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专题28：导数的高级应用：利用导数求函数最值（含参）
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
求函数极值的步骤：
确定函数的定义域；
求导数；
解方程求出函数定义域内的所有根；
列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
本文核心内容：
利用导数求函数最值（含参）
题型分析：
一、利用导数求函数最值（含参）
1．（2020·安徽省肥东县第二中学高三月考）关于函数，给出下列四个判断：
试卷第2页，共2页
①的解集是；
②有极小值也有极大值；
③无最大值，也无最小值；
④有最大值，无最小值.
其中判断正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
2．（2021·河南南阳·高三期中（文））已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为
D．若，则
3．（2021·全国·高三月考（文））已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．
C． D．2
5．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·浙江·模拟预测）若实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·浙江·高三月考）已知函数的最小值为0，为自然对数的底数，则（ ）
A．，都有 B．，使得
C．，都有 D．，使得
8．（2021·河南洛阳·高三期中（理））已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数，若，且，则的最小值是（ ）
A．－16 B．－12 C．－10 D．－8
11．（2021·宁夏·银川一中高三月考（文））已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·重庆市育才中学高三月考）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．若，，则函数有最小值
B．若，，则过原点恰好可以作一条直线与曲线相切
C．若，且对任意，恒成立，则
D．若对任意，任意，恒成立，则的最小值是
13．（2022·全国·高三专题练习）设，是自然对数的底数，下列判断正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
14．（2021·全国·高三专题练习）已知f'（x）为函数f（x）的导函数，f'（x）＝3x2+6x+b，且f（0）＝0，若g（x）＝f（x）﹣2xlnx，求使得g（x）＞0恒成立b的值可能为（　　）
A．﹣2ln2﹣ B．﹣ln2﹣ C．0 D．ln2﹣
15．（2021·重庆八中高三月考）已知函数，，则下列命题正确的是（ ）
A．函数，当时，有最小值
B．函数在区间上单调递减
C．若函数有两个极值点，则实数
D．若不等式，对于任意的恒成立，则的最大值为
16．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））已知函数和，若的极小值点是的唯一极值点，则k的最大值为____.
17．（2021·全国·高三期中）已知，，则实数的取值范围为_________．
18．（2021·山西运城·高三期中（理））已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是_________.
19．（2021·全国·高三单元测试）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______．
20．（2021·江苏·南京市第二十九中学高三月考）若二次函数的图象与曲线：存在公切线，则实数的取值范围是________.
21．（2021·河南·高三月考（文））已知函数，，若，则的最小值为______.
22．（2021·重庆南开中学高三月考）已知，．若，，则的最小值为____________．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，函数，若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是_____．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是___.
25．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________；若，则的最大值为___________.
26．（2021·江苏·灌云县第一中学高三月考）已知函数，则当时的极大值为__________，若在（，为自然对数的底）的最大值为，则实数的值为__________.
27．（2021·江西·模拟预测（文））已知函数f(x)=ex-2ax-1．
（1）若a=1，求函数f(x)在区间[-1，2]上的最大值与最小值；
（2）若函数f(x)的最小值为0，求实数a的值．
28．（2021·重庆一中高三月考）已知函数.
（1）若在上有零点，求实数的取值范围；
（2）若，记在上的最小值为，求的取值范围.
30．（2021·四川绵阳·高三月考（理））已知函数.
（1）若时，求在区间上的最大值与最小值；
（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求实数的取值范围.
31．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，当，时，求曲线上的点到射线的距离的最小值，并求这一点的坐标.
32．（2021·北京·北师大实验中学高三月考）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
（I）当时，求的单调区间；
（II）若在上的最大值为，求的值.
33．（2021·宁夏·银川一中高三月考（文））已知函数，，为自然对数的底数.
（1）证明：；
（2）若恒成立，求实数的范围.
34．（2021·全国·高三课时练习）设函数，.若对任意的，，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．专题28：导数的高级应用：利用导数求函数最值（含参）
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
求函数极值的步骤：
确定函数的定义域；
求导数；
解方程求出函数定义域内的所有根；
列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
本文核心内容：
利用导数求函数最值（含参）
题型分析：
一、利用导数求函数最值（含参）
1．（2020·安徽省肥东县第二中学高三月考）关于函数，给出下列四个判断：
①的解集是；
②有极小值也有极大值；
③无最大值，也无最小值；
④有最大值，无最小值.
