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专题26：导数的高级应用：利用导数求解函数极值
命题规律与特点
1.从2020年高考情况来看，导数内容为高考热点，考题难度覆盖难、中、易，选择题、填空题和解答题均有可能出现，分值约为17分.2020年新高卷第21题第(2)问，通过恒成立问题求参数的取值范围，2020年课标1卷理数第21题考査利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导运算法则，这两个题都综合考査了逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.
2.导数内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与不等式关联紧密
3.导数应用题目很灵活，解题方法较多，多采用定义法、公式法、综合法，必要时还要使用放缩法
4.导数重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
利用导数求解函数极值
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型分析：
一、利用导数求解函数极值
1．（2021·河南南阳·高三期中（理））对于函数.下列说法正确的是（ ）
A．函数有极小值，无极大值 B．函数有极大值，无极小值
C．函数既有极大值又有极小值 D．函数既无极大值又无极小值
2．（2021·河南驻马店·高三月考（理））已知，函数的零点为的极小值点为则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，，则函数的极大值之和为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数有极小值也有最小值
B．函数存在两个不同的零点
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
5．（2021·江西·景德镇一中高二期中）设函数满足则时满足（ ）
A．既无最极大值也无最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．既有最大值也有最小值
6．（2021·全国·高二单元测试）已知为函数的导函数，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上有极大值 D．在上有极小值
7．（2021·全国·高二课时练习）（多选）函数（），我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即（）为初等函数．对于初等函数（）的说法正确的是（ ）
A．无极小值 B．有极小值1
C．无极大值 D．有极大值
8．（2021·全国·高二课时练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C．的极小值点为 D．
9．（2021·海南·高三月考）已知，函数，则以下结论正确的是（ ）
A．的两极值点之和等于 B．的两极值点之和等于
C．的两极值之和等于 D．的两极值之和等于
10．（2021·全国·高三月考）若函数有两个极值点，（），则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·辽宁·凤城市第一中学高三月考）已知函数，函数，下列选项正确的是（ ）
A．点是函数的零点 B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
12．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数，（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
13．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值；
B．对于，恒成立；
C．若，则；
D．若对于恒成立，则a的最大值为．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知为函数的导函数，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上有极大值
D．在上有极小值
15．（2021·重庆市两江中学校高二月考）已知，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x－1
B．单调递减区间为
C．f（x）的极大值为
D．方程f（x）＝－1有两个不同的解
16．（2021·江苏·灌云县第一中学高三月考）已知函数，则当时的极大值为__________，若在（，为自然对数的底）的最大值为，则实数的值为__________.
17．（2021·四川成都·高三月考（文））已知函数，下列命题中：
①在其定义域内有且仅有个零点；
②在其定义域内有且仅有个极值点；
③，且，使得；
④当时，函数的图像总在函数的图像的下方．
其中真命题有________．（写出所有真命题的序号）
18．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））已知函数和，若的极小值点是的唯一极值点，则k的最大值为____.
19．（2021·四川成都·高三月考（理））已知关于的方程，有且仅有一个解，令则下列结论中正确的序号是___________.（写出全部正确结论的序号）
①.；
②.在区间上单调递减；
③.是的零点；
④. 是的极小值，是的极大值点.
20．（2021·云南玉溪·高三月考（理））关于函数，有如下四个结论：
①函数不仅有极小值也有极大值；
②的在处的切线与垂直；
③若函数有三个零点，则；
④若时，，则的最小值为3．
其中所有正确结论的序号是______．
21．（2021·山东师范大学附中高三月考）已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.
22．（2021·全国·高三月考（理））已知，函数.
（1）证明：在上有唯一的极值点；
（2）当时，求在上的零点个数.
23．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数存在一个极大值点和一个极小值，则是否存在实数，使得成立？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．
24．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
25．（2021·山东·高三月考）设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
26．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2），，使成立，求的取值范围.
