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专题29：导数的高级应用：利用导数求函数的极值点问题
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
利用导数求函数极的值点问题
技巧优化：
利用导数求函数的极值
①求出函数的定义域 ②求出
③求方程的根
④令求出单调增区间，令求出单调减区间
⑤结合单调区间由极值点左右的符号相反找出极值点，并求出相应的极大或 极小值.
根据函数极值点个数求解参数范围的问题，可转化为导函数零点个数问题的求解；利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据 函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线 与函数的图象的交点问题.
题型分析：
一、利用导数求函数极的值点问题
1．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数在处取得极小值，若，，使得，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2021·山西怀仁·高三期中（理））已知函数，为奇函数，则下列叙述四个结论中正确的是（ ）
A．
B．在上存在零点，则a的最小值为
C．在上单调递增
D．在有且仅有一个极大值点
3．（2021·全国·高三课时练习）已知函数，若函数在区间上恰有一个最值点，则实数a的取值范围是( )．
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏·高三课时练习）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021·河南商丘·高三月考（文））已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖南·长郡中学高三月考）已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A． B．在区间上是增函数
C．是奇函数 D．在区间上有唯一极值点
9．（2021·湖北·襄阳五中高三月考）已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
10．（2021·山东·高三月考）已知，，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个不等的实数根，则
B．
C．若仅有一个极值点，则实数
D．当时，恒成立
11．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）若函数存在两个极值点，，且，总有成立，则可以取的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2021·江苏·常熟市中学高三月考）已知函数，则（ ）
A．是奇函数； B．；
C．在上单调递增； D．在上存在一个极值点
13．（2021·全国·高三课时练习）已知函数，当时，的零点个数为___________；若在定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围为___________.
14．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））若函数满足（其中e为自然对数的底数），且.当_______时，取到极小值.
15．（2021·广东顺德·高三月考）已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．
（1）求函数的表达式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
16．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（文））已知函数.
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若有两个零点，证明：.
17．（2021·江苏·高三课时练习）已知函数．
（1）若存在极值，求实数的取值范围；
（2）若，当时，恒成立，且有且只有一个实数解，证明：．
18．（2021·江苏·高三课时练习）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有三个极值点、、.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：为定值.
19．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知函数，．
（1）讨论在区间上的极值点；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围．
20．（2021·河南·高三月考（理））已知函数的图象在处的切线过点，，.
（1）若，求函数的极值点；
（2）设，是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）
21．（2021·全国·高三月考）已知函数 (，为常数)在内有两个极值点.
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：.
22．（2021·江苏·南京市第二十九中学高三月考）（1）已知函数.
①证明：恰有两个极值点；
②若，求的取值范围.
（2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值.
23．（2021·北京市第十二中学高三月考）已知函数
（1）证明：不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，并求出切线方程；
（2）曲线是否存在两个不同的点关于轴对称，若存在，请给出两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由；
（3）若0为函数的极小值点，求的取值范围.
24．（2021·四川·眉山市彭山区第一中学高三月考（理））已知函数，．
（1）若有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，且的最大值为，求的最大值．
25．（2021·重庆·高三月考）已知函数有三个不同的极值点，，，且.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，求的最大值.
26．（2021·浙江·高三月考）已知，函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点且，试把表示成的函数，并证明此函数存在极值点，且.
27．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）当时，不等式对于恒成立，求实数的值.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝λex﹣x2，，其中e＝2.71828．．．是自然对数的底数．
（1）若函数f(x)有两个不同的极值点x1、x2，求实数λ的取值范围；
（2）当λ＝1时，求使不等式f(x)＞2g(x)+x2+7对一切实数x恒成立的最大正整数μ．
29．（2021·江西·临川一中高三月考（文））已知函数，.
（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；
（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.
30．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知是函数的两个极值点，且
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：.
31．（2021·吉林·长春十一高高三月考（理））已知函数的一个极值点为．
（1）求的值，并说明是的极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）函数（为常数且），讨论的零点个数．
32．（2021·福建师大附中高三月考）已知函数有两个极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：．
试卷第2页，共3页专题29：导数的高级应用：利用导数求函数的极值点问题
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
利用导数求函数极的值点问题
技巧优化：
利用导数求函数的极值
①求出函数的定义域 ②求出
③求方程的根
④令求出单调增区间，令求出单调减区间
⑤结合单调区间由极值点左右的符号相反找出极值点，并求出相应的极大或 极小值.
