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第三课　导数及其应用
题组训练一　导数的几何意义
1．设函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点处的切线方程为(　　)
A．y＝5x－2 B．y＝x＋2
C．y＝5x＋8 D．y＝x＋4
【解析】选A.因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x为奇函数，所以a＝2，所以函数f(x)＝x3＋2x，
可得f′(x)＝3x2＋2，f(1)＝3；
曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为f′(1)＝5，则曲线y＝f(x)在点处的切线的方程为y－3＝5(x－1)，即y＝5x－2.
2．德国数学家莱布尼兹是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)>0，且对 x1，x2∈R，且x1≠x2总有A．fB．f′C．f′(1)D．f′【解析】选D.由f′(x)>0，得f(x)在R上单调递增，
因为π>e>2，所以f>f>f，故A不正确；
对 x1，x2∈R，且x1≠x2，总有由f′(x)表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，
即切线的斜率越来越小，所以f′f－f(1)＝＝kAB，表示点与点连线的斜率，
由图可知f′3．已知曲线y＝ax3＋x2－a在处的切线过点，那么实数a＝________．
【解析】因为y＝ax3＋x2－a，所以y′＝3ax2＋2x，
则y′|x＝1＝3a＋2，曲线y＝ax3＋x2－a在处的切线方程为：y－1＝(3a＋2)(x－1)，代入点，得6－1＝(3a＋2)(2－1)，解得a＝1.
答案：1
求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的关注点
(1)判断点P(x0，y0)是否在曲线y＝f(x)上．
(2)①若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
②若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①
又y1＝f(x1)，②
由①②求出x1，y1的值．
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
题组训练二　函数的单调性与导数
1．函数y＝4x2＋的单调增区间为________．
【解析】函数的定义域为∪.
y′＝8x－＝，
令y′>0，则x>，
故函数的单调增区间为.
答案：
2．已知函数f(x)＝a ln x－2在上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.由题知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
因为f(x)＝a ln x－(x－2)2在上是减函数，
所以f′(x)＝－≤0在上恒成立，
所以a≤x＝x2－2x＝(x－1)2－1，
因为(x－1)2－1≥－1，
所以a≤－1.
3．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋3，且f(1)＝－2，f′(1)＝－5.
(1)求a，b的值．(2)求函数的单调递减区间．
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
所以
解得
综上所述 a＝2，b＝－4.
(2)f′(x)＝3x2－2ax＋b＝(3x＋2)(x－2)，
令f′(x)<0，解得－所以f(x)的单调递减区间为.
函数的单调性与导数的关注点
(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
(4)求参数的范围时常用到分离参数法．
题组训练三　函数的极值、最值与导数
1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1
【解析】选A.由题可得
f′(x)＝ex－1＋ex－1
＝ex－1，
因为f′＝0，所以a＝－1，
所以f(x)＝ex－1，
故f′(x)＝ex－1，
令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，
令f′(x)<0，解得－2所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)的极小值为f＝e1－1＝－1.
2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在上的最大值、最小值分别是(　　)
A．12，－15 B．1，－8
C．5，－16 D．12，－8
【解析】选D.函数y＝2x3－3x2－12x＋5，
所以y′＝6x2－6x－12＝6，
令y′＝0，解方程可得x1＝－1，x2＝2，
x －2 －1 1
y′ ＋ 0 －
y 1 ? 极大值12 ? －8
由表格可知，函数y＝2x3－3x2－12x＋5在上的最大值为12，最小值为－8.
3．若x＝1是函数f(x)＝ex的极值点，则f(x)在上的最小值为________．
【解析】f′(x)＝ex＋ex＝ex，则f′＝e＝0，解得a＝1，所以f(x)＝ex，
则f′(x)＝ex＝ex.
令f′(x)>0，得x<－4或x>1；
令f′(x)<0，得－4所以f(x)在上单调递减；
在上单调递增．所以f(x)min＝f＝－3e.
答案：－3e
关于函数的极值、最值与导数的关注点
(1)已知极值点求出参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义．
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．
题组训练四　函数零点(方程的根)与导数
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.当x≤1时，
令f(x)＝0得：x2＋x＝0，解得：x＝－或x＝0，
当x>1时，则f(x)＝ln x－x＋3，f′(x)＝－＝，
所以当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)max＝f＝ln 2＋2>0，
因为当x→1时，f(x)→f＝>0，
所以f(x)在上无零点，
又f＝6－＝<0，
所以f(x)在上有零点，
因为f(x)在上单调递减，
所以f(x)在上有唯一零点，
所以当x>1时，f(x)＝0有唯一解．
综上所述：f(x)的零点个数为3.
2．若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则a的值为________．
【解析】因为函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
所以f′(x)＝2x(3x－a)，x∈(0，＋∞)，
①当a≤0时，f′(x)＝2x(3x－a)＞0，
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1，
f(x)在(0，＋∞)上没有零点，舍去；
②当a＞0时，f′(x)＝2x(3x－a)＞0的解集为x＞，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
又f(x)只有一个零点，
所以f＝－＋1＝0，解得a＝3.
答案：3
3．已知关于x的不等式(x－k－1)ex＋e2<0有且仅有三个整数解，则实数k的取值范围是________．
【解析】不等式(x－k－1)ex＋e2<0有且仅有三个整数解，
即x－k－1<－＝－e2－x，即k>x－1＋e2－x，
设函数f(x)＝x－1＋e2－x，f′(x)＝1－e2－x＝；
所以函数f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；
f(0)＝e2－1, f＝e, f＝2, f＝2＋，f(4)＝3＋，f(5)＝4＋，
要使得k>x－1＋e2－x有三个整数解，则
f答案：e与函数零点(方程根)有关的参数取值范围的求解方法
(1)直接法：根据题设条件建立关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系内，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝f(x)，y＝g(x)交点问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数；二是转化为y＝a，y＝f(x)的图象交点个数问题．
题组训练五　不等式与导数
1．已知(a＋1)x－1－ln x≤0对于任意x∈恒成立，则a的最大值为__________．
【解析】由题求(a＋1)x－1－ln x≤0在x∈上恒成立，可变形为a≤－1，令f(x)＝－1，化为a≤f(x)min，由f′(x)＝可得单调递减区间为，单调递增区间为，算出函数在闭区间上两端点的函数值，通过比较求出最小值为f＝1－2ln 2.
答案：1－2ln 2
2．已知函数f(x)＝x ln x＋e，若f(x)≥ax恒成立，求实数a的最大值．
【解析】函数f(x)的定义域为，若f(x)＝x ln x＋e≥ax恒成立，则a≤ln x＋，
令g(x)＝ln x＋，即a≤g(x)min，
令g′(x)＝－＝＝0，解得x＝e，
当x∈时，函数g(x)单调递减，
当x∈时，函数g(x)单调递增，
则g(x)min＝g(e)＝1＋1＝2，
故a≤g(x)min＝2，即a的最大值为2.
3．已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝x2－x.
(1)求证：f(x)≤g(x)，对x>0恒成立．
(2)若k∈Z，不等式k(x－1)【解析】(1)令h(x)＝ln x－x＋1(x>0)，
则h′(x)＝－1，
由h′(x)＝－1>0得0由h′(x)＝－1<0得x>1；
所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
所以h(x)≤h(1)＝0，所以ln x≤x－1，
因此x ln x≤x2－x，即f(x)≤g(x)，对x>0恒成立．
(2)由k(x－1)1)，得k<，
令g(x)＝(x>1).
则g′(x)＝
＝.
令h(x)＝x－2－ln x，则h′(x)＝1－>0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增，又h(3)<0，h(4)>0.
故 x0∈(3，4)，使h＝0.
所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以g(x)的最小值为g＝＝＝x0，因为k∈Z.
所以k的最大值为3.
不等式中的恒成立问题解法
(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
(2)若f(x)>0恒成立，f(x)>0就可讨论在参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min>0.f(x)<0恒成立，可转化为f(x)max<0；
(3)f(x)>g(x)恒成立，可转化为f(x)min>g(x)max.
题组训练六　生活中的优化问题
1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝－＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)
A．150 B．200 C．250 D．300
【解析】选D.设总利润为P(x)＝－＋400x－100x－20 000＝－＋300x－20 000(0≤x≤390) ，P′(x)＝－＋300(0≤x≤390)，
令P′(x)＝0，可得x＝300，
当0≤x<300时，P′(x)>0，
当300故当x＝300时，P(x)取得最大值．
2．半径为R的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为________．
【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，
则r2＋h2＝R2，即r2＝R2－h2，
所以圆锥的体积：V＝πr2·h＝h＝－h3＋R2h，
则V′＝－πh2＋R2，
令V′＝0，解得：h＝R，
则h∈时V′>0；
h∈时，V′<0，
即V在上单调递增，在上单调递减，
所以Vmax＝－3＋R2·R＝πR3.
答案：πR3
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数y2＝2x3－x2，已知x>0，为使利润最大，应生产________千台．
【解析】由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－＝18x2－2x3(x＞0).
y′＝36x－6x2，
由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＞0)，
当x∈(0，6)时，y′＞0，
当x∈(6，＋∞)时，y′＜0.
