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专题：构造函数解不等式
不等式与函数是紧密联系的，往往不等式题有相关函数背景，构造函数并挖掘函数性质可简化类不等式的证明。利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。其中的解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
近几年高考数压题多以导数为工具来明不等式参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等点，而构造函数是解倒数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至无果而终，因为我认为为解决此类问题的关键就是怎样合理地构造函数，本文对处理导数问题构造方法进行了归纳和小结，仅供参考！
本文主要涉及构造函数法证明不等式的八种方法：
移项法构造函数
作差法构造函数
换元法构造函数
从条件特征入手构造函数
主元法构造函数
构造二阶导数证明其单调性
对数法构造函数
构造形似函数
典型分析：
作差法构造
作差构造法，是处理导数题的最基本、最常用的方法.此法一般构造函数，进而转化为求函数即求函数的最值问题
模块1整理方法、提升能力
经典例题
1．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（文））已知，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·新疆喀什·）定义在上的偶函数存在导数，且当时，有恒成立，若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．，，
3．（2022·全国·）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·）定义域为R的可导函数f(x)的导函数为，且满足，f(0)=2，则不等式的解集为（ ）
A．(-∞，0) B．(-∞，2)
C．(0，+∞) D．(2，+∞)
5．（2022·全国·）已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x－f(x)<0，其中是函数f(x)的导函数.若2f(m－2019)>(m－2019)f（2），则实数m的取值范围为（ ）
A．(0，2019) B．(2019，＋∞)
C．(2021，＋∞) D．(2019，2021)
6．（2022·全国·）定义在上的函数，的导函数满足，记，，，则，，大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·山西大附中（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·天津·南开中学）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室（文））已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·广东福田·）已知，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·云南大理·（理））已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·江西赣州·（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·河南平顶山·（理））已知定义在上的函数，满足，，，则数列的前10项的和是（ ）
A．1024 B．1023 C．2046 D．2048
14．（2021·江苏如皋·）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））若，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
模块2 练习巩固、整合提升
16．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·河南·南阳中学高三月考（文））设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021·全国·高二学业考试）若满足，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·江苏·）若函数的定义域为内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，则称是上的“完美函数”，已知，若函数是区间，上的“完美函数”，则正整数的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2021·河南·高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2021·全国·）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
23．（2021·辽宁·沈阳市翔宇中学高三月考）已知函数
（1）判断函数的单调性，并比较与；
（2）设方程的两个根为，，求证：.
24．（2020·湖南·长郡中学高三开学考试）已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论．
25．（2020·湖南·衡阳市八中高二月考）已知函数.
当时
①求证：在区间上单调递减；
②求函数在区间上的值域.
对于任意，都有，求实数的取值范围.
试卷第2页，共2页专题：构造函数解不等式
不等式与函数是紧密联系的，往往不等式题有相关函数背景，构造函数并挖掘函数性质可简化类不等式的证明。利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。其中的解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
近几年高考数压题多以导数为工具来明不等式参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等点，而构造函数是解倒数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至无果而终，因为我认为为解决此类问题的关键就是怎样合理地构造函数，本文对处理导数问题构造方法进行了归纳和小结，仅供参考！
本文主要涉及构造函数法证明不等式的八种方法：
移项法构造函数
作差法构造函数
换元法构造函数
从条件特征入手构造函数
主元法构造函数
构造二阶导数证明其单调性
对数法构造函数
构造形似函数
典型分析：
作差法构造
作差构造法，是处理导数题的最基本、最常用的方法.此法一般构造函数，进而转化为求函数即求函数的最值问题
模块1整理方法、提升能力
经典例题
1．（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（文））已知，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题设，，构造利用导数研究单调性可得，再构造有，利用导数研究其单调性即可判断参数的大小关系.
【详解】
由题设，，，
令，则且，，
∴当时，即递增；当时，即递减；
∴，即，
对于有且，
∴时，，递增；时，，递减；
∴.
故选：A
2．（2021·新疆喀什·）定义在上的偶函数存在导数，且当时，有恒成立，若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．，，
【答案】D
【分析】
首先构造函数，并判断函数的单调性，结合条件，构造为，解抽象不等式.
【详解】
解：是上的偶函数，
令，则，
为偶函数，
当时，，
在上单调递增，①
，
，
，
即，
由①得，展开得，
解得，或，
故选：D．
3．（2022·全国·）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
令，，根据已知条件可得当时，单调递减，且，根据单调性和奇偶性可得时，；当时，，再分情况讨论即可求解.
【详解】
令，，
则对于恒成立，
所以当时，单调递减，
又因为，
所以当时，；此时，所以；
当时，，此时，所以；
又因为是奇函数，
所以时，；当时，；
因为，
所以当时，，解得；①
当时，，解得；②
综合①②得成立的的取值范围为，
故选：A.
4．（2022·全国·）定义域为R的可导函数f(x)的导函数为，且满足，f(0)=2，则不等式的解集为（ ）
A．(-∞，0) B．(-∞，2)
C．(0，+∞) D．(2，+∞)
【答案】A
【分析】
根据给定条件构造函数，利用导数讨论函数的单调性，借助单调性即可求解不等式.