根据函数极值点个数求解参数范围的问题，可转化为导函数零点个数问题的求解；利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据 函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线 与函数的图象的交点问题.
题型分析：
一、利用导数求函数极的值点问题
1．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数在处取得极小值，若，，使得，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】
先由已知求出的表达式，然后利用导数求出函数的单调区间，再求出极值点，进而求出的最大值.
【详解】
解：函数在处取得极小值
所以，即
解得：，
由得：
当和时，，即单调递增
当时，，即单调递减
所以的极大值为，极小值为
由得：或
由得：或
若，，使得，且，
则
故选：C.
【点睛】
方法点睛：利用导数求函数的极值
①求出函数的定义域
②求出
③求方程的根
④令求出单调增区间，令求出单调减区间
⑤结合单调区间由极值点左右的符号相反找出极值点，并求出相应的极大或极小值.
2．（2021·山西怀仁·高三期中（理））已知函数，为奇函数，则下列叙述四个结论中正确的是（ ）
A．
B．在上存在零点，则a的最小值为
C．在上单调递增
D．在有且仅有一个极大值点
【答案】C
【分析】
A选项：先根据是奇函数，求出的值，进而求解的值；B选项：根据第一问求解的，得到的取值范围，结合函数图象，求出a的最小值；C选项：求出，判断出时，的单调性；D选项：对求导，求出与在上的解集，进而判断出在的极值点情况.
【详解】
，所以
因为是奇函数，所以，，解得：，
因为，所以，解得：，因为，所以，此时，，A选项错误；
，当时，显然，，要想存在零点，需要 ，解得：，所以a的最小值为，故B错误；
，当时，，因为在单调递减，所以在单调递增，C选项正确；
，令得：，，当时，，令得：，，当时，，所以在上成立，在上成立，所以在此区间上有一个极小值点，无极大值点，选项D错误.
故选：C
3．（2021·全国·高三课时练习）已知函数，若函数在区间上恰有一个最值点，则实数a的取值范围是( )．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
令，结合已知条件可知，数在区间上恰有一个最值点可转化为在区间上存在唯一的变号零点，然后利用零点存在的基本定理求解实数a的取值范围，然后通过a的取值范围检验在区间上最值点的唯一性即可.
【详解】
令，
若函数在区间上恰有一个最值点，则函数在区间上恰有一个极值点，
从而在区间上存在唯一一个变号零点，
故，即，解得，
此时在区间上恒成立，则在区间上单调递减，
即在区间上存在唯一一个零点，即在上恰有一个最值点．
从而实数a的取值范围是．
故选：A.
4．（2021·江苏·高三课时练习）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求得导函数且，根据极值点可得，关于的表达式及的范围，由此可得关于的函数式，构造，则只需恒成立，利用导数研究的最值，即可求的取值范围.
【详解】
由题设，且，由有两个极值点，
∴令，则在上有两个不等的实根，，
∴，，且，得.
又，且，
∴，，即，
∴，
令且，要使题设不等式恒成立，只需恒成立，
∴，即递增，故，
∴.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求，关于的表达式及的范围，再将题设不等式转化为恒成立，最后利用导数研究最值求参数范围.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
对函数进行求导得，记，利用导数研究函数的单调性和最值，求出的最小值为，由函数有唯一极值点，即可得到.
【详解】
解：函数的定义域为，
则，
记，则，
令，得：；令，得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为函数有唯一极值点，所以有唯一异号根，
所以或者.
所以实数的取值范围为.
故选：A.
6．（2021·河南商丘·高三月考（文））已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先分析的极值点的情况，然后再根据极值点的最多个数，从而确定出两段函数的极值点个数，然后由极值点的分布情况，列出关于a的不等式组，求解即可．
【详解】
解：设，，
令，得，
设，则，
所以当时，；当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，于是；
又当时，；时，，
所以方程最多仅有两个解，即最多两个极值点，
又因为在上最多仅有一个极值点，
所以有两个极值点，有一个极值点，
当方程有两个解时，，即，
当在有一个极值点时，，即，
所以，由，，，
知当，方程在与上各有一解，
综上，若要使在上恰有三个极值点，则.