所以函数y在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数．
则当x＝6(千台)时，y有最大值．
答案：6
解决生活中的优化问题的关注点
(1)关注问题的实际意义，当解决问题需要考虑定义域时，要注意问题中变量的实际取值．
(2)实际问题要解决的一般都是最大、最小值的问题，所以要借助于导数先求极值，再进行比较得最值．
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10生活中的优化问题举例
类型一　平面几何中的最值问题(数学建模、数学运算)
【典例】1.如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于点O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是如图中的(　　)
【解析】选A.由所给的图示可得，当x≤π时，弓形PnO的面积为S＝f(x)＝
S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sin x，其导数为f′(x)＝2－2cos x，由余弦函数的性质知，此值越来越大，即f(x)的图象上升得越来越快，由此可以排除B，C；再由所给图示的对称性知，弓形PnO的面积先是增加得越来越快，然后是增加得越来越慢，直到增加率为0，由此可以排除D.
2．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底C，D的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为________．
【解析】连接OC，过C作CE⊥OB，垂足为E，如图：
设OE＝x，CE＝y，则x2＋y2＝4，
所以等腰梯形ABCD的面积S＝(2x＋4)y＝(x＋2)y＝(x＋2)＝，0令h(x)＝(x＋2)3(2－x)，0h′(x)＝3(x＋2)2(2－x)－(x＋2)3
＝4(1－x)(x＋2)2，x∈(0，1)，h′(x)>0，h(x)单调递增，x∈(1，2)，h′(x)<0，h(x)单调递减，
所以x＝1时，h(x)取得极大值，也是最大值，
h(x)max＝h(1)＝27，即S的最大值为3.
答案：3
3．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.
【解析】要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－，
令L′＝0，得x＝±16.
因为x>0，所以x＝16.
当x>16时，L′>0，L递增，
当0所以当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为32米．
答案：32米，16米
【思路导引】建立函数模型，应用导数求最值．
1．利用导数解决优化问题的基本思路
2．关于平面图形中的最值问题
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
如图是一块地皮OAB，其中OA，AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，OA＝2 km，AB＝ km，∠OAB＝.现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪，其中点C在曲线段OB上，点D，E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CD＝a km，矩形草坪CDEF的面积为f km2.
(1)求f，并写出定义域．
(2)当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？
【解析】(1)以O为原点，OA边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过点B作BG⊥OA于点G，在直角△ABG中，AB＝，∠OAB＝，所以AG＝BG＝1，又因为OA＝2，所以OG＝1，则B，设抛物线OCB的标准方程为y2＝2px，代入点B的坐标，得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x. 因为CD＝a，所以AE＝EF＝a，则DE＝2－a－a2，
所以f＝a＝－a3－a2＋2a，定义域为.
(2)f′＝－3a2－2a＋2，令f′＝0，得a＝.当00，f在上单调递增；
当【典例】如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.由题意，正方形ABCD的边长为2，可得对角线的一半为，折成正四棱锥后，设正四棱锥边长为a，高为h，可得：h2＝2－a，(0正四棱锥体积V＝a2·h最大时，即V＝.
令y＝2a4－a5，
则y′＝8a3－5a4，令y′＝0，可得a＝，
即当a＝时体积取得最大值；
所以h＝.正四棱锥底面正方形外接圆r＝.
正四棱锥外接球的半径R，可得2＋2＝R2，解得：R2＝.
正四棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝π.
关于立体几何中的最值问题
(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际问题相关的问题．
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
如图所示的某种容器的体积为90π cm3，它是由圆锥和圆柱两部分组合而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为r cm.圆锥的高为h1 cm，母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2 cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a元/cm2.
(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域．
(2)当容器造价最低时圆柱的底面圆半径r为多少？
【解析】(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45°，
所以h1＝r，
圆锥的体积为V1＝πr2h1＝πr3，
圆柱的体积为V2＝πr2h2.
因为V1＋V2＝90π，
所以V2＝πr2h2＝90π－πr3，
所以h2＝＝－.
因为V1＝πr3<90π，所以r<3.
因此0所以h2＝－，定义域为{r|0(2)圆锥的侧面积S1＝πr·r＝πr2，
圆柱的侧面积S2＝2πrh2，底面积S3＝πr2.
容器总造价为y＝aS1＋aS2＋2aS3＝2πr2a＋2πrh2a＋2πr2a＝2πa(r2＋rh2＋r2)＝2πa＝.令f(r)＝r2＋，则f′(r)＝2r－.
令f′(r)＝0，得r＝3.
当00，f(r)在(3，3)上为单调递增的．因此，当且仅当r＝3时，f(r)有最小值，即y有最小值，为90πa元．
所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为3 cm.
类型三　实际生活中的最值问题(数学建模)
　用料最省、费用最少问题
【典例】1.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为
3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【思路导引】结合导数进行求解．
【解析】1.选D.设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，得
l＝15×＋12×2
＝240＋72(x>0)，
l′＝72，令l′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，
当04时，l′>0.
故当x＝4时，l取得最小值为816.
2．设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，
于是由2＝得k1＝20；
由8＝10k2得k2＝.
所以两项费用之和为y＝＋(x>0)，
y′＝－＋，
令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).
当0当x>5时，y′>0.
所以当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
所以当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
　若本例1箱壁每平方米的造价为8元， 则箱子的最低总造价为多少？
【解析】设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，得l＝15×＋8×2
＝240＋48，l′＝48，
令l′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，
当04时，l′>0.
故当x＝4时，l取得最小值为624.
　利润最大问题
【典例】树人中学2019级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量g(x)(单位：百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)＝＋2(x－5)2，其中2(1)求函数g(x)的解析式．
(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位：百元)最大．
【思路导引】(1)由题意将(3，10)代入函数解析式，建立方程，即可求出g(x)的解析式．
(2)商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．
【解析】(1)由题意，10＝＋2(3－5)2，
解得a＝2，
故g(x)＝＋2(x－5)2(2＜x＜5).
(2)商场每日销售该商品所获得的利润为
y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2＜x＜5)，y′＝4(x－5)(x－2)＋ 2(x－5)2＝6(x－3)(x－5).列表得x，y，y′的变化情况：
x (2，3) 3 (3，5)
y′ ＋ 0 －
y 单调递增 极大值 单调递减
由表可得，x＝3是函数h(x)在区间(2，5)内的极大值点，也是最大值点．
解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
1．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元．如果销售额函数是f(x)＝－x3＋ax2＋x (x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕(　　)
A．6万斤 B．8万斤 C．3万斤 D．5万斤
【解析】选A.由题意，设销售的利润为g(x)，
得g(x)＝－x3＋ax2＋x－1－x，
即g(x)＝－x3＋ax2－1，
当x＝2时，g(2)＝－1＋a－1＝，解得a＝2，
故g(x)＝－x3＋x2－1，
则g′(x)＝－x2＋x
＝－x·(x－6)，
可得函数g(x)在(0，6)上单调递增，在(6，8)上单调递减，所以x＝6时，利润最大．
2．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选A.设锅炉的高h与底面直径d的比为
k＝，由V＝h＝·kd＝kd3，
可得d＝，h＝kd＝，
设造价为y，则y＝2π··a＋πdh·b
＝··k＋πb··k，
则y′＝··k＋πb··
k，令y′＝0，解得k＝，可得此时y取得最小值．故当造价最低时锅炉的高与底面直径的比为.
3．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用C1(x)与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式．
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
【解析】(1)由题设知，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)＝.
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6.
解得x＝5或x＝－(舍去).
当0当50，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
1．将边长为1 m的正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记y＝，则y的最小值为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.如图：设△ADE的边长为x，
则梯形周长为：3－x，△ADE的面积为：x2，
梯形面积为：，
则y＝＝·，
y′＝·
＝·，
当x∈时，y′<0，
当x∈时，y′>0，
故当x＝时，ymin＝×＝.
2．一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(0A．30 B．40 C．50 D．60
【解析】选B.V(x)＝－x3＋30x2，V′(x)＝－x2＋60x，
令V′(x)＝0，得x＝40(x＝0舍去)，且当0V′(x)>0，当403．(教材二次开发：例题改编)已知正四棱锥P ABCD内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________．
【解析】设球心为O，点P在平面ABCD上的投影为E，
PE＝h，如图，在Rt△AOE中，AE＝，又ABCD为正方形，
所以AB＝·.
从而VP ABCD＝×2×h
＝，
令f(h)＝(－h3＋2h2)(h>0)，
有f′＝(－3h2＋4h)＝h(－3h＋4)，
当00，
当h>时，f′<0，
所以当h＝时，f取得最大值，即体积VP ABCD最大．
答案：
4．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1 200＋x2(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大．
【解析】设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2＝，(其中k为非零常数)，又生产100件这样的产品单价为50万元，所以502＝，故k＝250 000，记生产x件产品时，总利润为f(x)，
所以f(x)＝mx－C(x)＝500－1 200－x2，x>0，则f′(x)＝－x，由f′(x)>0得0由f′(x)<0得x>225，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，因此当x＝225时，f(x)取得最大值．
即产量定为225件时，总利润最大．
答案：225
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12函数的单调性与导数
导思 1.函数的单调性与导数的正负有怎样的关系？2．如何求函数的单调区间？
1.函数的单调性与其导数正负的关系
(1)定义在区间(a，b)内的函数f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减
(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量间的变化规律，反映在导函数上，即导函数的正负关系，是后续学习极值、最值的基础，是函数性质的核心内容．
(3)作用：①判断函数的单调性；②求函数的单调区间；
③确定参数的取值范围．
(1)“若函数y＝f(x)在区间(a，b)内恒有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内单调递增”，反之，若f(x)在(a，b)内单调递增，能推出在(a，b)内恒有f′(x)>0吗？
(2)“若函数y＝f(x)在区间(a，b)内恒有f′(x)<0，则f(x)在(a，b)内单调递减”，反之，若f(x)在(a，b)内单调递减，能推出在(a，b)内恒有f′(x)<0吗？
(3)在(a，b)内存在f′(x)恒等于0的函数吗？
提示：(1)不能，若f(x)在(a，b)内单调递增，则在(a，b)内恒有f′(x)≥0.
