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专题27：导数的高级应用：利用函数的极值求参数值
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
求函数极值的步骤：
确定函数的定义域；
求导数；
解方程求出函数定义域内的所有根；
列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
研究含参数的函数的单调性：
①讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；
②利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；
③在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；
④在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.
题型分析：
一、利用函数的极值求参数值
1．（2021·江苏·南京市宁海中学高三期中）已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京育才学校高三月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象如图，则函数的单调递增区间是（ ）
试卷第2页，共2页
A．
B．
C．
D．
4．（2021·山东潍坊·高三期中）已知函数在上是减函数，在是增函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为4
D．当时恒成立，则
5．（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则 B．若函数是偶函数，则
C．若，则函数存在最小值 D．若函数存在极值，则实数的取值范围是
6．（2021·全国·高三月考（理））已知函数的最小值为，函数的零点与极小值点相同，则___________.
7．（2021·全国·高三课时练习）若函数，在处取得极小值，则实数的取值范围是______．
8．（2021·全国·高三课时练习）已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是______．
9．（2021·浙江湖州·高三期中）已知函数的图象与x轴有3个公共点，则c的取值范围是______；若函数在区间上的最大值为2，则m的最大取值为________.
10．（2021·河南·高三期中（理））已知函数在内存在极小值，则实数的取值范围为________.
11．（2021·广东普宁·高三期中）设函数，其中，e是自然对数的底数．若在定义域内有两个极值，求a的取值范围___________．
12．（2021·湖北武昌·高三期末）设函数，其中．若存在极值点，且，其中，则________．
13．（2020·黑龙江实验中学高三月考（理））已知函数，若有3个极值点，则实数的取值范围是_____.
14．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数不存在极值点，求证：.
15．（2021·福建省福州格致中学高三月考）已知函数，.
（1）当时，若直线是函数的图象的切线，求的最小值；
（2）设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的取值范围．
17．（2021·辽宁·抚顺县高级中学校高三月考）设函数.
（1）若是的极值点，求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
18．（2020·天津市第四中学高三月考）已知函数，.
（1）当时，求证：；
（2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围.
19．（2021·北京市八一中学高三开学考试）已知函数，．
（1）若在处取得极值，求的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．
20．（2021·广西河池·高三月考（理））若函数．
（1）当时，证明不等式在上无解；
（2）若有两个不同的极值点，求实数a的范围．
21．（2021·河南焦作·高三期中）已知函数.
（1）若的图像过原点和，且在点处的切线平行于直线，求的解析式；
（2）若在点，处有极值，求的解析式.
22．（2021·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高三月考）若函数，当时，函数有极值．
（1）求函数的极大值；
（2）若方程在上有三个零点，求实数的取值范围．
23．（2021·山东·威海市第一中学高三月考）已知函数，且当时，函数取得极值为．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
24．（2021·陕西安康·高三期末（理））已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，使得在处取得极小值？说明理由．
25．（2021·天津滨海高新技术产业开发区第一学校高三期末）已知函数.
（1）试讨论函数的单调区间；
（2）当时，求函数的极值；
（3）若函数在处取得极大值，求实数a的取值范围.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，且，求的值；
（2）证明：.
27．（2021·浙江·高三期中）已知函数，当时，有极小值.
（1）求的解析式；
（2）设，若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
28．（2021·辽宁铁岭·二模）设函数.
（1）若，求；
（2）当时，，求的取值范围.
29．（2021·安徽宿州·高三期中（理））已知e是自然对数的底数，函数（，且）．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，函数的极大值为，求a的值．
30．（2021·安徽池州·一模（文））已知函数.
（1）若f(x)在x=1处有极值，求实数a的值；
（2）若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.
31．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）若在上有极值点，求的取值范围；
（2）若，时，，求的最大值.
32．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数，a为正实数，若函数的极大值为1.
（1）求a的值；
（2）若对任意的恒成立，求m的取值范围.
33．（2021·山西运城·高三月考（理））已知，函数在处取得极值．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
34．（2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高三月考（理））已知函数，
（1）若，的极大值是，求a的值；
（2）若，在上存在唯一零点，求b的值．专题27：导数的高级应用：利用函数的极值求参数值
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
求函数极值的步骤：
确定函数的定义域；
求导数；
解方程求出函数定义域内的所有根；
列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
研究含参数的函数的单调性：
①讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；
②利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；
③在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；
④在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.