故选：D.
7．（2021·湖南·长郡中学高三月考）已知a为常数，函数有两个极值点，（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
令，则，作出，的大致图象，可判断AB；
由函数的单调性可判断CD
【详解】
，，令，则，
令，则，
在上单调递增，在上单调递减．
作出，的大致图象，
当时，有两个根，，且，故A正确；
当时，，故B错误；
又函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减，
，，故CD正确；
故选：ACD．
8．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A． B．在区间上是增函数
C．是奇函数 D．在区间上有唯一极值点
【答案】BCD
【分析】
对于A. ，所以该选项错误；
对于B. ，在区间上是增函数，故该选项正确；
对于C. 利用奇函数的定义证明是奇函数，故该选项正确；
对于D. 令，可得，方程的根，即为函数与图象的交点，利用导数证明函数与的图象只有一个交点，分析判断得解.
【详解】
对于A. ，所以该选项错误；
对于B. ，当时，，所以在区间上是增函数，故该选项正确；
对于C. ，令，
则，所以是奇函数，故该选项正确；
对于D. 由B知，，令，可得，
方程的根，即为函数与图象的交点，
，
对于函数，，，
由复合函数的性质可知函数为增函数，，
函数在，内存在唯一零点，
所以当，时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
当，时，恒成立，故单调递增，
作出函数与图象，如图所示：
由图象可知函数与的图象只有一个交点，
即存在唯一，，使，
所以只有一个极值点，故D正确．
故选：BCD
9．（2021·湖北·襄阳五中高三月考）已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
【答案】ACD
【分析】
求导后，可将问题转化为有两个不等实根，令，利用导数可求得单调性和极值，采用数形结合的方式可求得的范围，并得到，由此知AB正误；根据，结合可知C正确；利用单调性可得，结合的范围知D正确.
【详解】
由题意得：，
有两个极值点，有两个变号零点，
又，只需，即有两个不等实根，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，又当时，；时，，
可得图象如下图所示，
当，即时，有两个不等实根，且，
即当时，有两个极值点，A正确，B错误；
，，即，，
，又，，
，C正确；
当，时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
，，，，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围的问题，可转化为导函数零点个数问题的求解；利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
10．（2021·山东·高三月考）已知，，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个不等的实数根，则
B．
C．若仅有一个极值点，则实数
D．当时，恒成立
【答案】BD
【分析】
将A中问题转化为与有两个交点的问题，利用数形结合的方式可得A错误；
分别求得，采用作商法可比较出大小，知B正确；
当时，利用导数可确定仅有一个极值点，满足题意，可知C错误；
将D中问题转化为证明，利用导数可求得，由此可得D正确.
【详解】
对于A，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
当时，；当时，，
则图象如下图所示：
若方程有两个不等的实数根，则与有两个交点，
由图象可知：，A错误；
对于B，由知：，，，
则，故；，故；
，正确；
对于C．，
若仅有一个极值点，则仅有一个变号零点，
；
当没有变号根时，则与至多一个交点，
，在上单调递减，在上单调递增，
，，
当是方程的一根时，则不是的极值点，且，
取，则在单调递增，
又，，
故，使，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，又，
在上有一变号零点，即仅有一个极值点，符合题意；
，C错误；
对于D，要证，只需证，即证，
取，则．
在上单调递减，在上单调递增，，
即，D正确．
故选：BD.
【点睛】
思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到方程根的个数的求解、根据极值点个数求参数范围、不等式的证明等知识；求解方程根的个数的基本思路是将问题转化为两个函数交点个数的求解，从而利用数形结合的方式来判断；证明不等式的基本思路是将问题转化为函数最值的求解，从而利用导数求得函数最值，进而证得结论.
11．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）若函数存在两个极值点，，且，总有成立，则可以取的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】
由解析式得，结合极值点知，为的两根，由韦达定理及题设不等式有，进而构造函数并研究其单调性及最值，可求的取值范围.