(2)不能，若f(x)在(a，b)内单调递减，则在(a，b)内恒有f′(x)≤0.
(3)存在，这样的函数是常数函数f(x)＝c.
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
|f′(x)| 函数值的变化 函数的图象
越大 (递增或递减)越快 比较“陡峭”
越小 (递增或递减)越慢 比较“平缓”
　为什么|f′(x)|越大，函数递增(或递减)越快，其图象越陡峭？
提示：|f′(x)|越大，说明函数的瞬时变化率越大，即函数值的变化越快，其图象更陡峭．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)因为′＝－<0恒成立，所以函数y＝在(－∞，＋∞)上单调递减．(　×　)
提示：因为函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
由′＝－<0恒成立，
所以函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减．
(2)因为′＝1＋>0，所以函数y＝x－在(－∞，＋∞)上单调递增．(　×　)
提示：因为函数y＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
由′＝1＋>0恒成立，
所以函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．
(3)函数f(x)＝x2＋2x－3的导数f′(x)＝2x＋2是增函数，所以函数f(x)＝x2＋2x－3在(－∞，＋∞)上是增函数．(　×　)
提示：因为f′(x)＝2x＋2，
所以当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
即函数f(x)＝x2＋2x－3在x∈(－∞，－1)上单调递减，在x∈(－1，＋∞)上单调递增．
2．已知函数f(x)＝x2－ln x，则其单调增区间是(　　)
A. B．
C. D．
【解析】选A.由f(x)＝x2－ln x，函数定义域为，求导f′(x)＝x－＝，令f′(x)>0，得x>1或x<－1(舍去)，所以f(x)的单调增区间是.
3．(教材二次开发：练习改编)函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调减区间为________．
【解析】f′(x)＝(2x3－6x2＋7)′＝6x2－12x<0，
解得0答案：(0，2)
类型一　导数与函数图象的关系(数学运算、直观想象)
1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
【解析】选B.在区间(－1，1)上，f′(x)>0，因此函数y＝f(x)在区间(－1，1)上为增函数，易知四个选项都符合．在区间(－1，0)上，f′(x)单调递增，故y＝f(x)在区间(－1，0)上增加的越来越快，函数图象应为指数增长的模式；在区间(0，1)上，f′(x)单调递减，故y＝f(x)在区间(0，1)上增加的越来越慢，函数图象应为对数增长的模式．
2．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的递减区间为(　　)
A. B．，
C. D．，
【解析】选D.g′(x)＝，由图象：x∈和x∈(4，＋∞)时，f′(x)－f(x)<0，即g′(x)<0，故g(x)在，上递减．
3．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式xf′(x)>0的解集为________．
【解析】由图象可知，函数y＝f的单调递增区间为和，单调递减区间为，则不等式f′>0的解集为∪，不等式f′<0的解集为.由xf′>0，
可得
解不等式组得－1解不等式组得x>1.
因此，不等式xf′>0的解集为∪.
答案：∪
　函数与导数图象间的关系
判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：
(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢
f′(x)＞0且越来越大 f′(x)＞0且越来越小
函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢
f′(x)＜0且越来越小，绝对值越来越大 f′(x)＜0且越来越大，绝对值越来越小
　【补偿训练】
1.如果函数y＝f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
　　　
【解析】选A.y＝f(x)的单调变化情况为先增后减、再增再减，因此y＝f′(x)的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合．
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是(　　)
【解析】选A.x<－2时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；
－20，则f(x)单调递增；
x>0时，f′(x)<0，则f(x)单调递减．
则符合上述条件的只有选项A.
类型二　利用导数求函数的单调区间(直观想象、逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)＝ax·ln x＋b(a，b为实数)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)求实数a，b的值．
(2)求函数f(x)的单调区间．
【思路导引】
(1)由题意可得关于a，b的方程组，即可求出a，b的值．
(2)由(1)可得函数解析式，再求出导函数，根据导函数的正负求原函数的单调区间．
【解析】(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a(1＋ln x)，
因为曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，
所以
解得a＝1，b＝0.
(2)f(x)＝x·ln x，令f′(x)＝1＋ln x＝0，得x＝，
当0时，f′(x)>0，f(x)在区间内单调递增．
所以函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
　求函数y＝f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)＞0，函数在解集所表示定义域内为增函数．
(4)解不等式f′(x)＜0，函数在解集所表示定义域内为减函数．
如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
1．已知e为自然对数的底数，函数y＝xex的单调递增区间是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【解析】选A.因为y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，
由y′≥0，解得x≥－1，故递增区间为[－1，＋∞).
2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0，2)
【解析】选D.函数f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调递减区间为(0，2).
类型三　利用导数求参数的取值范围(数学运算、逻辑推理)
　已知单调性求参数的取值范围
【典例】1.(2021·六盘水高二检测)若函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x在上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤4 B．a≥4
C．a≤－4 D．a≥－4
【思路导引】由题意得：f′(x)＝2x＋2＋≤0在上恒成立，整理可得：a≤－2x2－2x在上恒成立，直接求解即可．
【解析】选C.由题意可得：
f′(x)＝2x＋2＋≤0在上恒成立，
整理可得：a≤－2x2－2x，
函数y＝－2x2－2x在上递减，
所以y∈(－4，0)，所以a≤－4.
2．已知函数f(x)＝2ex＋(1－k)x2在(0，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是________．
【思路导引】对函数求导，分离参数，转化为恒成立问题求解．
【解析】由f(x)＝2ex＋(1－k)x2得f′(x)＝2ex＋2(1－k)x，
又函数f(x)＝2ex＋(1－k)x2在(0，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)＝2ex＋2(1－k)x≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即k－1≤在(0，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，x>0，则g′(x)＝＝，
由g′(x)>0得x>1；由g′(x)<0得0所以函数g(x)＝在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；因此g(x)min＝g(1)＝e，所以g(x)≥g(1)＝e，故k－1≤e，即k≤e＋1.
答案：(－∞，e＋1]
　含参数的单调性讨论
【典例】讨论函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)的单调性．
【思路导引】对函数f(x)求导，讨论a的取值，确定函数的单调性．
【解析】f′(x)＝a＋＝(x>0).
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，
所以，f的单调递增区间为(0，＋∞).
②当a<0时，由f′＝0，得x＝－.
在区间上，f′>0，在区间上f′<0，所以，函数f的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述：当a≥0时，增区间为(0，＋∞)，
当a<0时，增区间为，减区间为.
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
1．函数f＝ln x－ax在区间上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，1]
C． D．
【解析】选D.由函数f＝ln x－ax，
得f′(x)＝－a，
故据题意可得问题等价于x∈时，
f′(x)＝－a≥0恒成立，
即a≤恒成立，函数y＝单调递减(x∈(1，5))，故a≤.
2．若函数y＝f(x)＝x3－3bx＋1在区间[1，2]内是减函数，b∈R，则(　　)
A．b≤4 B．b≤1 C．b≥4 D．b≥1
【解析】选C.函数y＝f(x)＝x3－3bx＋1的导数f′(x)＝3x2－3b，因为函数y＝x3－3bx＋1在区间内是减函数，所以f′(x)＝3x2－3b≤0在区间内恒成立，等价于b≥x2在[1，2]内恒成立，因为y＝x2在[1，2]内的最大值为4，所以b≥4.
3．已知函数f＝ln x－ax2－2x.若函数f存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【解析】因为f＝ln x－ax2－2x，x∈，
所以f′＝－ax－2，x∈.
因为f在上存在单调递减区间，
所以当x∈时，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设g＝－，所以只要a>gmin即可．
而g＝2－1，
所以gmin＝－1.所以a>－1.
所以实数a的取值范围为.
备选类型　构造函数解不等式(数学抽象)
【典例】已知函数f的定义域为R，f＝，对任意的x∈R满足f′(x)<－4x，当α∈[－π，π]时，不等式f(cos α)＋cos 2α<0的解集为(　　)
A． B．
C． D．
【思路导引】由题意构造函数g(x)＝f(x)＋2x2－1，则函数g(x)在R上为减函数，且g＝0.又g(cos α)＝f(cos α)＋cos 2α，所以f(cos α)＋cos 2α<0的解集为cos α>，从而求出满足题意的α的范围．
【解析】选A.由题意构造函数g(x)＝f(x)＋2x2－1 ，
则g′(x)＝f′(x)＋4x<0 ，
所以函数g(x)在R上为减函数．
因为f＝，
所以g＝f＋2×2－1＝0 .