题型分析：
一、利用函数的极值求参数值
1．（2021·江苏·南京市宁海中学高三期中）已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出导函数，由在上有两个不等的实根，再转化为确定函数的单调性与极值，从而得参数范围．
【详解】
，由题意在上有两个不等实根，
，设，则
时，，递增，时，，递减，
所以极大值，又时，，时，，时，，
所以，即．
故选：C．
2．（2021·北京育才学校高三月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出导函数，题意说明有两个不等实根，转化为，设，即直线与的图象有两个交点，求导分析，即得解
【详解】
由题意有两个不等实根，，
设，，
当时，，递增，当时，，递减，
时，为极大值也是最大值，
时，，且，当时，，
所以当，即时，直线与的图象有两个交点，即有两个不等实根．
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象如图，则函数的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由图象知 ，故对函数进行求导，根据 时函数取到极值点知，故可求出，再根据二次函数的单调性即可得答案．
【详解】
由题图可知，，
∵，∴，
由图可知，
∴，解得，
∴
∵，的对称轴为，且开口向上，
∴函数的单调递增区间是.
故选：D.
4．（2021·山东潍坊·高三期中）已知函数在上是减函数，在是增函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最小值为4
D．当时恒成立，则
【答案】ABD
【分析】
根据，即可判断A；利用导数求函数的极值点，分别是0和，由条件可知，代入，即可判断B；求得函数的零点，且满足，，并表示后，利用的取值范围，即可判断C；利用时，的最小值是，不等式转化为恒成立，通过构造函数转化为求函数的最大值，建立不等关系，即可判断D.
【详解】
，由条件可知，，故A正确；
，解得：，，
函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，
所以，解得：
且，得，
，故B正确；
得，
，，
所以
，，
即，即的最小值是，故C错误；
D.不等式恒成立，
即，
设，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，
当时，的最小值是，
若满足不等式恒成立，
则
解得：，结合以上证明，
综上可知：，故D正确.
故选：ABD
5．（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则 B．若函数是偶函数，则
C．若，则函数存在最小值 D．若函数存在极值，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【分析】
对于A、B：利用偶函数的定义求出a，判断A、B;
对于C：直接利用导数判断单调性，求出最小值；
对于D：根据函数由极值点，列不等式组，求出a的范围.
【详解】
对于A、B：函数的定义域为，且，
则，则，
则，故恒成立，故，故A正确，B错误；
对于C：当时，，可得，
令，即，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以C正确；
对于D：，
因为存在极值，则有零点，令，即，
所以，则，即，解得，所以D正确.
故选：ACD
6．（2021·全国·高三月考（理））已知函数的最小值为，函数的零点与极小值点相同，则___________.
【答案】
【分析】
求，由可得的值，求，讨论、、，判断的最值及的单调性，求出的极小值点，由极小值等于即可得的值即可求解.
【详解】
由可得，
因为的最小值为，
所以是的极值点，所以，所以；
当时，，由二次函数的性质可知该函数无极小值点，不符合题意；
由可得，
令，可得或，
当时，，由可得或；由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以的极小值点为，
由题意可得，解得，此时；
当时，当时，，不合题意；
所以.
故答案为：.
7．（2021·全国·高三课时练习）若函数，在处取得极小值，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】
求得，分、和三种情况讨论，求得函数的单调性，结合极小值点的定义进行判定，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域与，
且，，
当时，即时，
令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在取得极大值，不满足题意；
当时，即时，可得恒成立，可得函数在上单调递增，函数不存在极值，不满足题意；
当时，即时，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在处取得极小值，满足题意，
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：．
8．（2021·全国·高三课时练习）已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】
由函数在存在极值，可得方程在有解，由此可求的范围.
【详解】
，令，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以是函数的极大值点．又函数在区间上存在极值，所以，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：.
9．（2021·浙江湖州·高三期中）已知函数的图象与x轴有3个公共点，则c的取值范围是______；若函数在区间上的最大值为2，则m的最大取值为________.
【答案】 2
【分析】
（1）利用导数研究单调性，求出的极值，由题意列不等式组，求出c的取值范围；
（2）利用单调性画出的图像，根据最大值为2，即可求出m的最大值.
【详解】
的导函数，令，解得：，列表得：
x -1 1
+ 0 - 0 +
↗ ↘ ↗
所以，.