其中判断正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
【答案】A
【分析】
对①，将不等式转化为，解一元二次不等式；对②，对函数求导后，再解导数不等式；对③④利用导数求出函数的单调区间，结合时，函数值的取值情况，即可得到答案；
【详解】
①因为，所以由得，即，解得，即的解集是，所以①正确．
②函数的导数为，由，得或．由得，
所以当时函数取得极小值．当时函数取得极大值．所以②正确．
③由②知，当或时，函数单调递增，且时，；当时，，所以无最大值，也无最小值．所以③正确．
④由③知无最大值，也无最小值，所以④错误．
所以判断正确的是①②③．
故选：A．
2．（2021·河南南阳·高三期中（文））已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为
D．若，则
【答案】C
【分析】
利用导数研究的单调性，即可判断A、B的正误；由在、上的值域，即可知恰有两个不等的实根时的取值范围；若，构造及并利用导数研究单调性，进而确定在上的符号判断的符号，再结合的单调性即可证.
【详解】
由题意，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
A：，正确；
B：的极大值，也是最大值为，正确；
C：∵时，即上；
时，即上；
∴要使恰有两个不等的实根，则，错误；
D：由知：若，令，，，
∴设，，则，
∴在上单调递增，即，故在上恒成立，
∴，即，又，，
由在上递减，即，故，正确.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，进而比较函数值的大小及最大值，再由的区间值域，确定恰有两个不等的实根时的范围；利用极值点偏移问题的解法证明即可.
3．（2021·全国·高三月考（文））已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．
C． D．2
【答案】D
【分析】
令，进而得到，因此，构造函数，进而求出函数的最值即可.
【详解】
令，又因为，且，所以，
所以，因此，
令，则
时，，则单调递减；时，，则单调递增；
所以在处取得极小值，也是最小值，且，因此的最小值为2，
故选：D.
【点睛】
利用导数求最值的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
4．（2021·山西太原·高三期中）若是函数的极值点，则函数（ ）
A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值
C．有最小值，最大值 D．无最大值，无最小值
【答案】A
【分析】
对求导，根据极值点求参数a，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.
【详解】
由题设，且，
∴，可得.
∴且，
当时，递减；当时，递增；
∴有极小值，无极大值.
综上，有最小值，无最大值.
故选：A
5．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将递推关系式整理为，可知数列为等差数列，借助等差数列通项公式可整理求得，从而得到的通项公式；根据数列的单调性可采用分离变量法得到，结合导数的知识可求得，由此可得结果.
【详解】
由得：．
，即，
是公差为的等差数列．，，，．
是递减数列，，，即，
即．只需，
令，
，
在上单调递增，在上单调递减．
又，，当时，，
即，，即实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用数列的单调性求解参数范围的问题，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系求解问题，结合导数的知识求得最值后即可得到取值范围.
6．（2021·浙江·模拟预测）若实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由，得，利用基本不等式可得，令，令，利用倒数可求得，结合，可得，从而可求得，即可的解.
【详解】
解：由，得，
则，当且仅当时，取等号，
，则，
令，令，
，当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，又因为，
所以，
所以，解得.
所以.
故选：D.
7．（2021·浙江·高三月考）已知函数的最小值为0，为自然对数的底数，则（ ）
A．，都有
B．，使得
C．，都有
D．，使得
【答案】C
【分析】
对函数分类讨论，在求得最小值是0，这样在时，函数最小值（如果有）不小于0，利用导数确定函数的单调性，最值后可得．
【详解】
A．时，是增函数，，
时，，因为，恒成立，在上是减函数，
又的最小值是0，所以，即，A错；
B．由A选项知，B错；
C．，由时，，知时，，递减，时，，递增，所以，即，C正确；
D．时，，在递减，，，
令，，时，，递增，时，，，递减，所以，即，（时取等号），
所以，即，D错．
故选：C．
8．（2021·河南洛阳·高三期中（理））已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意将问题转化为函数和图象两点的距离问题，结合图象即可得出结果.