【详解】
由，
∴，为的两根，且，，，
∴，得，，
∴成立，即，即，
令，则，
∴在单调递减，，即，又，
故选：AB.
【点睛】
关键点点睛：由的导函数及极值点有，为的两根，应用韦达定理并结合已知不等式，将问题转化为恒成立，再构造函数并利用导数求参数的范围.
12．（2021·江苏·常熟市中学高三月考）已知函数，则（ ）
A．是奇函数； B．；
C．在上单调递增； D．在上存在一个极值点
【答案】BCD
【分析】
A.根据函数奇偶性定义结合的值进行判断即可；B.根据的取值范围以及的值域进行分析；C.先求解，然后利用导数分析的单调性并确定其取值正负，由此判断出的取值正负，从而确定出的单调性；D.根据的单调性确定出的零点情况，由此确定出的零点情况，从而判断出的极值点情况.
【详解】
设，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以恒成立，所以的定义域为；
A.因为 ， ，所以不为奇函数，故错误；
B.因为，，所以，取等号时，此时，
所以等号取不到，所以，故正确；
C. 因为，
令，所以，
因为，所以，所以，且时，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以，
又因为，所以，所以，所以对恒成立，
所以在上单调递增，故正确；
D.由C可知时，，，所以，
所以在上单调递减，
又因为，所以存在唯一使得，
所以时，，时，，
所以在上存在一个极值点，故正确；
故选：BCD.
13．（2021·全国·高三课时练习）已知函数，当时，的零点个数为___________；若在定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
当时，结合导数求得的零点个数.由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】
的定义域为，
当时，，
构造函数，
，所以在区间上递增，在区间上递减，，
所以，则，故零点个数为个.
令，.
构造函数，，
所以在区间上递增，在区间上递减，
，令解得.当时，，
所以.
故答案为：；
【点睛】
分离常数法是在求解导数问题时常用的解题方法.
14．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））若函数满足（其中e为自然对数的底数），且.当_______时，取到极小值.
【答案】
【分析】
令，则，再由，即可得到，从而得到，再利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的极小值点；
【详解】
解：令，则，又∵，∴，又∵，∴，∴.∴，.由，，可得函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取到极小值.
故答案为：
15．（2021·广东顺德·高三月考）已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．
（1）求函数的表达式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求，由题意可得，，由导数的几何意义可得，，将代入，中求出的值即可求解；
（2）分别讨论，，，分别分离参数，构造函数转化为最值问题即可求解.
（1）
由可得，
则，2是方程的两根，
所以，（*）
因为又因为处的切线方程为
故，
代入（*）式解得，
故
（2）
由（1）知：，
①当时，即恒成立，此时，
②当时，由即，
分离参数可得：，
设，则，
，
故在上单调递减，上单调递减，上单调递增，
故当时，在上单调递减，上单调递增，
所以的最小值为，
所以，
③当时，由分离参数可得
设，则，
由②过程知在上单调递减，
故，
所以，
综上所述：的取值范围为.
16．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（文））已知函数.
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若有两个零点，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导后，分别在和两种情况下，结合的正负可得单调性，由此可得极值点；
（2）结合（1）的结论，可知若存在两个零点，则需在的情况下，分析、和时零点个数，结合零点存在定理可知；令，利用导数可求得单调性，得到，由此可得结论.
【详解】
（1）由得：，
当时，恒成立，在上单调递增，无极值点；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
有且仅有一个极小值点，无极大值点.
综上所述：当时，无极值点；当时，有且仅有一个极小值点，无极大值点.
（2）证明：由（1）可知：当时，有一个极小值点，且极小值为；
当时，，函数没有零点；
当时，，函数只有一个零点；
当时，，又，
，使得；
又，
，使得，
当时，有两个零点.
记，则，
记，则，
，，在上单调递增，，
即，在上单调递增，，
即恒成立，原不等式得证.
【点睛】
思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到极值点个数的讨论、利用导数证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得最值.