所以g(cos α)＝f(cos α)＋2cos 2α－1＝f(cos α)＋cos 2α，
所以f(cos α)＋cos 2α<0 的解为cos α>，
因为－π≤α≤π，所以－<α<，
所以不等式f(cos α)＋cos 2α<0的解集为.
构造函数解不等式的几个类型
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的构成形式．常见的几种形式有：
(1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x).
(2)对于f′(x)>a(a≠0)，则构造h(x)＝f(x)－ax.
(3)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x).
(4)对于f′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝.
(5)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x).
(6)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝.
　函数的定义域为R，f＝－1，对任意x∈R，f′(x)<－1，则f(x)>1－x的解集为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.令g(x)＝f(x)＋x,
因为对任意x∈R，f′(x)<－1,
所以g′(x)＝f′(x)＋1<0，即g(x)在R上单调递减，
又因为f＝－1，所以g＝f＋2＝1,
由f(x)>1－x，可得f(x)＋x>1，即g(x)>g，
所以x<2，即不等式f(x)>1－x的解集为x∈.
1．函数y＝x2＋的单调递增区间为(　　)
A． B．(，＋∞)
C． D．
【解析】选C.y′＝2x－＝，
由y′>0得2x3－2>0，即x>1，
所以函数y＝x2＋的单调递增区间为(1，＋∞).
2．已知f(x)＝x2－cos x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　)
【解析】选A.依题意f′(x)＝x＋sin x，令h(x)＝x＋sin x，则h′(x)＝1＋cos x．由于f′(0)＝0，故排除C选项．由于h′(0)＝1＋1＝2>0，故f′(x)在x＝0处导数大于零，故排除B，D选项．
3．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0，2)内单调递减，则常数a的值为________．
【解析】f′(x)＝6x2＋2ax，
令6x2＋2ax<0，
当a>0时，
解得－当a<0时，解得0由题意知－＝2，a＝－6.
答案：－6
4．求函数f(x)＝x3－3x的递减区间．
【解析】因为f′(x)＝3x2－3，所以令3x2－3<0，
解得－1所以函数f(x)＝x3－3x的递减区间为.
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11函数的极值与导数
导思 1.函数的极值点、极值是什么？2．如何求函数的极值？
1.极小值点与极小值
若函数f(x)满足：
(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)．
(2)f′(a)＝0.
(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0.
则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(1)函数的极小值点是点吗？
(2)函数的极小值唯一吗？
提示：(1)函数的极小值点不是点，它是函数极小值对应的自变量的值．
(2)不一定，有的函数无极小值，有的函数有唯一一个极小值，有的函数有多个极小值．
2．极大值点与极大值
若函数f(x)满足：
(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≤f(a)．
(2)f′(a)＝0.
(3)在x＝a附近的左侧f′(x)>0，在x＝a附近的右侧f′(x)<0.
则点a叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极大值．
函数的极大值一定大于它的极小值吗？为什么？
提示：不一定．函数的极值是函数的局部性质，极大值是局部达到极大，但在整个定义域内也许值不是很大．
3．极值点、极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
(2)极小值、极大值统称为极值．
极值点的分布有规律吗？有什么规律？
提示：有规律．如果函数y＝f(x)既有极大值又有极小值，那么
①函数y＝f(x)在极值点处导数为0；
②极大值点与极小值点交替出现，相邻两个极大值点之间一定有一个极小值点，相邻两个极小值点之间一定有一个极大值点．
4．求函数y＝f(x)极值的方法
函数f(x)的导函数为f′(x)，解方程f′(x)＝0，得到x＝x0，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，附近的右侧f′(x)<0，那么f(x0)为函数的极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，附近的右侧f′(x)>0，那么f(x0)为函数的极小值．
若f′(x0)＝0，函数y＝f(x)在x＝x0处一定取得极值吗？
提示：不一定．例如f(x)＝x3，x＝0时，f′(0)＝0，但由于在x＝0两侧导数同号，因此函数f(x)＝x3在x＝0不取得极值．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．(　×　)
提示：导数值为0的点不一定是函数的极值点．
(2)函数的极小值一定小于它的极大值．(　×　)
提示：有的函数的某个极小值大于它的某个极大值．
(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值．(　×　)
提示：有的函数只有一个极大值或极小值；有的函数有一个极大值和一个极小值；有的函数有多个极小值和极大值；也有的函数无极值．
(4)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．(　√　)
提示：若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)极值点的两侧附近其单调性一定相反，所以它在(a，b)内不是单调函数．
2．函数f(x)＝x3－12x的极小值点为________．
【解析】因为f(x)＝x3－12x，
所以f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2) (x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝－2，
所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，f(x)在(－2，2)上单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上单调递增；
所以f(x)在x＝2时取得极小值．
答案：2
3．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.由导函数f′(x)的图象知在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值点；在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值点；在x＝2处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值点；所以f(x)的极小值点的个数为1.
类型一　求函数的极值点(数学运算)
1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【解析】选D.由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0，并且当x<－2时，f′(x)>0；
当－2则函数f(x)有极大值f(－2).
又当1当x>2时，f′(x)>0，则函数f(x)有极小值f(2).
2．(2021·南阳高二检测)函数f(x)＝x ln x－ax＋1在点A(1，f(1))处的切线斜率为－2.
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
【解析】(1)函数f(x)＝x ln x－ax＋1的导数为f′(x)＝ln x＋1－a，
在点A(1，f(1))处的切线斜率为1－a，
所以f′(1)＝－2，即1－a＝－2，所以a＝3；
(2)由(1)得，f′(x)＝ln x－2，x∈(0，＋∞),
令f′(x)>0，得x>e2，令f′(x)<0，得0即f(x)的增区间为，减区间为.
在x＝e2处取得极小值1－e2，无极大值．
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
【补偿训练】
设函数f(x)＝x3－x2＋2x，则(　　)
A.函数f(x)无极值点
B.x＝1为f(x)的极小值点
C.x＝2为f(x)的极大值点
D.x＝2为f(x)的极小值点
【解析】选A.由函数f(x)＝x3－x2＋2x可得：
f′(x)＝3x2－2x＋2＝3＋＞0，
所以函数f(x)在R上单调递增．
所以函数f(x)＝x3－x2＋2x的单调递增区间为(－∞，＋∞).所以函数f(x)无极值点．
类型二　与参数相关的极值问题(数学运算)
【典例】已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，求实数a的取值范围．
【思路导引】只需说明函数f(x)＝x(ln x－ax)的导数有两个根．
【解析】由题意得f(x)＝x ln x－ax2，
则f′(x)＝ln x＋1－2ax，
令g(x)＝ln x＋1－2ax，
因为函数f(x)＝x有两个极值点，
则g(x)＝0在区间上有两个实数根，
g′(x)＝－2a＝，
当a≤0时，g′(x)>0，
则函数g(x)在区间上单调递增，
因此g(x)＝0在区间上不可能有两个实数根，应舍去；
当a>0时，令g′(x)＝0，解得x＝，
令g′(x)>0，解得0令g′(x)<0，解得x>，此时函数g(x)单调递减，
所以当x＝时，函数g(x)取得极大值，
当x趋近于0与x趋近于＋∞时，g(x)→－∞，
要使g(x)＝0在区间上有两个实数根，
则g＝ln >0，
解得0所以实数a的取值范围是0已知函数的极值情况求参数时应注意两点
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
1．(2021·驻马店高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象在点处的切线斜率为6，且函数f(x)在x＝2处取得极值，则a＋b＝(　　)
A．－ B．7
C． D．
【解析】选C.由题可知：f′(x)＝3ax2＋b，
则解得a＝－，b＝8.
经检验，当a＝－，b＝8时，f(x)在x＝2处取得极大值，
所以a＋b＝.
2．设函数f(x)＝ax2＋ex(a∈R)有且仅有两个极值点x1，x2(x1A． B．
C． D．
【解析】选B.因为函数f(x)＝ax2＋ex(a∈R)有且仅有两个极值点，所以f′(x)＝0在R上有两个不同的解，即2ax＋ex＝0在R上有两解，
即直线y＝－2ax与曲线y＝ex的图象有两个交点，
设直线y＝g(x)＝kx与曲线y＝h(x)＝ex的图象相切，切点为(x0，y0)，作函数y＝ex的图象，
因为h′(x)＝ex，则ex0＝k，
所以＝＝k＝ex0，
解得x0＝1，即切点为(1，e)，此时k＝e，
由图象知直线y＝g(x)＝kx与曲线y＝ex的图象有两个交点时，有k>e即－2a＞e，解得a＜－.
类型三　函数极值的综合应用(直观想象、数学运算)
　由极值点确定参数
【典例】设定函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1，4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式．
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
【思路导引】(1)先求出函数的导数f′(x)＝ax2＋2bx＋c，根据方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1，4得到关于a，b，c的方程组，再依据a＝3且曲线y＝f(x)过原点，分别求出a，b，c，d的值，从而求得函数f(x)的解析式．
(2)函数f(x)在内无极值点，再依据a>0可知f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在内恒成立，可以得到解出a的取值范围即可．
【解析】由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.
由于f′(x)－9x＝ax2＋x＋c＝0的两个根分别为1，4，所以(*)
(1)当a＝3时，由(*)式得解得又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0，
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在内无极值点，
所以f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在内恒成立．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a，
又Δ＝2－4ac＝9.