【详解】
记，易知所求根式部分为函数和
图象两点的距离问题，
设，
则，
所以，
又单调递增，所以是唯一零点，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
得，即，所以，
，
当且仅当时等号成立.
故选：A
9．（2021·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解,
【详解】
由，得，
因为在区间上单调递增，
所以对于恒成立，
因为，，
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
设，则，
因为在上单调递减，
则，，所以，
综上所述的取值范围为.
故选：D.
10．（2021·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数，若，且，则的最小值是（ ）
A．－16 B．－12 C．－10 D．－8
【答案】A
【分析】
作出函数图象，由图可知，，结合可得，则，构造函数，利用导数即可求解最值.
【详解】
作出函数，可知图中A点坐标为，图中B点坐标为，
令或，即图中C点坐标为，由，且可知，.由得，
即，所以，
令，则，
当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，即当，时，有最小值－16.
故选：A
11．（2021·宁夏·银川一中高三月考（文））已知曲线与曲线有且只有两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数零点与方程根的关系，可将两条曲线交点问题转化为一条曲线的零点问题进行求解，根据题意可得有两个实数解，即方程有两个实数解，令，求出函数的最值，从而可得出答案.
【详解】
解：根据题意，可得函数的定义域为：
方程有两个实数解，
，即得，
方程有两个实数解，
此时令，则直线与函数的图象有两个交点，
令，则有，或
；,
在上单调递增，在上单调递减,
（1）,
当时，；当时，
若使直线与有两个交点，则需使.
故选：D．
12．（2021·重庆市育才中学高三月考）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．若，，则函数有最小值
B．若，，则过原点恰好可以作一条直线与曲线相切
C．若，且对任意，恒成立，则
D．若对任意，任意，恒成立，则的最小值是
【答案】ABD
【分析】
利用导数与函数的最值可判断A选项的正误；利用导数的几何意义可判断B选项的正误；等价转化为关于的二次不等式恒成立，由判别式法可判断C选项的正误；利用判别式法结合参变量分离法可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，当，时，，函数的定义域为，
则，当时，，函数单调递减，
当时，函数单调递增，此时，函数有最小值，A对；
对于B选项，若，，则，，
设切点为，曲线在点处的切线方程为，
将原点的坐标代入切线方程可得，解得，
此时，过原点恰好可以作一条直线与曲线相切，B对；
对于C选项，若，则恒成立，
可视为关于的二次不等式恒成立，
故，解得，C错；
对于D选项，对任意，，则，
因为，由可得，则，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，，D对.
故选：ABD.
13．（2022·全国·高三专题练习）设，是自然对数的底数，下列判断正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【分析】
分别构造函数，求导判断函数的单调性，求出函数的最小值，由最小值与比较即可判断各个选项是否成立，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：设，，则，
由可得；由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以恒成立，
即，，故选项A正确；
对于B，设，，则，
由可得；由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以 ，不成立，故选项B不正确；
对于C，设，；则，
由可得；由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以恒成立，
所以，，故选项C正确；
对于D，设，；则，
由可得；由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以恒成立，
所以，，故选项D正确；
故选：ACD．
14．（2021·全国·高三专题练习）已知f'（x）为函数f（x）的导函数，f'（x）＝3x2+6x+b，且f（0）＝0，若g（x）＝f（x）﹣2xlnx，求使得g（x）＞0恒成立b的值可能为（　　）
A．﹣2ln2﹣ B．﹣ln2﹣ C．0 D．ln2﹣
【答案】BCD
【分析】
求出函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，问题转化为b＞2lnx﹣x2﹣3x，设φ（x）＝2lnx﹣x2﹣3x（x∈（0，+∞）），根据函数的单调性求出b的范围即可．
【详解】
解：∵f'（x）＝3x2+6x+b，
∴设f（x）＝x3+3x2+bx+c，又f（0）＝0，故c＝0，
从而f（x）＝x3+3x2+bx，
∴g（x）＝f（x）﹣2xlnx＝x3+3x2+bx﹣2xlnx，则g（x）的定义域是（0，+∞），
则g（x）＞0可化为x2+3x+b﹣2lnx＞0，即b＞2lnx﹣x2﹣3x，
设φ（x）＝2lnx﹣x2﹣3x（x∈（0，+∞）），
则φ′（x）＝﹣2x﹣3＝，
令φ′（x）＞0，解得：0＜x＜，令φ′（x）＜0，解得：x＞，
故φ（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，
故当x＝时，φ（x）取得最大值φ（）＝﹣2ln2﹣，
要使g（x）＞0恒成立，则b＞﹣2ln2﹣即可，
故选：BCD．
15．（2021·重庆八中高三月考）已知函数，，则下列命题正确的是（ ）
A．函数，当时，有最小值
B．函数在区间上单调递减
C．若函数有两个极值点，则实数
D．若不等式，对于任意的恒成立，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】
，求，利用导数判断的单调性即可得最小值，可判断选项A，B；由题意有两个实根，即，转化为与图象有两个交点，数形结合求出的范围可判断C；将原不等式整理分离可得：，只需，利用导数求出的最小值即可，进而可得正确选项.
