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2021-2022学年广西玉林市陆川县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，毎小题3分，共36分.）毎小题都有代号为A、B、C、D的四个结论，期中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．点B与点A（﹣2，3）关于原点对称，点B的坐标为（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
3．把抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
5．关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤ B．a≤且a≠0 C．a≥﹣ D．a≥﹣且a≠0
6．以3和﹣1为两根的一元二次方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x+3＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x+3＝0
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
10．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x，则列方程为（　　）
A．2000（1+x）＝2420 B．2000（1+2x）＝2420
C．2000（1﹣x）2＝2420 D．2000（1+x）2＝2420
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（　　）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＝0；③abc＞0；④4a+2b+c＞0；⑤ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（每小题3分，共18分，请将正确的答案填写在答题卡相应题中的横线上）
13．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是　 　．
14．一元二次方程x2+ax﹣1＝0的一个根为x＝2，则a＝　 　．
15．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　 　．
16．已知二次函数y＝ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 　 　．
17．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　 　m才能停下来．
18．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为　 　．
三、解答题（本大题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
19．解方程：x2+x﹣2＝0．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）；
（1）请在图中作出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1．
（2）请在图中作出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的图形△A2B2C2．
21．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．
23．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
24．某玩具商店以成本为每件60元购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价5元，则每天可多卖10件．
（1）若商店平均每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
（2）若商店为增加效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店平均每天盈利最多？最多盈利多少元？
25．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB＝GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝2，AG＝，求EB的长．
26．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，6）两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段EF的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一个动点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，毎小题3分，共36分.）毎小题都有代号为A、B、C、D的四个结论，期中只有一个是正确的，请用2B铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．点B与点A（﹣2，3）关于原点对称，点B的坐标为（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
解：∵点B与点A（﹣2，3）关于原点对称，
∴点B的坐标为：（2，﹣3）．
故选：A．
3．把抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝5（x﹣2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x+2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
解：将抛物线y＝5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是：y＝5（x+2）2+3．
故选：C．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
解：方程移项得：x2﹣6x＝10，
配方得：x2﹣6x+9＝19，即（x﹣3）2＝19，
故选：D．
5．关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤ B．a≤且a≠0 C．a≥﹣ D．a≥﹣且a≠0
【分析】若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0且a≠0，可据此求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，
∴a≠0且Δ＝b2﹣4ac≥0，即a≠0且1﹣4a≥0，
解得，a≤且a≠0．
故选：B．
6．以3和﹣1为两根的一元二次方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x+3＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x+3＝0
【分析】由题意，可令方程为（x﹣3）（x+1）＝0，去括号后，直接选择C；
或把3和﹣1代入各个选项中，看是否为0，用排除法选择C；
或利用两根之和等于，和两根之积等于来依次判断．
解：以3和﹣1为两根的一元二次方程的两根的和是2，两根的积是﹣3，据此判断．
A、两个根的和是﹣2，故错误；
B、Δ＝22﹣4×3＝﹣8＜0，方程无解，故错误；
C、正确；
D、两根的积是3，故错误．
故选：C．
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得y1，y2，y3的值，比较大小即可．
解：
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+2上的三点，
∴y1＝﹣（﹣2+1）2+2＝1，y2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2，y3＝﹣（2+1）2+2＝﹣7，
∵1＞﹣2＞﹣7，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：B．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
解：由图象得：对称轴是直线x＝2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜﹣1或x＞5．
故选：D．
10．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x，则列方程为（　　）
A．2000（1+x）＝2420 B．2000（1+2x）＝2420
C．2000（1﹣x）2＝2420 D．2000（1+x）2＝2420
【分析】根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．
解：设每天的增长率为x，
依题意，得：2000（1+x）2＝2420．
故选：D．
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（　　）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），…，
发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，
∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）
故选：C．
12．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＝0；③abc＞0；④4a+2b+c＞0；⑤ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象逐个判断即可．
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故③错误；
当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝4a+2b+c＞0，故④正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标是（1，3），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3有一个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根，故⑤正确；
所以正确结论的序号为①②④⑤共4个，
故选：D．
二、填空题：（每小题3分，共18分，请将正确的答案填写在答题卡相应题中的横线上）
13．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是　（3，4）　．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
解：y＝﹣2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
14．一元二次方程x2+ax﹣1＝0的一个根为x＝2，则a＝　﹣　．
【分析】把x＝2代入方程得出4+2a﹣1＝0，再求出方程的解即可．
解：∵一元二次方程x2+ax﹣1＝0的一个根为x＝2，
∴4+2a﹣1＝0，
解得a＝﹣，
故答案为：﹣．
15．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　2019　．
【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，将其代入原式＝m2+2m+m+n＝m2+2m+（m+n）计算可得．