17．（2021·江苏·高三课时练习）已知函数．
（1）若存在极值，求实数的取值范围；
（2）若，当时，恒成立，且有且只有一个实数解，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）分析可知在上有零点，且，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；
（2）分析可知，函数在上有唯一零点，可得出，消去可得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，分析得出，由函数在上的单调性可证得结论成立.
【详解】
（1）的定义域为，则，
则，设，
则在上有零点，且，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围为；
（2）由题意可得，，
令，解得．
因为，所以，，
所以在上有唯一零点．
当时,，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以．
因为在上恒成立，且有且只有一个实数解，
所以，即，
消去并整理得．
令，则，，
在上恒成立，所以在上单调递增，
又，，所以．
又，且函数在上单调递增，所以．
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键在于分析得出，通过构造函数求出的取值范围，结合函数的单调性来求解参数的去取值范围.
18．（2021·江苏·高三课时练习）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有三个极值点、、.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：为定值.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）（i）；（ii）证明见解析.
【分析】
（1）求得，分、两种情况分析的符号，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）（i）求得，令，分析可知函数有三个零点，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可求得实数的取值范围；
（ii）分析可知，根据已知条件得出，可得出，再结合可证得结论成立.
【详解】
（1）当时，，该函数的定义域为，
，且，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
所以，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）（i）因为，该函数的定义域为，
则，
令，则函数在上有三个零点、、.
，且.
①当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，
又因为，此时函数有且只要一个零点，不合乎题意；
②当时，设，则.
若，即当时，对任意的，且不恒为零.
此时函数在上单调递减，
又因为，此时函数有且只有一个零点，不合乎题意；
若，即当时，
令，可得，，
当或时，，
当时，，
此时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为.
因为，
所以，，，
当时，，当时，，
此时，函数在、上各有一个零点，
又因为，故函数有三个零点，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是；
（ii）由（i）可知，
当时，，
则，
因为，则，
因为，从而，
因为函数在上有且只有一个零点，则，故，
因此，.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
19．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知函数，．
（1）讨论在区间上的极值点；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）当时，在上无极值点；当时，在上有极小值点，无极大值点；（2）．
【分析】
（1）求导得，再对分两种情况讨论得解；
（2）即在上恒成立，令，，则上式变为，再对分三种情况讨论即得解.
【详解】
解：（1）因为，所以
当，即时，，，，在上单调递增，在区间上无极值．
当时，令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，此时在区间上有极小值点．
综上，当时，在上无极值点；当时，在上有极小值点．无极大值点.
（2）由，得，整理得
令，，则，上式变为
①当时，上式恒成立
②当，时，，不成立．
③当时，，令，则．令，得；令，得，所以，则，解得
综上，a的取值范围为.
20．（2021·河南·高三月考（理））已知函数的图象在处的切线过点，，.
（1）若，求函数的极值点；
（2）设，是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求，计算，由两点所在直线斜率公式、导数的几何意义结合即可求得，的值，再令即可求解；
（2）令，可得，，进而可用表示，经判断 的极值，只需要证明即可，将表示为关于的函数，令，转化为关于的函数，利用导数求最值即可求证.
【详解】
（1）由可得：，
所以，，
因为曲线在处的切线过点，
所以，得，
又因为，所以，
令，得，解得：或，
所以的极值点为或.
（2）因为，是方程的两个根，
即，是方程的两个根，
可得：，，，
因为，所以，，
所以是函数的极大值，是函数的极小值，
要证，只需，
，令，则，
设，则，
所以函数在上单调递减，所以，
所以.
【点睛】
方法点睛：破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
21．（2021·全国·高三月考）已知函数 (，为常数)在内有两个极值点.
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）函数有两个极值点，转化为在内有两个不相等的实数解，利用函数的单调性和零点存在性定理即可得实数a的取值范围；
（2）要证，即证，构造新函数，利用单调性即可证明．
【详解】
解：(1)由，得.
记，由题意知，在上存在两个零点.
因为，则
当时，，在上递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，令，得．
（i）若，即时，在上递减，在上递增，
则 .
当，且，，此时，
从而在和上各有一个零点，
所以，在上存在两个零点.
（ii）若，即时，在上递减，至多只有一个零点，不合题意.