【详解】
由可得，所以，
对于选项A ：，可得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以，故选项A正确；
对于B：由选项A知：在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项B正确；
对于C：有两个极值点等价于有两个零点，即有两个不等实根，即，，当时，单调递增；当时，，单调递减，所以，又因为当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，的图象如图所示：
由图知：，即，故选项C不正确；
对于D：，等价于，即，
分离可得：，令，则，令，即，解得，又因为在上恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，则，所以单调递减，
当时，，则，所以单调递增，
所以，所以，的最大值为，故选项D正确，
故选：ABD.
16．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））已知函数和，若的极小值点是的唯一极值点，则k的最大值为____.
【答案】##
【分析】
利用导数求出的单调性和极小值点，然后，然后可得或恒成立，然后可求出答案.
【详解】
由可得
所以当或时，，当时，
所以的极小值点是2
由可得
因为的唯一极值点为2，所以或恒成立
所以或在上恒成立
因为在上单调递减，在上单调递增，当时
所以
故答案为：
17．（2021·全国·高三期中）已知，，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【分析】
构造函数，求导根据函数的单调性参变分离，再次构造函数，求导根据函数的单调性求得的最大值.
【详解】
因为，设，则
又因为，，
时，，单调递增；时，，单调递减；
因此当时，有最小值，所以在R上单调递增，
∴，
设，则，令，解得.
当时，，函数单调递增，当时，函数单调递减.
∴，.
故实数的取值范围为：.
故答案为：.
18．（2021·山西运城·高三期中（理））已知对任意恒成立，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【分析】
将不等式化成，再两边取对数，分离参数并构造函数，求出函数的最值即可得解.
【详解】
，，而，
于是得：，，令，，
，当时，，当时，，
因此，在上单调递增，在上单调递减，即当时，，
于是得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
19．（2021·全国·高三单元测试）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】
，使得成立当时，,
分别求出，然后解不等式即可.
【详解】
，使得成立当时，．
由题意得，当时，，当时，，
故在上的最小值为．
又函数在上的最大值为，故．
答案为：
20．（2021·江苏·南京市第二十九中学高三月考）若二次函数的图象与曲线：存在公切线，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】
设公切线与、的切点坐标，由导数的几何意义，斜率公式化简，分理出后构造函数，利用导数判断单调性，求出最值即可求解.
【详解】
由可得，
由可得，
设公切线与的图象相切于点，
与的图象相切于点，
所以，即，
可得或，
因为，，则，，即，
，，
令，可得，
由可得；由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
21．（2021·河南·高三月考（文））已知函数，，若，则的最小值为______.
【答案】
【分析】
设，可得，，从而，进而构造函数，求出的最小值即可.
【详解】
设，即，，解得，，
所以，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
22．（2021·重庆南开中学高三月考）已知，．若，，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】
首先设，并表示，通过构造函数，利用导数求函数的最小值.
【详解】
设，且，
，，
，
设，，，
，，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，函数取得最小值，.
故答案为：
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，函数，若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
利用导数判断的单调性求出的最值，即可得的值域，由单调性可得的值域，由题意可得在的值域是的值域的子集，根据包含关系列不等式组即可求解．
【详解】
由可得，
当时，；时，；
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，
可得在的值域为，
由在递增，
可得的值域为，
由对任意的，总存在，使得，
可得，所以，可得，
实数的取值范围是.