解得a∈，即a的取值范围为.
本例题(2)条件“f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点”，改为“f(x)在(－∞，＋∞)内有两个极值点”，试求a的取值范围．
【解析】由于a>0，f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在内有两个极值点，
所以f′(x)＝ax2＋2bx＋c＝0在内有两个不等实根．由例题解析知2b＝9－5a，c＝4a，
又Δ＝2－4ac＝9.
解
得09.
　求含参数的函数极值
【典例】已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程．
(2)求函数f(x)的极值．
【思路导引】(1)求导，点斜式求切线方程．
(2)求导，对a讨论判断导数符号求极值．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
则f(1)＝1，f′(1)＝－1，
故y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0可知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．
1.三次函数有极值的充要条件
三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值 导函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4b2－12ac>0.
2．三次函数单调性与极值(设x1(1)当Δ≤0时，①若a>0，则f(x)在R上是增函数；
②若a<0，则f(x)在R上是减函数．
(2)当Δ>0时，①若a>0，则f(x)的增区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，减区间为(x1，x2)，f(x1)为极大值，f(x2)为极小值；②若a<0，则f(x)的减区间为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，增区间为(x1，x2)，f(x1)为极小值，f(x2)为极大值．(如图所示)
Δ＞0 Δ≤0
a＞0
a＜0
1．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间．
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a).
当a<0时，对x∈R，f′(x)>0恒成立，
即当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>，
由f′(x)<0，解得－即当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，).
(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知m的取值范围是(－3，1).
2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值．
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
【思路导引】
(1)x＝±1是导函数的零点，结合f(1)＝－1列方程组，求a，b，c的值．
(2)求导，确定极大值点还是极小值点．
【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，即a＋b＋c＝－1.
解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)；
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数，
在(－1，1)上为减函数．所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，x＝－1是极大值点；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1，x＝1是极小值点．
1．已知函数f(x)＝x3－4x，则f(x)的极大值点为(　　)
A．x＝－4 B．x＝4
C．x＝－2 D．x＝2
【解析】选C.由f(x)＝x3－4x，得：f′(x)＝x2－4.
由f′(x)＝x2－4>0，得：x<－2或x>2.
由f′(x)＝x2－4<0，得：－2所以函数f(x)的增区间为，.
函数f(x)的减区间为.
所以，x＝－2是函数的极大值点，x＝2是函数的极小值点．
2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A.在上f(x)是增函数
B．在上f(x)是减函数
C．在x＝3处取得极小值
D．在x＝1处取得极大值
【解析】选B.由题图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；在上f(x)是减函数，故B正确；因为在上单调递减，故在x＝3处不能取得极值，故C错误；在上单调递增，故在x＝1处不能取得极值，故D错误．
3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R).若x＝－1为函数y＝f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是(　　)
【解析】选D.因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′
＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数y＝f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
4．函数f(x)＝x－ln x的极小值为________．
【解析】f′(x)＝，当0当x>1时f′(x)>0.故f(x)的极小值为f＝1.
答案：1
5．(教材二次开发：例题改编)函数f(x)＝x3－3x的极大值为________．
【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3，
令f′(x)>0，得x<－1或x>1；
令f′(x)<0，得－1所以函数f(x)在上是增函数，
在上是减函数，
在上是增函数，
所以函数f(x)＝x3－3x在x＝－1时取得极大值2.
答案：2
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11函数的最大(小)值与导数
导思 1.最值与导数有什么关系？2．如何利用导数求连续函数的最值？
1.函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(1)在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值一定有最值，反之成立吗？
(2)函数的极值与最值有什么区别？
提示：(1)反之不成立，在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值一定有最值，但有最值不一定有极值．
(2)①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最值是函数在给定区间的整体概念．②函数极值只能在区间内部取得，函数最值可能在区间端点取得．
2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]端点的函数值f(a)，f(b).
(3)比较各极值以及f(a)，f(b)的值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
函数的最值一定在区间端点处取得吗？
提示：不一定，当函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数时，函数最值在区间端点取得，否则，函数最值不一定在区间端点取得．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值．(　×　)
提示：函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值．
(2)闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值．(　×　)
提示：闭区间上的连续的单调函数只有最值，没有极值.
(3)若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值．(　×　)
提示：若函数在其定义域上有最值，则不一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值.
(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值. (　√　)
提示：若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值.
2．关于函数f(x)＝x3＋x，下列说法正确的是(　　)
A．没有最小值，有最大值
B.有最小值，没有最大值
C.有最小值，有最大值
D.没有最小值，也没有最大值
【解析】选D.依题意f′(x)＝3x2＋1>0，所以f(x)在R上递增，没有最小值，也没有最大值．
3．(教材二次开发：练习改编)若函数f(x)＝x3－x2定义在[－1，1]上，则函数的最小值是________；最大值是________．
【解析】由题得f′(x)＝x2－2x，
令f′(x)＝x2－2x＝0得x＝2(舍去)或0，
因为f(－1)＝－，f(0)＝0，f(1)＝－，
所以函数的最小值是－，最大值为0.
答案：－　0
类型一　求函数的最值(数学运算)
【典例】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．1，－1 B．1，－17
C.3，－17 D．9，－19
【思路导引】求导，求极值，求区间端点的函数值，通过比较求函数的最值．
【解析】选C.因为f(x)＝x3－3x＋1，
所以f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1).
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，
所以函数f(x)在[－3，－1]上单调递增，
在[－1，0]上单调递减，且f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，
所以f(x)在区间[－3，0]上的最大值为3，最小值为－17.
求函数最值的四个步骤
第一步，求函数f(x)的定义域．
第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
第四步，求极值、端点值，确定最值．
警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
1．函数f(x)＝ln x－x在上的最大值为(　　)
A.－1 B．1－e
C.－e D．0
【解析】选A.f′(x)＝－1＝，
令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得1所以函数f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取极大值，这个极大值也是函数f(x)在上的最大值，
所以f(x)max＝f＝－1.
2．(2021·乐山模拟)已知函数f(x)＝3x3－9x＋5.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值．
【解析】(1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，x∈R，
令f′(x)<0，得－1所以f(x)的减区间为.
(2)由(1)，令f′(x)>0，得x<－1或x>1知：x∈，f(x)为增函数，
x∈，f(x)为减函数，x∈，f(x)为增函数．
f＝－49，f＝11，f(1)＝－1，f(3)＝59.
所以f(x)在区间上的最大值为59，最小值为－49.
【补偿训练】
1.函数f(x)＝3x－x3(－≤x≤3)的最大值为(　　)
A．18 B．2 C．0 D．－18
【解析】选B.f′(x)＝3－3x2，
令f′(x)＝0，得x＝±1，－≤x<－1时，f′(x)<0，－10，1因为f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－)＝0，
f(3)＝－18，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为(　　)
A.－37 B．－29 C．－5 D．－11
【解析】选A.因为f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.
又f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，
所以m＝3，最小值为f(－2)＝－37.
类型二　含参数的最值问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)＝.当a<0时，求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值．
四步 内　容
理解题意 条件:①函数f(x)= ,②a<0.结论:函数f(x)在区间[0,1]上的最小值.
思路探求 求导,通过讨论a的范围研究导函数的符号和函数的单调性,进而确定函数的最值.
书写表达 由f(x)= 得:f'(x)= ,x∈,令f'(x)=0,因为a<0,解得x=1+<1,(1)当1+≤0,即-1≤a<0时,f'(x)≥0对x∈恒成立,所以f(x)在上递增,f(x)min=f=-1;(2)当0<1+<1,即a<-1时①,x,f'(x),f(x)在上的情况如表:x01+1f'(x)-0+f(x)递减极小值递增 ② 所以f(x)min=f＝.综上,-1≤a<0时,f(x)min=-1,a<-1时,f(x)min=.注意书写的规范性:①字母的不同取值影响到最值的求解,要对字母进行讨论;②讨论x,f'(x),f(x)的变化情况时,要注意列表.
题后反思 利用导数求函数的最值,求导是关键,但要对字母的取值分类讨论.
1．含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
2．已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．
已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间．
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．
【解析】(1)f′(x)＝－a(x＞0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞).
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当0当x>时，f′(x)＝＜0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②当≥2，即0③当1<<2，即所以当当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，
当0当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.
类型三　与函数最值有关的综合问题(数学抽象、逻辑推理)
　与零点有关的综合问题
【典例】已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，求a的取值范围．
【思维导引】
求导，判断函数单调性，结合图象求解．
【解析】函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为 (－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．所以实数a的取值范围为(－∞，2ln 2－2].
若将本例条件改为“函数f(x)＝ex－2x＋a有两个零点”结果如何？
【解析】由典例知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，函数值由－∞增大到2ln 2－2，在(ln 2，＋∞)上递减，函数值由2ln 2－2递减到－∞，函数f(x)＝ex－2x＋a有两个零点，即方程ex－2x＋a＝0有两个实数根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有两个交点，所以所求实数a的取值范围为(－∞，2ln 2－2).
　有关恒成立问题
【典例】(2021·玉林高二检测)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1(a∈R).