27．（2021·吉林吉林·高三月考（文））已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
28．（2021·全国·高二单元测试）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求a的取值范围．
29．（2021·全国·高二单元测试）已知函数，且的图象在点处的切线与直线垂直．
(1)求a的值及的极值；
(2)是否存在区间，使得函数在此区间上存在极值和零点 若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
30．（2021·四川新都·高三月考（文））已知函数，，．
（1）求的极值；
（2）若对任意的，，当时，恒成立，求实数的最大值；
31．（2021·全国·高二课时练习）已知函数(为自然对数的底数)，函数.
(1)求函数的极小值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
32．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围．
33．（2021·福建·三明市第二中学高三月考）已知函数，，其中.
（1）求的极值；
（2）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围.
34．（2021·山东·广饶一中高三月考）已知.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求的极值点以及极值 最值点以及最值.
35．（2021·北京·新农村中学高三开学考试）已知函数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
36．（2021·河南·高二期末（理））已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值及函数的图象在点处的切线的方程；
（2）求函数的极小值.
37．（2021·重庆开州·高三月考）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
38．（2021·安徽·六安一中高二月考（理））已知函数，．
（1）求的极值；
（2）若函数与的图象有两个公共点，求a的取值范围．
39．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）已知函数
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若存在极小值点，证明．
40．（2020·安徽·立人中学高二期末（理））设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）是否存在实数，使有两个零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
试卷第2页，共2页专题26：导数的高级应用：利用导数求解函数极值
命题规律与特点
1.从2020年高考情况来看，导数内容为高考热点，考题难度覆盖难、中、易，选择题、填空题和解答题均有可能出现，分值约为17分.2020年新高卷第21题第(2)问，通过恒成立问题求参数的取值范围，2020年课标1卷理数第21题考査利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导运算法则，这两个题都综合考査了逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.
2.导数内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与不等式关联紧密
3.导数应用题目很灵活，解题方法较多，多采用定义法、公式法、综合法，必要时还要使用放缩法
4.导数重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
利用导数求解函数极值
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型分析：
一、利用导数求解函数极值
1．（2021·河南南阳·高三期中（理））对于函数.下列说法正确的是（ ）
A．函数有极小值，无极大值 B．函数有极大值，无极小值
C．函数既有极大值又有极小值 D．函数既无极大值又无极小值
【答案】A
【分析】
求出函数的导函数，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案.
【详解】
解：，
令，，
则，
因为，所以舍去，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以函数有极小值，无极大值.
故选：A.
2．（2021·河南驻马店·高三月考（理））已知，函数的零点为的极小值点为则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先判断出的范围，再求出即可比较出三者的大小关系.
【详解】
因为
所以，因为，所以.
令，得.
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，又因为，所以，故.
故选：B
3．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，，则函数的极大值之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求，由导数判断单调性，即可得极大值点，再由等比数列求和公式即可得极大值之和.
【详解】
由
可得，
令即，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
因为，所以，可得，
所以函数的极大值之和为
，
故选：B.
4．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数有极小值也有最小值
B．函数存在两个不同的零点
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
【答案】C
【分析】
先求导，通过导函数的单调性分析出原函数大致图象，然后画出图象，结合图象来分析每一个选项即可求出答案.
【详解】
由，得，
令，则或，当或时，；当时， ，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，有极大值，
当时，， 当时，，
故函数的图象如图，
由图像可知A，B，D正确，C错误.
故选：C
5．（2021·江西·景德镇一中高二期中）设函数满足则时满足（ ）
A．既无最极大值也无最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．既有最大值也有最小值
【答案】A
【分析】
通过构造函数法，结合已知条件以及导数求得，由此确定正确选项.
【详解】
依题意函数满足，
所以，构造函数，则，
，
由得，
令，则，
所以在区间上导数小于，递减；在区间上导数大于，递增.
所以的最小值为，
所以，故在上恒成立，所以在上递增，既无最极大值也无最小值.