【详解】
依题意，设，求导得，
因，则，则函数g(x)在R上为增函数，
因f(0)=2，即，于是得，解得x<0，
所以不等式的解集为(-∞，0).
故选：A
5．（2022·全国·）已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x－f(x)<0，其中是函数f(x)的导函数.若2f(m－2019)>(m－2019)f（2），则实数m的取值范围为（ ）
A．(0，2019) B．(2019，＋∞)
C．(2021，＋∞) D．(2019，2021)
【答案】D
【分析】
构造函数h(x)＝，求导可得h(x)在(0，＋∞)上单调递减，由于2f(m－2019)>(m－2019)f（2）等价于h(m－2019)>h（2），利用单调性即得解
【详解】
令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝
∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，
∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵2f(m－2019)>(m－2019)f（2），m－2019>0，
∴，
即h(m－2019)>h（2）
∴m－2019<2且m－2019>0，
解得2019∴实数m的取值范围为(2019，2021).
故选：D
6．（2022·全国·）定义在上的函数，的导函数满足，记，，，则，，大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据满足的条件构造函数，求导说明在上单调递减，再由，，可得.
【详解】
，，
又，所以，
令，则，
故在上单调递减，
，
，，，
因为在上单调递减，所以，
即，又，所以
，
故选：A．
7．（2021·山西大附中（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．
【详解】
解：令函数，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；
，当时，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，
，
因为，
所以，
即.
故选：B
8．（2021·天津·南开中学）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.
【详解】
令，所以
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，，
所以，即.
故选：C
9．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室（文））已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，利用导数法结合条件，得到在上单调递减,利用单调性可得答案.
【详解】
设，则
所以在上单调递减，又
由，即，所以
所以
故选：A
10．（2021·广东福田·）已知，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令，即可得到，，，利用导数说明在的单调性，再令，利用导数说明其单调性，即可得到，从而得到，即可得解；
【详解】
解：令，，所以，，，所以，因为，所以当时，即在上单调递减，令，，则，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以在处取得极大值即最大值，，因为，所以，即，所以，
故选：D
11．（2021·云南大理·（理））已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
令，利用导数可求得在上单调递增；将已知等式化为，可知，由单调性可知，由此依次推导各个选项可得结论.
【详解】
令，则，
当时，，在上单调递增；
由得：，即，
，，，即，
，即，，D正确；
由知：，，A错误；
，未必正确，B错误；
，未必正确，C错误.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是能够构造函数，利用导数确定的单调性，从而结合已知等式确定所满足的不等关系，由此推导得到正确选项.
12．（2021·江西赣州·（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，求导后确定其单调性，原不等式转化为关于的不等式，再利用单调性得解集．
【详解】
设，则，
因为，所以，所以是上的增函数，
，不等式即为，即，
所以，
故选：D．
13．（2021·河南平顶山·（理））已知定义在上的函数，满足，，，则数列的前10项的和是（ ）
A．1024 B．1023 C．2046 D．2048
【答案】C
【分析】
令,根据可得单调递增，得到，可知
是等比数列，利用等比数列求和公式求解.
【详解】
令，
由知，，
所以单调递增，所以，
由可得，解得，
所以，
即是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
故选：C
14．（2021·江苏如皋·）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
可构造函数，由已知可证在单增，再分别代值检验选项合理性即可
【详解】
设，则，则在单增，
对A，，化简得，故A错；
对B，，化简得，故B错；
对C，，化简得，故C正确；
对D，，化简得，故D错，
故选：C
15．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））若，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用函数在上的单调性可判断AB选项的正误，利用函数在上的单调性可判断CD选项的正误.
【详解】
对于AB选项，构造函数，则，当时，，
所以，函数在上单调递增，
因为，则，即，即，A错，B对；
对于CD选项，构造函数，其中，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数在上不单调，无法比较、的大小，C错，D错.
故选：B.
模块2 练习巩固、整合提升
16．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，并利用导数判断的单调性；把要解不等式变形为，根据的单调性即可解出不等式.
【详解】
设，则，
因为对任意，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
又等价于，即，
因为在上单调递增，所以
解得，所以原不等式的解集是.
故选：D.
17．（2021·河南·南阳中学高三月考（文））设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数，求导判断单调性， 进而比较，，的大小，即可得，，的大小关系.
【详解】
令，则，
，，
由可得且，
由可得； 所以在上单调递减，
因为，所以，
又因为，所以，
故选：D.
18．（2021·全国·高二学业考试）若满足，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
先构造函数，通过求导，再结合已知条件判断出单调性，然后再分析每个选项即可.
【详解】
设，则，因为，
所以，在R上是增函数，因为a是正实数，所以，
所以，即，又，故，大小不确定，故A错误.
因为，所以，即，故B正确.
因为，所以，即，又，
所以，大小不确定，故C错误，D正确.
故选：BD.
19．（2022·江苏·）若函数的定义域为内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，则称是上的“完美函数”，已知，若函数是区间，上的“完美函数”，则正整数的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD
【分析】
通过求导求出和的单调区间，在结合完美函数的定义求出m的范围即可.