（iii）若，且，即时，此时在上只有一个零点，而在上没有零点，不合题意.
综上所述，；
（2）若函数在上存在两个零点，
即，则，两式相减可得
要证，即证
即
令，即
设，则
所以在区间上单调递增，则
即，那么原不等式成立
22．（2021·江苏·南京市第二十九中学高三月考）（1）已知函数.
①证明：恰有两个极值点；
②若，求的取值范围.
（2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）①证明见解析；②；（2）2e.
【分析】
（1）①求导得，则，进而可得，推出的单调性，进而可得，，则存在唯一使得，分析的单调性，进而可得极值个数．
②令，求出函数的导函数，再对分类讨论，即可得得取值范围．
（2）令，，对求导，分，两种情况，求出的取值范围；
【详解】
解：（1）①证明：，
所以，
所以，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
，
所以存在唯一使得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以有2个极值点．
②令，
，，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
当时，，所以单调递减，又，所以当时，所以在上单调递减，
当时，所以在上单调递增，
所以，即符合题意；
当时，，，所以，又在上单调递增，所以在上恰有一个零点，且当时，所以在单调递增，所以当时，所以
在上单调递减，所以当，与矛盾，不符合题意；
当时，时，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以与矛盾，不符合题意；
综上所述，的取值范围为．
（2）令，
，
当时，在上，，单调递增，
所以，
若时，关于不等式恒成立，则，
令，则，即，所以，
设为增函数，所以，即，所以，
当时，，，
所以，满足题意，
综上，实数的取值范围为，，
所以的最大值为．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
23．（2021·北京市第十二中学高三月考）已知函数
（1）证明：不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，并求出切线方程；
（2）曲线是否存在两个不同的点关于轴对称，若存在，请给出两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由；
（3）若0为函数的极小值点，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；；（2）不存在，详见解析；（3）.
【分析】
（1）求出导数，求出与无关的导数值，得切点及斜率，从而得切线方程；
（2）设，易知函数在上单调递增，用反证法证明即可；
（3）在导函数中，令，由导数得出时，，递增，，然后按，，分类讨论，即得结论．
【详解】
（1）由得，
，
易得，均与无关，
所以不论取何值，曲线都存在固定切线为．
（2）不存在，理由如下：
设，则，
∴函数在上单调递增，
假设曲线存在两个不同的点关于轴对称，
设其坐标分别为，，其中．
由得：，
与在上单调递增矛盾，
所以曲线不存在两个不同的点关于轴对称．
（3）∵，
设，则，
当时，即函数在上单调递增，且．
①当时，函数在上单调递增，无极值，不符；
②当时，由函数得性质可知：
存在，当时，，
函数单调递减，与为函数的极小值点矛盾，不符；
③当时，由函数得性质可知：
存在，当时，，单调递减，
又因为当时，，单调递增，
所以为函数的极小值点，符合．
综上有．
24．（2021·四川·眉山市彭山区第一中学高三月考（理））已知函数，．
（1）若有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，且的最大值为，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）将问题转化为与有两个不同的交点的问题，利用导数可求得的大致图象，利用数形结合的方式可求得结果；
（2）结合（1）的结论可确定的三个零点为，且，，令，可表示出，得到，令，利用导数可求得的最大值，进而得到的最大值.
【详解】
（1）由题意得：定义域为，．
有两个极值点，有两个不等实根，即有两个不等实根，
令，则与有两个不同的交点，
，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
又时，；时，；
可得大致图象如下图所示：
由图象可知：当时，与有两个不同的交点，
的取值范围为；
（2），
是的一个零点，
由（1）知：的两根分别在和内，
的三个不同的零点分别为，且，，
令，又的最大值为，，
由得：，，，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，，
在上单调递增，，即，
，即的最大值为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数极值点个数求解参数范围、与零点有关的最值问题的求解；求解零点最值问题的关键是能够通过引入第三个变量，将转化为关于的函数的形式，从而利用导数求得函数最值.
25．（2021·重庆·高三月考）已知函数有三个不同的极值点，，，且.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）（2）3
【分析】
(1)由题意转化为有三个不同解，即有两个不同正根，分离参数得，结合的单调性及最小值即可求解；
（2）由（1）知条件可化为，令，条件转化为，利用导数求出函数单调递增且即可求解.