故选：A
6．（2021·全国·高二单元测试）已知为函数的导函数，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上有极大值 D．在上有极小值
【答案】ABC
【分析】
将变形得（），构造函数，结合导数讨论正负，即可求出单调性和极值.
【详解】
由，可知，则，即．
设，则由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值．
故选：ABC．
7．（2021·全国·高二课时练习）（多选）函数（），我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即（）为初等函数．对于初等函数（）的说法正确的是（ ）
A．无极小值 B．有极小值1
C．无极大值 D．有极大值
【答案】AD
【分析】
根据材料，把函数改写为复合函数的形式，求导，分析导函数正负，研究极值，即得解
【详解】
根据材料知，
所以．
令，得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以有极大值，无极小值
故选：AD．
8．（2021·全国·高二课时练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C．的极小值点为 D．
【答案】AD
【分析】
的定义域为，求判断单调性，求得极值可判断A，C；根据单调性以及可判断B、D，进而可得正确选项.
【详解】
由题意可得函数的定义域为，
由可得，
令，解得：
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递堿．
所以当时，函数取得极大值为，无极小值，
故选项A正确，选项C不正确；
因为，且在上单调递增，
所以函数在上有一个零点．
当时，，，所以，此时无零点．
综上所述：有一个零点，故B不正确；
因为，在上单调递增，所以，
故选项D正确．
故选：AD．
9．（2021·海南·高三月考）已知，函数，则以下结论正确的是（ ）
A．的两极值点之和等于 B．的两极值点之和等于
C．的两极值之和等于 D．的两极值之和等于
【答案】AC
【分析】
求，设的两根分别为和，由和求出单调区间和极值点，计算的值可判断AB；计算，结合立方和公式计算的值可判断CD，进而可得正确选项.
【详解】
由可得，
因为，所以，
设的两根分别为和，
则，，
由可得：或，由可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
所以在时取得极大值，在时取得极小值，
所以，的两极值点之和等于2，故选项A正确，选项B不正确；
因为，
，
的两极值之和为
，故选项C正确，选项D不正确，
故选：AC.
10．（2021·全国·高三月考）若函数有两个极值点，（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
在同一坐标系下作出函数的图象，则两函数的图象有两个交点,数形结合分析得到所以，所以选项A正确；
利用零点定理证明，所以选项B正确；
求出，再求二次函数的值域即得选项C正确；
因为，所以选项D错误.
【详解】
由题得，
令，
在同一坐标系下作出函数的图象，则两函数的图象有两个交点.
函数的图象是过定点的直线.
设直线和曲线切于点，则.
所以两个函数的图象要有两个交点，则.
由于切点为，所以所以，所以选项A正确；
设，
所以，因为，所以，
当时，，所以，所以选项B正确；
由题得
由题得，
二次函数开口向下，对称轴为，
所以函数在定义域内单调递增，
所以，所以.
所以. 所以选项C正确；
由图象可知函数在单调递增，在单调递减，在单调递增.
因为，所以选项D错误.
故选：ABC
11．（2021·辽宁·凤城市第一中学高三月考）已知函数，函数，下列选项正确的是（ ）
A．点是函数的零点
B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】
A.利用函数的零点定义判断；B．利用导数法判断函数的单调性；C.利用导数法判断；D.利用函数的单调性和函数的极值判断.
【详解】
如图所示：
A.0是的零点，但零点不是一个点，故错误；
B．当时，，则时，递减，当时，递增，所以时，，
当时， ，则时，递减，当时，递增，
所以当时，，故正确；
C.由B知：，故正确；
D.若关于的方程有两个不相等的实数根，
即有一个不等于零的实数根，
即与的图象有一个交点，且，
，当时，，则当或 时，递增，当时，递减
，所以极大值为，极小值为，
当时，，则当时，递减，当时，递增，
所以极小值为，
综上： 或，即 或，
所以实数的取值范围是，故错误；
故选：BC
12．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数，（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
首先利用函数的求导求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值，再利用函数的零点和方程的根的关系式求出函数有两个零点，进一步利用函数的单调性和函数的值比较出函数的大小关系，最后利用函数的恒成立问题的应用求出最后结果．
【详解】
解：易知函数的定义域为，
，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，A正确；
令，则，即，故只有一个零点，B错误；
显然，因此，易知，，
设，则，当时，，单调递减，而，所以，即，所以，所以，C正确；
令（），则，当时，，当时，，所以在处取得极大值也是最大值，因为在上恒成立，所以，D正确.