【详解】
∵，，
∴在单调递增，，
∴可以得出：在，上是单调递增．
∵，
∴，，
设，
，在上单调递增，
，（1），
，
∴在，上，有成立，
∴函数在，上是单调递增函数，
综合判断：，与在，上都是单调递增函数，
，与在，上不是都为单调递增函数，
∵函数是区间，上的“完美函数”，
∴，所以C，D符合题意.
故选：CD
20．（2021·河南·高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
构造函数，通过导数与单调性的关系可得，化简即可得结果.
【详解】
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，即，
所以，即，即，
故选：A.
21．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
A.构造函数，，研究其单调性可得答案；
B.构造函数，，研究其单调性可得答案；
C.构造函数，，研究其单调性可得答案；
D.构造函数，，研究其单调性可得答案；
【详解】
选项A：.
设，.
，又，，
在上存在极值点，
故在上不单调，对于，不成立，A不正确.
选项B：.
设，.
，
∴在上单调递减，∴对，，B正确.
选项C：.
设，.
，
∴在上单调递增，∴对，.C正确；
选项D：.
设，.
，令，，在上存在极值点，故在上不单调，对于，不成立，D不正确.
故选：BC．
22．（2021·全国·）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
【答案】ABD
【分析】
A选项，利用导数求在处的切线斜率，进而得切线方程；C选项，由的导数推导函数的单调性，利用函数的单调性来判定既无最小值也无既最大值；B选项，由函数的单调性及，可得恰有2个零点；D选项，根据分类讨论，利用和函数的单调性可得.
【详解】
因为，所以的定义域为，，，
当时，的导数为，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，即，故A正确；
当时，，
所以在递减，同理可得在递减，
所以既无最小值也无既最大值，故C错误；
又，所以恰有2个零点，故B正确；
若，，由，可得，
因为在上递减，所以，即，
同理可证当，时，结论也成立，故D正确．
故选：ABD．
23．（2021·辽宁·沈阳市翔宇中学高三月考）已知函数
（1）判断函数的单调性，并比较与；
（2）设方程的两个根为，，求证：.
【答案】
（1）的递增区间为，递减区间为，
（2）证明见解析
【分析】
（1）将求导得到，根据的正负判断的单调性，得到的单调性；比较的大小关系，即可比较与的大小;
（2）设，根据题意，为的两个根，即；对求导，根据导数的正负确定的单调性；设，求导并确定的单调性，进而证明.
（1）
的定义域为且，令时，，
当时，，在上递增，当时，，在上递减，
的递增区间为，递减区间为.
又,，即，，
即，；
（2）
设，
方程的两个根为，则.
，令时，则，
当时，， 在递减；当时，，在递增.
又，设，设，
则，
在上单调递减，
又,,，，
，，且在上递增，，即.
24．（2020·湖南·长郡中学高三开学考试）已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论．
【答案】（1）为定义域上的偶函数，证明见解析；（2）；（3）当时，；当时，；当时，；
证明见解析.
【分析】
（1）根据函数奇偶性的定义即可证明为定义域上的偶函数；
（2）利用参数分离法，将不等式在上恒成立，转化为即在（0，+∞）上恒成立，进而转化为求最值问题即可求解；
（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可求解
【详解】
（1）为定义域上的偶函数．
证明：的定义域为，
∵，
∴为定义域上的偶函数；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
∵，∴，
即在（0，+∞）上恒成立，
设，则在上恒成立．
∵．
当且仅当时上式等号成立．
∴；
（3）令．
则，
当时，，即在上单调递增，
故此时的最小值．
由于存在，使得成立，
故，即．
令，，
由，解得．
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增．
∴在上的最小值为．
注意到，
∴当时，．
时，．
∴对任意成立．
①时，，即，从而；
②时，；
③时，，即，从而．
综上可知：当时，；当时，；当时，．
25．（2020·湖南·衡阳市八中高二月考）已知函数.
当时
①求证：在区间上单调递减；
②求函数在区间上的值域.
对于任意，都有，求实数的取值范围.
【答案】①证明见解析；②；.
【分析】
①先求导得，令，有，当时，，所以所以，进而证出在区间上单调递减；②由①知：函数在单调递减，函数在区间上单调递减，，，进而得出结果；
先整理不等式得，转化为函数在区间为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，分离变量得最小值，最后利用导数求函数单调性，得最值，得出实数的取值范围.
【详解】
解：①当时，，
，
令，有，
当时，，所以所以
故当时，函数单调递减，
②由①知：函数在单调递减.
函数在区间上单调递减，
，
故函数在区间上的值域为.
由，有，
故可化为，
整理为：，
即函数在区间为增函数，
，
，
故当时，，
即，
①当时，；
②当时，整理为：，
令，有，
当，，，有，
当时，由，有，可得，
由上知时，函数单调递减，
故，故有：，可得.
【点睛】
本题考查导数研究不等式成立问题，利用导数研究函数的单调性，求最值，考查分离变量，构造函数等方法，属于难题.
试卷第2页，共2页

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