【详解】
（1），原函数定义域为 ，
由题意，则或 ，
有两个不等于1的正实根，
令，则，即当 时，，单调递减；
当时，，单调递增；
， ，
.
（2）由题意三个极值点，
可化为，
令，
，
令，则，
令，则，
故单调递增，
，，
单调递增，
，
【点睛】
根据函数极值点个数求参数问题，一般要转化为根据导数零点个数求参数问题，继续转化为方程根的个数问题，可采用分离参数，利用导数判断函数的大致形状及最值，根据数形结合的思想求出参数的取值范围.
26．（2021·浙江·高三月考）已知，函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点且，试把表示成的函数，并证明此函数存在极值点，且.
【答案】（1）答案见解析；（2），证明见解析.
【分析】
（1）先求导，然后分类讨论利用导数法求解单调性即可；
（2）由（1）得结合根于系数的关系可求得的关系式，令，再用导数法研究极值即可求解
【详解】
（1），
∵
∴当时，即时，，
故在内递增.
当时，，由
得，，且
故在递增，递减，递增.
综上，当时，在递增；
当时，在递增，递减，递增.
（2）由（1）得，，，，
由关于a递减，得，由，，
得
令，，则
令，，则
由得，故
于是在递增，递减.
又，，又时，
故，即有两个根，且，
故关于的函数存在极值点，且，
27．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）当时，不等式对于恒成立，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先根据求解出的值，然后再代回进行验证即可；
（2）采用换元法令，化简不等式将问题转化为“，恒成立”，构造函数，利用导数分析的单调性以及最小值，根据求解出的取值范围.
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为在处取极值，所以，所以，
所以，
检验：当时，，
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以在处取极值，符合题意.
（2）当时，，由题知时，，
所以时，，
令，因为为上的增函数，且的值域为，所以，
故问题转化为“，恒成立”，
不妨设，所以，
当时，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，这与题意不符；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，所以，
记，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
又因为，即，所以.
（注：也可直接讨论函数的单调性）
【点睛】
方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝λex﹣x2，，其中e＝2.71828．．．是自然对数的底数．
（1）若函数f(x)有两个不同的极值点x1、x2，求实数λ的取值范围；
（2）当λ＝1时，求使不等式f(x)＞2g(x)+x2+7对一切实数x恒成立的最大正整数μ．
【答案】（1）；（2）μ＝7．
【分析】
（1）据题意得f'(x)＝λex﹣2x＝0有两个不同的实数根x1、x2，当λ≤0时，f''(x)＜0，推出f'(x)在R上递减，不合题意，进而推出λ＞0，再分析f'(x)＝λex﹣2x的单调性，推出，进而解得答案．
（2）当λ＝1时，问题可转化为不等式ex﹣μx+8＞0对任意实数x恒成立，令h(x)＝ex﹣μx+8，只需h(x)min＞0，即可得出答案．
【详解】
解：（1）f'(x)＝λex﹣2x，
据题意得f'(x)＝λex﹣2x＝0有两个不同的实数根x1、x2，
当λ≤0时，f''(x)＝λex﹣2＜0，
因此f'(x)在R上递减，不合题意，
∴λ＞0，
令f''(x)＝0，解得，
∴函数f'(x)＝λex﹣2x在上递减，在上递增，
∴f'(x)＝λex﹣2x＝0有两个不同的实数根，则，
即，，
解得，即实数λ的取值范围是．
（2）当λ＝1时，不等式f(x)＞2g(x)+x2+7对一切实数x恒成立，
即不等式ex﹣μx+8＞0对任意实数x恒成立，
令h(x)＝ex﹣μx+8，∴h'(x)＝ex﹣μ，
令h'(x)＝0得x＝lnμ，
∴函数h(x)在（﹣∞，lnμ）上递减，在（lnμ，+∞）上递增，
∴h(x)min＝h（lnμ）＝μ﹣μlnμ+8＞0，
令φ（μ）＝μ﹣μlnμ+8，φ'（μ）＝﹣lnμ，易得φ（μ）在（1，+∞）上递减，
取μ＝e2∈（7，8），φ（e2）＝8﹣e2＞0，
取μ＝8，φ（8）＝8（2﹣ln8）＜0，
所以满足条件的最大整数μ＝7．
【点睛】
一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若af(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a29．（2021·江西·临川一中高三月考（文））已知函数，.