故选：ACD.
13．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值；
B．对于，恒成立；
C．若，则；
D．若对于恒成立，则a的最大值为．
【答案】BCD
【分析】
先对函数求导，根据判定选项A错误；再由导数的方法研究函数单调性判定选项B正确；构造函数，由导数的方法研究其单调性，即可判断C选项正确；根据的单调性，可得到，再令，即可判断D选项正确.
【详解】
对于A：因为，
所以，
所以，所以不是函数的极值点.
故选项A错；
对于B：若，则，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递减；
因此.
故B正确；
对于C：令，
则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
因此函数在上单调递减；
又，所以，
即，所以.
故C正确；
对于D：因为函数在上单调递减；
所以函数在上也单调递减，
因此在上恒成立；
即在上恒成立，
即a的最大值为.
故D正确.
故选：BCD.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知为函数的导函数，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在上有极大值
D．在上有极小值
【答案】BD
【分析】
首先根据题意设，得到，再求出的单调性和极值即可得到答案.
【详解】
由，可知，则，
即，设.
由得，
由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值.
故选：BD.
15．（2021·重庆市两江中学校高二月考）已知，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x－1
B．单调递减区间为
C．f（x）的极大值为
D．方程f（x）＝－1有两个不同的解
【答案】AC
【分析】
对求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项；利用导数分析函数的单调性，极值可判断选项B、C；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选项D．
【详解】
因为，所以函数的定义域为
所以，，，
∴的图象在点处的切线方程为，
即，故A正确；
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，故B错误，
的极大值为，故C正确；
方程的解的个数，即为的解的个数，
即为函数与图象交点的个数，
作出函数与图象如图所示：
由图象可知方程只有一个解，故D错误.
故选：AC.
16．（2021·江苏·灌云县第一中学高三月考）已知函数，则当时的极大值为__________，若在（，为自然对数的底）的最大值为，则实数的值为__________.
【答案】
【分析】
利用导数分析函数在区间上的单调性，可求得函数在区间上的极大值；分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，或作出函数在上的图象，可得出，再结合已知条件可求得实数的值.
【详解】
，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，当时，函数的极大值为，
，，作出函数的图象如下图所示：
①当时，，
此时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
当时，，解得，合乎题意；
②当时，作出函数的图象如下图所示：
，，，
因为，，
所以，，可得（舍）.
综上所述，.
故答案为：；.
17．（2021·四川成都·高三月考（文））已知函数，下列命题中：
①在其定义域内有且仅有个零点；
②在其定义域内有且仅有个极值点；
③，且，使得；
④当时，函数的图像总在函数的图像的下方．
其中真命题有________．（写出所有真命题的序号）
【答案】①②③④
【分析】
利用导数求得的单调区间和极值，即可判断②的正误，分析时和时，图象的变化趋势，即可判断①的正误；根据的单调性以及其大致图像，即可判断③的正误，设，得出其单调性，可判断选项④，即可得答案.
【详解】
由题意得：，
令，解得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
对于②：因为只有一个极大值，为，无极小值，所以②正确；
对于①：当时，，所以，
当，，且的增长速度高于的增长速度，
所以当时，，
又，，当时，
所以存在唯一零点，所以①正确；
对于③：由①②可得，只有一个极大值，为，且在上单调递增，在上单调递减，
如图所示，，且使得=，所以③正确
对于④：设
则，
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，，即，所以④正确.