(1)若x＝2是函数f(x)的一个极值点，求a的值；
(2)当a<2时， x1，x2∈，≤恒成立，求a的取值范围．
【思路导引】
(1)由解析式得到导函数f′(x)，结合x＝2是函数f(x)的一个极值点，f′＝0即可求a的值；
(2)由题设分析知，在x∈内有f(x)max－f(x)min≤，结合已知a<2，讨论a≤0，0【解析】(1)由函数解析式知：f′(x)＝x2－x＋a，
由题意，得f′＝4－2＋a＝0，故a＝2.经检验，a＝2满足题意．
(2)由已知，当a<2时，要使 x1，x2∈，|f(x1)－f(x2)|≤，只需x∈，f(x)max－f(x)min≤.f′(x)＝x2－x＋a＝.
①当a≤0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以f(x)min＝f(1)＝＋，而f＝1，f＝，故f(x)max＝.所以f(x)max－f(x)min＝－－≤，解得a≥(舍去).
②当0由于f－f＝，
所以只需，
即，
所以≤a<1.
③当a＝1时，f′(x)＝2≥0，f(x)在上单调递增，
所以f(x)max－f(x)min＝f－f＝，满足题意．
④当1由于f－f＝，
所以只需，即，
所以1综上，知：a∈.
1．已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程注意要检验；
2．函数在闭区间内任意两个函数值的差小于定值问题，可转化为最值间的距离小于该定值，
(1)当x＝x0有极值则f′(x0)＝0，即可得有关参数的方程；
(2) x1，x2∈，≤c恒成立转化为x∈，f(x)max－f(x)min≤c.
3．分离参数求解不等式恒成立问题
1．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.
由f′(x)<0得00得x>，
所以f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f()＝1＋2ln ＝1＋ln a.
由f(x)≥2恒成立可得f(x)min≥2，即1＋ln a≥2，所以a≥e.
答案：[e，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.
(1)求函数f(x)的单调区间．
(2)若函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，求a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a).由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ?↗ 极大值 ?↘ 极小值 ?↗
故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a).
(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，必须满足解得0＜a＜.所以a的取值范围是.
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4.
(1)若f(x)在x＝处取得极值，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若关于x的方程f(x)＝m在[－1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝－3x2＋2ax，
由题意得f′＝0，解得a＝2，经检验满足条件．
(2)由(1)知f(x)＝－x3＋2x2－4，
则f′(x)＝－3x2＋4x，
令f′(x)＝0，则x＝0，x＝(舍去)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x －1 (－1，0) 0 (0，1) 1
f′(x) － 0 ＋
f(x) －1 ?↘ －4 ↗? －3
因为关于x的方程f(x)＝m在[－1，1]上恰有两个不同的实数根，所以－4＜m≤－3，
所以实数m的取值范围是(－4，－3].
1．函数f(x)＝x＋2cos x在上的最大值为(　　)
A．2 B．＋
C．＋1 D．＋
【解析】选B.f(x)＝x＋2cos x f′(x)＝1－2sin x，
当f′(x)>0时，有1－2sin x>0 sin x<，
又因为x∈[0，π]，所以x∈，
因此当x∈时，函数f(x)单调递增；
当f′(x)<0时，有1－2sin x<0 sin x>，
又因为x∈[0，π]，所以x∈，
因此当x∈时，函数f(x)单调递减，
因此x＝是函数f(x)在上的极大值点，
极大值为f＝＋2cos ＝＋2×＝＋，而f＝0＋2cos 0＝2，f＝＋2cos ＝，
因为＋>2>，
所以f(x)＝x＋2cos x在上的最大值为＋.
2．函数f(x)＝(1－x)ex有(　　)
A．最大值为1 B．最小值为1
C．最大值为e D．最小值为e
【解析】选A.f′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)有最大值为f(0)＝1.
3．(教材二次开发：例题改编)函数f(x)＝2x3＋9x2－2在上的最大值和最小值分别是(　　)
A．25，－2 B．50，14
C．50，－2 D．50，－14
【解析】选C.因为函数f(x)＝2x3＋9x2－2，
所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)>0，函数为增函数；
当x∈(－3，0)时，f′(x)<0，函数为减函数；
由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在区间[－4，2]上的最大值和最小值分别为50，－2.
4．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1，2]，都有f(x)＜m，则实数m的取值范围是________．
【解析】f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.可求得f(x)max＝f(2)＝7.
所以对于任意x∈[－1，2]，f(x)＜m恒成立时，m＞7.
答案：m＞7
5．设函数f(x)＝x2＋1－ln x，
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数g(x)＝f(x)－x在区间上的最小值．
【解析】(1)定义域为，f′(x)＝2x－，
由f′(x)>0得x>，
所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)g(x)＝x2＋1－ln x－x，g′(x)＝2x－－1＝，由g′(x)>0得x>1，
所以g(x)在上单调递减，在(1，2)上单调递增，
所以g(x)的最小值为g(1)＝1.
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11导数的运算法则
导思 1.函数的和、差、积、商的求导法则是什么？2．如何求复杂函数的导数？
　导数的四则运算法则
(1)法则：
(2)本质：和、差的导数即导数的和、差；
积的导数即第一个因式的导数乘第二个因式加上第一个因式乘第二个因式的导数；
商的导数即分子的导数乘分母减分母的导数乘分子除以分母的平方．
(3)作用：求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数．
　函数y＝c·f(x)求导，是积的导数吗？结果是什么？
提示：函数y＝c·f(x)求导，是积的导数，其结果为：
y′＝[c·f(x)]′＝c·f′(x).
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若y＝x＋则y′＝1＋.(　×　)
(2)若y＝x2cos x，则y′＝－2x sin x．(　×　)
(3)若y＝，则y′＝－cos x．(　×　)
(4)若y＝3x2－2ex ，则y′＝6x－2ex.(　√　)
提示：(1)由y＝x＋，得y′＝1－.
(2)由y＝x2 cos x，得y′＝2x cos x－x2 sin x.
(3)由y＝，得y′＝.
(4)根据导数四则运算法则，y′＝(3x2)′－(2ex)′＝6x－2ex.
2．能说明“若f′(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题的一个函数是________．
【解析】若f(x)＝x3＋1，则f′(x)＝3x2是偶函数，
但f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数；能满足“若f′(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题．
答案：f(x)＝x3＋1(答案不唯一)
3．(教材二次开发：习题改编)求下列函数的导数：
(1)y＝xn＋ex.　(2)y＝.　(3)y＝cos x·sin x.
【解析】(1)因为y＝xn＋ex，所以y′＝(xn＋ex)′
＝nxn－1＋ex.
(2)因为y＝，
所以y′＝′＝＝.
(3)因为y＝cos x·sin x，
所以y′＝(cos x·sin x)′＝－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x.
类型一　利用运算法则求函数的导数(数学运算)
1．设函数f的导数为f′，若f＝ex ln x＋－1，则f′＝(　　)
A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e
【解析】选C.由题得f′＝ex ln x＋－，
所以f′＝－＝e－1.
2．函数f(x)＝(x＋1)2的导函数为(　　)
A．f′(x)＝x＋1 B．f′(x)＝2x＋1
C．f′(x)＝x＋2 D．f′(x)＝2x＋2
【解析】选D.因为f(x)＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1，
所以f′(x)＝2x＋2.
3．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x. (2)y＝ln x＋.
(3)y＝2x3－3x2＋5x－4.
【解析】(1)y＝x2sin x，所以y′＝(x2sin x)′
＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.
(2)y＝ln x＋，所以y′＝－.
(3)y＝2x3－3x2＋5x－4，
所以y′＝(2x3－3x2＋5x－4)′＝6x2－6x＋5.
　利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是
由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．
(2)如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
　　　【补偿训练】
求下列函数的导数：
(1)y＝－ln x. (2)y＝(x2＋1)(x－1).
(3)y＝. (4)y＝.
【解析】(1)y′＝(－ln x)′＝()′－(ln x)′＝－.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′
＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝
＝.
(4)y′＝＝.
类型二　导数运算法则的综合应用(数学运算，逻辑推理)
【典例】设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f在点(2，f(2))处的切线方程为3x－2y－4＝0.
(1)求f(x)的解析式．
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【思路导引】
(1)由列出有关a，b的方程组，解出a，b.
(2)设点为函数y＝f图象上任意一点的坐标，利用导数求出函数y＝f在该点处的切线方程，求出切线与y轴和直线y＝x的交点坐标，再利用三角形的面积来证明结论．
【解析】(1)将点的坐标代入直线3x－2y－4＝0的方程得f＝1，
因为f＝ax－，则f′＝a＋，直线3x－2y－4＝0的斜率为，
于是
解得故f＝x－，
(2)设点P为曲线y＝f上任意一点，由(1)知f＝x－，
所以f′＝1＋，又f＝x0－，
所以，曲线y＝f在点P处的切线方程为
y－＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x0)) ，
即y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x))) x－，
令x＝0，得y＝－，从而得出切线与y轴的交点坐标为(0，－)，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)))x－\f(4,x0)，)) 解得y＝x＝2x0，从而切线与直线y＝x的交点坐标为.
所以，曲线y＝f在点P处的切线与直线x＝0、y＝x所围成的三角形的面积为S＝··＝4，故曲线y＝f上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值且此定值为4.
　关于求导法则的综合应用
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
易错警示：分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设出切点．
1．已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.函数y＝aex＋x的导数为y′＝aex＋1，可得曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的曲线的斜率为y′＝ae＋1，所以ae＋1＝2e，解得a＝.