要使函数的图象与x轴有3个公共点，
只需，解得：，
即c的取值范围是；
由前面讨论可知，在单增，在单减，在上单增，
图像如图所示：
且当时，.
当时，令，即解得：，所以由图像可以看出：
m的最大取值为2.
故答案为：；2.
10．（2021·河南·高三期中（理））已知函数在内存在极小值，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】
求导得到，令，对二次项系数进行分类讨论即可求出结果.
【详解】
由题意可知（），
令，注意到，
要使在内存在极小值，
若，则，所以在处取得极小值，符合题意；
若，则开口向上，且对称轴，所以只需满足，即；
若，则开口向下，且对称轴，所以只需满足，解得，
综上：的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
11．（2021·广东普宁·高三期中）设函数，其中，e是自然对数的底数．若在定义域内有两个极值，求a的取值范围___________．
【答案】
【分析】
函数在定义域内有两个极值，即导数在定义域内有两个零点，求导，根据导数有两个零点确定参数a的取值范围
【详解】
因为有两个极值点，所以有两个零点，即有两个零点，
令，则，因为恒成立，所以导数的正负取决于分子，
令，显然在定义域内单调递减，且，
所以在区间单调递增，在区间单调递减，且，，，
函数图象如下图所示，所以若有两个交点，则
故答案为：
12．（2021·湖北武昌·高三期末）设函数，其中．若存在极值点，且，其中，则________．
【答案】4
【分析】
求出函数的导函数，联立与化简整理即得.
【详解】
依题意，，因存在极值点，则，即，
由得，
由得，
而，于是得，即，
，从而得，
所以.
故答案为：4
13．（2020·黑龙江实验中学高三月考（理））已知函数，若有3个极值点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】
求导，函数有3个极值点，则有三个解，有三个交点，研究单调性与极值，进而可得答案．
【详解】
，
，
因为函数，若有3个极值点，
有三个解，有三个交点，
设，，
单调性如下表所示：
-3 -1
+ 0 ﹣ 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
极大值，极小值，
当时，有三个交点，有三个根，
即有三个根，
从而有3个极值点，则实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
14．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数不存在极值点，求证：.
【答案】
（1）增区间是和，减区间是
（2）证明见解析
【分析】
（1）先求出并化简，再令和，即可求出单调区间；
（2）将函数不存在极值点转化为无变号零点，再结合单调性即可证明.
（1）
解：当时，，
则
令得：或
令得：
所以的单调增区间是和，单调减区间是
（2）
解：，因为函数无极值点，
故无变号零点，，
令，则，
当时，恒有，
当时，显然是单调增加的，
又因为，，故，使得，即，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，即，又
可得，
又因为，
所以
故
15．（2021·福建省福州格致中学高三月考）已知函数，.
（1）当时，若直线是函数的图象的切线，求的最小值；
（2）设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.
【答案】（1）-1；（2）.
【分析】
（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义即可用表示出，得到的函数关系式，再利用导数判断该函数的单调性即可求出最小值；
（2）根据极值存在的条件，由可得在上有变号根，由函数的单调性和图象即有或，解出不等式组即可求解．
【详解】
（1）设切点坐标为，，切线斜率，又，，
令，
解得，解得，在上递减，在上递增.，的最小值为-1.
（2）因为，，.
设，则
由，得.
当时，，当时，.
在上单调递增，在上单调递减.
且，，.显然.
结合函数图象可知，若在上存在极值，
则或解得
故a的取值范围为.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在内有极值，试判断极值点的个数并求的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）答案见解析，的取值范围为．
【分析】
（1）求导可得，由于当时，恒成立，只需讨论的正负；
（2）转化为在内有解，参变分离可得，令，求导分析单调性可得在的值域为，可得当时，有解，再设，分析极值情况即可.
【详解】
（1）根据题意，函数的定义域为，
则有，
当时，对于任意，恒成立，
令；令；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）若函数在内有极值，则在内有解；
令，解之可得，，
令，则有，
当时，恒成立，即得在上单调递减，
又因为，所以在的值域为，
所以当时，有解，
设，则，；
所以函数在上单调递减，因为，（1），
所以在区间上有唯一解，
即得当时，在上单调递减；
当，时，在，上单调递增，
即得当时，在内有极值且唯一；
当时，在区间上，恒有单调递增，没有极值，不符合题意．
故的取值范围为．
17．（2021·辽宁·抚顺县高级中学校高三月考）设函数.
（1）若是的极值点，求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.