故答案为：①②③④
18．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））已知函数和，若的极小值点是的唯一极值点，则k的最大值为____.
【答案】##
【分析】
利用导数求出的单调性和极小值点，然后，然后可得或恒成立，然后可求出答案.
【详解】
由可得
所以当或时，，当时，
所以的极小值点是2
由可得
因为的唯一极值点为2，所以或恒成立
所以或在上恒成立
因为在上单调递减，在上单调递增，当时
所以
故答案为：
19．（2021·四川成都·高三月考（理））已知关于的方程，有且仅有一个解，令则下列结论中正确的序号是___________.（写出全部正确结论的序号）
①.；
②.在区间上单调递减；
③.是的零点；
④. 是的极小值，是的极大值点.
【答案】①②③
【分析】
对方程两边取对数，令，利用导数得出的单调性，从而得出，再利用导数求出的单调性，进而判断②③④.
【详解】
方程只有一个根，两边取对数，得，即只有一个正根
设，
当时，，单调递增，且时，
当时，，单调递减，此时，即
要使得只有一个正根，则或
因为，所以，故①正确；
，令，即
两边取对数，得，易知和是此方程的根
设
当时，单调递增，当时，单调递减
所以是极大值，又，所以有且只有两个零点
当或时，，即，即，则
同理，当时，，所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以极小值为，极大值为，且
故②③正确，④错误
故答案为：①②③
20．（2021·云南玉溪·高三月考（理））关于函数，有如下四个结论：
①函数不仅有极小值也有极大值；
②的在处的切线与垂直；
③若函数有三个零点，则；
④若时，，则的最小值为3．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【分析】
由已知可得，利用导数研究函数的单调性极值，进而判断出正误．
【详解】
由已知，
则
当x＜﹣3或x＞3时，＜0，﹣3＜x＜3时，＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）上递减，在（﹣3，3）上递增，
f（x）极小值f（﹣3）＝﹣4e3，f（x）极大值为，①正确；
在处的切线斜率k1＝，直线9y﹣x+1＝0斜率，k1k2≠﹣1，两直线不垂直，②错误；
当 时，，当时，，若f（x）＝k有三个实根，则，③正确；
若x∈[0，t]时，，则t≥3，t的最小值为3，故④正确．
故答案为：①③④
21．（2021·山东师范大学附中高三月考）已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】
（1）极大值，极小值
（2）答案见解析
【分析】
（1）当时，，求导，令可得极值点和极值；
（2），对分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．
（1）
当时，
，
令得或.
0
+ 0 - 0 +
∴时，有极大值，
时，有极小值.
（2）
，
∵，∴.
（1）当时，有，
当，，在上单调递增.
（2）当时，令，得.
①当，即，有，
从而函数在上单调递增.
②当，即时，
当，，单调递减；
当，，单调递增.
综上，时，在上单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
22．（2021·全国·高三月考（理））已知，函数.
（1）证明：在上有唯一的极值点；
（2）当时，求在上的零点个数.
【答案】
（1）证明见解析
（2）2个
【分析】
(1)对函数求导，记，，利用导数讨论的单调性，进而得到的单调性，结合零点的存在性定理即可得出结论；
(2)利用导数讨论函数的单调性，结合零点的存在性定理对区间分类讨论即可.
（1）
证明：，
记，，
则.
由得在上恒成立，从而在上为增函数，
并且，.
根据零点存在性定理可知，存在唯一的使得，
并且当时，，当时，.
由于，因此当时，，
当时，，当时，，
所以是在上唯一的极值点.
（2）
当时，，并且根据（1）知
存在使得在上为减函数，在上为增函数.
由于，从而.
由于，，
根据零点存在性定理可知，在上存在唯一的零点，在上无零点；
当时，，
因此函数在上无零点；
当时，记，则，
所以在上为减函数，所以，
即对恒成立.
因此当时有，
因此，结合知函数在上存在唯一的零点，
在上无零点.