故答案为：.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是___.
【答案】[e，7]
【分析】
由题意可求得7；由lnb≥a可得（b），设函数f（x）（x），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值.
【详解】
∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴5﹣3a≤4﹣a，
∴a.
∵5﹣3a≤b≤4﹣a，
∴31.
从而7，
∵lnb≥a，∴（b），
设f（x）（x），则f′（x），
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x＝e时，f′（x）＝0，
∴当x＝e时，f（x）取到极小值，也是最小值.
∴f（x）min＝f（e）＝e.
∴e，
∴的取值范围是[e，7].
故答案为：[e，7].
25．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________；若，则的最大值为___________.
【答案】0
【分析】
由得出的关系，代入计算可得，求出导函数，对中的部分式子再利用导数确定其正负后可得出的正负，从而得极大值也即最大值．
【详解】
由已知，，所以，即，
所以．
，定义域为，
，
令，则，时，，所以在上递减，
所以时，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以．
故答案为：0；．
26．（2021·江苏·灌云县第一中学高三月考）已知函数，则当时的极大值为__________，若在（，为自然对数的底）的最大值为，则实数的值为__________.
【答案】
【分析】
利用导数分析函数在区间上的单调性，可求得函数在区间上的极大值；分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，或作出函数在上的图象，可得出，再结合已知条件可求得实数的值.
【详解】
，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，当时，函数的极大值为，
，，作出函数的图象如下图所示：
①当时，，
此时，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
当时，，解得，合乎题意；
②当时，作出函数的图象如下图所示：
，，，
因为，，
所以，，可得（舍）.
综上所述，.
故答案为：；.
27．（2021·江西·模拟预测（文））已知函数f(x)=ex-2ax-1．
（1）若a=1，求函数f(x)在区间[-1，2]上的最大值与最小值；
（2）若函数f(x)的最小值为0，求实数a的值．
【答案】
（1）最小值为1-2ln2，最大值为e2-5
（2）
【分析】
（1）当a=1时，f(x)=ex-2x-1，x∈[-1，2]，求导分析f′(x)的正负，f(x)单调性，最值．
（2）因为f(x)的最小值为0，f′(x)=ex-2a，分两种情况：若a≤0时，若a>0时，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，求出最小值，即可得出答案．
（1）
当a=1时，f(x)=ex-2x-1，x∈[-1，2]，
f′(x)=ex-2，
令f′(x)>0，得ln2令f′(x)<0，得-1≤xf（ln2）=2-2ln2-1=1-2ln2，
f(2)=e2-4-1=e2-5，
，
所以a=1时，f(x)在[-1，2]上最小值为1-2ln2，最大值为e2-5；
（2）
因为f(x)的最小值为0，f′(x)=ex-2a，
若a≤0时，则-2a≥0，f′(x)=ex-2a>0，f(x)在（-∞，+∞）上单调递增，无最小值，
若a>0时，则f′(x)>0 x>ln2a，f′(x)<0 x所以f(x)在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增，
f（ln2a）=eln2a-2aln2a-1=（1-ln2a） 2a-1，令得，不妨设，则原式为：，设则，当单减，当单增，，故有唯一解，即．
28．（2021·重庆一中高三月考）已知函数.
（1）若在上有零点，求实数的取值范围；
（2）若，记在上的最小值为，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）令，求出其导数后可判断函数的单调性，从而可求其值域，故可求实数的取值范围；
（2）求出，令，求出，利用题设条件可得，从而可得在存在唯一的零点且可得的符号情况，从而可得的单调性，故可得其最小值，再利用导数可求其取值范围.
（1）
由得，令，
则，所以在上单调递减，
，从而.
（2）
令，
因为，故，
所以在上单调递增，又，，
所以存在唯一实数，使得，
且当时，，当时，，
故在上单减，在上单增，从而的最小值，∵，
∴，故.
令，则，
所以在上单减，
由题意可得，所以，
令，则，
所以在上单减，故的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：含参数的零点问题，可利用参变分离把参数的范围问题转化为不含参数的新函数的值域问题，在函数的单调性的讨论中，如果导函数的零点不易求得，可虚设零点来简化问题的讨论.