2．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，
令an＝lg ，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2 019.
【解析】因为y＝xn＋1，
所以y′＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，
切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1).
令y＝0，得x＝，
即xn＝，
所以an＝lg ＝lg (n＋1)－lg n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 019
＝lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋lg 4－lg 3＋…＋lg 2 020－
lg 2 019＝lg 2 020＝1＋lg 202．
1．已知函数f (x)＝，则该函数的导函数f ′(x)＝(　　)
A． B．
C． D．2x－cos x
【解析】选B.由题意可得
f ′(x)＝
＝.
2．曲线C：y＝x ln x在点M(e，e)处的切线方程为__________．
【解析】y′＝ln x＋1，y′|x＝e＝ln e＋1＝2，
所以切线方程为y－e＝2(x－e)，
化简得2x－y－e＝0.
答案：y＝2x－e
3．(教材二次开发：例题改编)已知f(x)＝x3－2x＋3，且f′(x0)＝25，则x0＝________．
【解析】因为f′(x)＝(x3－2x＋3)′
＝(x3)′－(2x)′＋(3)′＝3x2－2，
又f′(x0)＝25，所以3x－2＝25，所以x＝9，
x0＝±3.
答案：±3
4．求下列函数的导数：
(1)y＝2x＋sin cos .(2)y＝x－log2x.
【解析】(1)y＝2x＋sin x，则y′＝2x ln 2＋cos x.
(2)y′＝1－.
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6几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
导思 1.四种常用函数的导数是什么？2．基本初等函数的导数计算公式是什么？
1.几个常用函数的导数
函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝
导数 f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－
函数y＝也是常用的幂函数，它的导数是什么？
提示：对于幂函数y＝xα，它的导数为y′＝αxα－1，
所以y＝的导数为f′(x)＝.
2．基本初等函数的导数公式
(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？
(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝ln x的导数之间有何关系？
提示：(1)f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝ax ln a当a＝e时的特殊情况．
(2)f(x)＝ln x是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝ln x的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)(sin x)′＝－cos x．(　×　)
(2)′＝.(　×　)
(3)(ln x)′＝.(　√　)
提示：(1) (sin x)′＝cos x．
(2) ′＝(x－1)′＝－x－2＝－.
2．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(　　)
A.0　　　B．2x　　　C．6　　　D．9
【解析】选C.因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(3)＝6.
3．(教材二次开发：练习改编)求下列函数的导数：
(1)y＝log3x.　　(2)y＝8x.
【解析】(1)y′＝(log3x)′＝.
(2)y′＝(8x)′＝8x ln 8＝3×8x ln 2.
类型一　利用导数公式计算导数(数学运算)
1．函数f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是(　　)
A.f′(2)f′(3)
C.f′(2)＝f′(3) D．不能确定.
【解析】选A.因为f′(x)＝′＝－，
所以f′(2)＝－＝－，f′(3)＝－＝－，
因为－<－，
所以f′(2)2．求下列函数的导数．
(1)y＝x6.(2)y＝.(3)y＝.
【解析】(1)y′＝(x6)′＝6x5.
(2)y′＝′＝ ln ＝－ ln 2.
(3)y′＝′＝(x－2)′＝－2x－3.
　运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项
(1)对于简单的函数，直接套用公式．
(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．
　　　【补偿训练】
1.下列结论正确的个数为(　　)
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝2x，则y′＝2xln 2；
③y＝log2x，则y′＝.
A.0 B．1 C．2 D．3
【解析】选C.①y＝ln 2为常数，所以y′＝0，①错；②③均正确，直接利用公式即可验证．
2．对于函数y＝x2，其导数值等于原函数值的点是________．
【解析】y′＝2x，令2x＝x2,
解得x＝0或x＝2,
所以满足条件的点是(0，0)，(2，4).
答案：(0，0)，(2，4)
类型二　导数公式的应用(数学运算，直观想象)
【典例】(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A.y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C.y＝2x－3 D．y＝2x＋1
【思维导引】求得函数f(x)的导数f′(x)，计算出f(1)和f′(1)的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可．
【解析】选B.因为f(x)＝x4－2x3，
所以f′(x)＝4x3－6x2，
所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，
因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋1.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
1．曲线y＝在点处的切线方程为(　　)
A.4x－4y＋2－1＝0
B.4x－4y＋1＝0
C.4x－4y＋2－＝0
D．4x＋4y－3＝0
【解析】选B.由于y＝，
所以y′＝，于是＝1，
所以曲线在点处的切线的斜率等于1，切线方程为4x－4y＋1＝0.
2．已知函数f(x)＝ln x．
直线l：x－y＋2＝0，求曲线y＝f(x)上的点到直线l的最短距离．
【解析】设曲线y＝f(x)上的点A到直线l的距离最短，
则在点A的切线与l平行，
因为f′(x0)＝＝1，
所以x0＝1，求得y0＝0，
所以在点A(1，0)的切线方程为y＝x－1，
所以点A到直线l的最短距离等于＝.
1．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　)
A．0 B．－1 C．1 D．2
【解析】选A.因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x．
所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0.
2．常数函数在任何一点处的切线是(　　)
A.上升的 B．下降的
C.垂直于y轴的 D．以上都有可能
【解析】选C.因为常数函数在任何一点处的导数都为零，所以其切线的斜率等于零，即任何一点处的切线垂直于y轴．
3．若y＝ln x，则其图象在x＝2处的切线斜率是(　　)
A.1　　　　　B．0　　　　　C．2　　　　　D．
【解析】选D.因为y′＝，所以y′|x＝2＝，
故图象在x＝2处的切线斜率为.
4．已知曲线y＝ex在x＝x0处的切线与直线y＝－x垂直，则切点坐标为(　　)
A．(－2，1) B．(0，1)
C．(e，1) D．
【解析】选B.由y＝ex得y′＝ex，
又因为曲线y＝ex在x＝x0处的切线斜率k＝ex0＝1得x0＝0，
所以y0＝＝1，切点坐标为(0，1).
5．求曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程．
【解析】因为曲线y＝ln x与x轴的交点为(1，0)，y′＝，
所以y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，
所求切线方程为y＝x－1.
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5导数的几何意义
导思 1.导数的几何意义是什么，如何求切线的斜率？2．如何求函数的导函数？
1.导数的几何意义
(1)切线的定义
如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，
即k＝ ＝f′(x0)．
(3)本质：是曲线上一点处的切线的斜率．
(4)应用：①求切线的方程；②求直线的倾斜角
(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？
(2)曲线的切线与导数有什么关系？
提示：(1)曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．
(2)①函数f(x)在x＝x0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率．
②函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，例如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导．
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)是自变量x的一个函数，称为函数f(x)的导函数(简称导数).
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ ．
f′(x)与f′(x0)相同吗？它们之间有何关系？
提示：f′(x)与f′(x0)不相同．f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是函数f′(x)在x＝x0时的函数值．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在x＝x0处的函数值．(　×　)
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．(　×　)
(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(　√　)
(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．(　×　)
提示：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值．
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值.
(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．
2．曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点(0，f(0))处的切线的方程为(　　)
A.y＝x－1 B．y＝x＋1
C.y＝2x－1 D．y＝2x＋1
【解析】选D.因为f′(0)＝
＝ ＝ ((Δx)2＋2)＝2，
所以曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点(0，f(0))处的切线的斜率为2，
所以切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
3．设f(x)为可导函数，且满足条件 ＝5，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　)
A.10 B．3 C．6 D．8
【解析】选A.因为 ＝5，
所以 ＝10，
即f′(1)＝ ＝10，
因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝10.
类型一　求曲线的切线方程(数学运算)
1．设函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数，若f(2)＝2，
且＝－2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是(　　)
A.y＝－2x＋2 B．y＝－4x＋2
C.y＝4x＋2 D．y＝－x＋2
【解析】选B.因为f(2)＝2由题意，
＝ ＝f′(2)＝－2，
所以f′(2)＝－4，根据导数的几何意义可知，函数在x＝2处的切线斜率为－4，所以函数在(2，2)处的切线方程为y－2＝－4(x－2)，
即y＝－4x＋10，因为函数f(x)是定义在R上周期为2的可导函数，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线向左平移2个单位即可得到(0，f(0))处的切线方程为y＝－4(x＋2)＋10，即y＝－4x＋2.
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则(　　)
A.f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C.f′(x)＝0 D．f′(x0)不存在
【解析】选B.由切线方程y＝－3x－5及导数的几何意义知
f′(x0)＝－3<0.
1．求曲线上某点处切线方程的三个步骤
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤
(1)设切点为Q(x0，y0).
(2)求出函数y＝f(x)在点Q处的导数f′(x0).
(3)利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0).
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
类型二　求切点坐标(数学运算)
【典例】已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．
【思路导引】根据切线方程得到切线斜率为8，解导数方程即可得到结论．
【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，切线的斜率为k，
由y′＝ ＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′＝4x0，
根据题意得4x0＝8，x0＝2，
分别代入y＝2x2＋a和8x－y－15＝0，
得a＝－7，y0＝1，故P(2，1)，a＝－7.
求曲线切点坐标的步骤
(1)设切点：先设出切点坐标(x0，y0).
