·高三期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，，，比较，，的大小.
【答案】（1）在单调递减，在单调递增，在单调递减；（2）.
【分析】
（1）由题求导函数即得；
（2）由函数单调性可得，即，构造函数，再利用导数判断单调性，可得，即得.
【详解】
（1）由题知的定义域为，
∴，
由得，由得，或，
于是在单调递减，在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）可知，即，所以，
设，则当时，
，
∴在单调递减，
所以，即，因此，
综上.
37．（2021·全国·高三专题练习）若x，，，且满足方程：和，求的值．
【答案】1
【分析】
由可变形为，构造函数，然后利用函数的奇偶性和单调性求解.
【详解】
可变形为，
令函数，则两个条件式变为，，即．
因为函数是奇函数，
所以．
又当x，时，，
所以 是单调递增函数，
所以，即，
所以可得．
试卷第2页，共2页

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