综上所述，函数在上共有2个零点.
23．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数存在一个极大值点和一个极小值，则是否存在实数，使得成立？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．
【答案】
（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）不存在实数，使得成立．
【分析】
（1）先求导，令求出增区间，令求出减区间；
（2）求导分析可得方程有两个不等实根，求出的取值范围，再根据解出的值，即可求解.
（1）
解：当时，，，
令，解得或，
当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）
解：，
因为函数有两个不同的极值点，即有两个不同的零点，
则方程有两个不等实根，
一方面，解得，此时，
不妨设，则随着变化时，和的变化情况如下表：
， ，
0 0
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，即是极大值，是极小值．
另一方面，．
因为
，
所以，不满足，
故不存在实数，使得成立．
24．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）存在，.
【分析】
（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极值；
（2）分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值.
【详解】
（1）函数定义域为，，其中，
由，得；由，得.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，函数的极小值为，无极大值；
（2）①当时，即时，函数在上为增函数，
故函数的最小值为，显然，故不满足条件；
②当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，
故函数的最小值为，
令，，则，
其导函数，可知在单调递增，
因为，有，可得不符合题意；
③当时，即时，函数在上为减函数，
故函数的最小值为，由，得满足条件.
综上所述：存在符合题意.
25．（2021·山东·高三月考）设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的极小值；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为；（2）.
【分析】
（1）由题干条件可得切线的斜率为，即，可得，代入导函数，分析即得解；
（2）构造函数，题干条件可转化为在上单调递减，求导，转化为在上恒成立，参变分离即得解.
【详解】
（1）因为，则.
曲线在点处的切线与直线平行，此切线的斜率为，
即，解得，则，
，
由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，故的极小值为；
（2）对任意，恒成立等价于：对任意，
恒成立，
设，
则对任意，，即，
所以，函数在上单调递减，
在上恒成立，
在上恒成立，，
故实数的取值范围是.
26．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2），，使成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）.
【分析】
（1）求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性，从而求得函数的极值；
（2）由（1）中求得函数的值域，再对函数求导函数，讨论分析导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由已知建立不等式，求解可得所求的范围.
【详解】
解：（1）因为，所以，且定义域为，
令，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
- + -
极小值 极大值
因此，当，有极小值，极小值为；当，有极大值，极大值为.
（2）由（1）知，在上，函数单调递减，所以，
即在上，因为，所以，，
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，当时，取最小值，，当时，，所以，若，，使得成立，等价于，即，所以，解得，，又，
所以的取值范围为.
27．（2021·吉林吉林·高三月考（文））已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值，极大值为；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）函数有三个零点等价于函数与函数的图像有三个公共点.
由（1）可知函数的单调性与极值，从而得到函数图象，即可求出参数的取值范围；
【详解】
（1）当时，函数，所以，
令解得：或.
当时，，即函数在上是减函数.当时，，函数在上是增函数.
当时，，函数在上是减函数.
所以当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值为.
（2）函数有三个零点等价于函数与函数的图像有三个公共点.
由（1）可知：当时，，当时，，并且函数的极小值为，极大值为，函数图象如下所示：
所以.即实数的取值范围是.
28．（2021·全国·高二单元测试）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）的极大值为，极小值为；（2）．
【分析】
（1）利用导数求解函数的极值即可.
（2）首先利用导数求出函数的最小值，从而得到，再解不等式即可.
【详解】
（1）当时，，
，
令，解得或．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的极大值为，极小值为．
（2）．
令，即，解得或．
因为，所以当x变化，，的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当时，有，，，
所以，从而．
又函数在处取得极小值，
所以为函数在R上的最小值．
因为不等式对恒成立，
所以，解得．
所以a的取值范围是．
29．（2021·全国·高二单元测试）已知函数，且的图象在点处的切线与直线垂直．
(1)求a的值及的极值；
(2)是否存在区间，使得函数在此区间上存在极值和零点 若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，极大值1，无极小值；(2)存在，．
【分析】
(1)结合已知条件，首先求出，然后利用两直线垂直关系即可求出，然后利用导函数求出的单调区间，进而求得极值；(2)结合(1)中结论，求出零点存在的大致区间，再结合已知条件即可求解.