(2)求斜率：求切线的斜率f′(x0).
(3)列方程：由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(4)求切点：因点(x0，y0)在曲线上，将(x0，y0)代入曲线方程求y0，得切点坐标．
　已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　)
A.(1，1) B．(－1，1)
C.(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)
【解析】选C.因为y＝x3，所以y′＝
＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).
类型三　导数几何意义的应用(数学运算)
　点在曲线上的切线问题
【典例】直线l过点(1，2)且平行于曲线y＝x2＋x－2在(1，0)处的切线，求直线l的方程．
【思路导引】先求出曲线在点(1，0)处的切线斜率，从而得直线l的斜率，进而得出l的方程．
【解析】y′＝
＝
＝ (2x＋Δx＋1)＝2x＋1，
所以y′＝2×1＋1＝3，
所以直线l的斜率为3，
所以l的方程为：y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.
　本例改为直线l过点(1，2)且与曲线y＝x2＋x－2在(1，0)处的切线垂直，求直线l的方程．
【解析】y′＝
＝ ＝ (2x＋Δx＋1)＝2x＋1，
所以y′＝2×1＋1＝3，
所以直线l的斜率为－，所以l的方程为：
y－2＝－(x－1)，即x＋3y－7＝0.
　已知点不在曲线上的切线问题
【典例】求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线与x轴、y轴围成的三角形面积．
【思路导引】点(－1，－2)不在曲线上，所以先根据题意确定切点的坐标，再求出切线方程，然后求面积．
【解析】y′＝
＝ [2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.
设切点坐标为(x0，2x0－x)，则切线方程为：y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0)，因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，
即2x＋3x＝0，解得x0＝0或x0＝－，所以切点坐标为(0，0)或.
当切点为(0，0)时，切线斜率k＝＝2，切线方程为y＝2x，与坐标轴构不成三角形．
当切点为时，切线斜率为：k＝＝－，切线方程为：y＋2＝－(x＋1)，
即19x＋4y＋27＝0.
在x轴上的截距为x＝－，在y轴上的截距为y＝－，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为：
S＝××＝.
利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路
(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．
1．已知曲线f(x)＝，g(x)＝，过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．
【解析】由得
所以两曲线的交点坐标为(1，1).由f(x)＝，
得f′(1)＝ ＝ ＝，
所以y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
答案：x－2y＋1＝0
2．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程．
【解析】设切点坐标为M(x0，y0)，
由f′(x0)＝ eq \f(（x0＋Δx）2－x,Δx) ＝2x0，则切线斜率为2x0，
又直线PQ的斜率为kPQ＝＝1，
因为切线与直线PQ平行，
所以2x0＝1，所以x0＝，
所以切点为，切线斜率为1.
所以切线方程为y－＝x－即4x－4y－1＝0.
1．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
【解析】选B.由题意可知曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
2．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．
【解析】设点P(x0, 2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，所以P(3，30).
答案：(3，30)
3．如图，函数f(x)的图象是折线段f(x)，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0))＝________；
＝________．(用数字作答)
【解析】f(0)＝4，f(4)＝2；
由导数的几何意义知＝－2.
答案：2　－2
4．已知抛物线y＝2x2＋1，抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0
【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
所以＝4x0＋2Δx，所以y′|x＝x0＝＝(4x0＋2Δx)＝4x0.因为抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，所以切线斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，
得x0＝2.
该点为(2，9).
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8变化率问题 导数的概念
导思 1.什么是平均变化率，什么是瞬时变化率？2．如何求函数在某点的导数？
1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)Δx＝x2－x1是正数吗？
(2)平均变化率的几何意义是什么？
提示：(1)Δx＝x2－x1可能是正数，也可能是负数，但不能为0.
(2)平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)所在直线的斜率．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
Δx趋近于0是什么意思？
提示：Δx趋近于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，但始终Δx≠0.
3．导数的概念
(1)
定义式 f′(x0)＝ ＝
记法 f′(x0)或y′
(2)本质：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
(3)作用：求函数在x＝x0处的导数．
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一定存在吗？
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义表达式是唯一的吗？
提示：(1)当Δx≠0时，比值的极限存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处可导；若比值的极限不存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处不可导或无导数．
(2)不唯一．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义表达式可变形为
f′(x0)＝ ，或者f′(x0)＝．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数．(　×　)
(2)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率＝公式中Δx与Δy同号．(　×　)
(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．(　√　)
提示：(1)在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可以是正数，也可以是负数，但不能为0.
(2)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率＝公式中Δx与Δy可能同号，也可能异号．
(3)根据导数的定义可知，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
【解析】选B.Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝(2.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.
3．(教材二次开发：习题改编)函数f＝－x2＋x在x＝－1处的瞬时变化率为________．
【解析】＝＝3－Δx.
f′＝ ＝ ＝3.
答案：3
类型一　求函数的平均变化率(数学运算)
1．函数f(x)＝x2－sin x在[0，π]上的平均变化率为(　　)
A．1 B．2
C．π D．π2
【解析】选C.平均变化率为＝＝π.
2．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间上的平均速度为(　　)
A．2d＋4 B．－2d＋4
C．2d－4 D．－2d－4
【解析】选D.由平均变化率的定义可知，该物体在时间上的平均速度为＝－2d－4.
3．物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【解析】选C.在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同；在t0到t1范围内，甲、乙所用的时间相同，而甲走的路程较多，所以甲的平均速度较大．
求函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率的步骤
(1)求自变量的增量Δx＝x－x0.
(2)求函数的增量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0).
(3)求平均变化率＝.
提醒：Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.
类型二　求瞬时速度(数学运算、逻辑推理)
【典例】一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s).求此物体在t＝2 s时的瞬时速度．
【思路导引】由题意可得＝－Δt－1.
当Δt→0时，→－1.
【解析】
＝＝－Δt－1.
当Δt→0时，→－1，
所以t＝2时的瞬时速度为－1 m/s.
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0).
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0可令Δx＝0，求出结果即可．
1．物体的运动方程为s＝，则此物体在t＝1时的瞬时速度为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】选C.当t＝1时，s＝3t2＋1＝4，
则v＝ ＝ ＝
＝ ＝6，
故物体在t＝1时的瞬时速度为6.
2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则起跳后1 s的瞬时速度是________．
【解析】起跳后1 s的瞬时速度v＝
＝
＝ (－4.9Δt－3.3)＝－3.3(m/s).
答案：－3.3 m/s
　　　【补偿训练】
已知一物体的运动方程是s＝6t2－5t＋7，则其在t＝________时刻的速度为7.
【解析】令s＝f(t)，
由题意知
＝
＝ (12t＋6Δt－5)＝12t－5＝7，
所以t＝1.
答案：1
类型三　求函数在某点的导数(数学抽象、数学运算)
　数学中的导数问题
【典例】求函数y＝x＋在x＝1处的导数．
【思路导引】先求，再求 得结果．
【解析】因为Δy＝(1＋Δx)＋－(1＋1)
＝Δx＋－1，
所以＝1－，
所以 ＝ ＝0.
　物理中的导数问题
【典例】一质点运动的方程为s＝8－3t2.
(1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度．
(2)求质点在t＝1时的导数．
【思路导引】(1)首先结合条件求Δs，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的答案．
(2)定义法：即对平均速度当Δt趋向于0时求极限即可获得结论．
【解析】(1)因为s＝8－3t2，
所以Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，
＝＝－6－3Δt.
(2)质点在t＝1时的导数为 ＝ ＝－6.
求函数y＝f(x)在点x0 处的导数的三个步骤
1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为1，则
＝(　　)
A．0 B． C．1 D．2
【解析】选B.因为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为1，
则 ＝ ＝f′＝.
2．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的导数为1.
【解析】由题意可得：＝ eq \f(7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t0＋Δt))2＋8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7t＋8)),Δt) ＝7Δt＋14t0，
故 ＝ ＝14t0，
令14t0＝1，可得t0＝，即在t＝时的瞬时速度为1.
答案：
3．利用导数的定义，求函数y＝＋2在x＝1处的导数．
【解析】因为Δy＝－
＝，
＝＝，
所以y′＝
＝ ＝－2.
1．设f(x)是可导函数，且＝－2，则f′(x0)＝(　　)
A．2 B．－1 C．1 D．－2
【解析】选D.根据题意，＝f′(x0)＝－2，
故f′(x0)＝－2.
2．f(x)在x＝x0处可导，则(　　)
A．与x0，Δx有关
B．仅与x0有关，而与Δx无关
C．仅与Δx有关，而与x0无关
D．与x0，Δx均无关
【解析】选B.由定义知函数f在x0处的导数只与x0有关．
3．自变量x从x0变到x1时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数(　　)
A．在区间上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量
D．在区间上的导数
【解析】选A.自变量x从x0变到x1时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是表示函数在区间上的平均变化率．
4．(教材二次开发：例题改编)如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，则第3 h时原油的瞬时变化率是________．
【解析】根据导数的定义＝
＝
＝＝Δx－1.
f′(3)＝＝(Δx－1)＝－1.
答案：－1
5．(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为：①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？
【解析】(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx，
所以＝＝Δx＋2.
①当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4；
②当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3；
③当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1；
④当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01.
(2)当Δx越来越小时，由(1)＝＝Δx＋2得，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.
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