【分析】
（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间；
（2）转化为，分，两种情况讨论即可
【详解】
（1），
，经检验符合条件
，
令，有或，令，有，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立.
综上，.
18．（2020·天津市第四中学高三月考）已知函数，.
（1）当时，求证：；
（2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）求出，令，求出的值，然后利用的正负确定函数的单调性，由函数极值的定义求出函数的极值，即函数的最值，从而得到的取值范围，即可证明；
（2）求出，然后分，和三种情况，分别利用导数判断函数的单调性，结合函数极值的定义分析求解即可.
【详解】
（1）证明：函数，定义域为，
当时，，则，
令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，函数取得唯一的极大值，
故的最大值为0，
所以；
（2）解：函数，则
则，
①当时，，
当时，，则，故单调递增，
当时，，则，故单调递减，
所以当时，取得极大值，符合题意；
②当时，则，
当时，，则，故单调递增，
当时，，，则，故单调递减，
所以当时，取得极大值，符合题意；
③当时，当时，，则，故单调递增，
所以1不是函数的极大值.
综上所述，实数的取值范围为.
19．（2021·北京市八一中学高三开学考试）已知函数，．
（1）若在处取得极值，求的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是；
（2）
【分析】
（1）由，解得令得减区间，得增区间;
（2）关于的不等式在上恒成立，等价于函数的最小值大于等于零，再求导分情况讨论即可
【详解】
（1）由题意知，，且，解得.
此时，
令，解得或，令，解得，则函数的单调递增区间是和，单调递减区间是
（2），
①当时，在上恒成立，
则函数在区间上单调递增，
∴当时，，故
②当时，令，解得，令，解得，
则函数在区间上单调递减，在上单调递增，
，即，故；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了根据极值求参数、利用导数求解函数单调性的问题，同时也考查了利用导数分析恒成立问题，属于中档题
20．（2021·广西河池·高三月考（理））若函数．
（1）当时，证明不等式在上无解；
（2）若有两个不同的极值点，求实数a的范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先求出，得出其单调性，从而得到的最小值，得到，使得问题得证.
(2) 由，有两个不同的极值点，则在有2个不同的实数根，由二次方程根的分布条件得出答案.
【详解】
（1）时，，
∴在上为增函数，
，即．
∴在无解．
（2），
若函数有两个不同的极值点，设
则在有2个不同的实数根．
故，解得．
实数a的范围是
21．（2021·河南焦作·高三期中）已知函数.
（1）若的图像过原点和，且在点处的切线平行于直线，求的解析式；
（2）若在点，处有极值，求的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由的图像过原点得，求出函数得导函数，根据在点处的切线平行于直线，则在点处得导数值为2，根据，，列出方程组，即可求得，从而得出的解析式；
（2）由在点，处有极值，则，即可求得，再根据，求得，经检验即可得出结论.
【详解】
（1）由函数的图像过原点，可得，
则，所以，
依题意可得，，
即解得
则.
（2）.
令解得
再由，可得，
所以.
则，
则，，，，
所以在递增，在递减，
所以在点，处有极值，符合题意.
故.
22．（2021·江苏·南京航空航天大学附属高级中学高三月考）若函数，当时，函数有极值．
（1）求函数的极大值；
（2）若方程在上有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数、的值，从而求出函数的解析式，即可利用导数求出函数的单调区间，从而求出极大值；
（2）由（1）可知函数的单调性，求出函数的极值与区间端点函数值，画出函数图象，依题意与在上有3个交点，数形结合即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）因为
所以
由题意知，
解得，
所以所求的解析式为；
所以
令，解得或，
当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，所以，
（2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
函数图象如下所示：
因为方程在上有三个零点，即与在上有3个交点，
由函数图象可知，即
23．（2021·山东·威海市第一中学高三月考）已知函数，且当时，函数取得极值为．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据，可得可得结果；
（2）先化简方程得，再利用导数研究函数在上单调性，结合函数图象确定条件解得结果.
【详解】
（1），
由题意得，，即，
解得，
∴.
（2）由有两个不同的实数解，
得在上有两个不同的实数解，
设，
由，
由，得或，
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
由题意得，即，
解得，即的取值范围是.
24．（2021·陕西安康·高三期末（理））已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，使得在处取得极小值？说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，，理由见解析.
【分析】
（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，根据单调性求出时在处取得极小值.