29．（2021·北京海淀·高三期中）已知函数，
（1）直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程；
（2）已知直线分别交曲线和于点，.当时，设的面积为，其中O是坐标原点，求的最大值.
【答案】
（1）公共点坐标为，公共点处的切线
（2）
【分析】
（1）联立与的解析式可得公共点坐标，由导数的几何意义可得切线的斜率，结合公共点坐标由点斜式可得直线方程；
（2）由题意可得，根据化简，利用导数判断单调性即可得最值.
（1）
由即可得，所以，
所以公共点坐标为，
因为，所以在公共点处切线的斜率为，
所以曲线在公共点处的切线方程为，即
（2）
的面积为，
因为，所以，，所以，
所以，
，
由即可得；由即可得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，的最大值为.
30．（2021·四川绵阳·高三月考（理））已知函数.
（1）若时，求在区间上的最大值与最小值；
（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）最大值为0，最小值为；（2）.
【分析】
（1）利用导数得出的单调性，再求最值；
（2）分三种情况，利用导数得出其单调性，结合题意得出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）由题意得
当时，，
由，解得；
由，解得或.
∴函数在区间上单调递增，在区间单调递减.
又
∴函数在区间上的最大值为0，最小值为.
（2）存在实数m，使不等式的解集恰好为，等价于函数只有一个零点.
∵，
i）当a<0时，由，解得，
∴函数在区间上单调递增；
由，解得或，
∴函数在区间上单调递减.
又，
∴只需要，解得.
∴实数a的取值范围为.
ii）当a=0时，显然只有一个零点成立.
iii）当a>0时，由，解得，
即在区间上单调递增；
由，解得或，
即函数在区间上单调递减；
又，∴只需要，解得.
综上：实数a的取值范围是.
31．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，当，时，求曲线上的点到射线的距离的最小值，并求这一点的坐标.
【答案】曲线上的点到射线的距离的最小值为，此时.
【分析】
当，时,令， 化简得；经检验使；设上一点，求出到的距离，判断取最值的条件，从而确定曲线上的点到射线的距离的最小值，并求出这一点的坐标.
【详解】
，，时，
令，，
，，使，
设上一点,
则到的距离为
令，，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
，
曲线上的点到射线的距离的最小值为，此时.
32．（2021·北京·北师大实验中学高三月考）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
（I）当时，求的单调区间；
（II）若在上的最大值为，求的值.
【答案】（I） 的单调递增区间为,单调递减区间为；（II） 或.
【分析】
（I）依题意结合可求得，从而可得，结合定义域由可解得增区间，由可解得减区间；
(II) 对分类讨论得出的极值，将极值同端点处的函数值进行比较得到最大值，然后根据条件建立关于的方程求解可得结果.
【详解】
因为所以，
因为函数在处取得极值，则.
（I）当时，，，
随的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以的单调递增区间为,；单调递减区间为.
(II)因为，
令得，因为在处取得极值，所以.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，令，解得；
当，，
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，
而，
所以，解得；
当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，
而，
所以，
解得，与矛盾；
当时，在区间上单调递增，在单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾.
综上所述，或.
33．（2021·宁夏·银川一中高三月考（文））已知函数，，为自然对数的底数.
（1）证明：；
（2）若恒成立，求实数的范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）对原函数求导后可知函数在上单调递增，得到即可；
（2）将题意转化为恒成立，构造，由，，可知对分为和讨论即可.
【详解】
（1），于是，.
又因为，当时，且.
故当时，，即.
所以，函数为上的增函数，于是，.
因此，对，；
（2）恒成立，
恒成立.
令，，，.
①当时，，
由（1）可知，
在上为增函数，
恒成立.
时满足题意
②当时，由（1）可知
在上单调递增，
而∴存在，使得.
∴时，单调递减，
，不合题意，舍去.
综上，.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式
证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
34．（2021·全国·高三课时练习）设函数，.若对任意的，，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当时，，利用基本不等式可求的最小值，对函数求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求的最大值，由恒成立且，则，可求
【详解】
解：当时，，
时，函数有最小值，
，
，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
时，函数有最大值（1），
则有，
恒成立且，
.
故选：B.
试卷第2页，共2页

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