【详解】
(1)由，得，
因为的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
所以，令，得，
因为当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故在处取得极大值1，无极小值．
(2)由(1)，知在上单调递减，且，
又在上单调递增，且，，
所以由零点存在定理，得在区间内存在唯一零点．
若函数在区间上存在极值和零点，
则，解得．
所以存在符合条件的区间，此时实数的取值范围为．
30．（2021·四川新都·高三月考（文））已知函数，，．
（1）求的极值；
（2）若对任意的，，当时，恒成立，求实数的最大值；
【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）．
【分析】
（1）由函数，定义域为，求导，利用导数法求解；
（2）由，结合（1），将，转化为，设，由在为增函数，利用导数法求解.
【详解】
（1）函数，定义域为，，令，得，
列表如下：
单调递减 单调递减 极小值 单调递增
，的极小值为，无极大值；
（2），由（1）可知，
等价于，即，
设，
则在为增函数，
在上恒成立，恒成立，
设，
在上恒成立，
在上单调递增，
在上的最小值为，
，
的最大值为；
31．（2021·全国·高二课时练习）已知函数(为自然对数的底数)，函数.
(1)求函数的极小值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】
(1)首先利用导数求出单调区间，进而求出极小值；(2)对不等式进行参数分离，然后构造新函数，利用导数求新函数的最值即可求解.
【详解】
(1)函数定义域为，
令，则，
当的变化时，、的变化情况如下表：
单调递减 单调递减 极小值 单调递增
所以的减区间为，；增区间为
故当时，函数有极小值.
(2)不等式在上恒成立等价于不等式在上恒成立，
故不等式在上恒成立，即，
令，，则
当时，，所以在上为增函数；
当时，，所以在上为减函数；
所以，
所以，
故实数的取值范围为.
32．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值点是，无极大值点；（2）．
【分析】
（1）对函数进行求导，列表，根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）对函数进行求导，根据函数的单调性，结合导数的性质，利用常变量分离法进行求解即可.
【详解】
解析：（1）定义域，
令，得，
列表如下：
－ ＋
递减 极小值 递增
所以，的极小值点是，无极大值点；
（2），
在上单调递减
在上恒成立
在恒成立
，
令，
在上恒成立
在上单调递减
实数的取值范围是．
【点睛】
关键点睛：运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解是解题的关键.
33．（2021·福建·三明市第二中学高三月考）已知函数，，其中.
（1）求的极值；
（2）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求的导函数，讨论参数a并判断的符号，确定的单调性，进而求极值.
（2）利用导数研究的单调性，结合（1）中的单调区间，判断和是否存在相同的单调区间，求的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
①当时，函数在上单调递减，从而没有极大值，也没有极小值.
②当时，令得，和的情况如下表所示.
- 0 +
递减 极小值 递增
故的单调递减区间为，单调递增区间为，函数在处取得极小值，没有极大值.
综上：①当时，无极值；②当时，有极小值，无极大值.
（2）的定义域为，且.
①当时，，故函数在上单调递增，
由（1）知，当时，函数在上单调递增，符合题意.
②当时，在上单调递增，在上单调递减，不符合题意；
③当时，在上单调递减，若存在区间，使得和在区间上有相同的单调性，则，，只须，解得，
因此存在区间，使得和在区间上单调递减.
综上，的取值范围是.
34．（2021·山东·广饶一中高三月考）已知.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求的极值点以及极值 最值点以及最值.
【答案】（1）；（2）是函数的极大值点，极大值为；是函数的极小值点，极小值为.函数的最小值为，是函数的最小值点，无最大值.
【分析】
（1）求导函数得斜率，即可；
（2）利用导函数判断求解即得.