【详解】
（1），
时，，，
∴在处的切线方程为．
（2）假设存在a，使得在处取得极小值.
显然是的极小值点的必要条件为，即，
此时，，
，则，
显然在递增，，，
且当，易得，当时，易得，
∴存在唯一的零点，且，
∴在递减，递增，∵，，
∴在存在唯一的零点，
当时，，
∴在递增，在递减，在递增，
∴当时，是的极小值点．
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
25．（2021·天津滨海高新技术产业开发区第一学校高三期末）已知函数.
（1）试讨论函数的单调区间；
（2）当时，求函数的极值；
（3）若函数在处取得极大值，求实数a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2），；（3）.
【分析】
（1）求导得，分三种情况：当时，当时，当时，分析的正负，的单调性，即可得出答案.
（2）当时，，求导得，分析单调性，即可得出的极值.
（3）由（1）可知，可得的极值，进而可得a的取值范围.
【详解】
解：（1），
当时，，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
当时，若，
①时，即时，在上，单调递增，
在上，单调递减，
②时，即时，在上，单调递增，
③时，即时，在上，单调递增，
在上，单调递减，
若，
时，即时，在上，单调递减，
在上，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，.
（3）由题意可知，函数在处取得极大值，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以处取得极大值，符合题意，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以处取得极小值，不符合题意；
当时，在上单调递增，没有极值，不合题意，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以处取得极大值，符合题意，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
所以处取得极大值，符合题意，
综上所述a的取值范围为.
【点睛】
（1）导数的应用主要有：①利用导函数几何意义求切线方程；②利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；③利用导数求参数的取值范围.
（2）研究含参数的函数的单调性：
①讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；
②利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；
③在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；
④在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）若，且，求的值；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意知， ，对a讨论，
利用倒数研究单调性和最值，求出；
（2）证明：根据待证式子的结构，由（1）可构造，易得，令，则，即，对n分别取1,2，3……n后累加法即可证明.
【详解】
（1）由题意知，
，
当时，，所以在上递减，又，所以不符合题意；
当时，令，所以在上递减，上递增，
所以，令，
则，
当时，，所以递增；
当时，，所以递减，
所以，而，
所以.
（2）证明：由（1）知，当时，，
所以，
令，则，即，
所以，，…，，
累加得
，又，所以，
所以，.
【点睛】
（1）求极（最）值需研究函数的单调性；
（2）利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.
27．（2021·浙江·高三期中）已知函数，当时，有极小值.
（1）求的解析式；
（2）设，若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据函数存在极小值的条件列出方程组，即可解出；
（2）依题可知，在单调递增，转化为在上恒成立，然后分参转化为对恒成立，求出在上的最大值，即可解出．
【详解】
（1）由函数，所以：，
因为在时有极小值，
所以：从而得或，
①当时，，此时：，
当时，，当时，，
∴在时有极小值，符合题意.
②当时，，不合题意，舍去，
∴所求的.
（2）∵，恒成立，
所以在单调递增，
则，即对恒成立，
令，可得，
令，即，解得，
令，即，解得或，
所以在单调递增，在单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，即实数的取值范围.
28．（2021·辽宁铁岭·二模）设函数.
（1）若，求；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导得函数单调性，利用单调性求得最值得解
（2）分类讨论时，显然成立，时由放缩化简得解
【详解】
（1）定义域为，.
因为，，故，所以.
此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.
综上.
（2）时，等价于.①
若，①式成立.
若，由（1）可知，所以.
当时，.①不成立.
综上的取值范围为.
【点睛】
熟练掌握利用函数的导数解决函数的单调性及最值问题是解题关键
29．（2021·安徽宿州·高三期中（理））已知e是自然对数的底数，函数（，且）．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，函数的极大值为，求a的值．
【答案】（1）增区间为；减区间为 .
（2）.
【分析】
（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）先求得的极大值，解方程可得的值.
【详解】
（1）显然，的定义域为.
对求导得，当时，，
由得或；由得.
所以，的增区间为；减区间为.
（2）由（1）知，，令得或2，又，所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，在处有极大值，令，得.
【点睛】
方法点睛：
（1）求函数单调区间的方法步骤：
① 求定义域；
② 求导函数；
③ 结合定义域解不等式：由得增区间；由得减区间.
（2）求函数极值的方法步骤：
① 求定义域；
② 求导函数；
③ 解方程，得；
④ 检查在左右两侧的符号，若左负右正，则在处有极小值；若左正右负，则在处有极大值.