解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：2019．
16．已知二次函数y＝ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 　（﹣3，0）　．
【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据题意和二次函数的性质可以求得该抛物线与x轴的另一个交点坐标，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝ax2+4ax+c＝a（x+2）2﹣4a+c，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣2，
∵二次函数y＝ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴它与x轴的另一个交点的坐标是：（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
17．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y＝60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　600　m才能停下来．
【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．
解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值．
∴y最大值＝＝＝600，
即飞机着陆后滑行600米才能停止．
故答案为：600．
18．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为　（，2）　．
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，
∴4＝4a，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2，
∵点A（﹣2，4），
∴B（﹣2，0），
∴OB＝2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2，
∴D（0，2），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x轴，
∴P点的纵坐标为2，
代入y＝x2，得2＝x2，
解得x＝±，
∴P（，2）．
故答案为（，2）．
三、解答题（本大题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
19．解方程：x2+x﹣2＝0．
【分析】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：分解因式得：（x﹣1）（x+2）＝0，
可得x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2．
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）；
（1）请在图中作出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1．
（2）请在图中作出△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的图形△A2B2C2．
【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用旋转的性质得出旋转后点的坐标进而得出答案．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
21．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标．
【分析】（1）利用配方法将该二次函数解析式化简成顶点式，可得到顶点坐标，对称轴等，根据a＝1可得出抛物线开口方向；
（2）令y＝0，解得x的值，即可得出与x轴的交点坐标．
解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上；
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点坐标（3，﹣4），对称轴为：直线x＝3；
（2）令y＝0，即x2﹣6x+5＝0，
解得x＝1或x＝5，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，
∴，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）＝7，
解得，m1＝1，m2＝2，
即m的值是1或2．
23．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°．把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
【分析】（1）想办法证明∠MAE＝∠MAN＝45°，根据SAS证明三角形全等即可．
（2）设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN，∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠ABE＝180°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN，
∵MA＝MA，
∴△AEM≌△ANM（SAS）．
（2）解：设CD＝BC＝x，则CM＝x﹣3，CN＝x﹣2，
∵△AEM≌△ANM，
∴EM＝MN，
∵BE＝DN，
∴MN＝BM+DN＝5，
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2+CN2，
∴25＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，
解得，x＝6或﹣1（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6．
24．某玩具商店以成本为每件60元购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价5元，则每天可多卖10件．
（1）若商店平均每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
（2）若商店为增加效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店平均每天盈利最多？最多盈利多少元？
【分析】（1）根据题意，可以得到关于x的一元二次方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
解：（1）设每件玩具的售价为x元，
（x﹣60）[20+2（100﹣x）]＝1200，
解得：x1＝90，x2＝80，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝80，
答：每件玩具的售价为80元；
（2）设每件玩具的售价为a元时，利润为w元，
w＝（a﹣60）[20+2（100﹣a）]＝﹣2（a﹣85）2+1250，
∵﹣2＜0
∴w有最大值
即当a＝85时，w有最大值为1250元，
答：当每件玩具的售价为85元时，商店平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元．
25．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB＝GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝2，AG＝，求EB的长．
【分析】（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，得到∠GAD＝∠EAB，从而△GAD≌△EAB，即EB＝GD；
（2）EB⊥GD，由（1）得∠ADG＝∠ABE，则在△BDH中，∠DHB＝90°所以EB⊥GD；
（3）设BD与AC交于点O，由AB＝AD＝2在Rt△ABD中求得DB，所以得到结果．
解：（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，
∴∠GAD＝∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠DAB＝90°，
在△GAD和△EAB中
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：EB⊥GD．
理由如下：如图1，AD，BE的交点记作点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠AMB+∠ABM＝90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA＝∠EBA，
∵∠HMD＝∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH＝∠AMB+∠ABM＝90°，
∴∠DHM＝180°﹣（∠HDM+∠DMH）＝180°﹣90°＝90°，
∴EB⊥GD．
（3）解：如图2，连接AC、BD，BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，OA＝OB，
∴BD⊥CG，
∵AB＝AD＝2，
在Rt△ABD中，DB＝，
OD＝DB＝
在Rt△AOB中，OA＝OB，AB＝2，由勾股定理得：2AO2＝22，
OA＝，
即OG＝OA+AG＝+＝2，
∴EB＝GD＝．
26．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，6）两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段EF的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一个动点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先设出点F的坐标，然后表示出点E的坐标，再表示出EF的长度，根据二次函数的性质即可确定EF的最大值；
（3）先求出点C的坐标，然后设出点P的坐标，分∠APB＝90°，∠PAB＝90°，∠PBA＝90°三种情况讨论，利用勾股定理即可得出结论．
解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，5）代入y＝x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设F（x，x2﹣2x﹣3）（﹣1＜x＜4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入点A（﹣1，0）、B（4，5），
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵EF∥y轴，
∴E（x，x+1），
∴EF＝x+1﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x+4＝，
当x＝时，EF取得最大值为；
（3）由（1）知A（﹣1，0），B（4，5），
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴设P（1，m），
则AP2＝4+m2，BP2＝9+（5﹣m）2，AB2＝52+52＝50，
若∠APB＝90°，则由勾股定理得：4+m2+9+（5﹣m）2＝50，
解得m＝﹣1或m＝6，
∴P（1，﹣1）或P（1，6），
若∠PAB＝90°，则由勾股定理得：4+m2+50＝9+（5﹣m）2，
解得m＝﹣2，
∴P（1，﹣2），
若∠ABP＝90°，则由勾股定理得：50+9+（5﹣m）2＝4+m2，
解得m＝8，
∴P（1，8），
综上P的坐标为（1，﹣1），（1，6），（1，﹣2），（1，8）．

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