【详解】
由题定义城为，
（1）在点处的切线斜率为
所以在点处的切线方程为，即.
（2）令得，.
令得或；令得或.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
又因为当时，，当时，
所以是函数的极大值点，极大值为；是函数的极小值点，极小值为.函数的最小值为，是函数的最小值点，无最大值.
35．（2021·北京·新农村中学高三开学考试）已知函数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值=f(0)=1，无极大值；（2）
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据f(x)min≥1，求出k的范围即可
【详解】
(1)k=0时， .所以.
令，解得:x>0；令，解得:x<0，
故在递减，在递增，
故极小值=f(0)=-1+2=1，无极大值.
（2）.
①时， ，在递增，成立；
②时，ln2k>0，
令，解得:；令，解得: ，
故f(x) 递减，在递增，
故，
故不合题意.
综上， .
即的取值范围为.
36．（2021·河南·高二期末（理））已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值及函数的图象在点处的切线的方程；
（2）求函数的极小值.
【答案】（1），；（2）极小值.
【分析】
（1）求的导函数，由极值点求参数，再利用导数验证所得参数是否符合题设，最后利用导数的几何意义求处的切线的方程；
（2）由（1），利用导数研究单调性，进而确定其极小值.
【详解】
（1），由，得.
此时，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴为的极大值点，符合题意，即，
∴，，.
故所求切线方程是，即.
（2）由（1）知，，.
当变化时，的变化情况如下表：
- + -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
∴时，取极小值.
37．（2021·重庆开州·高三月考）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）有极小值，无极大值；（2）
【分析】
（1）求出函数的导数，判断出函数的单调性，即可求出极值；
（2）由题可得在上恒成立，易得时满足，当时，在上恒成立，构造函数，求出导数，判断的单调性，得出，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）当时，，
所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（2）因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时恒成立，此时，
当时在上恒成，
令，则，
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以，
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】
思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围，
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
38．（2021·安徽·六安一中高二月考（理））已知函数，．
（1）求的极值；
（2）若函数与的图象有两个公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）函数的极小值为，无极大值；（2）.
【分析】
（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极值；
（2）令，可得出，问题转化为直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，，
令，解得，列表如下：
x
单调递减 单调递增
由上表可知，当时，有极小值为，无极大值；
（2）令，得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，，
作出直线与函数的图象如下图所示：
由上图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
39．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）已知函数
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若存在极小值点，证明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．
【分析】
（1）求出导函数，计算切线斜率，然后可得切线方程；
（2）函数的定义域为，求导函数，分类讨论确定的正负得极小值点，求得极小值，再由导数知识证明．
【详解】
（Ⅰ）若，则，．
因为，，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（Ⅱ）由题可知函数的定义域为，
．
①若，由可得，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，没有极小值．
②若，由可得或，
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时．
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
③若，，在上单调递增，没有极值．
④若，当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时．
综上可得：．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的极值．掌握极值的定义是解题关键，注意极小值的定义，方法是对参数分类讨论，确定导函数的正负，得极小值，然后再由导数证明极小值不大于．
40．（2020·安徽·立人中学高二期末（理））设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）是否存在实数，使有两个零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）不存在，理由见解析.
【分析】
（1）先对函数求导，然后通过判断导函数的正负可求出函数的单调区间，从而可求得函数的极值，
（2）由（1）可知当时函数无零点，当，或，或时，最多有一个零点，从而可得答案
【详解】
解：（1），
当时，等价于的增区间为，
同理可得减区间为．
的极大值为，无极小值．
（2）由（1）知，时，的极大值也是最大值，此时没有零点；
当时，，由得增区间为，同理减区间为，
的极大值为，此时最多有一个零点；
当时，在定义域上单调递增，最多有一个零点；
当时，，由得增区间为，同理减区间为，
的极小值为，此时最多有一个零点．
综上所述不存在实数，使有两个零点．
试卷第1页，共3页

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