30．（2021·安徽池州·一模（文））已知函数.
（1）若f(x)在x=1处有极值，求实数a的值；
（2）若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，由解出实数a的值，并代入求出单调性检验即可；
（2）当a≤0时，f(x)在上单调递減，不合题意；当a>0时，可得函数唯一的极大值，构造函数，利用导数得出单调性解出不等式，可得a的取值范围．
【详解】
（1）函数定义域为，
，
在x=1处取到极值，∴，解得a=1
.
当0当x>1时，，f(x)在上单调递减，
因此f(x)在x=1处取得极大值，故a的值为1
（2）∵x>0，，
当a≤0时，f(x)在上单调递減，不可能有两个零点；
当a>0时，f(x)在(0，a)上是増函数，在上是减函数，
∴是函数f(x)的最大值，
当f(a)≤0时，f(x)最多只有一个零点，显然不符合题意，
，
令，
由得x>1，因此g(a)在上单调递增
同理可得g(a)在(0，1)上单调递减，又g（1）=0，
∴g(a)0(当且仅当a=1时等号成立)
因此由，可得a>0且a≠1
又x→0且x>0时，；时，
(或分类讨论：当01时，(此处有)
∴f(x)在(0，a)和上都仅有一个零点
∴a的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数在单调性，极值和零点中的应用，解决本题的关键点是分和两种情况分别判断函数的单调性，列出不等式并构造新函数，利用导数得出函数的最值，进而解出不等式，得出参数范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）若在上有极值点，求的取值范围；
（2）若，时，，求的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为3.
【分析】
（1）把在上有极值点，令，转化为在有实根，利用零点存在定理求出的取值范围；
（2）先把x的区间讨论，可以看出恒成立，然后只需对区间讨论，转化为，研究的单调性，得到的最大值为3.
【详解】
解：（1），
依题意，有变号零点，令，则，
所以在有实根，注意到，
所以，解得，即.
（2），，
当时，，显然成立；
当时，，所以.
记，
则恒成立，，，在单调递增，，
若，则，记，，则，
所以存在，使得，当时，，单调递减，
所以时，，不符题意，
当时，，即时，单调递增，
所以，，符合题意，
当时，，
由，，所以，
而时，，所以成立，
综上所述，的最大值为3.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
32．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数，a为正实数，若函数的极大值为1.
（1）求a的值；
（2）若对任意的恒成立，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，可得当时，取得极大值，所以由函数的极大值为1，可得，从而可求出a的值；
（2）由对恒成立，得对恒成立，由不等式可得，所以转化为恒成立，构造函数，利用导数求其最小值，从而可求出m的取值范围
【详解】
解：（1）由题意，
因为时，令函数，
得到，则在上单调递增；在上单调递减，
所以的极大值为，可得
（2）由对恒成立，即对恒成立，
由不等式可得，
当时，，即，由，有，
记，则，，故在上单调递增，，
则，结合，所以，所以m的取值范围为.
33．（2021·山西运城·高三月考（理））已知，函数在处取得极值．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）减区间为， 增区间为（2）．
【分析】
（1）求出定义域后，根据函数在处取得极值可求得，再根据解得增区间，由解得减区间；
（2）由分离参数可得，，构造，求出函数的最小值，即可得到实数的取值范围．
【详解】
（1）函数的定义域为，，
由题意，，∴，即．
由得，由得，
故函数的减区间为， 增区间为．
（2），令，则成立．，由，得，由，得，
故在上递减，在上递增，
∴，即．
34．（2021·云南·曲靖市沾益区第四中学高三月考（理））已知函数，
（1）若，的极大值是，求a的值；
（2）若，在上存在唯一零点，求b的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，根据定义域，分析导函数的零点情况，对实数进行分类讨论，根据函数的极值的条件，求得的值；（2）利用导数研究函数的单调性，结合唯一零点的条件得到等式，化简即可求得的值.
【详解】
（1）若，则
的定义域为，．
若，，在定义域内单调递增，无极大值；
若，，单调递增；，单调递减．
时，取得极大值，
．
（2）若，则，
令，得，
当时，有唯一解，即，
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
又因为有且只有1个零点，所以．
即．
因为，，整理可得故．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值问题和零点问题，属基础题，难度一般，关键点在于(1)中的分类讨论，（2）中的的根的设而不求的思想.
试卷第1页，共3页

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