（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；
（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2）最大值为3.
【分析】
（1）求，计算方程的，分别讨论和时的单调性，由单调性可得极值点的个数；
（2）先求出，再计算，再构造函数，利用的单调性以零点存在定理可判断的单调性，进而可得的最小值，只需，再结合是整数即可求解.
【详解】
（1）的定义域为；且，
因为方程的，
①当，即时，恒成立，
此时对于恒成立，
所以在上单调递增，故极值点个数为；
②当，即时，
设方程的两根分别为和，
则，，所以，，设 ，
则，，
由即可得：或，
由即可得：
所以在和上单调递增，
在上单调递减，故极值点个数为2；
综上所述，当时，极值点个数为，当时，极值点个数为2.
（2）时，，则，
令，则，
所以在上单调递增，
而，，
所以存在，使，即，故，
当时，，；当时，，；
即在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
所以，因为，即的最大值为3.
【点睛】
方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，
（1）可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；
（2）可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
30．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知是函数的两个极值点，且
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，由在定义域内有两个不等实根可得；
（2）由（1）得，并根据二次方程根的分布得出的范围，求出并转化为的函数式，引入新函数，利用导数知识证明新函数单调递减，从而证明出不等式成立.
【详解】
（1）解：的定义域为，，
令，依题意在内有两个变号零点，
则方程的判别式，且，解得，且，
故.
（2）证明：由（1）及韦达定理得，
因为函数图象的对称轴为，
所以，即，
，
其中，令，
，
令，
，
又函数在上是单调递增的，且，，
存在，使得在上有，单调递减；
在上，，单调递增，，，
，即，所以单调递减，
因为，所以，
则，不等式得证.
【点睛】
本题考查用根据极值点的个数求参数范围，考查与极值点有关的不等式的证明.对极值点的个数问题，转化为方程有不等实根，转化为二次方程根的分布，关于极值点的不等式的证明是难点，解题时需要根据极值点的关系化为一元函数，然后引入新函数，利用新函数导数确定单调性，得函数值的取值范围（或最大值和最小值），从而证明不等式.
31．（2021·吉林·长春十一高高三月考（理））已知函数的一个极值点为．
（1）求的值，并说明是的极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）函数（为常数且），讨论的零点个数．
【答案】（Ⅰ），是的极大值点；（Ⅱ）答案见解析.
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得，进而求出的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，判断函数的极值点即可；
（Ⅱ）构造函数，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，通过讨论的范围，判断零点的个数即可.
【详解】
（Ⅰ）的定义域为，，
由条件可得，即，所以．
所以，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是的极大值点．
故时，是的极大值点．
（Ⅱ），则，
令，则，所以时，，单调递减；
时，，单调递增；所以，
当时，；当时，；
令，则，令，因为，则，，所以单调递增；
，，所以单调递减；
，且，
所以在，存在使得，即
所以时，，所以单调递增；时，，所以单调递减；时，，所以单调递增；
且，，，
因此时，，时，，时，
，即时，有1个零点；
，即或时，无零点；
综上：时，有1个零点；或时，无零点.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
32．（2021·福建师大附中高三月考）已知函数有两个极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：．
【答案】（1）(2e，＋∞)；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先求导，讨论与两种情况，分别判断其单调性，结合题意，即可求解；
（2）不妨设，且，得到，问题可转化为，再令，进而转化为在上恒成立，用导数法求解即可
【详解】
（1）因为，
所以．
令，则．
当时，不成立；
当时，．
令，所以．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，
当时，，当时，，
因此，当时，有2个极值点，即a的取值范围为．
（2）由（1）不妨设，且
所以
所以．
要证明，
只要证明，
即证明．
设，
即要证明在上恒成立．
记，
，
所以在上单调递减，
所以当时，，
即，
即成立
试卷第1页，共3页

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